Equações de 2º grauDefinições   Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c    IR e     Exemplo:

x2 - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.

6x2 - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1.

7x2 - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0. x2 - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.

    Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.                                                a    é sempre o coeficiente de  x²;                                                b    é sempre o coeficiente de x,                                                c    é o coeficiente ou termo independente.

Equação completas e Incompletas    Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.    Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

x² - 36 = 0(b = 0)

x² - 10x = 0(c = 0)

4x² = 0(b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau    Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

    O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:

Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação

x² - x - 2 = 0 ?

            Solução            Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1(-1)² - (-1) - 2 = 0

1 + 1 - 2 = 00 = 0

(V)

Para x = 00² - 0 - 2 = 00 - 0 -2 = 0

-2 = 0(F)

Para x = 11² - 1 - 2 = 01 - 1 - 2 = 0

-2 = 0(F)

Para x = 22² - 2 - 2 = 04 - 2 - 2 = 0

0 = 0(V)

   Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0.

SoluçãoSubstituindo a incógnita  x por 2, determinamos o valor de p.

 Logo, o valor de p é  .

Resolução de equações incompletas   Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.

    Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:   1ª Propriedade:  

   2ª Propriedade:      1º Caso: Equação do tipo   .   Exemplo:

Determine as raízes da equação  , sendo  .

SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:                 

   Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:                                                   Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:                                                   De modo geral, a equação do tipo   tem para

soluções   e   .  2º Caso: Equação do tipo    Exemplos:

Determine as raízes da equação  , sendo U = IR.            Solução

                              De modo geral, a equação do tipo   possui duas raízes

reais se   for um número positivo, não tendo raiz real caso   seja um número negativo.

Resolução de equações completas    Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.    A partir da equação  , em que a, b, c     IR e  , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar  aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por  .

   Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

    Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:   

   Exemplos:

resolução a equação: Temos  

                        

Discriminante   Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega   (delta).

    Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

   De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:1º Caso: O discriminante é positivo  .        O valor de  é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

    Exemplo: Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite

raízes reais e desiguais?

Solução

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter  

        Logo, os valores de k devem ser menores que 3.2º Caso: O discriminante é nulo              O valor de  é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

                                        Exemplo:

Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. Solução

Para que a equação admita raízes iguais é necessário que  .

                         Logo, o valor de p é 3.

3º Caso: O discriminante é negativo  .

        O valor de  não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.

   Exemplo: Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite

nenhuma raiz real?

SoluçãoPara que a equação não tenha raiz real devemos ter 

                   Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo  Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:  Para  , a equação tem duas raízes reais diferentes.  Para  , a equação tem duas raízes reais iguais.  Para  , a equação não tem raízes reais.

  EQUAÇÕES LITERAISAs equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros.Exemplos:                       ax2+ bx + c = 0                           incógnita: x                                                                         parâmetro: a, b, c                      ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0               incógnita: x                                                                       parâmetro: a   Equações literais incompletas       A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas.      Observe os exemplos:

Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.

          Solução                         3x2 - 12m2 = 0                                     3x2 = 12m2

                                       x2 = 4m2

                                                                             x=Logo, temos: 

Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0,com m 0, sendo y a variável.

          Solução                        my2 - 2aby = 0                        y(my - 2ab)=0Temos, portanto, duas soluções:                     y=0                      ou

                    my - 2ab = 0  my = 2ab   y= Assim: 

  Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido:              my2 - 2aby= 0                         my2 =  2aby                        my = 2ab

                           

Desta maneira, obteríamos apenas a solução  .O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.

 Equações literais completasAs equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:Exemplo:

       Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2, sendo x a variável.       Solução       Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2

                        

                        

                        

                         Portanto:

                  Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

 RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a  0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

   Logo:     

Observe as seguintes relações:

Som−b±√b2−4 ac2a

a das raízes (S)

          

Produto das raízes (P)

                     Como  ,temos:

       Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.

Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2  + x - 2 = 0.

SoluçãoNesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

A soma das raízes é igual a  .     O produto das raízes é igual a 

Assim:                                     Assim: 

Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.

SoluçãoNesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.         S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.

Determine o valor de m na equação 4x2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes seja igual a -2.

SoluçãoNesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.               P= x1. x2= -2

              

Logo, o valor de m é  .  Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1 = 0, para

que a soma dos inversos de suas raízes seja igual a 8.   

SoluçãoConsidere x1 e x2 as raízes da equação.

A soma dos inversos das raízes corresponde a  .Assim:

                       

                       Logo, o valor de k é -8. 

Determine os valores de m  para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2 = 0 admita:

a) raízes simétricas;b) raízes inversas. SoluçãoSe as raízes são simétricas, então S=0.

                            Se as raízes são inversas, então P=1.

 

 COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por a  , obtemos:

 

Como  , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0                           

Exemplos: Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

SoluçãoA soma das raízes corresponde a:

S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5O produto das raízes corresponde a:

P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada. 

Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais,

sabendo-se que uma das raízes é   .SoluçãoSe uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma

raiz   , a outra raíz será   .

    Assim:

Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.  FORMA FATORADA Considere a equação ax2 + bx + c = 0. Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:a.(x - x') . (x - x'') = 0

 Exemplos:

Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.SoluçãoCalculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0 Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

   SoluçãoCalculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0  ou 2. (x - 5)2=0 

Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.SoluçãoComo o  , a equação não possui raízes reais.Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

 EQUAÇÕES BIQUADRADAS Observe as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 09x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.Denominamos essas equações de equações biquadradas.Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 03x4 - 27 = 0

Cuidado!      x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0               6x4 + 2x3 - 2x = 0            x4 - 3x = 0As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA      Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.      Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

Seqüência prática Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao

quadrado) e x2 por y. Resolva a equação ay2 + by + c = 0 Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da

equação ay2 + by + c = 0.

       Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.Exemplos:

Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.SoluçãoSubstituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

                     y2 - 13y + 36 = 0Resolvendo essa equação, obtemos:

                  y'=4     e      y''=9Como x2= y, temos:

                   Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

                       y2 + 4y - 60 = 0Resolvendo essa equação, obtemos:

                     y'=6   e  y''= -10Como x2= y, temos:

                    

Logo, temos para o conjunto verdade: .

Determine a soma das raízes da equação .

SoluçãoUtilizamos o seguinte artifício:

Assim:             y2 - 3y = -2            y2 - 3y + 2 = 0           y'=1  e  y''=2Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das raízes é dada por:

         Resolução de equações da forma: ax2n  +  bxn  + c = 0Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.

Para isso, substituimos xn por y, obtendo:        ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo: resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.

SoluçãoFazendo x3=y, temos:                y2 + 117y - 1.000 = 0Resolvendo a equação, obtemos:              y'= 8  e  y''= - 125Então:

             Logo, V= {-5, 2 }.

Composição da equação biquadrada Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo: Compor a equação biquadrada cujas raízes são:

 Soluçãoa) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0                      b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0 x2(x2 -49) = 0                                                 (x2-a2) (x2-b2) = 0 x4 - 49x2 = 0                                                   x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0   PROPRIEDADES  DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA              Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.             De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:

 Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:  1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

                            x1 + x2 + x3 + x4 = 0

   2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da

equação biquadrada é igual a - .

  3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da

equação biquadrada é igual a  .

EQUAÇÕES IRRACIONAISConsidere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.Ou seja:

                                  Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.  RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL

         A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.         Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).       É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

Solução                  

Logo, V= {58}. 

Solução                

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. 

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. 

Solução          

Logo, V={9}; note que   é uma raiz estranha a essa equação irracional.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU Observe o seguinte problema: Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:8x + 4y = 642x . ( 2x + 2y) = 192    4x2 + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:2x + y = 16                 1x2 +xy = 48                 2 Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:Assim:    2x + y = 16        1                        y = 16 - 2xSubstituindo y em  2 , temos:               x2 + x ( 16 - 2x) = 48              x 2 + 16x - 2x2 = 48                - x2  + 16x - 48 = 0   Multiplicando ambos os membros por -1.                  x2 - 16x + 48 = 0x'=4       e        x''=12Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8 As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:                    Comprimento    =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m                    Largura              =2x = 2. 4 = 8mVerifique agora a solução deste outro sistema: 

   Isolando y em 1               y - 3x = -1   y = 3x - 1Substituindo em  2           x2  - 2x(3x - 1)  = -3           x2 - 6x2 + 2x    = -3             -5x2 + 2x + 3    = 0     Multiplicando ambos os membros por -1.           5x2 - 2x - 3     = 0

x'=1       e    x''=-Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

                                            

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e   .

Logo, temos para conjunto verdade: 

PROBLEMAS DO 2º GRAU Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:Sequência prática

Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.

Resolva a equação ou o sistema de equações. Interprete as raízes encontradas, verificando se são

compatíveis com os dados do problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma

de seus inversos seja  .

SoluçãoRepresentamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os

seus inversos serão representados por  .

Temos estão a equação:  .Resolvendo-a:

                                    

Observe que a raiz   não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

SoluçãoRepresentamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.Observe:

Número:                  10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada:   10y + x.

Temos, então, o sistema de equações:

                                              Resolvendo o sistema, temos:                                               

Isolando y em   1 :                    -x + y = 3    y= x + 3Substituindo y em 2:xy   =  18x ( x + 3)      =   18x2 + 3x     =   18x2 + 3x - 18   =   0x'= 3  e  x''= -6Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:                                 y'= 3 + 3 = 6                                 y''= -6 + 3 = -3Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número36 ( x=3  e y=6).Resposta: O número procurado é 36.

Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

SoluçãoConsideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

                       

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão   do tanque; observe a equação correspondente:

                       Resolvendo-a, temos:                      6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )                      6x + 30 + 6x = x2 + 5x                       x2 - 7x - 30 = 0                       x'= - 3      e   x''=10Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?

SoluçãoPodemos representar por:

   Resolvendo-a:

   Resposta:  Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.

Na página onde foi tratado o tema Relações entre Coeficientes e Raízes em Equações do 2° Grau, foi comentado que as relações de Albert Girard, em alguns casos, nos permitem obter mentalmente as raízes de uma equação do segundo grau, mas como assim? Vamos estudar o tema, através da utilização de alguns exemplos.Observe a seguinte equação:x2 - 5x + 6 = 0Agora me diga: Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?É muito provável que mentalmente você tenha identificado rapidamente que os dois números procurados são 2 e 3, pois 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6.Mas de onde surgiu a questão "Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em6?"?Segundo Girard, vimos que x2 - Sx + P = 0, onde S representa a soma das raízes da equação e P representa oproduto destas raízes.Neste nosso exemplo S está sendo representado pelo coeficiente 5, assim como P está sendo representado pelo coeficiente 6, por isto me referi a 5 como sendo a soma das raízes e a 6, como sendo o seu produto.Para conferência, vamos aos cálculos pelo método tradicional:

Como não poderia deixar de ser, as raízes encontradas são exatamente 2 e 3.Vamos a outros exemplos para que você tenha uma melhor compreensão do assunto e elimine qualquer possível dúvida.

Exemplos de Identificação Mental das Raízes de uma Equação do 2° grau

Encontre as raízes da equação do segundo grau x2 - 6x + 5 = 0.Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 6 e cujo produto é igual 5?".Sem qualquer esforço podemos chegar a 1 e 5. Conferindo através da fórmula temos:

Portanto 1 e 5 são as raízes da equação x2 - 6x + 5 = 0.

Encontre as raízes da equação do segundo grau x2 + 2x - 8 = 0.Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a -2 e cujo produto é igual -8?".Neste caso, com um pouquinho mais de esforço, já que há o envolvimento de números negativos, chegamos a -4 e 2, pois -4 + 2 = -2 e -4 . 2 = -8. Conferindo via fórmula:

Portanto -4 e 2 são as raízes da equação x2 + 2x - 8 = 0.

Encontre as raízes da equação do segundo grau 4x2 - 12x + 8 = 0.Neste outro exemplo temos uma situação um pouco diferente. Note que nos casos anteriores, o coeficiente a era sempre igual a 1, o que simplificava a utilização deste artifício, mas neste caso ele é igual a 4.Segundo Girard a soma das raízes é dada por:

E o produto é dado por:

Assim sendo, para S temos:

E para P temos:

Podemos então nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 3 e cujo produto é igual 2?".Facilmente chegamos a 1 e 2, pois 1 + 2 = 3 e 1 . 2 = 2. Conferindo via fórmula:

Portanto 1 e 2 são as raízes da equação 4x2 - 12x + 8 = 0.

Quais as raízes da equação x2 + 4x + 12 = 0.Para finalizar este tema, vamos resolver este último exemplo.Veja que por mais que você se esforce em descobrir quais são os números que somados totalizam -4 e que multiplicados dão 12, jamais conseguirá encontrá-los dentre os números reais, simplesmente porque eles não existem. Sabe por quê?Calculemos então o discriminante da equação:

Como Δ = -32, isto é, como o discriminante da equação é negativo, a mesma não possui raízes reais.

Portanto a equação x2 + 4x + 12 = 0 não possui raízes reais.

Como pudemos perceber, dependendo de nossas habilidades com os números, este é um recurso que podemos utilizar, sempre que possível, nos casos onde facilmente encontramos as raízes, só de "bater os olhos" na equação. Em outros casos é melhor procurarmos um outro método mais adequado.Com um pouco de treino, este é um recurso que pode nos ajudar bastante na busca pelas raízes de equações do segundo grau.