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ESCOAMENTO POTENCIAL INCOMPRESSÍVEL
• Escoamentos Potenciais referem-se a uma classe de escoamentos que o campo de velocidades é determinado pelo gradiente da função potencial, ϕ:
zW e
yV ;
xU V
∂ϕ∂
=∂ϕ∂
=∂ϕ∂
=→ϕ∇=r
• Para o campo de velocidades satisfazer a eq. da massa a função potencial deve satisfazer uma equação de Laplace:
00V 2 =ϕ∇=ϕ∇⋅∇→=⋅∇r
• Por outro lado, se o campo de velocidades é gerado por um potencial, então a vorticidade ω do fluido é nula:
0V ≡ϕ∇×∇=ω→×∇=ωrrr
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CONDIÇÕES DE CONTORNO
• Observe que V não é resolvido, mas sim seu potencial, ϕ.• Como toda equação elíptica, é necessário informação em todo o contorno.
• As condições de contorno podem ser de duas espécies: 1. Dirichlet ou valor de ϕ especificado no contorno.2. Neuman ou valor do grad ϕ, normal a fronteira, especificado.
Y
X
ϕou
dϕ/
dxes
peci
ficad
os ϕou dϕ/dx
especificados
ϕ ou dϕ/dy especificados
ϕ ou dϕ/dy especificados
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CONSEQUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO
• Considere um corpo sólido. Neste caso somente pode-se especificar a velocidade normal ao corpo.
• Se o sólido for impermeável ou não poroso, então, dV/dn = 0.• Não se pode impor nenhuma condição para a velocidade tangencial ao corpo. Consequentemente o escoamento potencial não satisfaz a condição de aderência junto a uma superfície sólida.
0n =∂ϕ∂nr
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CONSEQUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO
• Para um fluido Newtoniano, o tensor da tensão, T, é expresso pormeio do tensor das deformações: T = 2µS
• O tensor de deformação do escoamento potencial não é nulo, isto é,
[ ] 0 V V21S T ≠∇+∇=
rr
• Apesar de S ≠ 0, T = 0 p/ escoamento potencial. • De fato se diz que simula um escoamento com ausência de viscosidade. Isto se deve ao fato de não ser possível especificar uma velocidade paralela ao contorno.
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EQ. N.S -> EULER -> POTENCIAL -> BERNOULLI
• A eq. de Navier Stokes,
• sem os termos viscosos se reduz à Eq. de Euler:
• Com o auxílio da identidade, a Eq. de Euler pode ser re-escrita:
• Para o escoamento potencial, ω =0, logo a eq. Euler se reduz para Bernouli (regime permanente)
gVP1VVtV 2 rrsrr
+∇ν+∇ρ
−=∇+∂∂
ω×−
∇=∇
rrsrV
2VVV
2
gP1VVtV rsrr
+∇ρ
−=∇+∂∂
ω×=
+
ρ+∇+
∂∂ rrr
VgzP2
VtV 2
constgzP2
Vt
0gzP2
Vt
22=+
ρ++
∂ϕ∂
→=
+
ρ++
∂ϕ∂
∇
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CAMPO DE PRESSÃO X BERNOULLI
• Uma vez resolvido o campo potencial ϕ, pode-se determinar o campo de velocidades fazendo-se o gradiente de ϕ,
e também o campo de pressões empregando-se Bernoulli,
onde V2 representa o produto escalar
zW e
yV ;
xU V
∂ϕ∂
=∂ϕ∂
=∂ϕ∂
=→ϕ∇=r
constgzP2
V 2=+
ρ+
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EXISTE ESCOAMENTO POTENCIAL?
• Sim. Normalmente escoamentos externos, em regiões afastadas da parede onde a vorticidade não se difundiu das paredes par o fluido. Quando estas condições prevalecem, o modelo potencial faz uma boa representação do escoamento.
• Aplicações aeronáuticas: asas e fuselagens são frequentemente modeladas por meio de escoamento potencial para se obter a distribuição de pressão.
• Escoamentos com fortes transientes onde os termos viscosos são muito menores que os transientes: impacto de corpos em um líquido (splashes), corte de metais por jato de água, ...
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COMPROVAÇÃO DA EXISTÊNCIA ESC. POTENCIAL
Região sem vorticidade, escoamento potencial.
Região com vorticidade, efeitos viscosos importantes.
Zoom
Camada Limite
Escoamento Potencial
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FUNÇÕES POTENCIAIS SIMPLES
• Três funções potenciais, ϕ(x,y) cujos gradientes podem ser associados aos tipos de escoamentos listados abaixo.
• Note que ∇2ϕ = 0 é automaticamente satisfeito pela escolha das funções abaixo. Não é necessário impor c.c.. Elas também são conhecidas por ‘Kernel’ de Laplace.
( ) yVxUy,x ⋅+⋅=ϕ ( ) LogR2my,xπ
=ϕ ( ) θπ
Γ=ϕ
2y,x
y
x
y
x
y
x
ESCOAMENTO UNIFORME
FONTE/SORVEDOUROintensidade m
VÓRTICE LIVREintensidade Γ
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ESCOAMENTO POTENCIAL NO PHOENICS
• Escoamento potencial no PHOENICS pode ser resolvido por duas maneiras:
- Desativando os termos convectivos e de fonte e resolvendo a equação do potencial. Os campos de velocidade são deduzidos a partir da subrotina GXPOTV chamada pelo comando POTVEL = T. O mesmo se aplica para escoamentos compressíveis por meio da subrotina GXPOTC.
- Por meio da analogia entre escoamentos de baixo Reynolds e o potencial, também conhecidos como Hele Shaw Flows. Neste caso resolve-se a equação de Darcy e se obtêm os campos de velocidade e pressão simultâneamente.
Veja na ´Encyclopeadia´ Potential Flow.
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WORKSHOP - ESCOAMENTO POTENCIAL
• Nestes workshops se trabalhará com a primeira metodologia para resolver escoamento potencial. As atividades desenvolvidas serão:
•WKSH#1 - Criar a variável POT, ajustar o Slab Wise solver para resolver somente os termos difusivos. Criar as condições de contorno para a variável POT.
•WKSH#2 – repetir WKSHP#1 porém utilizar o solver ´whole field´. Observar a taxa de convergência
• WKSH#3 – Obter o campo de velocidades com POTVEL=T, introduzir inclinação no objeto e observar as mudanças.
•WKSH#4 – introduzir porosidades
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WKSHP#1 - POTENCIAL
• No VR faça uma malha uniforme NZ=NY=40 e NX=1. O tamanho do domínio é de 1.0m x 1.0m x 1.0m (default).
• Introduza um ´blockage´ CUBE 14 de dimensões: 1.0, 0.20, 0.03 na posição: 0.0, 0.4, 0.5. O objeto não está submetido a rotação, (0,0,0).
• Em OUTPUT coloque o monitor de convergência para 1,16,20
• Dê um nome para seu q1: wksh-pot(1) e salve ´working file´ .
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WKSHP#1 – POTENCIAL (cont)Abra arquivo q1 e digite o texto em itálico:GRUPO 7 –> NAME(150) = POT;SOLVE(POT)* cria variável POT no índice 150 e aplica o solver em POT*GRUPO 8 –> TERMS(POT,N,N,Y,N,Y,N)* habilita somente os termos difusivos do solver* GRUPO 9 –> RHO1=1.0; ENUL=1.0(* faz a densidade e viscosidade serem iguais a 1*GRUPO 13 -> PATCH( UPSTRM, LOW, 1, 1, 1, 40, 1, 1, 1, 1)
COVAL( UPSTRM, POT, FIXFLU, 4.0)*c.c. face west, estabelece que a velocidade U1 na face é uniforme = 4.0*
PATCH( DWSTRM, HIGH, 1, 1, 1, 40, 40, 40, 1, 1)COVAL( DWSTRM, POT, FIXVAL, 0.0)
*c.c. face east, estabelece que POT é constante e igual a 0*GRUPO 15 -> LSWEEP = 50; RESFAC = 1.0E-01 *solicita 50 iterações e faz RESFAC =0.1 *ATENÇÃO: 1) SALVE Q1; 2)VR ->FILE -> RELOAD WORKING FILES; 3) RUN!
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WKSHP#1 – POTENCIAL (cont)
• Após 50 iterações o campo de ϕ ainda não está convergido.
• Os resíduos não diminuíram o suficiente.
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WKSHP#2 - POTENCIAL
Abra arquivo q1 e digite o texto em itálico:
GRUPO 7 –> SOLUTN(POT, Y,Y,Y,N,N,Y)*Habilita o solver ´whole field´ para POT*
* Y in SOLUTN argument list denotes:* 1-stored 2-solved 3-whole-field* 4-point-by-point 5-explicit 6-harmonic averaging
• Ele se aplica pois o problema não possui acoplamentos não lineares, a informação do contorno é transmitida a todos os pontos do domínio durante cada iteração
ATENÇÃO: 1) SALVE Q1; 2)VR ->FILE -> RELOAD WORKING FILES; 3) RUN!
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WKSHP#2 – POTENCIAL (cont)
• 7 SWEEPS são suficientes! O mesmo efeito seria obtido com o solver slab-wise se o plano fosse XY.
•Contornos de potencial constante.
• Na face LOW do domínio, ϕ = 0 conforme estabelecido na c.c.
• Observe que no bloqueio não há variação normal de ϕ, isto é, dϕ/dn = 0 então Vnormal = 0.
• Se ϕLOW = 4, ϕHIGH = 0 e ZWLAST = 1.0, então aWwest = (4-0)/1 = 4.0 conforme estabelecido na c.c.
y
x
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WKSHP#3 – POTENCIAL(cont)
Abra arquivo q1 e digite o texto em itálico:GRUPO 7 –> STORE(V1,W1)* Solicita armazenamento de V1 e W1, elas serão calculadas a partir Gradϕ*.GRUPO 19 –> POTVEL = T* comando lógico que ativa a subrotina GXPOTV no GROUND que calcula as velocidades V1 e W1 a partir do gradiente de ϕ:
W1 = dϕ/dzV1 = dϕ/dy *
ATENÇÃO: 1) SALVE Q1; 2)VR ->FILE -> RELOAD WORKING FILES; 3) RUN!
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WKSHP#3 – POTENCIAL (cont)
• Velocidade W1.
• Bloqueio é simétrico em Y, seu campo de velocidades também é.
• Regiões de estagnação estão localizadas nas faces LOW e HIGH do bloqueio.
• As regiões de máx. velocidade estão nas faces north e south do bloqueio
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WKSH#4 - POTENCIAL
• Uso de porosidade para fazer o efeito de um bloqueio.• No PHOENICS há dois tipos de porosidades: de ÁREA ou VOLUME.
• A Porosidade é um multiplicador da ÁREA ou VOLUME da grade• Porosidade de ÁREA: EPOR, NPOR, HPOR • Porosidade de VOLUME: VPOR
( ) ( ) 0Az
Az
HP
a
hh
hLP
a
ll
l
HL
=ϕ−ϕβδΓ
+ϕ−ϕδΓ
43421321 L P H
β = 0
• Se β = 0 então aH = 0 logo o fluxo na face h = 0 também é. Isto significa que dϕ/dz na face h é zero, ou seja a velocidade normal a parede é nula como deveria ser!
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WKSH#4 – POTENCIAL (cont)
• Carregue o caso wksp-pot(3) no VR
• Mude o nome do q1 para: wksp-pot(4)
• Delete o bloqueio, CUBE 14
• Salve ´working file´
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WKSH#4 – POTENCIAL (cont)Abra arquivo q1 e digite o texto em itálico:GRUPO 7 –> STORE(HPOR)•Faz armazenamento HPOR que terá seu valor modificado*
GRUPO 11 -> PATCH( PL1, INIVAL, 1, 1, 16, 25, 20, 20, 1, 1)INIT( PL1, HPOR, 0, -1.0)INIADD = T
*PATCH especifica a região IX,IY,IZ,ISTEP onde vai ser atribuído o valor inicial para HPOR.
*INIT faz HPOR = -1.0 na região especificada pelo PATCH**INIADD = T diz que as especificações são aditivas. Por default HPOR = 1 para todo campo, fazendo HPOR = -1 na região resultará em HPOR nulo.
*Se INIADD = F poderia fazer HPOR = 0 diretamente caso este fosse o último comando especificando alguma coisa com HPOR.
ATENÇÃO: 1) SALVE Q1; 2)VR ->FILE -> RELOAD WORKING FILES; 3) RUN!
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WKSH#4 – POTENCIAL (cont)
•Velocidade W1.
• Bloqueio por meio da porosidade HPOR resultou numa velocidade W1 nula na região onde ele existe.
• Diferenças entre wksh#3 ocorrem pq. Trata-se de um bloco .
• Basta bloquear com porososidade o mesmo n. de volumes do bloco se obtêm o resultados iguais.
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ATIVIDADES EXTRAS
Existem muitas outras formas interessantes de se explorar os casos apresentados que por questões de tempo não foram possíveis de se trabalhar.
Outros casos interessantes são:
• Introduzir rotação no bloco e explorar o PARSOL
• Introduzir novas formas da biblioteca de formas do VR
• Fazer uma grade 3D
• Explorar situações com NPOR e EPOR
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