Escola Básica e Secundária de Velas
Planificação Anual do 12º Ano
Matemática A
Ano letivo 2015 /2016
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
2
1º Período
2º Período
3º Período
Nº DE BLOCOS PREVISTOS
39
32
24
1º Período
2º Período
3º Período
Apresentação
0,5
- -
Auto e heteroavaliação
0, 5
0, 5
0, 5
Atividades de fim de período
-
-
-
Atividades específicas de avaliação
4
3,5
2,5
Blocos de aulas com matéria
34
28
21
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
3
Tema I: Introdução ao cálculo das probabilidades
Nº de Aulas Previstas (90 m): 26
Conteúdos Objetivos Estratégias/ Atividades Calendarização
(Blocos 90 m)
1- Cálculo de Probabilidades
Experiências aleatórias;
Espaço de resultados;
Acontecimento como subconjunto;
Acontecimento elementar, composto,
certo e impossível.
Operações sobre acontecimentos.
Acontecimentos contrários e incompatíveis.
Acontecimento A implica B;
Acontecimento diferença entre A e B;
Conceito frequencista de probabilidade.
Acontecimentos equiprováveis.
Definição clássica de probabilidade ou Lei
de Laplace.
Conhecer terminologia das probabilidades.
Determinar o espaço de resultados em experiências
aleatórias.
Definir acontecimento como subconjunto do conjunto
de resultados.
Operações com acontecimentos.
Aplicar a definição frequencista de probabilidade.
Aplicar a definição clássica ou de Laplace de
probabilidade de resolver problemas de probabilidades
usando a análise combinatória para efectuar contagens.
Descrever raciocínios em probabilidades.
Atividades ou estratégias que
permitam consolidar os
conhecimentos adquiridos no 9ºano
sobre probabilidades.
Referência a Pascal e Laplace.
Resolução actividades do manual.
Fichas de apoio
Resolução fichas de trabalho;
Trabalhos de grupo/individuais;
Recurso ao Excel e/ou calculadora
Para facilitar a abordagem à Lei dos
Grandes Números.
Método expositivo participativo.
Discussão de vários processos de
resolução.
Elaboração de pequenos textos
onde sejam apresentados os
raciocínios efectuados.
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Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
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2- Definição axiomática de
probabilidades.
Probabilidades condicionada.
Acontecimentos
independentes.
Definição axiomática de probabilidade e
propriedades elementares.
Definição de probabilidade condicionada
e sua verificação da axiomática das
probabilidades.
Probabilidade da intersecção de dois
acontecimentos;
Acontecimentos independentes;
Resolução de problemas envolvendo
acontecimentos independentes;
Resolução de problemas envolvendo
probabilidade condicionada e
acontecimentos independentes;
Aplicar os axiomas das probabilidades.
Demonstrar teoremas envolvendo probabilidades.
Resolver problemas aplicando teoremas de
probabilidades.
Resolver problemas envolvendo probabilidades
condicionadas.
Definir acontecimentos independentes.
Resolver problemas envolvendo probabilidade
condicionada e acontecimentos independentes.
Resolução actividades do manual.
Fichas de apoio
Resolução fichas de trabalho;
Trabalhos de grupo/individuais;
Método expositivo participativo.
Discussão de vários processos de
resolução.
Elaboração de pequenos textos
onde sejam apresentados os
raciocínios efectuados.
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Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
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3-Problemas de contagem. Cálculo
combinatório. Triângulo de Pascal.
Binómio de Newton
Princípio fundamental da contagem;
Análise combinatória;
Factorial de um número natural;
Permutações;
Arranjos sem repetição;
Arranjos com repetição;
Combinações sem repetição;
Triângulo de Pascal;
Propriedades do triângulo de Pascal;
Propriedades das combinações (sem
repetição);
Binómio de Newton.
Aplicar o princípio fundamental da contagem.
Aplicar estratégias de contagem.
Aplicar o conceito de factorial de um número natural
Resolver problemas de probabilidade escolhendo uma
estratégia adequada à situação, aplicando:
permutações;
arranjos sem repetição;
arranjos com repetição;
combinações sem repetição.
Resolver problemas aplicando as propriedades do
triângulo de Pascal;
Aplicar o desenvolvimento do binómio de Newton na
resolução de problemas.
Resolução actividades do manual.
Fichas de apoio
Resolução fichas de trabalho;
Trabalhos de grupo/individuais;
Método expositivo participativo.
Discussão de vários processos de
resolução.
Elaboração de pequenos textos
onde sejam apresentados os
raciocínios efectuados.
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Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
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4-Distribuição de frequências
relativas e distribuição de
probabilidades
Variável aleatória;
Distribuição de probabilidades de uma
variável aleatória discreta
Distribuição de frequências versus
distribuição de probabilidades
Média versus valor médio. Desvio-padrão
amostral versus desvio-padrão populacional
Distribuição binomial
Distribuição de probabilidades de uma
variável aleatória com distribuição binomial
Valor médio e variância da distribuição
binomial
Aplicação do modelo binomial
A simetria da distribuição binomial
Variáveis aleatórias continuas. Distribuição
normal
Distribuição normal estandardizada
Definir variável aleatória;
Determinar, em tabela e gráfico, a distribuição de
probabilidades de uma variável aleatória;
Relacionar distribuição de frequências com distribuição
de probabilidades;
Relacionar média e desvio-padrão com valor médio e
desvio-padrão populacional;
Determinar o valor médio e o desvio-padrão de uma
distribuição de probabilidades;
Identificar uma distribuição binomial;
Usar tabelas e calculadora gráfica para calcular o valor
de uma probabilidade numa distribuição binomial;
Identificar uma distribuição normal;
Conhecer as características de urna distribuição normal;
Usar tabelas da distribuição N (0,1);
Estandardizar uma distribuição normal;
Usar a calculadora gráfica para determinar
probabilidades numa distribuição normal;
Resolver problemas envolvendo distribuição binomial e
distribuição norma.
Resolução actividades do manual.
Fichas de apoio
Resolução fichas de trabalho;
Trabalhos de grupo/individuais;
Método expositivo participativo.
Discussão de vários processos de
resolução.
Elaboração de pequenos textos
onde sejam apresentados os
raciocínios efectuados.
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Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
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SE Conteúdo lecionado no âmbito da Educação para a Saúde, enquadrado nos temas “Alimentação saudável” e “ A prevenção dos consumos nocivos e comportamentos de risco”
Tema II: Introdução ao cálculo diferencial
Nº de Aulas Previstas (90 m): 36
Conteúdos Objetivos Estratégias/ Atividades Calendarização
(Blocos 90 m)
Funções exponenciais e funções
logarítmicas Definição de função exponencial;
Propriedades das funções exponenciais;
Equações exponenciais;
Transformações do gráfico de uma
função exponencial;
Aplicação das funções exponenciais na
modelação de situações reais;
Função exponencial de base e;
Definição de função logarítmica;
Logaritmos com bases especiais;
Propriedades das funções logarítmicas;
Transformações do gráfico de funções
logarítmicas;
Propriedades operatórias dos logaritmos;
Equações exponenciais e logarítmicas;
Resolução de inequações com
exponenciais ou Inversa de uma função
Identificar funções exponenciais.
Conhecer as propriedades das funções exponenciais.
Resolver equações exponenciais.
Aplicar as transformações dos gráficos de funções a
funções exponenciais.
Aplicar as funções exponenciais na modelação de
situações reais.
Aplicar a função exponencial de base e na modelação
de situações reais. Identificar funções logarítmicas.
Conhecer as bases especiais 10 e e.
Conhecer as propriedades das funções logarítmicas.
Aplicar as transformações dos gráficos de funções às
funções logarítmicas. Aplicar as propriedades operatórias
dos logaritmos.
Resolver equações exponenciais e logarítmicas. Resolver
inequações com exponenciais e logaritmos. Definir a
função inversa de uma função exponencial ou logarítmica.
Resolver problemas em contexto real usando funções
Resolução actividades do manual.
Fichas de apoio
Resolução fichas de trabalho;
Trabalhos de grupo/individuais;
Método expositivo participativo.
Atividades ou problemas que
permitam conectar e relacionar os
novos conhecimentos com os já
adquiridos sobre funções.
Tratamento mais rigoroso de
conhecimentos já utilizados
intuitivamente.
Resolução de exercícios que
permitam a compreensão e a
utilização de procedimentos
algébricos.
Utilização da calculadora gráfica
Apresentação de exemplos de
funções que descrevem fenómenos
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Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
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exponencial ou de uma logarítmica;
Aplicação das funções exponenciais e
logarítmica modelação de situações reais
Limites. Cálculo de limites de
funções e de sucessões.
Noção intuitiva de limite
Limites laterais;
Definição de limite segundo Heine;
Regras operatórias com limites
Limites e infinitos. Cálculo de limites;
Indeterminações;
Limites de funções envolvendo
exponenciais e logaritmos;
Limites de sucessões (revisão).
3- Continuidade de uma função
Continuidade de uma função num
ponto;
Continuidade lateral;
Continuidade de uma função num
intervalo;
Operações com funções contínuas;
Teorema de Bolzano - Cauchy
Determinação das assimptotas do gráfico
de uma função.
exponenciais e funções logarítmicas.
Calcular limites das funções por concretização da
variável independente;
Calcular limites laterais;
Aplicar a definição de limite segundo Heine;
Aplicar teoremas sobre limites no cálculo de limites;
Calcular limites quando x ;
Levantar indeterminações.
Calcular limites envolvendo funções exponenciais e
logarítmicas.
Calcular limites de sucessões
Estudar a continuidade de uma função num ponto;
Estudar a continuidade lateral de uma função num
ponto.
Estudar a continuidade de uma função num intervalo.
Aplicar teoremas e propriedades sobre funções
contínuas.
Aplicar o Teorema de BoIzano - Cauchy.
Determinar as assimptotas do gráfico de uma função.
Resolver problemas usando continuidade.
Resolver problemas aplicando o conceito de assimptota
da Física, Química, Economia,
Geografia
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Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
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4- Derivadas
Definição de derivada. Significado
geométrico de derivada;
Derivadas laterais;
Referências a pontos nos quais a função
não é derivável;
Derivabilidade e continuidade;
Função derivada;
Derivada de uma função constante;
Derivada de uma função afim;
Derivada do produto de uma constante
por uma função;
Derivada da soma e da diferença de
duas funções;
Derivada de uma potência;
Derivada de funções polinomiais;
Derivada de um produto de funções;
Derivada de um quociente de funções;
Derivada de funções compostas;
Derivada de funções exponenciais e
logarítmicas;
Função segunda derivada
do gráfico de uma função.
Definir derivada de uma função num ponto.
Interpretar geometricamente o valor da derivada de
uma função num ponto.
Interpretar a derivada como taxa de variação
instantânea de uma função num ponto.
Interpretar a derivada como velocidade ou aceleração
de um móvel num ponto.
Determinar as derivadas laterais de uma função num
ponto.
Interpretar derivadas infinitas.
Relacionar os conceitos de derivabilidade e de
continuidade de uma função num ponto.
Conhecer o significado de função derivada de uma
função.
Demonstrar regras de derivação (derivada da função
constante, derivada da função afim, derivada do produto
de uma constante por uma função, derivada da soma e
do produto de funções).
Aplicar regras de derivação.
Derivar funções exponenciais e logarítmicas.
Calcular a segunda derivada de uma função.
Relacionar os gráficos de uma função da respectiva
função derivada.
Relacionar os gráficos de uma função e da respectiva
função segunda derivada.
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Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
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5- Aplicação das derivadas SE
Função estritamente crescente e função
estritamente decrescente (revisão);
Extremos de uma função (revisão);
Intervalos de monotonia e primeira
derivada de uma função (revisão);
Máximos e mínimos absolutos e primeira
derivada da função;
Extremos relativos e primeira derivada de
uma função
Concavidade e segunda derivada de
uma função
Teste da segunda derivada
Estudo de funções
Problemas de optimização
Determinar os extremos de uma função aplicando o
conceito de derivada.
Estudar a monotonia de uma função usando o conceito
de derivada.
Estudar o sentido das concavidades do gráfico de uma
função usando a segunda derivada da função.
Estudar analiticamente uma função (a calculadora é
usada apenas para confirmação de resultados)
Escrever o modelo matemático correspondente a uma
situação real.
Resolver problemas de optimização.
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SE Conteúdo lecionado no âmbito da Educação para a Saúde, enquadrado no tema “Atividade física”
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Tema III: Trigonometria. Complexos
Nº de Aulas Previstas (90 m): 20
Conteúdos Objetivos Estratégias/ Atividades Calendarização
(Blocos 90 m)
1- Introdução ao estudo da
trigonometria. Razões
trigonométricas no triângulo
rectângulo (revisão)
Medidas de ângulos: o grau e o radiano;
As razões trigonométricas num triângulo
rectângulo
As razões trigonométricas de ângulos
especiais
A calculadora gráfica e as razões
trigonométricas
Resolução de problemas envolvendo as
razões trigonométricas.
Usar o radiano como medida de ângulos.
Fazer a conversão entre graus e radianos.
Determinar o comprimento de um arco circular.
Determinar a área de um sector circular.
Resolver problemas usando comprimentos de arcos
circulares ou áreas de sectores circulares.
Usar o triângulo rectângulo para escrever as razões
trigonométricas.
Usar a calculadora para determinar ângulos ou razões
trigonométricas.
Deduzir as razões trigonométricas de:
30º, 45º e 50º
Resolver problemas usando a trigonometria do triângulo
rectângulo.
Resolução actividades do manual.
Fichas de apoio
Resolução fichas de trabalho;
Trabalhos de grupo/individuais;
Método expositivo participativo.
Recurso à calculadora gráfica no
estudo das propriedades das funções
trigonométricas
Uso da calculadora gráfica
Resolução de problemas que
envolvam funções trigonométricas.
Exposição teórica dos conteúdos.
Abordagem histórica do
aparecimento dos números
complexos.
Apresentação de situações que
explorem a ligação dos números
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Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
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2- Generalização da noção de
ângulo. Razões trigonométricas de
um ângulo qualquer (revisão)
Ângulo orientado
Ângulo num referencial
Generalização da noção de ângulo
Definição das razões trigonométricas de
um ângulo
Linhas trigonométricas
Sinal das razões trigonométricas
Razões trigonométricas dos ângulos
0°,90°, 180º e 270°
Redução ao 1.0 quadrante
3- Funções trigonométricas como
funções reais de variável real.
Utilização das funções
trigonométricas na modelação de
situações reais. Funções trigonométricas como funções
reais de variável real
Gráficos de funções trigonométricas;
Estudo intuitivo das funções
trigonométricas;
Transformações dos gráficos das funções
trigonométricas
Representar um ângulo num referencial
Indicar diferentes amplitudes para um lado origem e um
lado extremidade de um ângulo.
Usar as razões trigonométricas para um ângulo qualquer.
Usar o sinal das razões trigonométricas.
Conhecer as razões trigonométricas de ângulos de
referência.
Reduzir um ângulo ao 1º quadrante.
Definir as funções trigonométricas como funções reais de
variável real.
Representar graficamente as funções trigonométricas.
Conhecer propriedades das funções trigonométricas.
Obter gráficos de funções trigonométricas a partir do
gráfico de y = sinx e y = cosx.
Utilizar as funções trigonométricas na moderação de
situações reais.
complexos à Geometria
1
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Aplicação das funções trigonométricas na
modelação situações reais
Utilização da calculadora na modelação
de funções gráfica é uma sinusóide
4– Equações trigonométricas.
Fórmulas trigonométricas
Equações trigonométricas
Fórmula fundamental da trigonometria
Fórmulas trigonométricas do seno, co-
seno e tangente da soma e da diferença de
dois ângulos
Razões trigonométricas do ângulo
5– Derivada das funções
trigonométricas
Estudo intuitivo do x
x
x
sinlim
0;
Derivada das funções trigonométricas;
Resolução de problemas
envolvendo a derivada de funções
trigonométrica.
Resolver equações trigonométricas. (Revisão)
Deduzir as fórmulas sin2a+cos2a=1 e tan a = sin a /cos a
sendo a um ângulo qualquer. (Revisão)
Deduzir as fórmulas trigonométricas do seno, co-seno e
tangente da soma e da diferença de dois ângulos.
Verificar identidades trigonométricas aplicando fórmulas
trigonométricas.
Conhecer que x
x
x
sinlim
0= 1
Calcular limites aplicando o conhecimento de que
x
x
x
sinlim
0= 1
Deduzir e aplicar as fórmulas das derivadas das funções
y = sinx; y = cosx e y = tan x,
Resolver problemas envolvendo a derivada de funções
trigonométricas.
3
5
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
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6– Números Complexos. Forma
algébrica e forma trigonométrica.
Evolução do conceito de número, O
conjunto dos números complexos;
Representação geométrica de um
número complexo;
Complexos conjugados e complexos
simétricos;
Operações com números complexos;
O número i como operador da rotação
de 90º;
Raízes complexas de uma equação do
2.° grau;
Módulo e argumento de um número
complexo;
Forma trigonométrica de um número
complexo;
Operações com números complexos na
forma trigonométrica;
Construção geométrica das raízes de
uma equação em C;
Translação e rotação no plano de
Argand.
Identificar 1 como i, ou seja, a unidade imaginária.
Determinar as soluções imaginárias de uma equação do
2° grau que seja impossível em IR.
Conhecer o conjunto C
Representar geometricamente um número complexo.
Escrever n conjugado e o simétrico de um número
complexo.
Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir dois números
complexos.
Calcular potências de i.
Reconhecer que multiplicar por i um número complexo
equivale a rodar 90º a sua representação geométrica.
Determinar as raízes complexas de uma equação.
Calcular o módulo e o argumento de um número
complexo.
Escrever números complexos na forma trigonométrica e
na forma algébrica.
Multiplicar e dividir dois números complexos escritos na
forma trigonométrica.
Calcular uma potência de um número complexo escrito
na forma trigonométrica.
Calcular as raízes de índice n de um número complexo
escrito na forma trigonométrica moderação de situações
reais.
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Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016
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7– Números Complexos. Forma
algébrica e forma trigonométrica.
Operações com condições e com
conjuntos (Revisão);
Conjuntos definidos por condições
envolvendo números complexos.
Representar no plano complexo conjuntos definidos por
condições.
Escrever uma condição que represente um conjunto de
pontos, definido no plano complexo.
Interpretar condições em C tais como:
• Iz—z1| =r
• Iz—z1| = Iz—z2|
• Im (z — z1) = a
• Re (z — z1) = b
• arg (z — z1) =
5
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