Equao Bsica da Esttica dos Fluidos

Objetivo:

Determinar o campo de presso dentro de um fluido esttico

Estuda fluidos em repouso e em movimento de corpo rgido

Aplicaes: - Calcular foras sobre objetos submersos - Instrumentos de medir presses - Sistemas hidrulicos (transmisso de fora) - Empuxo e estabilidade em corpos flutuante - Esforos em fluidos se movendo como corpos rgidos

Equao Bsica da Esttica dos Fluidos

Como no h variaes de velocidades, no h tenses de cisalhamento e as nicas tenses presentes so as tenses normais, que para o caso de um fluido, so chamadas de presso Presso um campo escalar p = p(x, y, z, t)

dy

duyx

A equao da viscosidade estabelece que:

Aplicamos a segunda lei de Newton a um elemento fluido diferencial

de massa dm=dV

amdt

mvdF

)(

admFdFd SB

Foras de corpo ou de

campo

Foras de superfcie

Equao Bsica da Esttica dos Fluidos

Fora de campo

Foras que atuam sobre o volume total, sem ao de contato ex.: gravidade, atrao magntica, campo eltrico

y

z

x

dy

dz

dx

dmgFd B

dVg

dVgdzdydxgFd B

Fora de campo

Fora de superfcie

(ou de contato) so foras que dependem de um meio fsico para serem transmitidas. Ex.: tenses Como neste estudo o fluido est esttico ou em movimento de corpo rgido, no h tenses tangenciais. Logo a nica tenso presente a causada pela presso. Em um elemento diferencial dx, dy, dz, a fora lquida produzida pela presso dada pela soma das foras causadas nas seis faces.

y

z

x

))((2

jdzdxdy

y

pp

dy

dz

dx

O

Presso, p

))((2

jdzdxdy

y

pp

Fora de superfcie apenas presso

expanso em srie de Taylor truncada no segundo termo

))((2

))((2

))((2

))((2

))((2

))((2

kdydxdz

z

ppkdydx

dz

z

pp

jdzdxdy

y

ppjdzdx

dy

y

pp

idzdydx

x

ppidzdy

dx

x

ppFd S

dzdydxkz

pj

y

pi

x

pFd S

Em coordenadas cartesianas:

z

pk

y

pj

x

pi p

zk

yj

xi

p

)( dzdydxpgradFd S

dVpFd S

BS FdFdFd

dzdydxgp )(

dVgp )(

gpdV

Fd

Por unidade de volume:

Para uma partcula fluida, a segunda lei de Newton fornece:

dmaFd

dVa

agp

Combinando as duas formulaes

A equao tambm pode ser usada para lquidos em movimento de corpo rgido com acelerao linear constante ou com velocidade angular constante

0a

0 aVd

Fd

0 gp

Para fluidos estticos

0 gp

pontoumemvolumedeunidadeporanteresult

pressodefora

pontoumemvolumedeunidade

porcampodefora

0

zdireogz

p

ydireogy

p

xdireogx

p

z

y

x

0

0

0

Em um sistema de coordenadas cartesiano

y

z

x

zdireogg

ydireog

xdireog

z

y

x

0

0

zdireogz

p

ydireoy

p

xdireox

p

0

0

gdz

dp

Restries: Fluido esttico A gravidade a nica fora de corpo

O eixo z vertical e para cima

)( 00 zzgpp

Variao de presso em um fluido esttico (incompressvel)

oo zp ,

zp,h

anteconstgdz

dp

z

z

p

p oo

dzgdp

)( oo zzgpp

)( zzgpp oo hzzo

ghpp o

z

Empuxo op

dA

dV

1h

2hz

anteconstgdh

dp

ghpp o

Integrando:

dAghpdAghpdF ooz )()( 12

Fora lquida vertical sobre o elemento:

dAhhg )( 12

VgdVgdAhhgdFF zz )( 12obs: corpos flutuantes (imerso parcial) o peso do corpo igual ao peso do volume de lquido deslocado (princpio de Arquimedes)

Estabilidade de corpos flutuantes

Estabilidade vertical: qualquer corpo que flutue em um lquido em repouso tem estabilidade vertical Um pequeno deslocamento para cima causa uma diminuio no volume do lquido deslocado e produz uma fora para baixo, no equilibrada, que faz com que o corpo tenda a posio original. Um deslocamento para baixo produz um acrscimo de empuxo, causando uma fora no equilibrada para cima

Estabilidade de corpos flutuantes

Estabilidade angular: quando um conjugado restaurador da posio original for gerado por qualquer deslocamento angular

Estabilidade angular:

Equilbrio estvel: deslocamentos angulares do origem a um conjugado que tende a lev-lo a sua posio original

Estabilidade angular:

Equilbrio instvel: deslocamentos angulares do origem a um conjugado que tende a aumentar o deslocamento

Estabilidade angular:

Equilbrio neutro: deslocamentos angulares no provocam conjugados

Estabilidade de corpos flutuantes

G: centro de gravidade do corpo = centride do corpo

B: centro de gravidade do empuxo = centride do lquido deslocado centro de carena

Determinao da estabilidade angular

Se um objeto possui o centro de gravidade abaixo do centro de carena, flutua em equilbrio estvel sempre

Certos objetos flutuantes estaro em equilbrio estvel mesmo quando seu centro de gravidade estiver acima do centro de carena.

Determinao da estabilidade angular

Estudo de corpos prismticos de seo constante

- O centro de carena (B0 ou B) localiza-se sempre no centroide do volume deslocado;

- Quando o corpo inclinado de o centro de carena se desloca para B ou B1 (centroide do trapezoide ABCD)

- O peso continua atuando em G

- A linha vertical em que se encontra B e encontra a linha vertical original de B0 define o ponto M, chamado Metacentro

G e B alinhados estvel

M acima de G estvel

M abaixo de G instvel

M Metacentro: o ponto de interseco das linhas verticais de atuao de B e B

Determinao da estabilidade angular

- A distncia GM chamada altura metacntrica

- O conjugado restaurador dado por:

Onde: o ngulo de deslocamento W o peso de lquido deslocado

chamado brao restaurador ()

- Uma barcaa prismtica de seo retangular tem 6 m de largura (boca), 20 m de comprimento, um peso total de 240 toneladas. Seu centro de gravidade est a 0,25 m acima da superfcie da gua. Determine a altura metacntrica (GM) e conjugado restaurador quando y for 0,25 m.

Clculo do Momento de Restaurao para pequenos

ngulos de inclinao

Momento de restaurao:

a capacidade instantnea de a

embarcao retomar a sua

posio original, expressa em

tonelada-metro.

Brao de endireitamento:

Sees transversais no prismticas Estudo para pequenos ngulos de rotao

Sees transversais no prismticas Estudo para pequenos ngulos de rotao

Quando o corpo inclina h um deslocamento do centro de carena de B para B em funo da variao da posio da fora de empuxo mdia

Sees transversais no prismticas Estudo para pequenos ngulos de rotao

O momento produzido pelo deslocamento horizontal do ponto de aplicao da fora de empuxo igual ao momento produzido pelo conjugado das variaes do empuxo:

=

Sees transversais no prismticas Estudo para pequenos ngulos de rotao

O conjugado pode ser obtido pelo clculo dos momentos em relao linha de simetria da seo do corpo na superfcie da gua

Sees transversais no prismticas Estudo para pequenos ngulos de rotao

Chamando dA o elemento de rea da seo de flutuao horizontal O empuxo elementar dado por: Obs.: para pequenos o arco dado por x

Sees transversais no prismticas Estudo para pequenos ngulos de rotao

O momento elementar em relao ao ponto O (sobre a linha de simetria da seo de flutuao) dado por:

2

Sees transversais no prismticas Estudo para pequenos ngulos de rotao

O momento total, para toda a rea da seo de flutuao: = 2 = 2

Sees transversais no prismticas Estudo para pequenos ngulos de rotao

O termo: 2 o momento de inrcia da rea da seo de flutuao em relao ao eixo longitudinal do corpo (YY) =

Y

Y

Sees transversais no prismticas Estudo para pequenos ngulos de rotao

Assim: =

Y

Y

=

=

=

Sees transversais no prismticas Estudo para pequenos ngulos de rotao

Como pequeno

=

=

Logo:

=

BM o raio metacntrico

=

Sees transversais no prismticas Estudo para pequenos ngulos de rotao

A altura Metacntrica GM

=

+ se G < B - se G > B

G e B so conhecidos da geometria

Resumindo

GM a altura metacntrica

KB o CG da rea submersa

KG o CG da massa total da embarcao

BM o raio metacntrico

GZ o brao de endireitamento

TESTE DE INCLINAO: obteno experimental do GM (p/ pequenas inclinaes)

Baseia-se na movimentao de uma carga a bordo com peso

conhecido (w), perpendicularmente a linha de centro da

embarcao de uma distncia d.

TESTE DE INCLINAO: obteno experimental do GM (p/ pequenas inclinaes)

Momento de emborcamento

Memb = w d cos

Momento de endireitamento

Mend = W GM sen

Pela condio de equilbrio

Memb = Mend

TESTE DE INCLINAO: obteno experimental do GM (p/ pequenas inclinaes)

Logo, a Altura Metacntrica:

=