Estatística

4 - Variáveis Aleatórias

UnidimensionaisProf. Antonio Fernando Branco Costa

e-mail: fbranco@feg.unesp.br

Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS

Variável Aleatória é uma Função que associa um número real a cada Evento

X : S R

1) Experimento : jogar 1 dado

Variável Aleatória: X = “ o dobro do número obtido

menos 1”

X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 3, 5, 7, 9, 11}

P(X) : R [0, 1]

x P(x)

1 1/6

3 1/6

5 1/6

7 1/6

9 1/6

11 1/6

1) Experimento : jogar 1 dado

Variável Aleatória: X = “ o dobro do número obtido

menos 1”

X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 3, 5, 7, 9, 11}

P(X) : R [0, 1]

x P(x)

1 1/6

3 1/6

5 1/6

7 1/6

9 1/6

11 1/6

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS

)6/1(11...)6/1(3)6/1(1)()( iii xPxXE

6)( XE

x P(x)

1 1/6

3 1/6

5 1/6

7 1/6

9 1/6

11 1/6

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS

)()()( 22i

ii xPxX

6)( XE

)6/1()611(...)6/1()63()6/1()61()( 2222 X

4,36/70)( X

Experimento : jogar um dado e observar face superior

v. a. X = dobro do número que sair menos 1

x P(x) F(x) intervalos

1 1/6 0 x < 1

3 1/6 1/6 1 x < 3

5 1/6 2/6 3 x < 5

7 1/6 3/6 5 x < 7

9 1/6 4/6 7 x < 9

11 1/6 5/6 9 x < 11

1 x 11

Exemplo de Distribuição Acumulada - Caso Discreto

Exemplo:Um jornaleiro precisa definir o número de jornais a serem comprados por dia. Do histórico de muitos dias de vendas obteve-se a seguinte Tabela

x P(x)0 0,051 0,12 0,153 0,24 0,35 0,2

X:Número de jornais vendidos em um dia

Cada jornal custa $5 e é vendido por $7

demanda 0 1 2 3 4 5compra

1 -5 2 0 0 0 02 -10 -3 4 0 0 03 -15 -8 -1 6 0 04 -20 -13 -6 1 8 05 -25 -18 -11 -4 3 10

Tabela de Ganho-Prejuízo-variável Z

Y:Número de jornais a serem comprados por dia

x P(x)0 0,051 0,12 0,153 0,24 0,35 0,2

X:Número de jornais vendidos em um dia

0,05 0,1 0,15 0,2 0,3 0,2demanda 0 1 2 3 4 5compra

1 0,05 0,95 0 0 0 02 0,05 0,1 0,85 0 0 03 0,05 0,1 0,15 0,7 0 04 0,05 0,1 0,15 0,2 0,5 05 0,05 0,1 0,15 0,2 0,3 0,2

Tabela de Probabilidades

demanda 0 1 2 3 4 5compra

1 -5 2 0 0 0 02 -10 -3 4 0 0 03 -15 -8 -1 6 0 04 -20 -13 -6 1 8 05 -25 -18 -11 -4 3 10

Tabela de Ganho-Prejuízo-variável Z

demanda 0 1 2 3 4 5compra

1 -5 2 0 0 0 02 -10 -3 4 0 0 03 -15 -8 -1 6 0 04 -20 -13 -6 1 8 05 -25 -18 -11 -4 3 10

Tabela de Ganho-Prejuízo

0,05 0,1 0,15 0,2 0,3 0,2demanda 0 1 2 3 4 5compra

1 0,05 0,95 0 0 0 02 0,05 0,1 0,85 0 0 03 0,05 0,1 0,15 0,7 0 04 0,05 0,1 0,15 0,2 0,5 05 0,05 0,1 0,15 0,2 0,3 0,2

Tabela de Probabilidades

z P(z)-20 0,05-13 0,1-6 0,151 0,28 0,5

Tabela de Ganho-Prejuízo para Y=4

)5,0(8...)1,0(13)05,0(20)()( iii zPzZE

1$

y E(Z)1 1,652 2,63 2,54 15 -2,6

Tabela para a tomada de decisão

0,05 0,1 0,15 0,2 0,3 0,2demanda 0 1 2 3 4 5compra

1 0,05 0,95 0 0 0 02 0,05 0,1 0,85 0 0 03 0,05 0,1 0,15 0,7 0 04 0,05 0,1 0,15 0,2 0,5 05 0,05 0,1 0,15 0,2 0,3 0,2

0,01 0,01 0,05 0,05 0,12 0,15 0,25 0,2 0,1 0,05 0,01

Dem 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Compra

1 -5 22 -10 -3 43 -15 -8 -1 64 -20 -13 -6 1 85 -25 -18 -11 -4 3 106 -30 -23 -16 -9 -2 5 127 -35 -28 -21 -14 -7 0 7 148 -40 -33 -26 -19 -12 -5 2 9 169 -45 -38 -31 -24 -17 -10 -3 4 11 18

10 -50 -43 -36 -29 -22 -15 -8 -1 6 13 20

Dem 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Compra

1 0,01 0,99 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0,01 0,01 0,98 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0,01 0,01 0,05 0,93 0 0 0 0 0 0 0

4 0,01 0,01 0,05 0,05 0,88 0 0 0 0 0 0

5 0,01 0,01 0,05 0,05 0,12 0,76 0 0 0 0 0

6 0,01 0,01 0,05 0,05 0,12 0,15 0,61 0 0 0 0

7 0,01 0,01 0,05 0,05 0,12 0,15 0,25 0,36 0 0 0

8 0,01 0,01 0,05 0,05 0,12 0,15 0,25 0,2 0,16 0 0

9 0,01 0,01 0,05 0,05 0,12 0,15 0,25 0,2 0,1 0,06 0

10 0,01 0,01 0,05 0,05 0,12 0,15 0,25 0,2 0,1 0,05 0,01

Y E(Z)123456 6,0578910

Z P(Z)-30 0,01-23 0,01-16 0,05-9 0,05-2 0,125 0,1512 0,61

Y E(Z)1 1,932 3,793 5,34 6,465 6,786 6,057 3,578 -0,319 -4,8910 -9,82

5 -30 12 12 12 -2 -9 12 5 12-2 12 5 12 12 12 12 12 -2 1212 12 -2 5 12 12 12 5 12 55 -2 12 12 12 12 12 12 12 12-2 5 -2 12 -9 12 -2 -23 12 1212 12 12 5 12 12 12 12 12 1212 5 12 -9 -9 -9 5 12 -16 125 12 5 12 12 12 -2 12 -2 1212 12 -2 12 -9 12 12 12 12 -25 -2 12 12 12 5 -2 5 12 5

Demanda Z P(Z)0 -30 0,011 -23 0,012 -16 0,053 -9 0,054 -2 0,125 5 0,15

6 ou + 12 0,61

2,9 5 -30 12 12 12 -2 -9 12 5 128,5 -2 12 5 12 12 12 12 12 -2 128,5 12 12 -2 5 12 12 12 5 12 59,9 5 -2 12 12 12 12 12 12 12 121,5 -2 5 -2 12 -9 12 -2 -23 12 1211,3 12 12 12 5 12 12 12 12 12 121,5 12 5 12 -9 -9 -9 5 12 -16 127,8 5 12 5 12 12 12 -2 12 -2 127,1 12 12 -2 12 -9 12 12 12 12 -26,4 5 -2 12 12 12 5 -2 5 12 5

6,54

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-30 -23 -16 -9 -2 5 12

Demanda Z P(Z)0 -30 0,011 -23 0,012 -16 0,053 -9 0,054 -2 0,125 5 0,15

6 ou + 12 0,61

Exemplo:Um jornaleiro precisa definir o número de jornais a serem comprados por dia. Do histórico de muitos dias de vendas obteve-se a seguinte Tabela

x P(x)0 0,011 0,012 0,053 0,054 0,125 0,156 0,257 0,28 0,19 0,0510 0,01

X:Número de jornais vendidos em um dia

Cada T jornais custam $(5T+2) e é vendido por $8