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IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 1
ESTATISTICA APLICADAESTATISTICA APLICADAA LABORATRIOSA LABORATRIOS
PROFESSOR EUDES PEREIRAPROFESSOR EUDES PEREIRA
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8
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O cursoO curso
PROGRAMAPROGRAMA-- Estatstica bsica;Estatstica bsica;-- Populao e amostra;Populao e amostra;-- Medidas de posio;Medidas de posio;-- Medidas de disperso;Medidas de disperso;
-- Distribuio normal e Distribuio t deDistribuio normal e Distribuio t de studentstudent;;-- Intervalos de Confiana;Intervalos de Confiana;-- Testes Estatsticos. Teste de Hiptese;Testes Estatsticos. Teste de Hiptese;-- Teste t e Teste f:comparao de varincias e comparao deTeste t e Teste f:comparao de varincias e comparao demdias.mdias.-- A aplicao da estatstica no Laboratrio;A aplicao da estatstica no Laboratrio;
-- Anlise de sistemas de medio:Anlise de sistemas de medio: RepetitividadeRepetitividade eeReprodutibilidade;Reprodutibilidade;
-- Linearidade. Estabilidade;Linearidade. Estabilidade;-- Regresso Linear e Correlao;Regresso Linear e Correlao;
-- Exerccios.Exerccios.
05/10
06/10
07/10
IFRJ-CBQ 2PROFESSOR EUDES PEREIRA
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A ESTATISTICA NOA ESTATISTICA NO
LABORATRIOLABORATRIO AVALIAR AS MEDIES REALIZADAS PELOSAVALIAR AS MEDIES REALIZADAS PELOS
ANALISTAS DE LABORATRIOANALISTAS DE LABORATRIOTEMOS DOIS TIPOS DE MEDIES SEGUNDO SUASTEMOS DOIS TIPOS DE MEDIES SEGUNDO SUAS
METODOLOGIAS:METODOLOGIAS:MEDIES QUMICAS E BIOLGICASMEDIES QUMICAS E BIOLGICASMEDIES FSICASMEDIES FSICAS
IFRJ-CBQ 3PROFESSOR EUDES PEREIRA
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MEDIES QUIMICAS EMEDIES QUIMICAS E
BIOLOGICASBIOLOGICAS DEPENDEM DA AMOSTRAGEMDEPENDEM DA AMOSTRAGEM TRATAMENTO PRVIO DAS AMOSTRASTRATAMENTO PRVIO DAS AMOSTRAS
PADRES AINDA INEXISTENTES PARAPADRES AINDA INEXISTENTES PARAALGUNS CASOSALGUNS CASOS EQUIPAMENTOS DE MEDIO SOEQUIPAMENTOS DE MEDIO SO
FUNDAMENTAISFUNDAMENTAIS
IFRJ-CBQ 4PROFESSOR EUDES PEREIRA
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MEDIES FSICASMEDIES FSICAS
DEPENDEM DA AMOSTRADEPENDEM DA AMOSTRA MAIOR NUMERO DE PADRESMAIOR NUMERO DE PADRES
MATERIALIZADOSMATERIALIZADOS FOCO NO EQUIPAMENTOFOCO NO EQUIPAMENTO
IFRJ-CBQ 5PROFESSOR EUDES PEREIRA
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A ESTATSTICA COMO UMAA ESTATSTICA COMO UMA
QUESTO NORM
ATIVAQUESTO NORM
ATIVA ISO 17025 (REQUISITO 5)ISO 17025 (REQUISITO 5) "O laboratrio deve ter procedimentos de
controle da qualidade para monitorar avalidade dos ensaios e calibraesrealizados..
... quando praticvel, devem ser aplicadastcnicas estatsticas para a anlise crticados resultados."
IFRJ-CBQ 6PROFESSOR EUDES PEREIRA
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PORQUE ISO/IEC 17025 PORQUE ISO/IEC 17025 M
AIS COM
PLEXA?M
AIS COM
PLEXA?
IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 7
FONTE:FUNDAO CERTI
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OBJETIVO DA ESTATSTICAOBJETIVO DA ESTATSTICA
AUXILIARAUXILIAR ASAS TOMADASTOMADAS DEDE DECISESDECISES
emem faceface dede incertezas,incertezas, justificandojustificando--asas
cientificamente,cientificamente, fazendofazendo infernciasinfernciasparapara umum todotodo (chamado(chamado populao)populao) aa
partirpartir dede umauma amostraamostra dodo mesmomesmo..
IFRJ-CBQ 8PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Formular um plano para coleta dos dados:Formular um plano para coleta dos dados: conhecida aconhecida anatureza da avaliao, identificar os provveis elementos a coletar,natureza da avaliao, identificar os provveis elementos a coletar,restringindo a pesquisa aos dados de interesse.restringindo a pesquisa aos dados de interesse.
Identificar as variveis mais importantes.Identificar as variveis mais importantes. Coletar os dados.Coletar os dados.
Identificar o melhor modelo estatstico e utilizIdentificar o melhor modelo estatstico e utiliz--lo.lo.
Analisar os resultados.Analisar os resultados.
Relatar as conclusesRelatar as concluses tais que sejam facilmentetais que sejam facilmenteentendidas por quem as for usar na tomada deentendidas por quem as for usar na tomada dedecises.decises.
Procedimentos para um estudo
estatstico
IFRJ-CBQ 9PROFESSOR EUDES PEREIRA
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O objetivo de uma analiseO objetivo de uma analise
laboratorial :laboratorial : O objetivo detectar,quantificar e minimizar osO objetivo detectar,quantificar e minimizar os
principais desvios:principais desvios:
desvios grosseiros;desvios grosseiros; desvios sistemticos;desvios sistemticos; desvios aleatrios.desvios aleatrios.
IFRJ-CBQ 10PROFESSOR EUDES PEREIRA
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AMOSTRAAMOSTRA
Conceito de amostra: usualmente, significa umConceito de amostra: usualmente, significa umdeterminado item, ao passo que, para a Estatstica,determinado item, ao passo que, para a Estatstica,significa um conjunto de itens.significa um conjunto de itens.
Tamanho da amostra: deve ser o maior que se puderTamanho da amostra: deve ser o maior que se puderconseguir.conseguir.
Dois tipos de amostragem: aleatria simples eDois tipos de amostragem: aleatria simples esistemtica.sistemtica.
Cuidado: a amostra deve ser representativa daCuidado: a amostra deve ser representativa dapopulao.populao.
IFRJ-CBQ 11PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Populao(o todo)
Amostra(parte do todo)
Censo(processo de coleta)
Amostragem(processo de coleta)
vs
vs
IFRJ-CBQ 12PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Vantagens
Populao infinita
Menor custo Menor tempo
Mais atualizados que o Censo
Testes destrutivos
Desvantagens
Populao pequena
Exigncia de 100%de preciso
Grande variabilidadena populao
Vantagens e desvantagens da AMOSTRAGEM
IFRJ-CBQ 13PROFESSOR EUDES PEREIRA
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LOTE
Tamanho da Amostra nAmostragem por Atributo
Coleta da amostra nTcnicas de Amostragem
Anlise dos itens
Tomada de decisoAmostragem por Atributo
Amostragem AleatriaSimples -AAS
Amostragem Estratificada
Amostragem Sistemtica
IFRJ-CBQ 14PROFESSOR EUDES PEREIRA
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QUAL A ESTATSTICA A SERQUAL A ESTATSTICA A SER
APLICADA NO LABORATRIO?APLICADA NO LABORATRIO? Estatstica Descritiva: medidas de representatividade (tendncia
central) e de disperso
medidas de representatividade (tendncia central)medidas de representatividade (tendncia central)
mdia aritmtica da amostramdia aritmtica da amostra
mediana da amostramediana da amostra
medidas de disperso absolutamedidas de disperso absoluta
amplitude totalamplitude total varincia amostralvarincia amostral
desviodesvio--padro amostralpadro amostral
medida de disperso relativa: o coeficiente de variaomedida de disperso relativa: o coeficiente de variao
IFRJ-CBQ 15PROFESSOR EUDES PEREIRA
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MEDIDAS DE POSIOMEDIDAS DE POSIO
IFRJ-CBQ 16PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Mdia aritmtica da amostra
a medida mais utilizadaa medida mais utilizada
afetada por valores extremosafetada por valores extremos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12
14
Mdia = 5 Mdia = 6
= soma de todos os valores total de valoresX
IFRJ-CBQ 17PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Mdia(X
)
X =7Xn
IFRJ-CBQ 18PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Exercicio 1Exercicio 1
Um laboratrio realizou 30 medies de teor deUm laboratrio realizou 30 medies de teor desdio em amostras de minrio, conforme asdio em amostras de minrio, conforme atabela abaixo.Calcule a mdia dos valorestabela abaixo.Calcule a mdia dos valores
0,450,45 0,460,46 0,450,45 0,460,46 0,440,44 0,470,47
0,450,45 0,470,47 0,420,42 0,460,46 0,470,47 0,440,44
0,480,48 0,460,46 0,430,43 0,440,44 0,480,48 0,400,40
0,440,44 0,450,45 0,440,44 0,430,43 0,440,44 0,430,43
0,440,44 0,430,43 0,450,45 0,420,42 0,460,46 0,440,44
IFRJ-CBQ 19PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Mediana da amostra
ordenados os valores em ordem crescente ouordenados os valores em ordem crescente oudecrescente, o valor que ocupa a posiodecrescente, o valor que ocupa a posiocentralcentral
ordenao de valoresordenao de valores no afetada por valores extremosno afetada por valores extremos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
Mediana = 5 Mediana = 5
IFRJ-CBQ 20PROFESSOR EUDES PEREIRA
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PROFESSOR EUDESPEREIRA 21 IFRJ-CBQ
EXEMPLOEXEMPLO
FORAM ENCONTRADOS OS SEGUINTES VALORES PARA OFORAM ENCONTRADOS OS SEGUINTES VALORES PARA OMONITORAMENTO DE CHUMBO NO AR(EMMONITORAMENTO DE CHUMBO NO AR(EM QQg/m3)EM CIDADESg/m3)EM CIDADESINDUSTRIALIZADAS.INDUSTRIALIZADAS.
5,4 1,21,1 0,48
0,42 0,54
0,73 0,53
0,48 0,56
1,1 1,2
0,48 0,74
0,73 0,81
0,46 0,45
0,42 0,4
0,46 0,38
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M
EDIDAS DE DISPERSOM
EDIDAS DE DISPERSO AMPLITUDE(A):
MEDIDA QUE INFORMA A LARGURA DE UMA DISTRIBUIO DE
DADOS.DETERMINADA PELO AFASTAMENTO ENTRE O MAIOR E OMENOR VALOR DE UM CONJUNTO DE OBSERVAES:
0,876 0,978 0,873 0,872 0,798 0,876 0,874
A AMPLITUDE A SER IGUAL A : 0,978-0,798= 0,18
IFRJ-CBQ 22PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Como medirComo medira disperso?a disperso?Exemplo: Analista 1Exemplo: Analista 1 ((4 5 5 6 6 7 74 5 5 6 6 7 7
88))
4 5 6 7 8
distncia (desvio) em relao mdiaIFRJ-CBQ 23PROFESSOR EUDES PEREIRA
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DesviosDesvios
Valores X 4 5 5 6 6 7 7 8
Mdia X 6
Desvios (X - X) -2 -1 -1 0 0 1 1 2
Soma = 0
IFRJ-CBQ 24PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Desvios QuadrticosDesvios Quadrticos
SomaValores X 4 5 5 6 6 7 7 8 48
Mdia X 6 -Desvios X - X -2 -1 -1 0 0 1 1 2 0
Desviosquadrticos
(X-X)2 4 1 1 0 0 1 1 4 12
IFRJ-CBQ 25PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Varincia: SVarincia: S22
1
2
2
!
n
XXS
SS22
= (4 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 += (4 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 +4) / 7 =4) / 7 == 12 / 7 = 1,71= 12 / 7 = 1,71
IFRJ-CBQ 26PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Desvio Padro: SDesvio Padro: S
O desvio padro (O desvio padro (SS) a raiz quadrada da) a raiz quadrada davarincia. Ex:varincia. Ex:
31,171,1 !!S
IFRJ-CBQ 27PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Comparao dos trsComparao dos trs
analistas pela mdia eanalistas pela mdia edesvio padrodesvio padro
Analistas valores X SAnalista 1 4 5 5 6 6 7 7 8 6 1,31
Analista 2 1 2 4 6 6 9 10 10 6 3,51Analista 30 6 7 7 7 7,5 7,5 6 2,69
IFRJ-CBQ 28PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Clculo deClculo de SS
X: 4 5 5 6 6 7 7 8
X2: 16 25 25 36 36 49 49 64
6!X
! 3002
X
1n
XnXS
22
!
IFRJ-CBQ 29PROFESSOR EUDES PEREIRA
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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Clculo deClculo de SS
1n
XnXS
22
!
6!X ! 3002
X
1,31=7
12=
7
288300=
7
)8.(6300=S
2
IFRJ-CBQ 30PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Exerccio:Exerccio:
Clculo deClculo de SS
Resultados do analista 2,Resultados do analista 2,
X:X: 11 22 44 66 66 99 10101010soma = 48, mdia = 6soma = 48, mdia = 6XX22:: 11 44 1616 3636 3636 8181 100100
10010077XX22 = 374= 374
IFRJ-CBQ 31PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Amostras em quantidadesAmostras em quantidades
diferentesdiferentes O aumento do nmero de amostras podeO aumento do nmero de amostras podediminuir a variabilidade, melhorar a mdiadiminuir a variabilidade, melhorar a mdiae diminuir o desvioe diminuir o desvio--padro.padro.
IFRJ-CBQ 32PROFESSOR EUDES PEREIRA
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TABELA
Medidasdescritivasdosresultados
finaisdostrsanalistas
Analista Nmero deamostras
Mdia Desviopadro
123
204030
6,08,09,0
3,31,52,6
Outro exemploOutro exemplo
IFRJ-CBQ 33PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Relao emprica entreRelao emprica entredesviodesvio--padro e amplitudepadro e amplitude
NaNa maioriamaioria dosdos casoscasos prticosprticos emem queque ososvaloresvalores estoesto sobsob controle,controle, oodesviodesvio--padropadro superasupera umum sextosexto dadaamplitudeamplitude ee inferiorinferior aa umum terotero dadaamplitude,amplitude, istoisto ::
R/6R/6
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Utilizando o Exerccio 1Utilizando o Exerccio 1
Um laboratrio realizou 30 medies de teor deUm laboratrio realizou 30 medies de teor desdio em amostras de minrio, conforme asdio em amostras de minrio, conforme atabela abaixo.Calcule a mdia dos valores etabela abaixo.Calcule a mdia dos valores e
verifique a relao empricaverifique a relao emprica0,450,45 0,460,46 0,450,45 0,460,46 0,440,44 0,470,47
0,450,45 0,470,47 0,420,42 0,460,46 0,470,47 0,440,44
0,480,48 0,460,46 0,430,43 0,440,44 0,480,48 0,400,40
0,440,44 0,450,45 0,440,44 0,430,43 0,440,44 0,430,43
0,440,44 0,430,43 0,450,45 0,420,42 0,460,46 0,440,44
IFRJ-CBQ 35PROFESSOR EUDES PEREIRA
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R=0,48R=0,48--0,40=0,08/6=0,0130,40=0,08/6=0,013 0,08/3=0,0260,08/3=0,026
S=0,016S=0,016 Ento temos um bom resultado pois oEnto temos um bom resultado pois o
desviodesvio--padro maior que 0,013 e menorpadro maior que 0,013 e menor
que 0,026que 0,026
IFRJ-CBQ 36PROFESSOR EUDES PEREIRA
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OUTRA FORMA DE CALCULAR OOUTRA FORMA DE CALCULAR ODESVIODESVIO--PADROPADRO
O desvioO desvio padro pode ser obtido atravs da seguinte relao ,desde quepadro pode ser obtido atravs da seguinte relao ,desde queos dados apresentem uma distribuio normal:os dados apresentem uma distribuio normal:
Onde R a amplitude e o valor d2 , que depende do tamanho daOnde R a amplitude e o valor d2 , que depende do tamanho daamostra.Este mtodo de calcular o desvioamostra.Este mtodo de calcular o desvio--padro fornece boas estimativaspadro fornece boas estimativaspara amostras de pequeno tamanho(n=4,5 0u 6) , mas perde eficincia separa amostras de pequeno tamanho(n=4,5 0u 6) , mas perde eficincia sen>10n>10
2
d
R!W
IFRJ-CBQ 37PROFESSOR EUDES PEREIRA
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IFRJ-CBQ 38PROFESSOR EUDES PEREIRA
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ExemploExemplo
Um laboratrio de qumica encontrou oUm laboratrio de qumica encontrou oseguinte resultado para o teor de Si emseguinte resultado para o teor de Si emamostras de sedimentos:amostras de sedimentos:
14,7 15,1 15,0 14,9 15,3 14,9 14,914,7 15,1 15,0 14,9 15,3 14,9 14,9 DesvioDesvio--padro pela frmula geral=0,18padro pela frmula geral=0,18
DesvioDesvio--padro pela tabela depadro pela tabela delimites=0,6/2,7=0,22limites=0,6/2,7=0,22
IFRJ-CBQ 39PROFESSOR EUDES PEREIRA
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EXERCICIOEXERCICIO
Calcule a o desvioCalcule a o desvio--padro pelo mtodopadro pelo mtodotradicional e pela tabela de controle detradicional e pela tabela de controle delimites.limites.
0,0035 0,0038 0,0032 0,0034 0,00320,0035 0,0038 0,0032 0,0034 0,0032
IFRJ-CBQ 40PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Coeficiente de variaoComo saber se um desvio-padro grande ou pequeno? Essa questo
importante quando estamos preocupados com a preciso de mtodos. Umdesvio-padro pode ser considerado grande ou pequeno dependendo daordem de grandeza da varivel. Por exemplo, um desvio-padro de 10 podeser insignificante se a observao tpica for 10000, mas ser grande se oconjunto de dados tem como observao tpica 100.Portanto, conveniente expressar a disperso em termos relativos, ou seja,
expressar a variabilidade dos dados tirando a influncia da ordem degrandeza da varivel: o coeficiente de variao:
Portanto, conveniente expressar a disperso em termos relativos, ou seja,expressar a variabilidade dos dados tirando a influncia da ordem degrandeza da varivel: o coeficiente de variao:
IFRJ-CBQ 41PROFESSOR EUDES PEREIRA
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O coeficiente de variao adimensional, um nmero puro usualmenteexpresso em forma de porcentagem. zero quando no houver variabilidade
entre os dados, ou seja, quando s = 0, o que ocorre quando todos os valores daamostra so iguais. Quanto menor for o CV, mais homogneo o conjunto dedados.
Geralmente, um valor cv = 0,25 indicar que o conjunto razoavelmentehomogneo. Iremos usar a seguinte classificao:
IFRJ-CBQ 42PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Se CV:menor ou igual a 15% - Baixa disperso - homognea, estvel.Entre 15 e 30% - Mdia disperso.maior que 30% - Alta disperso heterognea.
Se por um lado pode ser difcil classificar um coeficiente de variao como baixo,mdio, alto ou muito alto, esta medida pode ser bastante til na comparao deduas variveis ou dois grupos que a princpio no so comparveis (por exemplo,com ordens de grandeza das variveis diferentes).
IFRJ-CBQ 43PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Portanto.....Portanto.....
Coeficiente de variao (C.V.) :
medida de variao relativamedida de variao relativa
usualmente em porcentagemusualmente em porcentagem mostra variabilidade em relao mdiamostra variabilidade em relao mdia usada para comparar dois ou mais gruposusada para comparar dois ou mais grupos s vezes chamado de RSD (s vezes chamado de RSD (relativerelative standardstandard
deviationdeviation))
USADO COMO EXATIDO EM ALGUNS CASOSUSADO COMO EXATIDO EM ALGUNS CASOS
100%
!
aritmticamdia
padro-desvioC.V.
IFRJ-CBQ 44PROFESSOR EUDES PEREIRA
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EXERCCIOSEXERCCIOS
Numa amostra de tamanho 20 deNuma amostra de tamanho 20 deponteiras de pipetas em mm,ponteiras de pipetas em mm,representadas genericamente por X,representadas genericamente por X,foram determinadas a mdiaforam determinadas a mdiaamostral M = 100 e o desvioamostral M = 100 e o desvio--padropadroS = 13 da varivel Qual o coeficienteS = 13 da varivel Qual o coeficiente
de variao amostral de X? Qual ade variao amostral de X? Qual aconcluso?concluso?
IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 45
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TCNICAS DE VISUALIZAOTCNICAS DE VISUALIZAO
DE DADOSDE DADOSGRFICOSGRFICOS BARRASBARRAS PIZZAPIZZA SETORESSETORES HISTOGRAMA( O MAIS IMPORTANTE)HISTOGRAMA( O MAIS IMPORTANTE)
IFRJ-CBQ 46PROFESSOR EUDES PEREIRA
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PROFESSOR EUDESPEREIRA 47 IFRJ-CBQ
GRFICOS DE PIZZAGRFICOS DE PIZZA
DISPERSO PERCENTUAL
13%
27%
3
30%
434%
5
17%
69%
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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PROFESSOR EUDESPEREIRA 48 IFRJ-CBQ
GRFICOS DE BARRAGRFICOS DE BARRA
DadosDados qualitativos,qualitativos, particularmenteparticularmente soso ordenadas,ordenadas, sendosendo usualmenteusualmente bembemilustradosilustrados numnum simplessimples grficogrfico dede barrasbarras ondeonde aa alturaaltura dada barrabarra igualigual aafreqnciafreqncia..
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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PROFESSOR EUDES
PEREIRA 49 IFRJ-CBQ
GRFICO DE SETORESGRFICO DE SETORES
GrficoGrfico dede setoressetores tambmtambm podempodem serser teisteis parapara apresentaoapresentao dede dadosdadoscategricoscategricos ordenadosordenados..
OsOs setoressetores dodo grficogrfico soso desenhadosdesenhados dede taltal formaforma queque eleseles tenhamtenham reareaproporcionalproporcional freqnciafreqncia....
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TABELAS E DISTRIBUIES DETABELAS E DISTRIBUIES DEFREQUNCIASFREQUNCIAS
NANA OBSERVAOOBSERVAO DEDE UMUM CONJUNTOCONJUNTO DEDE nn OBSERVAESOBSERVAES DEDE UMAUMAVARIVELVARIVEL xx EMEM ESTUDOESTUDO PODEMOSPODEMOS DEFINIRDEFINIR ESTEESTE CONJUNTOCONJUNTO DADASEGUINTESEGUINTE MANEIRAMANEIRA::
AA FREQUNCIAFREQUNCIA ABSOLUTAABSOLUTA ff DEDE UMUM DADODADO VALORVALOR xxii DADA VARIVELVARIVELXX OO NMERONMERO DEDE VEZESVEZES QUEQUE ESSEESSE VALORVALOR OBSERVADOOBSERVADO..
AA FREQUNCIAFREQUNCIA RELATIVARELATIVA OUOU PROPOROPROPORO pp DEDE UMUM VALORVALOR xxii DADAVARIVELVARIVEL XX OO QUOCIENTEQUOCIENTE ENTREENTRE SUASUA FREQUNCIAFREQUNCIA ABSOLUTAABSOLUTAEE OO NMERONMERO TOTALTOTAL DASDAS OBSERVAESOBSERVAES nn
AA FREQUNCIAFREQUNCIA ACUMULADAACUMULADA FFiiATAT OO VALORVALOR XiXi DADA VARIVELVARIVEL XX AASOMASOMA DASDAS FREQUNCIASFREQUNCIAS ABSOLUTASABSOLUTAS DOSDOS VALORESVALORES MENORESMENORESQUEQUE OUOU IGUAISIGUAIS AA xxii..PODEPODE--SESE CALCULARCALCULAR TAMBMTAMBM AA FREQUNCIAFREQUNCIARELATIVARELATIVA ACUMULADAACUMULADA..
IFRJ-CBQ 50PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Exemplo de Distribuio de FreqnciaExemplo de Distribuio de Freqncia
SejaSeja X=nmeroX=nmero dede defeitosdefeitos porpor embalagensembalagens dede chocolatechocolate emem umumlotelote dede 1616 caixas,representadascaixas,representadas pelospelos valoresvalores aa seguirseguir::
11 11 33 11 22 22 22 22 00 00 00 00 11 33 22 11
AA distribuiodistribuio dede freqnciafreqncia parapara estesestes dadosdados ::XXii(n(n00 de defeitos por embalagem)de defeitos por embalagem) FFii(n(n00 de caixas)de caixas)
00 44
11 55
22 55
33 22
totaltotal 1616
IFRJ-CBQ 51PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Classes de FreqnciaClasses de Freqncia
NoNo casocaso dede variveisvariveis discretasdiscretas comcom grandegrande nmeronmero dede observaesobservaes ouou nn oocasocaso dede variveisvariveis contnuascontnuas ,, aa distribuiodistribuio dede frequnciasfrequncias costumacostuma serserapresentadaapresentada comcom osos dadosdados divididosdivididos emem classesclasses dede frequnciafrequncia ,, ouou seja,seja, ososvaloresvalores observadosobservados soso divididosdivididos emem kk classes(ouclasses(ou subintervalos),subintervalos), cadacada umaumacomcom amplitudeamplitude hh ouou ii comcom aa suasua maioriamaioria dede classesclasses nana mesmamesma ampltudeampltude..ParaPara oo nmeronmero kk dede classesclasses podepode--sese utilizarutilizar oo nmeronmero dede observaesobservaes nn
comocomo refernciareferncia ,, ouou sejaseja ,, podepode--sese adotaradotar aa relaorelao kk$$nn
IFRJ-CBQ 52PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Exemplo de distribuio de frequnciasExemplo de distribuio de frequnciaspor classespor classes
ExemploExemplo.. UmUm estudoestudo geoqumicogeoqumico realizadorealizado utilizandoutilizandoamostrasamostras compostascompostas dede sedimentossedimentos dede correntecorrente comcomgranulometriagranulometria dede 100100--150150 meshmesh ee profundidadeprofundidade dede 4040cm,cm,provenientesprovenientes dede riachosriachos correndocorrendo sobresobre granulitos,granulitos, revelourevelou
osos seguintesseguintes resultadosresultados emem ppmppm dede CrCr
IFRJ-CBQ 53PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Amplitude=18,4Amplitude=18,4--9,4=99,4=9 K=raiz de 31=5,56K=raiz de 31=5,56$$6 classes(barras)6 classes(barras)
9/5,56=1,61 arredondar para um intervalo9/5,56=1,61 arredondar para um intervalode 2 em 2de 2 em 2
IFRJ-CBQ 54PROFESSOR EUDES PEREIRA
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RESULTADORESULTADO
Concentrao em ppmConcentrao em ppm f fII08 1008 10 22
10 1210 12 6612 1412 14 3314 1614 16 55
16 1816 18 5518 2018 20 33
TOTALTOTAL 3232
IFRJ-CBQ 55PROFESSOR EUDES PEREIRA
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HISTOGRAMAHISTOGRAMA AA FORMAFORMA GRFICAGRFICA DEDE SESE EXPRESSAREXPRESSAR UMAUMA DISTRIBUIODISTRIBUIO ATRAVSATRAVS DEDE UMUM
HISTOGRAMAHISTOGRAMA ,, QUEQUE UMUM GRFICOGRFICO DEDE BARRASBARRAS CONSTRUDOCONSTRUDO AA PARTIRPARTIR DADA TABELATABELA DEDEDISTRIBUIODISTRIBUIO DEDE FREQUNCIAFREQUNCIA::
Histograma
Dados
Freqncias
8 10 12 14 16 18 20
0
2
4
6
8
IFRJ-CBQ 56PROFESSOR EUDES PEREIRA
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A importncia de visualizar oA importncia de visualizar ohistograma....histograma....
Quando os dados nos permitem traar umQuando os dados nos permitem traar umhistograma como o descrito anteriormentehistograma como o descrito anteriormentepodemos desconfiar que estamos frente apodemos desconfiar que estamos frente auma distribuio normal ou binomial, queuma distribuio normal ou binomial, querepresenta o comportamento ideal pararepresenta o comportamento ideal paragrupos de amostra de variaveis contnuasgrupos de amostra de variaveis contnuas
sob controlesob controle
IFRJ-CBQ 57PROFESSOR EUDES PEREIRA
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IFRJ-CBQ 58PROFESSOR EUDES PEREIRA
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DISTRIBUIODISTRIBUIO
NORMALNORMAL
IFRJ-CBQ 59PROFESSOR EUDES PEREIRA
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A primeira providncia a determinaoA primeira providncia a determinaoda normalidade da curva, ou seja verificarda normalidade da curva, ou seja verificarse os dados geram uma distribuiose os dados geram uma distribuionormal que a condio para que umnormal que a condio para que umgrupo de dados de distribuio contnuagrupo de dados de distribuio contnuaseja considerado um bom conjuntoseja considerado um bom conjunto
IFRJ-CBQ 60PROFESSOR EUDES PEREIRA
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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ShapiroShapiro--WilkWilk
O teste de Shapiro-Wilk W temsido o mais utilizado paratestar a normalidade deamostras iguais ou inferiores a50
Se o valor calculado de W estatisticamente significativo(para p = 0,05) rejeita-se ahiptese que a distribuioestudada normal
Ou seja: Para a Distribuio serconsiderada Normal o valor
de p deve ser maior que0,05
IFRJ-CBQ 61PROFESSOR EUDES PEREIRA
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EXERCICIOSEXERCICIOS
EXERCCIO 1:EXERCCIO 1: Na seguinte srie numrica, que expressa a durao em minutos deNa seguinte srie numrica, que expressa a durao em minutos de
uma anliseuma anlise quimicaquimica, calcule as medidas de tendncia central e, calcule as medidas de tendncia central edisperso e determine sua normalidade.disperso e determine sua normalidade.
1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 6 6 6 6 7 8 101 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 6 6 6 6 7 8 10 EXERCCIO 2:EXERCCIO 2: Repita os mesmos procedimentos para os valores abaixo, que representam oRepita os mesmos procedimentos para os valores abaixo, que representam o
dimetro de 20 peas:dimetro de 20 peas: 0,50,5 1,21,2 2,12,1 2,52,5 2,52,5 3,03,0 3,83,8 4,04,0
4,24,2 4,54,5 5,0 5,05,0 5,0 5,05,0 5,05,0 6,06,0 6,56,5 7,07,08,08,0 9,59,5 13,013,0
IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 62
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Aps a verificao da normalidade dosAps a verificao da normalidade dosresultados devemos ento analisar seresultados devemos ento analisar seexistem valores outliers(fora deexistem valores outliers(fora deespecificao) , para tal podemos utilizarespecificao) , para tal podemos utilizardiversos testes estatsticosdiversos testes estatsticos
IFRJ-CBQ 63PROFESSOR EUDES PEREIRA
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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OutliersOutliers
A presena de outliers pode acarretar problemas de :A presena de outliers pode acarretar problemas de :
Aumento do desvioAumento do desvio--padro.padro.
deslocamento da mdia, consequentemente problemasdeslocamento da mdia, consequentemente problemasde exatido;de exatido;
Antes de qualquer tratamento estatstico (testes deAntes de qualquer tratamento estatstico (testes de
significncia e validao por exemplo), tratar ossignificncia e validao por exemplo), tratar oseventuais outliers.eventuais outliers.
IFRJ-CBQ 64PROFESSOR EUDES PEREIRA
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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OutlierOutlier
O outlier um valor que no pertence O outlier um valor que no pertence distribuio do resto dos dados.distribuio do resto dos dados.
No se pode eliminar dados de umNo se pode eliminar dados de um
conjunto somente a partir de anliseconjunto somente a partir de anliseestatstica (incluindo testes de outliers),estatstica (incluindo testes de outliers),sem nenhuma explicao ou motivo.sem nenhuma explicao ou motivo.
O teste de outliers ns mostra onde olhar.O teste de outliers ns mostra onde olhar.
Cuidado ! Um outlier pode mostrar aCuidado ! Um outlier pode mostrar afreqncia e a magnitude de desviosfreqncia e a magnitude de desviossrios no mtodo.srios no mtodo.
IFRJ-CBQ 65PROFESSOR EUDES PEREIRA
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TESTESTESTES
anlise visual;anlise visual;
teste de Dixon;teste de Dixon;
teste de Grubbs;teste de Grubbs;
IFRJ-CBQ 66PROFESSOR EUDES PEREIRA
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TESTE DE DIXONTESTE DE DIXONTeste popular porque o clculo simplesTeste popular porque o clculo simples
:: Distribuio normal; teste bilateralDistribuio normal; teste bilateral Ordenar os valores em formaOrdenar os valores em forma
crescente de 1 a H;crescente de 1 a H; Critrios :Critrios :
ExtremoExtremoExtremoExtremo
inferiorinferiorsuperiorsuperior
n=3 a 7 en=3 a 7 e
n=8 a 12 en=8 a 12 e
n >13 en >13 e
Se D > valor crtico, temos aSe D > valor crtico, temos apresena de um outlier.presena de um outlier.
2 1
1
z zD
z H z
!
1
1
z H z H D
z H z
!
2 1
1 1
z zQ z H z
!
1
2
z H z H D
z H z
!
3 1
2 1
z zD
z H z
!
2
3
z H z H D
z H z
!
nn Valor crtico deValor crtico deD para P=0,05D para P=0,05
33 0,9700,970
44 0,8290,829
55 0,7100,710
66 0,6280,628
77 0,5690,569
88 0,6080,608
99 0,5040,504
1010 0,5300,530
1111 0,5020,502
1212 0,4790,479
1313 0,6110,611
1414 0,5890,589
IFRJ-CBQ 67PROFESSOR EUDES PEREIRA
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ExemploExemplo
Um laboratrio realizou 8 repeties paraUm laboratrio realizou 8 repeties paraa anlise de mangans atravs dea anlise de mangans atravs deespectrofotometria AB, obtendoespectrofotometria AB, obtendo--se osse osseguintes valoresseguintes valores
0,677 0,703 0,733 0,690 0,6600,677 0,703 0,733 0,690 0,6600,667 0,680 0,7080,667 0,680 0,708
IFRJ-CBQ 68PROFESSOR EUDES PEREIRA
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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Ordenar os resultadosOrdenar os resultadosem forma crescenteem forma crescente
IFRJ-CBQ 69PROFESSOR EUDES PEREIRA
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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Continuando ....Continuando ....
Selecionar o menor e o maior resultadoSelecionar o menor e o maior resultado 0,660 e 0,7330,660 e 0,733
Procurar os valores tabelados de DixonProcurar os valores tabelados de Dixoncom nveis de significncia de 1% ou decom nveis de significncia de 1% ou de5% para 8 resultados.5% para 8 resultados.
IFRJ-CBQ 70PROFESSOR EUDES PEREIRA
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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TESTE DE GRUBBSTESTE DE GRUBBS
Recomendado pela ISO :Recomendado pela ISO : distribuio normal;distribuio normal; calcular desvio dcalcular desvio dii dede
cada ponto em relaocada ponto em relao
mdia; mdia; calcular o desviocalcular o desvio--padro spadro s
calcular G=dcalcular G=dii/s/s um valor consideradoum valor considerado
como outlier quando Gcomo outlier quando G maior que o valor maior que o valorcrtico correspondentecrtico correspondentena tabela.na tabela.
d x xi i!
x xiG
s
!
nn GGcrit 95 %crit 95 %33 1,1541,154
44 1,4811,481
55 1,7151,715
66 1,8871,887
77 2,0202,02088 2,1272,127
99 2,2152,215
1010 2,2902,290
1111 2,3552,355
1212 2,4122,4121414 2,5072,507
1616 2,5862,586
1818 2,6522,652
2020 2,7082,708
00 3 123 12IFRJ-CBQ 71PROFESSOR EUDES PEREIRA
Propriedades de umaPropriedades de uma
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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medida que a curva se afasta da mdia, aproxima-secada vez mais do eixo x, mas nunca o toca.
Os pontos em que a curvatura muda so chamados pontosde inflexo. O grfico curva-se para baixo entre os pontos
de inflexo e, para cima, esquerda e direita deles.
x
Ponto de inflexoPonto de inflexo
Propriedades de umaPropriedades de umadistribuio normaldistribuio normal
IFRJ-CBQ 72PROFESSOR EUDES PEREIRA
Mdi d i d Mdi d i d
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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Mdias e desvios padroMdias e desvios padro
2012 15 1810 11 13 14 16 17 19 21 229
12 15 1810 11 13 14 16 17 19 20
Curvas com mdias diferentes e desvios padro diferentes
Curvas com mdias diferentes e o mesmo desvio padro
IFRJ-CBQ 73PROFESSOR EUDES PEREIRA
R E iR E i
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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Regra EmpricaRegra Emprica
Cerca de 95% da rea
est a dois desviospadro.
Cerca de 99,7% da rea est atrs desvios padro da mdia.
Cerca de 68% da reaest a um desvio padroda mdia.
68%
IFRJ-CBQ 74PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Distribuio NormalDistribuio Normal
IFRJ-CBQ 75PROFESSOR EUDES PEREIRA
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DISTRIBUIO NORMALDISTRIBUIO NORMAL
A rea sob a curva normal (na verdade abaixo de qualquer funoA rea sob a curva normal (na verdade abaixo de qualquer funode densidade de probabilidade) 1. Ento, para quaisquer doisde densidade de probabilidade) 1. Ento, para quaisquer doisvalores especficos podemos determinar a proporo de rea sob avalores especficos podemos determinar a proporo de rea sob acurva entre esses dois valores. Para a distribuio Normal, acurva entre esses dois valores. Para a distribuio Normal, aproporo de valores caindo dentro de um, dois, ou trs desviosproporo de valores caindo dentro de um, dois, ou trs desviospadro da mdia so:padro da mdia so:
IFRJ-CBQ 76PROFESSOR EUDES PEREIRA
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IFRJ-CBQ 77PROFESSOR EUDES PEREIRA
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DISTRIBUIO NORMAL PADRODISTRIBUIO NORMAL PADRO
Todas as curvas normais representativas deTodas as curvas normais representativas dedistribuies de freqncias podem serdistribuies de freqncias podem sertransformadas em uma curva normal padro,transformadas em uma curva normal padro,usando o desvio padro ( s) como unidade deusando o desvio padro ( s) como unidade demedida indicativa dos desvios dos valores damedida indicativa dos desvios dos valores davarivel em estudo (x), em relao mdia (varivel em estudo (x), em relao mdia (QQ).).
Portanto, aPortanto, a Distribuio Normal PadroDistribuio Normal Padro caracterizada pela mdia (caracterizada pela mdia (QQ) igual a zero e) igual a zero e
desvio padro (s) igual a 1.desvio padro (s) igual a 1.
IFRJ-CBQ 78PROFESSOR EUDES PEREIRA
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CURVA CARACTERSTICACURVA CARACTERSTICA
IFRJ-CBQ 79PROFESSOR EUDES PEREIRA
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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VARIVEL ZVARIVEL Z
Se x tem distribuio normal, podeSe x tem distribuio normal, pode--sesedefinir a distribuio de uma nova varivel,definir a distribuio de uma nova varivel,denominada z. Ento,denominada z. Ento,
z = (xz = (x -- QQ) / s) / s A equao dessa curva :A equao dessa curva :
IFRJ-CBQ 80PROFESSOR EUDES PEREIRA
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A CURVA ZA CURVA Z
Todas as curvas normais podem serTodas as curvas normais podem sertransformadas em uma curva normal padro.transformadas em uma curva normal padro.Com esse objetivo, usaCom esse objetivo, usa--se a varivel chamada z,se a varivel chamada z,
que determina a reas sob a curva normalque determina a reas sob a curva normalpadro, sendo que:padro, sendo que: z = (xz = (x -- QQ) / s) / s Como os parmetros da populao (desvioComo os parmetros da populao (desvio
padro e mdia) so conhecidos, os dados sobrepadro e mdia) so conhecidos, os dados sobrez j se encontram tabelados.z j se encontram tabelados.
IFRJ-CBQ 81PROFESSOR EUDES PEREIRA
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EXEMPLOEXEMPLO
Os valores de z permitem delimitar a rea sob a curva. Aqui Os valores de z permitem delimitar a rea sob a curva. Aqui muito importante lembrar que, como em Y est a freqncia damuito importante lembrar que, como em Y est a freqncia davariavel, a rea sob a curva tem o mesmo valor da probabilidade devariavel, a rea sob a curva tem o mesmo valor da probabilidade deocorrncia daquela caracterstica.ocorrncia daquela caracterstica.
Exemplo: Qual a rea sob a curva normal contida entre z = 0 e zExemplo: Qual a rea sob a curva normal contida entre z = 0 e z= 1?= 1?
ProcuraProcura--se o valor 1 na primeira coluna da tabela e o valor dase o valor 1 na primeira coluna da tabela e o valor dacoluna 0,00. O valor da interseco de 0,3413, ou seja 34,13%.coluna 0,00. O valor da interseco de 0,3413, ou seja 34,13%. Entretanto, lembrando que a curva normal simtrica, sabeEntretanto, lembrando que a curva normal simtrica, sabe--se quese que
a rea sob a curva normal contida entre z = 0 e z =a rea sob a curva normal contida entre z = 0 e z = --1 tambm 1 tambm 34,13%. Portanto, a rea referente a34,13%. Portanto, a rea referente a --11
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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GRAFICO DE ZGRAFICO DE Z
Recordando que o valor central correspondeRecordando que o valor central correspondeaa QQ , pode, pode--se traar o seguinte grfico:se traar o seguinte grfico:
IFRJ-CBQ 83PROFESSOR EUDES PEREIRA
CARACTERSTICAS DA CURVACARACTERSTICAS DA CURVA
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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CARACTERSTICAS DA CURVACARACTERSTICAS DA CURVANORMALNORMAL
a. A distribuio normal completamente determinada por doisa. A distribuio normal completamente determinada por doisparmetros:parmetros:
Mdia da populao =Mdia da populao = QQ e Desvio padro da populao = se Desvio padro da populao = s b. A distribuio simtrica em relao mdia.b. A distribuio simtrica em relao mdia. c. Os valores de mdia, moda e mediana so iguais.c. Os valores de mdia, moda e mediana so iguais.
d. A rea total sob a curva igual a 1, ou 100%, com 50%d. A rea total sob a curva igual a 1, ou 100%, com 50%distribudos esquerda da mdia e 50% sua direitadistribudos esquerda da mdia e 50% sua direita e. A rea sob a curva normal contidae. A rea sob a curva normal contida entre igual aentre igual a QQ 1 s 68,26%1 s 68,26% QQ 2 s 95,44%2 s 95,44% QQ 3 s 99,74%3 s 99,74% J foi visto como se chegou ao valor 68, 26%.J foi visto como se chegou ao valor 68, 26%.
IFRJ-CBQ 84PROFESSOR EUDES PEREIRA
COMO SE CHEGOU A 95 44% ECOMO SE CHEGOU A 95 44% E
5/12/2018 ESTATISTICA APLICADA A LABORAT RIOS-ABQ
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COMO SE CHEGOU A 95,44% ECOMO SE CHEGOU A 95,44% E99,74%99,74%
Considerando a rea sob a curva normal, qual a reaConsiderando a rea sob a curva normal, qual a reacorrespondente a exatos 95% da curva?correspondente a exatos 95% da curva?
z = 95% = 0, 95 e 0, 95 / 2 = 0,4750z = 95% = 0, 95 e 0, 95 / 2 = 0,4750 Procurando esse valor (0,4750) na tabela de z chegaProcurando esse valor (0,4750) na tabela de z chega--se a 1,96se a 1,96 Assim sendo, se uma varivel x tem distribuio normal, com mdiaAssim sendo, se uma varivel x tem distribuio normal, com mdia
QQ e desvio padro s , a probabilidade de se sortear da populao dee desvio padro s , a probabilidade de se sortear da populao devalores de x um valor contido no intervalovalores de x um valor contido no intervalo QQ 1,96 s igual a 95% e a probabilidade de se sortear da1,96 s igual a 95% e a probabilidade de se sortear da
populao de valores de x um valor no contido no intervalopopulao de valores de x um valor no contido no intervalo QQ 1,96 s igual a 5%1,96 s igual a 5%
IFRJ-CBQ 85PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Curva caractersticaCurva caracterstica
IFRJ-CBQ 86PROFESSOR EUDES PEREIRA
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EXEMPLOEXEMPLO
Seja X a varivel aleatria que representa aSeja X a varivel aleatria que representa aconcentrao de um certo soluto numa soluo.concentrao de um certo soluto numa soluo.
Vamos supor que essa varivel tenhaVamos supor que essa varivel tenha
distribuio normal com mdia = 1 mg/l edistribuio normal com mdia = 1 mg/l edesvio padro = 0,02 mg/l. Qual a probabilidadedesvio padro = 0,02 mg/l. Qual a probabilidadeda soluo ter a concentrao com valor entre 1da soluo ter a concentrao com valor entre 1e 1,05 mg/l ?e 1,05 mg/l ?
P ( 1 < X < 1,05) = ?P ( 1 < X < 1,05) = ?
IFRJ-CBQ 87PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Normal PadronizadaNormal Padronizada
Com o auxlio de uma distribuio normal reduzida, isto , umaCom o auxlio de uma distribuio normal reduzida, isto , umadistribuio normal de mdia = 0 e desvio padro = 1.distribuio normal de mdia = 0 e desvio padro = 1.Resolveremos o problema atravs da varivelResolveremos o problema atravs da varivel z ,z ,
ONDE Z=ONDE Z=
X- valor a ser determinado
Q- mdia
W-desvio padro
IFRJ-CBQ 88PROFESSOR EUDES PEREIRA
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calculandocalculando
Utilizaremos tambm uma tabela normal reduzida, queUtilizaremos tambm uma tabela normal reduzida, quenos d a probabilidade de z tomar qualquer valor entre anos d a probabilidade de z tomar qualquer valor entre amdia 0 e um dado valor z, isto : P ( 0 < Z < z)mdia 0 e um dado valor z, isto : P ( 0 < Z < z)
No nosso problema queremos calcular P(1No nosso problema queremos calcular P(1 < X < 1,05).< X < 1,05).para obter essa probabilidade, precisamos, em primeiropara obter essa probabilidade, precisamos, em primeirolugar, calcular o valor de z que corresponde a x = 1,05lugar, calcular o valor de z que corresponde a x = 1,05
z = (1,05z = (1,05 -- 1) / 0,02 = 2,51) / 0,02 = 2,5
IFRJ-CBQ 89PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Resolvendo com a tabela de ZResolvendo com a tabela de Z
Procuremos, agora, na tabela Z o valor de z = 2,5Procuremos, agora, na tabela Z o valor de z = 2,5 Na primeira coluna encontramos o valor at uma casaNa primeira coluna encontramos o valor at uma casa
decimal = 0,00. Em seguida, encontramos, na primeiradecimal = 0,00. Em seguida, encontramos, na primeiracoluna, o valorcoluna, o valor 2, 52, 5. Na interseco da linha e coluna. Na interseco da linha e coluna
correspondentes encontramos o valorcorrespondentes encontramos o valor 0,49380,4938, o que, o quenos permite escrever:nos permite escrever: P (0 < Z < 1,05 ) = 0,4938 ou 49,38 %, assim aP (0 < Z < 1,05 ) = 0,4938 ou 49,38 %, assim a
probabilidade entre a mdia = 1 mg/l e x = 1,05 mg/l probabilidade entre a mdia = 1 mg/l e x = 1,05 mg/l de 49,38 %.de 49,38 %.
IFRJ-CBQ 90PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Outros exemplosOutros exemplos
11. Em um conjunto de amostras de refrigerantes foi. Em um conjunto de amostras de refrigerantes foiencontrada uma mdia de volume nas garrafas de 230encontrada uma mdia de volume nas garrafas de 230ml e desvio padro 0,08ml, qual o intervalo deml e desvio padro 0,08ml, qual o intervalo devolume que compreende 95% das amostras?volume que compreende 95% das amostras?
95% =95% = QQ 1,96 s = 2301,96 s = 230 1,96 x 0,08 = 2301,96 x 0,08 = 230 0,1568 =0,1568 = 229,84 (menor volume) e 230,15 (maior volume)229,84 (menor volume) e 230,15 (maior volume) Assim sendo, 95% das amostras tem volume entreAssim sendo, 95% das amostras tem volume entre
229,84 ml e 230,15 ml. Ser pouco provvel encontrar229,84 ml e 230,15 ml. Ser pouco provvel encontrar
alguma garrafa com volume superior a 230,15 (P =alguma garrafa com volume superior a 230,15 (P =2,5%) ou abaixo de 229,84 (P = 2,5%).2,5%) ou abaixo de 229,84 (P = 2,5%).
IFRJ-CBQ 91PROFESSOR EUDES PEREIRA
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AplicaoAplicao
Qual a probabilidade de se encontrar 1 amostra comQual a probabilidade de se encontrar 1 amostra comvolume entre 229,90 e 229 ,95ml?volume entre 229,90 e 229 ,95ml?
CalculaCalcula--se dois valores de z:se dois valores de z: zmin = (229,90zmin = (229,90 -- 230) / 0,08 = 1,25 e zmax =230) / 0,08 = 1,25 e zmax =
(229,95(229,95 -- 230) / 0,08 = 0,625230) / 0,08 = 0,625 A rea entre z = 0 e z =A rea entre z = 0 e z = --1,25 39,44 e a rea entre z1,25 39,44 e a rea entre z
= 0 e z = 0,625 = 23,24= 0 e z = 0,625 = 23,24 Portanto, a probabilidade de se encontrar 1 amostraPortanto, a probabilidade de se encontrar 1 amostra
com volume entre 229,90 e 229,95 com volume entre 229,90 e 229,95 39,44+23,24 = 62,68%39,44+23,24 = 62,68%
IFRJ-CBQ 92PROFESSOR EUDES PEREIRA
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MAIS EXEMPLOSMAIS EXEMPLOS
33. Qual a probabilidade de se encontrar 1. Qual a probabilidade de se encontrar 1amostra com volume menor que 229,80?amostra com volume menor que 229,80?
z = (229,80z = (229,80 -- 230) / 0,08 =230) / 0,08 = --2,52,5A rea entre z = 0 e z =A rea entre z = 0 e z = --2,5 49,38.2,5 49,38.
Portanto, a rea alm de z determina aPortanto, a rea alm de z determina aprobabilidadeprobabilidade
= 50= 50 49,38 = 0,62%49,38 = 0,62%
IFRJ-CBQ 93PROFESSOR EUDES PEREIRA
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DISTRIBUIO t DE STUDENTDISTRIBUIO t DE STUDENT
distribuiodistribuio usadausada parapara amostrasamostras pequenas(empequenas(em geral
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Em 1908,o estatstico ingls William Sealey Gosset, queEm 1908,o estatstico ingls William Sealey Gosset, queassinava os seus trabalhos com o pseudnimo deassinava os seus trabalhos com o pseudnimo de"Student" descobriu essa distribuio. Mas seus"Student" descobriu essa distribuio. Mas seustrabalhos foram ignorados e s redescobertos por Fisher,trabalhos foram ignorados e s redescobertos por Fisher,
em 1924em 1924--25, apesar de terem enorme importncia25, apesar de terem enorme importnciaestatstica.estatstica. O valor de t a medida do desvio entre a mdiaO valor de t a medida do desvio entre a mdia xx,,
estimada a partir de uma amostra aleatria de tamanhoestimada a partir de uma amostra aleatria de tamanhon, e a mdian, e a mdia QQ da populao, usando o erro da mdiada populao, usando o erro da mdia
como unidade de medida:como unidade de medida:
DISTRIBUIO t DEDISTRIBUIO t DESTUDENTSTUDENT
IFRJ-CBQ 95PROFESSOR EUDES PEREIRA
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A TABELA tA TABELA t
Os dados sobre t tambm j se encontram tabelados.Os dados sobre t tambm j se encontram tabelados. A tabela lida como a tabela de Qui quadrado, ou sejaA tabela lida como a tabela de Qui quadrado, ou seja
Probabilidade (P) nas colunas e Graus de liberdadeProbabilidade (P) nas colunas e Graus de liberdade(G.L.) nas linhas, sendo o valor de tc encontrado na(G.L.) nas linhas, sendo o valor de tc encontrado nainterseco entre a coluna de 5% e a linhainterseco entre a coluna de 5% e a linha
correspondente ao nmero de graus de liberdade dacorrespondente ao nmero de graus de liberdade daamostra, sendo G.L. = namostra, sendo G.L. = n -- 1.1. Do mesmo modo que a tabela de z, a tabela de t Do mesmo modo que a tabela de z, a tabela de t
especular, ou seja, para os valores negativos de t existeespecular, ou seja, para os valores negativos de t existeesse mesmo conjunto de valores, mas com sinalesse mesmo conjunto de valores, mas com sinal
negativo. Ou seja, a tabela de t bicaudalnegativo. Ou seja, a tabela de t bicaudal
IFRJ-CBQ 96PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Graus de liberdadeGraus de liberdade
AA partirpartir dodo tamanhotamanho dada amostra(n)amostra(n) obtemobtem--sese oograugrau dede liberdadeliberdade indicadoindicado porpor GLGL ,, ouou dfdf..ParaParaumauma amostraamostra comcom nn elementoselementos oo GL=nGL=n--11..TemTem--seseentoento nana tabelatabela BB ,, oo nvelnvel dede confianaconfiana desejado,desejado,
oo valorvalor dede tt correspondentecorrespondente aoao graugrau dede liberdadeliberdadedada amostraamostra
IFRJ-CBQ 97PROFESSOR EUDES PEREIRA
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TABELA TTABELA T--STUDENT(PARTE)STUDENT(PARTE)gl/P 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001
01 0,158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619
02 0,142 0,289 0,445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598
03 0,137 0,277 0,424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,541 12,924
04 0,134 0,271 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610
05 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869
06 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959
07 0,130 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,365 3,499 5,408
08 0,130 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041
09 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781
10 0,129 0,260 0,397 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587
11 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437
12 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318
13 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221
14 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140
15 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073
IFRJ-CBQ 98PROFESSOR EUDES PEREIRA
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AplicaesAplicaes
Aplicao:Aplicao: DistribuioDistribuio dede mdiasmdias amostraisamostrais UtilizaUtiliza oo desviodesvio padropadro dada amostraamostra dede nn
elementoselementos ,, nono lugarlugar dodo desviodesvio--padropadro dadapopulao(quandopopulao(quando desconhecido)desconhecido) TendeTende normalnormal ,, quandoquando nn forfor grandegrande
IFRJ-CBQ 99PROFESSOR EUDES PEREIRA
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EXEMPLOEXEMPLO
Foi tomada o comprimento de anis metlicos deFoi tomada o comprimento de anis metlicos de20 amostras e obteve20 amostras e obteve--sesexx = 60 mm e s = 1,75mm= 60 mm e s = 1,75mmPara estimar o intervalo de confiana de 95% daPara estimar o intervalo de confiana de 95% damdia da distribuio do comprimento nessamdia da distribuio do comprimento nessa
amostra, consultaamostra, consulta--se a tabela de t com com nse a tabela de t com com n--11graus de liberdade (20graus de liberdade (20 -- 1 = 19) e 5% de1 = 19) e 5% designificncia encontrando o valor designificncia encontrando o valor deprobabilidade igual a 2,093 e aplicaprobabilidade igual a 2,093 e aplica--se o seguintese o seguinteclculo:clculo:
1
,75
.2,093
/
4
,4
7(raiz de n=20
)=0
,811
,75
.2,093
/
4
,4
7(raiz de n=20
)=0
,81
Portanto so aceitos valores de 60,81 a 59,19Portanto so aceitos valores de 60,81 a 59,19
IFRJ-CBQ 100PROFESSOR EUDES PEREIRA
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Com 1% de significnciaCom 1% de significncia
Se fossemos passar este intervalo deSe fossemos passar este intervalo deconfiana para 1%, ou seja se nosconfiana para 1%, ou seja se nosinteressasse aproveitar 99% dos dadosinteressasse aproveitar 99% dos dados
teramos:teramos:1,75.2,86/4,47=1,111,75.2,86/4,47=1,11Portanto seriam aceitos valores de 61,11 aPortanto seriam aceitos valores de 61,11 a
58,8958,89
IFRJ-CBQ 101PROFESSOR EUDES PEREIRA
O CO O CO
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INTERVALO DE CONFIANAINTERVALO DE CONFIANA
OO objetivoobjetivo determinardeterminar oo intervalointervalo aceitvelaceitvel parapara ososparmetrosparmetros dede medidasmedidas centraiscentrais(media(media ee varinciavarincia ),quando),quando nono conhecemosconhecemos oodesviodesvio--padropadro populacionalpopulacional queque oo casocaso dada anlisesanlises
qumicasqumicas ouou biolgicasbiolgicas ee emem ambientesambientes emem quequetrabalhamostrabalhamos comcom amostrasamostras.. PassoPasso aa passopasso:: VerificarVerificar sese aa distribuiodistribuio normalnormal
I.I. DeterminarDeterminar oo nvelnvel dede confiana(paraconfiana(para laboratrioslaboratrios9595%%))II.II. BuscarBuscar oo valorvalor nana tabelatabela tt--studentstudent
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C id C id
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ConsideraesConsideraes
A amplitude do intervalo de confiana inversamenteA amplitude do intervalo de confiana inversamenteproporcional ao tamanho da amostra. Isto significa queproporcional ao tamanho da amostra. Isto significa quequanto maior o n (menor a margem de erro), maisquanto maior o n (menor a margem de erro), maisestreito o intervalo de confiana (maior a preciso).estreito o intervalo de confiana (maior a preciso).
A determinao com estes parmetros bastanteA determinao com estes parmetros bastanteconsistente quando temos amostras nconsistente quando temos amostras n 30, o que30, o querepresenta o universo da grande maioria das anlisesrepresenta o universo da grande maioria das anlisesqumicas.qumicas.
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N t b lN t b l
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Na tabelaNa tabela
O nmero tO nmero tEE/2/2 encontrado na tabela encontrado na tabelada distribuio t e necessita, para serda distribuio t e necessita, para serlocalizado na tabela, dos seguinteslocalizado na tabela, dos seguintes
dados:dados:1.1. graus de liberdade = ngraus de liberdade = n 11
2.2. Nvel de significncia Nvel de significncia EE/2./2.
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V l t b lV l t b l
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Valores na tabelaValores na tabela
Valores deValores de ZZEE/2/2 para os nveis depara os nveis deconfiana mais usados na prtica:confiana mais usados na prtica:
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Nvel deconfiana
E E /2 ZE
/2
90% 0,10 0,05 1,65
95% 0,05 0,025 1,96
99% 0,01 0,005 2,58
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IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 107
n
s.t
2;gl1nxE
!I
I t l d fi d diI t l d fi d di
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Intervalo de confiana da mdiaIntervalo de confiana da mdia
ExemploExemploOO tempo de reao de um novo medicamento pode sertempo de reao de um novo medicamento pode serconsiderado como tendo distribuio Normal e desejaconsiderado como tendo distribuio Normal e deseja--sesefazer inferncia sobre a mdia que desconhecidafazer inferncia sobre a mdia que desconhecida
obtendo um intervalo de confiana. Vinte pacientesobtendo um intervalo de confiana. Vinte pacientesforam sorteados e tiveram seu tempo de reaoforam sorteados e tiveram seu tempo de reaoanotado. Os dados foram os seguintes (em minutos):anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos):
2.9 3.4 3.5 4.1 4.6 4.7 4.5 3.8 5.3 4.9 4.8 5.72.9 3.4 3.5 4.1 4.6 4.7 4.5 3.8 5.3 4.9 4.8 5.75.8 5.0 3.4 5.9 6.3 4.6 5.5 6.25.8 5.0 3.4 5.9 6.3 4.6 5.5 6.2
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Teste t e Teste f:comparao de varinciasTeste t e Teste f:comparao de varincias
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Teste t e Teste f:comparao de varinciasTeste t e Teste f:comparao de varinciase comparao de mdias.e comparao de mdias.
QuandoQuando desejamosdesejamos compararcomparar varinciasvarincias ououmdiasmdias comcom oo objetivoobjetivo dede verificarverificar qualqual oo melhormelhorresultadoresultado podemospodemos usarusar oo testeteste TT ouou oo testeteste
FF..EstesEstes testestestes soso capazescapazes dede estimarestimar comcombastantebastante precisopreciso sese osos valoresvalores dede mediesmedies sosoaceitveis,aceitveis, ouou no,no, quandoquando asas mesmasmesmasapresentamapresentam diferenas,portantodiferenas,portanto podemospodemos usarusar
estesestes testestestes parapara comparaocomparao entreentreequipamentos,analistasequipamentos,analistas ee laboratrioslaboratrios..
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INTERVALOS DE CONFIANAINTERVALOS DE CONFIANA
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INTERVALOS DE CONFIANAINTERVALOS DE CONFIANA
Um intervalo de confiana expressa a idiaUm intervalo de confiana expressa a idiade que temos um determinado nvel dede que temos um determinado nvel deconfiana em que a mdia se encontraconfiana em que a mdia se encontra
naquele intervalo.naquele intervalo.A idia : se a mdia real estiver foraA idia : se a mdia real estiver fora
desse intervalo, as chances dedesse intervalo, as chances de
observarmos as amostras que observamosobservarmos as amostras que observamosde fato seriam muito pequenas...de fato seriam muito pequenas...
intervalo de confianaintervalo de confiana
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intervalo de confianaintervalo de confiana
yy EE o limite de aceitao: mdias que o limite de aceitao: mdias queimplicariam numa probabilidade menorimplicariam numa probabilidade menorqueque EE para a mdia amostral observadapara a mdia amostral observada
ficam fora do intervalo de confiana.ficam fora do intervalo de confiana.yy EE =5% => intervalo de confiana (1=5% => intervalo de confiana (1-- EE), ie,), ie,
95%95%
mdia
amostral
tamanho do intervalo detamanho do intervalo de
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confianaconfiana Quanto maior o valor deQuanto maior o valor de EE, maior o grau, maior o grau
de exigncia para um valor ficar dentrode exigncia para um valor ficar dentrodo intervalo de confiana.do intervalo de confiana.
Quanto maior o valor deQuanto maior o valor de EE, menor o, menor ointervalo de confiana.intervalo de confiana.
tamanho do intervalo detamanho do intervalo de
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confianaconfiana
5%
TESTES DE SIGNIFICNCIATESTES DE SIGNIFICNCIA
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TESTES DE SIGNIFICNCIATESTES DE SIGNIFICNCIA
Teste F de Fisher (comparao deTeste F de Fisher (comparao devarincias);varincias);
Teste T de Student (Comparao deTeste T de Student (Comparao demdias) ;mdias) ;
ANOVA : Anlise de varincias.ANOVA : Anlise de varincias.
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TESTES DE HIPTESESTESTES DE HIPTESESCOM DUAS AMOSTRASCOM DUAS AMOSTRAS
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O teste de hipteses da diferena das mdias de duasO teste de hipteses da diferena das mdias de duaspopulaes freqentemente utilizado para determinarpopulaes freqentemente utilizado para determinarse ou no razovel concluir que as mdias das duasse ou no razovel concluir que as mdias das duaspopulaes so diferentes. Por exemplo:populaes so diferentes. Por exemplo: de interesse do controle de qualidade determinar se de interesse do controle de qualidade determinar se
o mesmo produto oferecido por dois fornecedoreso mesmo produto oferecido por dois fornecedoresdiferentes apresenta a mesma quantidade de peasdiferentes apresenta a mesma quantidade de peas
com defeitos.com defeitos. Ao mdico do laboratrio farmacutico interessaAo mdico do laboratrio farmacutico interessa
determinar se o novo remdio para controle dedeterminar se o novo remdio para controle dediabetes eficiente acompanhando dois grupos dediabetes eficiente acompanhando dois grupos depacientes, o primeiro grupo que recebeu o remdio epacientes, o primeiro grupo que recebeu o remdio eo outro que recebeu apenaso outro que recebeu apenas placeboplacebo, produto com a, produto com amesma forma, porm sem o elemento ativo.mesma forma, porm sem o elemento ativo.
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O gerente de compras pode estar interessado emO gerente de compras pode estar interessado emdeterminar se o mesmo produto oferecido por doisdeterminar se o mesmo produto oferecido por doisfornecedores diferentes apresenta o mesmo prazo realfornecedores diferentes apresenta o mesmo prazo realde entrega.de entrega.
Da mesma forma, o gerente de salrios necessitaDa mesma forma, o gerente de salrios necessitaconhecer se os salrios da mesma categoria deconhecer se os salrios da mesma categoria detrabalhadores tm o mesmo valor em duas cidadestrabalhadores tm o mesmo valor em duas cidades
diferentes.diferentes. Os exemplos mostram o objetivo do analista emOs exemplos mostram o objetivo do analista em
determinar se h diferena entre as mdias de duasdeterminar se h diferena entre as mdias de duaspopulaes independentes considerando que aspopulaes independentes considerando que asrespostas de um grupo so independentes das respostasrespostas de um grupo so independentes das respostasdo outro grupo.do outro grupo.
THTH Diferenas entre MdiasDiferenas entre Mdias
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THTH Diferenas entre MdiasDiferenas entre Mdias
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Qual a forma da distribuio da diferena de duasQual a forma da distribuio da diferena de duas
mdias?mdias? A resposta dada pelo teorema central do limite, que foiA resposta dada pelo teorema central do limite, que foiapresentado anteriormente. Se for retirado um numeroapresentado anteriormente. Se for retirado um numerogrande de amostras das duas populaes, a distribuiogrande de amostras das duas populaes, a distribuioda diferena das duas mdias ser aproximadamenteda diferena das duas mdias ser aproximadamente
normal.normal. Para amostras grandes,Para amostras grandes, nn>30, o>30, o ZZ observadoobservado ZZoo
obtido da normalizao da diferena entre as duasobtido da normalizao da diferena entre as duasmdias utilizando a expresso:mdias utilizando a expresso:
2
22
1
21
2121 )()(
nn
XXZo
W
W
QQ!
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Sendo as varincias das populaes desconhecidas, asSendo as varincias das populaes desconhecidas, as
varincias das amostras fornecero uma boavarincias das amostras fornecero uma boaaproximao, sendo o denominador da frmula seguinteaproximao, sendo o denominador da frmula seguinteo erro amostral.o erro amostral.
2
22
1
21
2121 )(
n
S
n
S
XXZo
QQ!
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Na clula F12 o modelo registra oNa clula F12 o modelo registra o ZZ observadoobservado
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Na clula F12 o modelo registra oNa clula F12 o modelo registra o ZZ observado,observado,resultado obtido com:resultado obtido com:
Na clula F13 calculado oNa clula F13 calculado o pp--valuevalue para duas caudaspara duas caudasda distribuio. Como oda distribuio. Como o pp--valuevalue maior que o nvel de maior que o nvel designificnciasignificncia EE=0,05, a hiptese nula deve ser aceita,=0,05, a hiptese nula deve ser aceita,pois h evidencias de que a diferena de mdias nopois h evidencias de que a diferena de mdias noseja significativa.seja significativa.
Na clula F14 apresentada a deciso por extenso,Na clula F14 apresentada a deciso por extenso,AceitarAceitar HHoo ouou RejeitarRejeitar HHoo..
46,1
60
30
40
15
042,10805,107!
!
oZ
Esse procedimento com a distribuioEsse procedimento com a distribuio ZZ deve serdeve ser
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Esse procedimento com a distribuioEsse procedimento com a distribuio ZZ deve serdeve seraplicado quando as varincias das populaes soaplicado quando as varincias das populaes so
conhecidas, o que, na prtica, difcil de ocorrer.conhecidas, o que, na prtica, difcil de ocorrer. Da que se o tamanho de uma das amostras for igualDa que se o tamanho de uma das amostras for igual
ou menor que trinta e um, oou menor que trinta e um, o modelomodelo no apresentarno apresentaros ttulos e resultados relevantes.os ttulos e resultados relevantes.
Como em geral as varincias das populaes no soComo em geral as varincias das populaes no so
conhecidas, recomendado utilizar o procedimentoconhecidas, recomendado utilizar o procedimentocom a distribuiocom a distribuio t.t.
Como determinar o valor deComo determinar o valor de t ?t ?
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IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 132
PRESUPOSTOSPRESUPOSTOS
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PRESUPOSTOSPRESUPOSTOS
IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 133
Para estimarPara estimar--se a mdia da populao, admitidose a mdia da populao, admitido
conhecido o desvioconhecido o desvio--padro da populao, usapadro da populao, usa--se ase a
distribuio de Gauss, e o intervalo de confiana distribuio de Gauss, e o intervalo de confiana
dado pela seguinte expresso:dado pela seguinte expresso:
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IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 134
W
n
W
n
e e E Q/ 2X z X z 2/E
CALCULANDOCALCULANDO
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CALCULANDOCALCULANDO
Uma amostra aleatria de tamanhoUma amostra aleatria de tamanho nn ==20 tem, MDIA = 40 e20 tem, MDIA = 40 e WW = 6. Determine= 6. Determineuma estimativa de um intervalo deuma estimativa de um intervalo de
confiana de 95% paraconfiana de 95% para QQ..
IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 135
20
20
e e E Q/ 240
z 40 z2/E
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IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 136
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IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 137
ResultadoResultado
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ResultadoResultado
IFRJ-CBQ PROFESSOR EUDES PEREIRA 138
FdeAFdeA -- Teste Z: Duas amostras para MdiasTeste Z: Duas amostras para Mdias
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140/256Amostras PequenasAmostras Pequenas
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Varincias das Populaes IguaisVarincias das Populaes Iguais
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FdeAFdeA -- Teste T: Duas amostras Varincias Eq.Teste T: Duas amostras Varincias Eq.
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Amostras PequenasAmostras PequenasVarincias das Populaes DiferentesVarincias das Populaes Diferentes
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p p
O procedimento do teste de hipteses da diferena dasO procedimento do teste de hipteses da diferena dasmdias de duas populaes com varinciasmdias de duas populaes com varinciasdesconhecidas, ou presumindo que sejam diferentes,desconhecidas, ou presumindo que sejam diferentes,tem as mesmas premissas do procedimento do teste detem as mesmas premissas do procedimento do teste dehipteses com varincias iguais, incluindo as seguinteshipteses com varincias iguais, incluindo as seguintes
alteraes de clculo:alteraes de clculo: Deve ser utilizada a estatsticaDeve ser utilizada a estatstica testeteste t*t* definida com adefinida com a
expresso:expresso:
2
22
1
21
21*
n
S
n
S
XX
t
!
OO testeteste t*t* pode ser aproximado aopode ser aproximado ao testeteste tt obtendo oobtendo o
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p pp pnmero de graus de liberdadenmero de graus de liberdade glgl com a expresso:com a expresso:
Como, em geral, o resultado deComo, em geral, o resultado de glgl no um nmerono um nmerointeiro, deve ser adotado o nmero inteiro maisinteiro, deve ser adotado o nmero inteiro mais
prximo.prximo.
11 2
2
2
22
1
2
1
21
2
2
22
1
21
!
nn
S
nn
S
n
S
n
S
gl
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FdeAFdeA -- Teste T: Duas amostras Varincias Dif.Teste T: Duas amostras Varincias Dif.
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Amostras EmparelhadasAmostras Emparelhadas Quando for necessrio comparar por exemplo asQuando for necessrio comparar por exemplo as
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Quando for necessrio comparar, por exemplo, asQuando for necessrio comparar, por exemplo, asvendas dirias de duas filiais que operam com osvendas dirias de duas filiais que operam com os
mesmos produtos, ou os resultados de um treinamento,mesmos produtos, ou os resultados de um treinamento,confrontando o conhecimento antes e depois doconfrontando o conhecimento antes e depois dotreinamento, os procedimentos de teste de hiptesestreinamento, os procedimentos de teste de hiptesespara diferena das mdias utilizados at este momentopara diferena das mdias utilizados at este momento
no podem ser aplicados, pois se referem a duasno podem ser aplicados, pois se referem a duaspopulaes independentes.populaes independentes. Agora, necessitamos analisar duas populaesAgora, necessitamos analisar duas populaes
relacionadas, isto , duas populaes dependentesrelacionadas, isto , duas populaes dependentes.. Neste caso, a varivel de interesse ser a diferenaNeste caso, a varivel de interesse ser a diferena
entre os pares das duas amostras, no lugar das prpriasentre os pares das duas amostras, no lugar das prpriasamostras, que devem ter o mesmo tamanho.amostras, que devem ter o mesmo tamanho.
Como premissa, a populao das diferenas temComo premissa, a populao das diferenas temdistribuio aproximadamente normal e a amostra dasdistribuio aproximadamente normal e a amostra das
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p pdiferenas extrada aleatoriamente da populao dasdiferenas extrada aleatoriamente da populao das
diferenas.diferenas. O procedimento o seguinte:O procedimento o seguinte:
Das duas variveisDas duas variveis XX11 ee XX22 definidas pelos valoresdefinidas pelos valores XX1111,,XX1212, ..., ... XX1n1n ee XX2121,, XX2222, ..., ... XX2n2n formada a nova varivel formada a nova varivel
DD das diferenas entre esses valoresdas diferenas entre esses valores DD11== XX1111--XX2121, ... ,, ... , DDjj== XX1j1j-- XX2j2j, ...,, ..., DDnn== XX1n1n-- XX2n2n.. Na varivelNa varivel DD calculada a mdia calculada a mdiaDDDD e a varinciae a varincia OO t observadot observado calculado com a frmula: calculado com a frmula:
n
S
Dt
Do
0!
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Definido o nvel de significnciaDefinido o nvel de significncia EE,, realizado o teste de realizado o teste de
hipteses.hipteses. HHoo:: QQDD=0=0 HH11:: QQDD{{00
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FdeAFdeA Teste T: Duas amostras em Par para MdiasTeste T: Duas amostras em Par para Mdias
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DistribuioDistribuio FF
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O teste de hipteses para a diferena das mdias O teste de hipteses para a diferena das mdias utilizado para determinar se ou no razovel concluirutilizado para determinar se ou no razovel concluirque as mdias das duas populaes so diferentes.que as mdias das duas populaes so diferentes.
Tambm freqente verificar se ou no razovelTambm freqente verificar se ou no razovelconcluir que as varincias das duas populaes soconcluir que as varincias das duas populaes sodiferentes.diferentes.
Para verificar se duas populaes independentes tm aPara verificar se duas populaes independentes tm amesma varincia utilizada a estatstica da relao dasmesma varincia utilizada a estatstica da relao dasvarincias das amostrasvarincias das amostras
retiradas de duas populaes.retiradas de duas populaes.
22
21 / SS
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Se as distribuies das duas populaes forem normais,Se as distribuies das duas populaes forem normais,
ento a relaoento a relao
tem distribuiotem distribuio FF..
Sempre que as distribuies das populaes foremSempre que as distribuies das populaes foremnormais, a distribuionormais, a distribuio FF ser tambm utilizada paraser tambm utilizada paracomparar simultaneamente duas ou mais mdias,comparar simultaneamente duas ou mais mdias,procedimento denominadoprocedimento denominado anlise da varincia.anlise da varincia.
2221 / SS
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As principais caractersticas da distribuioAs principais caractersticas da distribuio FF so asso asseguintes:seguintes: A distribuioA distribuio FF contnua e sempre positiva com contnua e sempre positiva com
valores no intervalo (0, +valores no intervalo (0, +gg).). A distribuioA distribuio FF tem inclinao positiva.tem inclinao positiva.
H uma famlia de distribuiesH uma famlia de distribuies FF identificadas por doisidentificadas por doisparmetros, graus de liberdade do numeradorparmetros, graus de liberdade do numerador RR11 eegraus de liberdade do denominadorgraus de liberdade do denominador RR22. A forma final da. A forma final dadistribuio depende dos graus de liberdadedistribuio depende dos graus de liberdade RR11 ee RR22,,como mostra o slide da distribuio.como mostra o slide da distribuio.
ExemploExemplo
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pp
Calcular oCalcular o FF crticocrtico FFcc da distribuioda distribuio FF comcomprobabilidade de 5% na cauda superior de superar oprobabilidade de 5% na cauda superior de superar ovalor dovalor do FF crtico, considerando que o nmero de grauscrtico, considerando que o nmero de grausde liberdade do numerador 6, e o do denominador,de liberdade do numerador 6, e o do denominador,10.10.
Tradicionalmente, os clculos so realizados com aTradicionalmente, os clculos so realizados com atabela da distribuiotabela da distribuio F.F. No captulo Tabelas do livro o leitor encontrar duasNo captulo Tabelas do livro o leitor encontrar duas
tabelas da distribuiotabelas da distribuio FF, uma para o nvel de, uma para o nvel designificnciasignificncia EE=0,01 e a outra para=0,01 e a outra para EE=0,05.=0,05.
AA Tabela F_DISTRTabela F_DISTR permite construir a tabela depermite construir a tabela de
valores crticos devalores crticos de FF para qualquer valor de nvel depara qualquer valor de nvel designificncia.significncia.
A tabela seguinte apresenta parte da tabela daA tabela seguinte apresenta parte da tabela dadistribuiodistribuio FF para o nvel de significnciapara o nvel de significncia EE=0 05=0 05
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distribuiodistribuio FF para o nvel de significnciapara o nvel de significncia EE=0,05.=0,05.
Nos cabealhos das colunas esto registrados osNos cabealhos das colunas esto registrados osgraus de liberdade do numerador, e nos cabealhosgraus de liberdade do numerador, e nos cabealhosdas linhas, os graus de liberdade do denominador.das linhas, os graus de liberdade do denominador.
OO FFcc da distribuioda distribuio FF com 6 graus de liberdade docom 6 graus de liberdade donumerador e 10 graus de liberdade do denominadornumerador e 10 graus de liberdade do denominadorcorrespondente ao nvel de significncia 0,05 na caudacorrespondente ao nvel de significncia 0,05 na cauda
superior obtido dasuperior obtido da tabelatabela FF 3,22. 3,22. Para informar os valores que participam doPara informar os valores que participam do FF crtico,crtico,
costumacostuma--se escrever:se escrever:FFc(c(EE;;RR1;1;RR2)=2)=FFc(0,05;6;10)=3,22.c(0,05;6;10)=3,22.
A frmula =INVF(0,05;6;10) retornar oA frmula =INVF(0,05;6;10) retornar o FFc=3,2172.c=3,2172. A frmula =DISTF(3,2173;6;10) retornar o valorA frmula =DISTF(3,2173;6;10) retornar o valor0,0500, que a probabilidade0,0500, que a probabilidade PP((FFuu3,2173) na cauda3,2173) na cauda
superior da distribuiosuperior da distribuio F.F. Ou, a funo DISTFOu, a funo DISTFretornou o nvel de significncia 5%.retornou o nvel de significncia 5%.
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Como proceder se for necessrio realizarComo proceder se for necessrio realizarclculos na cauda inferior da distribuioclculos na cauda inferior da distribuio FF??
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DenominandoDenominando FFSS aoao F crticoF crtico da cauda superiorda cauda superioree FFii aoao F crticoF crtico da cauda inferior, para o nvelda cauda inferior, para o nvelde significnciade significncia EE, demonstra, demonstra--se que:se que:
Nessa expresso,Nessa expresso, RR11
o nmero de graus de o nmero de graus deliberdade do numerador, eliberdade do numerador, e RR2 o nmero de2 o nmero degraus de liberdade do denominador.graus de liberdade do denominador. Observe que para o clculo doObserve que para o clculo do FF crtico nacrtico na
cauda inferior utilizado o procedimento decauda inferior utilizado o procedimento declculo doclculo do FF crtico da cauda superior, pormcrtico da cauda superior, pormpermutando os graus de liberdade.permutando os graus de liberdade.
);(
1);(
1221
RR!RR
Si
FF
TesteTeste FF
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Freqentemente, necessrio verificar se ou noFreqentemente, necessrio verificar se ou norazovel concluir que as varincias das duas populaesrazovel concluir que as varincias das duas populaesso diferentes.so diferentes.
OO testeteste FF um teste de hipteses utilizado para um teste de hipteses utilizado paraverificar se as varincias de duas populaes comverificar se as varincias de duas populaes comdistribuio normal so diferentes, ou para verificardistribuio normal so diferentes, ou para verificarqual das duas populaes com distribuio normal tmqual das duas populaes com distribuio normal tmmais variabilidade.mais variabilidade.
De outra maneira, conhecidas duas amostras comDe outra maneira, conhecidas duas amostras comqualquer tamanho, oqualquer tamanho, o teste Fteste F d condies parad condies para
determinar se as duas amostras pertencem mesmadeterminar se as duas amostras pertencem mesmapopulao.populao.
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ExemploExemplo
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Verificar se h diferena nas varincias de duasVerificar se h diferena nas varincias de duaspopulaes com distribuio normal conhecendo aspopulaes com distribuio normal conhecendo asmedidas estatsticas registradas na tabela seguinte emedidas estatsticas registradas na tabela seguinte eextradas dessas populaes, considerando o nvel deextradas dessas populaes, considerando o nvel designificnciasignificncia EE=5%.=5%.
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C t h d t C t h d t 1717 2121
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Como os tamanhos das amostras soComo os tamanhos das amostras so nn11=17 e=17 e nn22=21, a=21, a
distribuiodistribuio FF possuipossui RR11=16 graus de liberdade do=16 graus de liberdade donumerador enumerador e RR22=20 graus de liberdade do=20 graus de liberdade dodenominador.denominador.
OO FF crtico igual acrtico igual a FFcc=2,18398, com=2,18398, com EE=5%.=5%. ComoComo FFoo>>FFc,c, a hiptese nula no deve ser aceita, ha hiptese nula no deve ser aceita, h
evidncia de que a diferena entre as varincias evidncia de que a diferena entre as varincias significativa.significativa.
OO pp--valuevalue igual a 4,72%. igual a 4,72%. Como ouComo ou pp--valuevalue
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