ESTATÍSTICA DESCRITIVA

EXERCÍCIOS

Estatística Descritiva – Exercícios UAlg\ESGHT

Núcleo de métodos quantitativos 2

I – ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

1. Determine quais das seguintes variáveis aleatórias são qualitativas ou

quantitativas. Se quantitativas, indique se são contínuas os discretas:

a) N.º de telefones por lar

b) Tipo de telefone

c) N.º de chamadas interurbanas por mês

d) Duração da chamada interurbana mais longa de cada mês

e) Cor do telefone

f) Conta telefónica mensal

2. Suponha que a seguinte informação diz respeito a uma doente que deu entrada

no Hospital Distrital de Faro:

a) Sexo: Feminino

b) Data de Nascimento: 06/02/47

c) Estado Civil: Casada

d) Temperatura: 38º C

e) Pulsação: 72 por minuto

f) Tipo de sangue: A negativo

g) Tensão arterial: Min 6; Máx 12

h) Alergias a medicamentos: Não

i) Diagnóstico preliminar: Hepatite

j) Tempo previsto de internamento: 7 dias

Classifique cada um dos itens anteriores por tipo de dados e níveis de medida

3. Calcule a média aritmética, a mediana e a moda para cada um dos seguintes

conjuntos de dados.

a1) 20; 22; 20; 18; 25; 23; 27; 24; 24; 28; 20

a2) 20; 22; 20; 18; 25; 23; 27; 24; 24; 200; 20

a3) 5; 4; 5; 7; 2; 1; 8; 4; 9; 5; 4; 1; 1; 4; 5; 1

a4) 113; 105; 108; 107; 110; 105; 113; 109

b) Que conclusões retira da comparação dos resultados de a1) com a2)?

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Núcleo de métodos quantitativos 3

4. Utilize os seguintes dados para verificar que a soma dos desvios em relação à

média é nula:

a) 8; 50; 7; 8; 12; 35

b) 20; 23; 16; 20; 24; 17

5. Após examinar os registos das contas de uma empresa, o auditor formou uma

amostra de 20 contas não pagas, com os seguintes valores em contos:

4; 18; 11; 7; 7; 10; 5; 33; 9; 12; 3; 11; 10; 6; 26; 37; 15; 18; 10; 21

a) Calcule a média, a mediana e a moda.

b) Se o total de contas por pagar for 350, utilize a média para estimar o montante

total das dívidas à empresa

6. Utilize os dados do problema anterior para verificar que é indiferente calcular o

desvio padrão a partir de cada uma das seguintes fórmulas:

7. Os seguintes dados representam rendas mensais em Euros, de uma amostra de

10 quartos em Lisboa com as de Faro:

Lisboa 24,5 32 29 25 26 23 27 24 23 21

Faro 24 22 21 25 23.5 22 23 25 24,5 22,5

a) Para cada um dos conjuntos de dados calcule: média , mediana, intervalo de

variação, desvio padrão e coeficiente de variação.

b) Compare as rendas dos quartos de Lisboa e Faro.

S

x x

nS

x

x

n

ni

n

i i

ii

n

i

n

1

2 2 1

2

1

1 1

( )

;

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8. Os seguintes dados representam previsões de 25 economistas para o

crescimento real do PIB no ano de 2005:

2,5 2,0 1,5 2,7 3,0 3,5 4,0 3,6 3,7

3,5 3,3 3,0 2,9 2,8 2,9 3,2 2,7 3,4

3,6 3,7 3,0 3,2 2,4 2,5 2,8

a) Calcule: média, mediana, moda, intervalo de variação, intervalo interquartis,

variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

b) Forme o diagrama “stem and leaf” e o gráfico “box and whisker”

c) Refira-se à configuração da distribuição.

d) Aplique a regra de Bienaymé - Chebyshev para calcular o intervalo em que

se encontram, pelo menos, 75% dos dados.

e) Que percentagem dos dados estão contidos no intervalo SX 2 ? Compare

com o resultado obtido na alínea d).

9. Os seguintes dados representam o tempo necessário, em segundos, para atingir

a velocidade de 90Km/h numa estrada de testes, para uma amostra de 17

modelos de automóveis alemães e para outra amostra de 17 modelos de

automóveis japoneses:

Modelos Alemães

11,2 11,6 8,2 10,3 8,3 8,5 6,2 13,2 10,4

10,9 7,0 8,3 8,1 11,7 13,0 10,6 10,1

Modelos Japoneses

11,5 9,7 7,9 15,1 13,0 11,5 14,2 14,3 9,7

13,2 9,2 12,8 15,0 11,3 14,8 11,8 8,9

a) Para cada uma das amostras calcule: média, mediana, Q1 eQ3, intervalo de

variação, intervalo interquartis, variância, desvio padrão e coeficiente de

variação.

b) Para cada um dos conjuntos de dados forme o diagrama “stem and leaf” e o

gráfico “box and whisker”

c) Sumarie as conclusões.

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10. Uma fábrica de pneus produz dois modelos, A e B. O modelo A permite um

rodagem média de 40 000 km com um desvio padrão de 3 000 km. O modelo B

permite uma rodagem média de 50 000 km com um desvio padrão de 2 000 km.

Qual dos modelos prefere? Justifique.

11. A fim de serem analisados os salários de uma grande empresa industrial, foi

recolhida uma amostra aleatória de 25 trabalhadores cujos salários mensais em

contos são os seguintes:

70 90 120 70 70 70 70 90 110

290 70 70 90 160 120 120 70 90

70 70 70 130 110 70 90

Empregando as medidas descritivas que achar mais convenientes, caracterize

os salários dos trabalhadores desta empresa.

12. Os resultados de 6 turmas a uma mesma prova estão registados no quadro

seguinte:

TURMA A B C D E F

MÉDIA 72 67 68 72 58 60

DESVIO PADRÃO 10 7 8 12 10 8

EFECTIVO 21 18 23 16 17 19

a) Qual das turmas é mais homogénea?

b) Das seis turmas, duas apresentam o mesmo grau de homogeneidade. Quais

são?

13. Dez estudantes do Curso Superior de Gestão da ESGHT informaram a equipa

docente sobre o número de horas que cada um tinha despendido a estudar para

o teste de Estatística.

O quadrado da soma das dez observações foi de 6400 e a soma dos quadrados

dessas mesmas observações foi de 1000.

a) Calcule a média e o desvio da distribuição?

b) Considere que a distribuição é simétrica e que Q1 = 4,5. Calcule Q3.

Justifique.

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14. Considere os resultados finais, numa determinada disciplina, obtidos por 20

estudantes de uma dada Universidade:

9 14 12 8 14 12 16 16 8 14

11 12 14 11 11 18 14 18 15 15

a) Determine as frequências absolutas e relativas (simples e acumuladas).

b) Represente graficamente as frequências absolutas e relativas.

c) Calcule a média, a moda e a mediana. Comente.

d) Determine os quartis e interprete os valores obtidos.

e) Calcule a variância e o desvio padrão.

f) Refaça as alíneas anteriores recorrendo ao SPSS.

15. Foi feito um inquérito a um grupo de compradores de 40 carros novos para

determinar quantas reparações ou substituições de peças foram feitas durante o

primeiro ano de utilização dos carros. Obtiveram-se os seguintes resultados:

1 4 1 2 2 3 3 2

1 2 3 2 3 1 0 1

2 7 4 3 5 1 2 4

2 1 3 1 0 1 2 1

1 3 1 0 4 2 3 5

a) Classifique a variável em estudo.

b) Construa um quadro de distribuição de frequências: absolutas, relativas,

relativas em percentagem, absolutas acumuladas e relativas acumuladas em

percentagem.

c) Construa gráficos para as frequências absolutas simples e acumuladas.

d) Calcule as medidas de tendência central (média, mediana e moda).

e) Calcule os quartis.

f) Construa o diagrama “box-and-whisker” e refira-se à configuração da

distribuição.

g) Calcule as medidas de dispersão e comente a dispersão dos dados.

h) Quantos carros tiveram menos de 3 reparações? E quantos tiveram mais de

3 reparações?

i) Qual a percentagem de carros que teve somente uma reparação?

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16. Os seguintes dados referem-se ao tempo gasto (em minutos) por 42

trabalhadores entre a sua residência e o local de trabalho:

5 21 26 13 24 29 37

12 31 5 50 18 33 14

23 22 17 32 7 17 42

15 38 20 11 26 25 29

27 8 24 12 39 25 28

14 47 19 22 28 9 18

a) Construa um quadro de distribuição de frequências, após ter definido o

número de classes através da fórmula de Sturges (p 1 + 3,32 log n).

Aproxime:

b) A média, a mediana e a moda.

c) O primeiro e terceiro quartis.

d) O intervalo de variação e o intervalo interquartis.

e) A variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação.

f) Comente a dispersão dos dados.

g) Construa o histograma e o polígono de frequências.

h) Construa o diagrama “box-and-whisker” e refira-se à configuração da

distribuição.

i) Construa o polígono acumulado (ogiva) e assinale os quartis.

j) Quantos trabalhadores gastam até 20 minutos para chegar ao local de

trabalho?

k) Quantos trabalhadores gastam mais de 36 minutos para chegar ao local de

trabalho?

17. Utilizando os dados do problema 18 :

2,5 2,0 1,5 2,7 3,0 3,5 4,0 3,6 3,7

3,5 3,3 3,0 2,9 2,8 2,9 3,2 2,7 3,4

3,6 3,7 3,0 3,2 2,4 2,5 2,8

a) Construa a distribuição de frequências e a distribuição percentual.

b) Represente o polígono de frequências.

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c) Construa a distribuição de percentagens acumuladas.

d) Represente o polígono de percentagens acumuladas.

e) Aproxime: 1) Média;

2) Mediana;

3) Moda;

4) Intervalo de variação;

5) Intervalo interquartis;

6) Variância;

7) Desvio Padrão

8) Coeficiente de Variação.

f) Compare as aproximações às medidas descritivas com os resultados

obtidos a partir dos dados não agrupados.

18. Os seguintes dados representam as contribuições fiscais, durante um ano, de 40

pessoas escolhidas aleatoriamente:

2392 5928 780 2132 1976 1404 676 4472

3728 208 2236 4404 5132 1196 1716 1092

832 3959 3172 728 2132 1040 2028 4108

988 3926 468 2132 624 1710 4040 3174

3208 2948 1248 2704 150 200 988 624

a) Agrupe os dados numa distribuição de frequências.

b) Construa um histograma e um polígono de frequências absolutas.

c) Calcule a média, a mediana e a moda.

d) Calcule o P5 e P95 (percentis 5% e 95%) e interprete os valores obtidos.

e) Classifique a distribuição quanto à assimetria.

f) Represente, para esta distribuição, o diagrama de caixa e bigodes.

g) Refaça as alíneas anteriores recorrendo ao SPSS.

h) Complete as afirmações:

i) ___ % dos contribuintes pagaram um valor superior a 1000 €.

ii) 75% dos contribuintes pagaram um valor inferior a ____ €.

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19. Considere a seguinte distribuição de frequências absolutas:

Classes ni

0 – 6 2

6 – 12 6

12 – 18 12

18 – 24 15

24 – 30 18

30 – 36 9

a) Construa a distribuição de frequências relativas (simples e acumulada).

b) Estude a simetria a partir do polígono de frequências.

20. O responsável pela gestão hospitalar de uma unidade de cuidados médicos

intensivos, obteve a seguinte distribuição referente ao tempo de internamento

dos doentes daquela unidade:

Dias de internamento Número de doentes

Menos de 5 48

5 – 10 33

10 – 20 27

20 – 30 18

30 – 45 15

Mais de 45 9

Total 150

a) determine o número médio de dias de internamento.

b) Calcule o segundo quartil e interprete-o.

c) Construa o histograma referente às frequências relativas.

21. Calcule o coeficiente de variação de uma distribuição que contém, pelo menos,

88,9% das observações no intervalo [ 1 ; 7 ].

22. Calcule os extremos do menor intervalo que contém pelo menos 75% das

observações de uma variável com média 10 e desvio padrão 5.

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23. Durante o período compreendido entre Janeiro de 1991 e Dezembro de 1993,

foram registadas as vendas de Veículos Ligeiros de Passageiros e Mistos, para

os concelhos de Portimão e Faro. O quadro seguinte mostra as unidades

vendidas, durante este período de tempo, de forma ordenada.

Portimão Faro

46 90 80 219

59 90 84 224

66 93 87 225

66 99 92 227

67 106 126 227

71 107 130 233

73 111 136 234

73 114 142 234

75 116 143 245

78 117 157 245

81 122 159 245

82 125 167 254

83 145 178 256

85 179 178 269

85 190 185 289

85 205 187 290

88 266 190 302

88 268 190 307

a) Calcule as medidas de localização, para os dados não classificados.

Comente.

b) Construa a distribuição de frequências e represente o Histograma, para as

vendas nos dois concelhos.

c) Calcule as medidas de localização e dispersão, para os dados classificados.

d) Construa o gráfico Extremos-Quartis.

e) Formule uma análise sobre os dois conjuntos de dados, evidenciando as

suas diferenças.

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24. As distribuições do rendimento (em centenas de Euros) de 2 países são as

seguintes:

País A País B

Rendimento

Anual

População

Remunerada

Rendimento

Anual

População

Remunerada

80 – 100 30 000 60 – 90 10 000

100 – 120 80 000 90 – 120 20 000

120 – 140 40 000 120 – 150 50 000

140 – 160 10 000 150 – 180 20 000

160 – 180 4 000 180 – 210 15 000

180 – 200 1 000 210 – 240 10 000

240 – 270 4 000

Empregando as medidas descritivas que considere mais adequadas, compare o

grau de desenvolvimento dos dois países. Fundamente os seus cálculos e

discuta os resultados obtidos.

25. Analisando os salários dos trabalhadores das empresas X e Y construiu-se o

seguinte quadro de frequências:

Classe de Salários N.º Trabalhadores da

Empresa X

N.º Trabalhadores da

Empresa Y

50 – 70 3 0

70 – 90 7 0

90 – 110 4 10

110 – 130 3 10

130 – 150 2 64

150 – 170 1 16

a) Analise a dispersão das duas populações.

b) Justifique o emprego da medida estatística que utilizou.

c) Construa o gráfico “box-and.whisker” para as duas distribuições. Que conclui

quanto à simetria?

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26. Os seguintes dados representam a distribuição acumulada e a distribuição

percentual acumulada dos salários diários dos trabalhadores das empresas X e

Y:

Empresa X Y

Salário Ni Fi % Ni Fi %

20 1 1,3 0 0,0

25 6 7,9 4 10,3

30 15 19,7 12 30,8

35 26 34,2 26 66,7

40 54 71,1 35 89,7

45 67 88,2 37 94,9

50 73 96,1 38 97,4

55 74 97,4 39 100,0

60 76 100,0 39 100,

a) Quantos trabalhadores da empresa X recebem 40 Euros ou mais?

b) Qual é a percentagem de trabalhadores da empresa X com salário inferior a

30 Euros?

c) Qual das 2 distribuições tem maior intervalo de variação?

d) Em qual das empresas há mais trabalhadores com salário inferior a 30

Euros?

e) Qual delas tem uma menor percentagem de salários inferiores a 30 Euros?

f) Utilize as distribuições acumuladas para obter a distribuição de frequências

e a distribuição percentual.

27. Considere a seguinte distribuição de frequências acumuladas:

Classes Fi

0 – 10 0,1

10 – 20 0,4

20 – 30 ?

30 – 40 0,7

40 - 50 1,0

Determine as frequências simples para as 3.ª e 4.ª classes, sabendo que a

média da distribuição é igual a 27.

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28. Um inquérito a 300 agregados familiares sobre o número de automóveis que

possuem, X, e o respectivo rendimento mensal em dezenas de Euros, Y,

conduziu aos seguintes resultados:

X \ Y 30 - 50 50 - 80 80 - 120 120 - 200 Total

0 A 30 B C D

1 40 50 40 20 150

2 E F G H I

Total 70 120 60 j k

Infelizmente, alguns valores perderam-se. No entanto, sabe-se que 100 famílias

possuem 2 carros e que todas as famílias com rendimento mensal entre 1200 e

2000 Euros têm carro. Dentro do grupo com mais baixo rendimento, é igual o

número das que têm 2 carros e das que não têm nenhum.

a) Complete o quadro.

b) Represente graficamente as distribuições X e Y.

c) Calcule as medidas de tendência central para Y. Interprete os resultados.

d) Calcule a moda de X. Interprete o resultado obtido.

29. Um teste de audiência efectuado às 21 horas do dia 20 de Junho de 2002 a 100

lares com 2 televisores, detectou que o Brasil – Escócia foi visto por 80% dos

homens e 30% das mulheres, enquanto o episódio da telenovela foi visto por

20% dos homens e 70% das mulheres.

Sabendo que nos 100 lares estavam a ver televisão 80 mulheres e 70 homens,

determine, relativamente ao total de pessoas que estavam a ver televisão, a

percentagem de homens que assistiu à telenovela e a percentagem de

mulheres que assistiu ao futebol.

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II – CONTINGÊNCIA E ASSOCIAÇÃO \ CORRELAÇÃO E REGRESSÃO.

1. O quadro seguinte é baseado num estudo que relaciona a raça com o tipo de

sangue.

Tipos de Sangue

O A B AB

Raça 1 176 148 96 72

Raça 2 78 50 45 12

Raça 3 15 19 8 7

a) Calcule o qui-quadrado.

b) Calcule o coeficiente de contingência.

c) Interprete os resultados obtidos.

2. Num estudo sobre a segmentação do mercado automóvel, foi inquirida uma

amostra de compradores sobre as suas preferências no que respeita aos seguintes

acessórios:

x1 : cor metalizada x3 : vidros fumados x5 : airbag

x2 : tecto de abrir x4 : jantes de liga leve x6 : faróis de nevoeiro

As respostas dos dois primeiros inquiridos foram as seguintes:

Inquirido x1 x2 x3 x4 x5 x6

1 1 0 1 0 1 1

2 1 1 1 0 0 1

a) Construa a respectiva tabela de contingência.

b) Determine o coeficiente de correlação entre estes dois indivíduos.

3. O Director de Departamento de Pessoal de uma grande empresa pensa que

existe uma relação entre idade e absentismo, pretendendo utilizar a idade do

trabalhador para prever o número de dias de absentismo durante um ano.

Uma amostra aleatória de trabalhadores forneceu os seguintes resultados:

Idade (X) 26 61 37 23 46 58 29 36 64 40

Dias de Absentismo (Y) 15 6 10 18 9 7 14 11 5 8

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Núcleo de métodos quantitativos 15

a) Represente graficamente os dados.

b) Assuma uma relação linear entre as variáveis.

i) Utilize o método dos mínimos quadrados para calcular os coeficientes a e

b.

ii) Interprete o significado de b.

iii) Quantos dias, em média, prevê que um trabalhador de 40 anos falte

durante um ano?

c) Calcule o desvio padrão da estimativa.

d) Calcule o coeficiente de determinação e interprete o seu significado.

e) Calcule o R2 ajustado.

f) Calcule o coeficiente de correlação.

4. Os seguintes dados respeitam a 10 bancos comerciais:

Depósitos 44.03 14.78 13.45 13.03 8.24 8.71 6.24 4.20 3.42 3.14

Empréstimos 57.58 13.16 11.05 11.49 2.74 5.83 5.49 3.47 2.04 2.30

Calcule o coeficiente de correlação entre depósitos e empréstimos.

5. Considere os seguintes pares de valores de 2 variáveis estatísticas:

(1 ; 7) (3 ; 6) (4 ; 4) (6 ; 3) (7 ; 3) (9 ; 1)

a) Calcule o coeficiente de correlação linear.

b) Faça o ajustamento linear utilizando o método dos mínimos quadrados.

6. Considere os seguintes dados relativos à procura de um bem:

Preço 2 3 4 5 6 7

Quant.Procuradas 20 15 12 10 7,5 4

a) Através do método dos mínimos quadrados, ajuste:

i) Uma recta.

ii) Uma potência.

iii) Qual o melhor ajustamento? Justifique.

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7. Ajuste uma exponencial ao número de tractores utilizados pelas explorações

agrícolas em Portugal.

Anos 1980 1982 1984 1986 1988 1990

N.º de Tractores 2961 3963 5025 6667 9550 11806

8. O Director Comercial de determinada empresa deseja conhecer a relação

existente entre os gastos de promoção e as vendas de um novo produto.

Para tal, recolheu a seguinte informação:

Despesas em Promoção 140 200 238 325 415 400 415 500

Vendas 50 57 60 65 76 77 79 100

a) Ajuste uma recta aos dados (Indique a respectiva expressão analítica).

b) Ajuste uma exponencial (Indique a respectiva expressão analítica).

c) Indique o coeficiente de determinação e explique o seu significado.

d) Qual o modelo que escolheria? Justifique.

9. Considere a evolução das importações e exportações do país A a preços

constantes, para o período de 1988 a 1991:

Anos Importações (106 Euros) Exportações (106 Euros)

1988 4 60

1989 30 69

1990 43 78

1991 47 94

a) Ajuste uma recta às exportações ao longo do período. Apresente a

expressão analítica da recta ajustada.

a1) Determine R2 e interprete o seu significado.

b) Ajuste uma função potência ao comportamento das importações ao longo

dos anos.

b1) Determine o coeficiente de correlação e interprete o seu significado.

c) Compare as importações e as exportações previstas para o ano 2000.

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10. O quadro seguinte regista os valores do produto interno bruto (PIB) das

exportações (X) e das importações (M) numa dada economia, ao longo de oito anos:

Anos 80 81 82 83 84 85 86 87

PIB 910 1140 1520 1830 2370 2690 3260 4260

X 240 270 330 490 790 930 1230 1390

M 430 560 740 860 1090 1280 1580 2080

Com base nestes elementos foram calculadas as seguintes rectas de regressão

linear.

M= - 19,1 + 0,488PIB e X= - 14154,5 + 178t ( t = ano)

Sabendo que se espera que o PIB cresça ao ritmo de 12% até 1990, determine qual

o valor previsível para a balança comercial (X - M) em 1990 e compare-o, em termos

relativos, com o valor registado em 1980 indicando qual o ano em que o défice

comercial foi menos importante.

11. A tabela indica a quantidade, em alqueires (1 alqueire 20 litros), de milho

produzida por hectare, Y, resultante do uso de várias quantidades (em g/m2) de

fertilizante , X1, e insecticida, X2, de 1971 a 1980.

Ano Y X1 X2

1971 40 6 4

1972 44 10 4

1973 46 12 5

1974 48 14 7

1975 52 16 9

1976 58 18 12

1977 60 22 14

1978 68 24 20

1979 74 26 21

1980 80 32 24

N=10 Y=570 X1=180 X2=120

a) Estime e interprete os parâmetros da regressão.

b) Calcule e interprete o coeficiente de determinação múltipla.

c) Calcule e interprete os coeficientes de correlação parciais.

Estatística Descritiva – Exercícios UAlg\ESGHT

Núcleo de métodos quantitativos 18

12. Considere os seguintes dados, referentes à quantidade procurada de um

produto , Y, o seu preço (em Euros), X1, e o rendimento dos consumidores (em

milhares de Euros), X2.

Ano Y X1 X2

1971 40 9 0.400

1972 45 8 0.500

1973 50 9 0.600

1974 55 8 0.700

1975 60 7 0.800

1976 70 6 0.900

1977 65 6 1.000

1978 65 8 1.100

1979 75 5 1.200

1980 75 5 1.300

1981 80 5 1.400

1982 100 3 1.500

1983 90 4 1.600

1984 95 3 1.700

1985 85 4 1.800

a) Ajuste uma regressão a estas observações.

b) Calcule o coeficiente de determinação múltipla ajustado.

c) Determine qual a variável independente que mais contribui para o poder de

explicação do modelo.

13. A tabela dá, para uma amostra aleatória de 12 casais, o n.º de crianças que eles

tiveram (Y), o n.º de crianças que eles afirmaram desejar ter (X1), e os anos de

escolaridade das esposas (X2).

Var. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Y 4 3 0 4 4 3 0 4 3 1 3 1

X1 3 3 0 2 2 3 0 3 2 1 3 2

X2 12 14 18 10 10 14 18 12 15 16 14 15

a) Determine a equação da regressão.

b) Determine o coeficiente de determinação múltipla

c) Indique qual a variável independente que mais contribui para o poder

explicativo do modelo.

Estatística Descritiva – Exercícios UAlg\ESGHT

Núcleo de métodos quantitativos 19

III - NÚMEROS ÍNDICE.

1. O preço de um dado bem variou ao longo do tempo da seguinte maneira:

Ano 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993

Preço 5,20 € 7,90 € 10,50 € 17,50 € 22,50 € 27,50 € 32,50 €

Calcule os diversos índices simples tomando como ano base 1987.

2. Prove que se: 00 X

XI tx

t , então

xt

x

tt

xt III

001

1

.

3 Usando a tabela do exercício 1 e os resultados obtidos, calcule p

tI1993

.

2. O rendimento mensal de um dado trabalhador subiu num ano 375 € para 425 €,

enquanto que, no mesmo período de tempo, o índice de preços do consumidor subiu

10%.

Qual foi a mudança no rendimento real do consumidor?

5. O Sr. Fresco é vendedor de gelados Ice-Cream na cidade de Faro. Nos últimos

anos registou os seguintes volumes de vendas:

Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

Vol.Vendas 4,01 4,13 4,48 5,25 4,16 4,32 5,07 5,93 6,18 6,71

(valores em Milhares de Euros)

a) Utilizando 1980 como ano base, construa o índice para o volume de vendas

para o período dado.

b) Reformule o índice mudando o ano base para 1984.

c) A partir de 1984 os gelados Delícia começaram a operar na cidade de Faro,

tendo como vendedora a D. Frescura que registou os seguintes volumes de

vendas:

Ano 1984 1985 1986 1987 1988 1989

Vol.Vendas 2,31 2,54 3,33 3,04 3,16 3,45

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Núcleo de métodos quantitativos 20

(valores em Milhares de Euros)

c1) Utilizando 1984 como ano base, construa o índice para o volume de venda

ao longo dos seis anos de actividade.

c2) Compare os índices do Sr. Fresco e da D. Frescura.

c2-i) Qual é o que regista maior crescimento?

c2-ii) Calcula a taxa de crescimento anual para os dois vendedores.

6. Considere os seguintes valores:

Anos 1985 1986 1987 1988 1989

Exportações (preços correntes)* 120 140 170 205 250

Índice de Preços (Base=1985) 100 115 130 150 190

*(valores em Milhões de Euros)

Indique o valor das exportações a preços constantes de 1988.

7. Calcule o índice de preços agregado simples para o seguinte conjunto de bens:

Anos 1990 1991

A 10 12

B 13 15

C 14 17

Interprete o seu resultado.

8. Na construção de um índice que critérios devem ser seguidos para fixar o ano

base?

9. Os quadros de uma empresa multinacional têm os salários base standartizados

em 4 categorias distintas.

Estatística Descritiva – Exercícios UAlg\ESGHT

Núcleo de métodos quantitativos 21

Categoria Número e

Vencimento 1970 1975 1980 1985 1990

A número 973 1112 1287 1349 1402

A vencimento* 798 1078 1540 2016 2408

B número 667 621 674 528 456

B vencimento* 686 812 966 1554 2464

C número 483 534 673 566 528

C vencimento* 672 868 1134 1862 2478

D número 114 131 172 139 113

D vencimento* 742 980 1218 1946 2842

*(valores em Milhares de Euros)

a) Utilizando1970 como ano base, construa os índices para os salários.

a1) Índice agregado simples.

a2) Índice agregado com ponderações fixas (utilize o ano de 1970 para

determinar as ponderações a atribuir).

b) Faça uma mudança de base para 1980 para ambos os índices.

10. Considere os seguintes valores referentes a um cabaz de 3 bens para os

anos de 1980, 1985 e1990.

Anos 1980 1985 1990

Bens Preço Quantidade Preço Quantidade Preço Quantidade

Bem A 5 10 6 12 7 9

Bem B 10 6 11 5 12 6

Bem C 7 8 8 8 10 9

a) Calcule os índices de preço elos para o período de análise.

b) Utilizando os resultados da alínea anterior:

i) Indique o lustro (período de 5 anos) em que se registou maior

crescimento.

ii) Qual a variação registada entre 1990 e 1980? Considere 1980 como ano

base.

(Nota: caso não tenha feito a alínea a) considere os seguintes índices – 112 e

110)

Estatística Descritiva – Exercícios UAlg\ESGHT

Núcleo de métodos quantitativos 22

11. Considere os seguintes valores referentes ao PIB (Produto Interno Bruto) do

País A.

Anos 1985 1986 1987 1988 1989 1990

Preços Correntes 23124 27052 29481 33420 38903 49041

Preços Constantes (1990) 46398 46974 46193 47259 48278 49041

(valores em Milhões de Euros)

Apresente uma série de preços constantes com base em 1985.

12. Considere os seguintes dados referentes a Portugal:

Ano

Exportações de

Bens e Serviços

Índice de Preços

das Exportações

Índice de Preços

das Exportações

Preços correntes Base 1978=100 Base1983=100

1980 12033 107,1 -

1981 12125 110,9 -

1982 14746 113,3 -

1983 16309 124,1 100,0

1984 23715 - 91,6

1985 27719 - 96,4

1986 30703 - 91,8

1987 34493 - 99,5

1988 35106 - 104,5

1989 37581 - 109,1

1990 41742 - 123,2

1991 47561 - 126,0

Obtenha um índice de exportações a preços constantes de 1983 e com base em

1980.

13. Os índices de preços das classes que constituem o índice de preços do

consumidor (IPC), publicado pelo INE, tomaram em Setembro de 1981 e 1982

Estatística Descritiva – Exercícios UAlg\ESGHT

Núcleo de métodos quantitativos 23

os valores indicados no quadro abaixo, onde também se registaram as

ponderações atribuídas a cada classe.

Índices das Classes do IPC em Setembro de 1981 e 1982*

Classes Set. 81 Set. 82 Ponderações

I – Alimentação e Bebidas 290,3 351,9 496,2

II – Vestuário e Calçado 282,3 337,6 93,5

III – Rendas de Habitação** - - -

IV – Despesas de Habitação 274,7 ? 106,3

V – Diversos 253,3 315,7 180,9

IPC-TOTAL com exclusão habitação 282,4 ? -

*Base=preços médios de 1976

**O INE decidiu não considerar a classe III por não dispor de elementos que

permitam uma amostra cientificamente válida para se constituir um índice desta

classe.

Em Setembro de 1982 os grupos de classe IV registaram os índices do quadro

seguinte, onde se indicam também as ponderações dos grupos no IPC.

Índice dos grupos de Classe IV

Grupos de Classe Set. 1982 Ponderações

no IPC

Água 312,3 4,5

Combustíveis e electricidade 453,0 27,8

Aquisição de bens domésticos duráveis 275,8 52,4

Despesas domésticas correntes 336,1 21,6

a) Determine o índice correspondente à classe IV em Setembro de 1982.

b) Determine o “IPC TOTAL com exclusão das rendas de habitação” em Setembro

de 1982.

c) Qual foi o aumento verificado entre Setembro de 1981 e Setembro de1982 ?

14. O preço da matéria prima X, tem registado nos últimos anos a evolução

representada no seguinte quadro:

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Núcleo de métodos quantitativos 24

Anos 1985 1986 1987 1988 1991

Preços Correntes (Euros) 2000 2040 2125 2712 4645

Índices de Preços (1985=100) 100 103,5 105,2 - -

Índices de Preços (1988=100) - - 93,2 100,0 125,0

(Nota: em relação aos anos de 1989 e 1990 não existem dados disponíveis)

Para o período temporal em foco, construa uma série de preços constantes de

1991 para a matéria prima X.

15.Considere os seguintes valores a preços correntes e os preços de base fixa:

Anos 1985 1986 1987 1988 1989 1990

Preços Correntes 12 23 32 45 62 80

Índice (1985=100) 100 104 109 - - -

Índice (1990=100) - - 85 89 95 100

Apresente os valores a preços constantes de 1987.

16.Com a seguinte informação.

A – Variações anuais dos preços e estrutura da Despesa em 1985

Classes Ponderadores (%) Variação Anual

I - Alimentação e Bebidas 56,59

Alimentação 52,06 17,2

Bebidas 4,53 24,0

II - Vestuário e Calçado 10,66

Vestuário 8,90 23,8

Calçado 1,76 20,9

III - Despesas de Habitação 12,12 20,0

IV - Diversos 20,63 21,9

TOTAL 100,00

B – Índice de preços no Consumidor (1976=100)

Anos 1980 1981 1982 1983 1984 1985

IPC 225,0 269,9 330,3 414,6 536,1 ?

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Núcleo de métodos quantitativos 25

C – Actualização anual dos salários mínimos (Indústria e Serviços/Esc)

Anos 1980 1981 1982 1983 1984 1985

Salários ? 9425 10700 13000 15600 19200

Nota: A actualização do salário mínimo apresentou uma variação de

+19.68% em 1981 relativamente ao ano anterior.

a) Determine a variação global dos preços em 1985.

b) Retire as devidas conclusões da actualização anual dos salários mínimos

em termos da sua evolução real no período em questão.

Estatística Descritiva – Exercícios UAlg\ESGHT

Núcleo de métodos quantitativos 26

IV - SÉRIES CRONOLÓGICAS

1. Utilizando o método das semi – médias, determine a tendência linear das

seguintes séries cronológicas:

a)

Ano 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

Yt 5 8 12 13 15 20 21 26 31

b)

Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

Yt 90 95 98 110 113 118 124 130 140 145

3. Utilizando o método das médias móveis obtenha a tendência das seguintes

séries cronológicas (experimente 3, 4 e 5 termos).

a)

3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15

b)

6 9 15 16 18 22 28 35 32 40 41 43 47

4. O produto do sector primário português (não incluindo indústrias extractivas)

evolui da seguinte maneira (em milhões de Euros, preços de 1973)

1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982

16,7 16,9 18,0 18,2 17,7 18,8 17,0 18,8 19,4 18,7 19,8 18,8 19,3

Suponha a tendência linear.

a) Estime-a pelo método dos mínimos quadrados.

b) Alise-a pelo método das médias móveis e determine então a recta dos

mínimos quadrados. Confronte com os resultados da alínea anterior.

Estatística Descritiva – Exercícios UAlg\ESGHT

Núcleo de métodos quantitativos 27

4. Determine a tendência das seguintes séries cronológicas pelo método dos

mínimos quadrados, alterando a variável t de modo que t = 0.

Calcule os valores de tendência e confronte-os com as observações; extrapole

para 1992; remova a tendência das observações, admitindo o modelo

multiplicativo.

a)

Ano 1985 1986 1987 1988 1989

Yt 5 8 12 15 20

b)

Ano 1982 1983 1984 1985 1986 1987

Yt 5 8 12 15 20 25

5. Determine a seguinte série das vendas diárias de um produto:

2ª Feira 3ª Feira 4ª Feira 5ª Feira 6ª Feira Sábado

1ª semana 3 5 3 2 6 8

2ª semana 4 8 7 4 10 9

3ª semana 5 6 8 7 9 12

4ª semana 8 7 9 8 12 15

Determine os índices de sazonalidade:

d) Pelo método das proporções para a tendência.

e) Pelo método das proporções para as médias móveis.

6. Admita como verdadeiros os seguintes registos de dormidas em hotéis do

continente, distribuídos por meses do ano:

Anos 1.º Trimestre 2.º Trimestre 3.º Trimestre 4.º Trimestre

1986 440,36 837,73 1275,42 517,49

1987 512,33 947,95 1434,12 628,45

1998 685,71 1151,76 1693,23 778,91

1989 693,83 1357,28 1780,81 906,40

1990 911,26 1348,80 1946,20 1030,78

Supondo que já se detectou que esta série obedece ao modelo multiplicativo,

determine os respectivos índices sazonais pelos 2 métodos estudados.

Estatística Descritiva – Exercícios UAlg\ESGHT

Núcleo de métodos quantitativos 28

7. Admitindo que a matrícula dos novos automóveis está sujeita a variação

sazonal, calcule a partir dos seguintes dados os respectivos índices pelo

método das médias móveis.

Matriculas de novos automóveis em Milhares de unidades

Anos Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

1988 25.0 24.9 31.8 27.1 21.9 30.5 30.5 13.4 21.7 27.4 27.7 26.5

1989 26.7 25.4 33.6 30.8 30.3 32.4 34.6 17.9 26.7 32.9 28.9 32.1

1990 35.5 34.2 42.2 39.2 38.5 42.9 40.4 21.0 30.4 40.2 36.5 39.2

1991 44.7 40.0 52.0 43.5 43.8 48.0 48.0 24.0 30.2 19.2 40.7 39.3

8. Uma instituição bancária recolheu os seguintes dados respeitantes aos pedidos

de crédito pessoal.

1.º Quadrimestre 2.º Quadrimestre 3.º Quadrimestre

1978 3 4 8

1979 3 4 11

1980 6 7 14

a) Utilizando o método da proporção para a tendência, obtenha os índices

corrigidos de sazonalidade.

b) Elimine a tendência e a sazonalidade dos dados; interprete o resultado

residual.

9. O quadro seguinte regista as vendas trimestrais de uma dada empresa ao

longo de 4 anos:

1.º Trimestre 2.º Trimestre 3.º Trimestre 4.º Trimestre

1.º Ano 655 524 478 640

2.º Ano 722 578 544 692

3.º Ano 770 638 572 752

4.º Ano 837 672 624 788

Estatística Descritiva – Exercícios UAlg\ESGHT

Núcleo de métodos quantitativos 29

a) Supondo que a tendência pode ser bem descrita pela recta de regressão

calculada a partir daquelas 16 observações – Vendas =568,6 + 11,39 t (t=1,

2, 3, ....,16) – calcule os coeficientes de sazonalidade e interprete o

respectivo significado, procurando dar um exemplo do tipo de actividade a

que se pode dedicar esta empresa.

b) Indique a sua melhor estimativa para as vendas no sexto trimestre a seguir

ao último valor conhecido, tendo em consideração os coeficientes calculados

na alínea anterior.

10. O registo das vendas de gelados nas praias de uma zona, durante os meses de

Maio a Setembro e para todos os anos de 1983, 1984, 1985 e 1986, permitiu

estimar, a partir dos valores médios de cada ano, a seguinte tendência anual:

Xt = 3,0 + 1,1t

onde t = 1 representa o “mês – médio” do conjunto dos meses observados.

Através do método das proporções para a tendência calcularam-se, a partir dos

mesmos dados, os seguintes índices de sazonalidade corrigidos:

Maio Junho Julho Agosto Setembro

S. Corrigida 50 80 120 150 100

a) Sabendo que os valores das vendas observadas no mês de Maio dos diversos

anos foi:

1983 1984 1985 1986

Maio 1,80 2,50 2,80 3,52

Confirme o valor do índice da sazonalidade para este mês, tendo como base as

hipóteses subjacentes a este modelo. Interprete o índice.

b) Estime o valor das vendas:

i) Durante todo o ano de 1987.

ii) Em cada um dos meses referidos.

Estatística Descritiva – Exercícios UAlg\ESGHT

Núcleo de métodos quantitativos 30

11. Da análise das vendas trimestrais da empresa A, durante um período de 3 anos,

foram determinados os seguintes índices de sazonalidade:

1.º Trimestre (90,1) 4.º Trimestre (116,7)

sendo a tendência dada por Xt = 7,5 + 0,54 t, em t = 1 é referente ao 1.º

trimestre do 1.º ano.

a) Sabendo que as vendas registadas no 2.º trimestre, ao longo do período em

análise, foram de 8,5, 10,5 e 12,8, calcule os índices de sazonalidade para os

2.º e 3.º trimestres.

b) Faça a previsão das vendas para o 1.º trimestre do ano 4.

12. Nos últimos 5 anos registaram-se os seguintes volumes de vendas médias

anuais, obtidos a partir de valores trimestrais:

Ano 1 2 3 4 5

Vendas 5 8 14 24 35

a) Ajuste uma exponencial.

b) A partir da tendência obtida na alínea anterior faça a previsão para:

i) o volume de vendas médias anuais para o ano seguinte.

ii) o volume de vendas para o 4º trimestre do ano seguinte, sabendo que

está sujeito a flutuações sazonais e que os índices corrigidos para os

primeiros 3 trimestres são, respectivamente, 87, 98 e 101.

(Nota: caso não tenha feito a alínea anterior considere a tendência dada por

Xt = 12* 1,05 t )