EstatísticaTeste de hipóteses
Teste de Hipóteses
1
-objectivo
-nível de significância, região crítica, erros
-construção de testes de hipóteses
-teste para a média de uma distr. normal conhecida) valor de prova
-teste para a média de uma distr. normal desconhecida)
-teste de igualdade de duas médias de distr. normal conhecida)
-teste de igualdade de duas médias de distr. normal desconhecida)
-teste do “t” para dados emparelhados
-teste para a variância de populações normais, comparação de duas variâncias, distribuição F
Pontos mais importantes:
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Objectivo:
Verificar a consistência de uma hipótese estatística (sobre um parâmetro da distribuição em estudo) com os dados disponíveis (amostra).
e.g.: -os filtros que a minha empresa comprou conseguem resistir uma pressão de 5 Bar?
-o número de células numa água contaminada diminuiu,
por um factor de 10-5/ml, após o nosso tratamento?-A pasteurização de leite com um permutador de calor mais barato não resultou numa qualidade inferior em relação ao processo com um permutador de calor mais caro?...
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Hipóteses
rejeitar
muito improvável
Aceitar verdadeira
Aceitar um hipótese não significa que esta é verdadeira, só significa que os dados aparecem consistentes com a nossa hipótese (provável)
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Nível de significância
Suponha que temos uma população com distribuição F. Queremos testar um hipótese sobre da F. Este hipótese chama-se “hipótese nula”.
a) H0: =5 Bar (N~(
b) H0: <5 Bar (N~(
Caso a) é um hipótese simples: determina completamente F
Caso b) é um hipótese complexo: não determina F
Baseado numa mostra de tamanho n, podemos aceitar ou rejeitar H0
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aceitar H0 se
rejeitar H0 se
CX,...X,X n21
CX,...X,X n21
H0 é rejeitada se a amostra (estatística) fizer parte da região crítica ,C, do espaço amostral:
Erro de tipo I: rejeitar erradamente H0 quando é verdadeira
Erro de tipo II: aceitar erradamente H0 quando é falsa
Quando H0 é verdadeira, a nossa hipótese só deve ser rejeitada se os valores observados forem muito improváveis. A probabilidade de cometer erro de tipo I não deve ultrapassar um valor especificado, (geralmente baixo).
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chama-se nível de significância. Existem alguns níveis convencionais, mas a escolha depende do objectivo:
=0.2 -é suficiente ser suspeitoso que H0 seja falsa
=0.1 -moderadamente convencido que H0 é falsa
=0.05 -bastante convencido que H0 é falsa
=0.005 -muito convencido que H0 é falsa
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Construção de um teste de hipótese
1) Escolha da estatística para o teste: geralmente um estimador e.g. média amostral
2) Escolha de um nível de significância
3) Determinação da distribuição de probabilidade da estatística e a correspondente região crítica
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Testar a média de uma distribuição normal de variância conhecida
H0 : Hipótese nula:
Hipótese alternativa: H1 :
(média é igual com um dado valor)
Estatística (óbvia):n
XX
n
1i i
Região crítica: )cX(C 0
Nos queremos determinar c em concordância de uma tal que
cXP 00
(e.g. =5%, só 5 vezes em 100 amostras, a diferença entre a média amostral e a média ultrapassa c se H0 for verdadeira)
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Se for verdade que , nos podemos dizer:
)1,0(N~X
nZ 0
Assim,
cn
ZP0
Aplicando simetria temos, 2cn
ZP0
Também sabemos que, 2zZP 20
O resultado,n
zc 2
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10
aceitar H0 se n
zX 2
0
rejeitar H0 se n
zX 2
0
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H0 :
H1 :
96.1z68.15.12
5X
n025.00
Exemplo: Pretende-se re-calibrar uma balança. O erro das medições da balança tem uma g2) e, desejavelmente, média 0. Fazendo 5 medições com peso calibrados a média amostral do erro é 1.5 g. Pode ser que o erro da balança continue, em média, a ser 0 (=0.05)
H0 é aceite com 5% de nível de significância.
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Uma alternativa ao procedimento anterior é primeiro calcular:
0X
nzP2
p
p chama-se valor de prova e dá o nível de significância crítica. H0 rejeita-se para todos valores de que verifica p
Exemplo: Determine p para o exemplo anterior
%65.468.1zPXn
zP2p
0
Assim para qualquer nível de significância superior de 2*0.0465=0.093 H0: erro do balanço=0 seria rejeitado (e.g. =0.1)
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Erro de tipo II: qual é a probabilidade de aceitar erradamente H0 quando a verdadeira média ?
H0 verdadeira H0 falsa
H0 rejeitada Erro tipo I
(probabilidade Correcta
(probabilidade 1-
H0 aceite Correcta
(probabilidade 1-Erro tipo II
(probabilidade
Resultados possíveis
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022
0
022
0
20
2
nzZznP
nzX
nznP
nznX
nnzP)(
para calcular
15
20
2 zX
nzP)(
Esta probabilidade (aceitar H0) é uma função da média verdadeira (,
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= 0+= 0+2
= 0+3
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522
5n 0
392.096.15196.4
96.15196.151
96.15596.1)2(
Exemplo: Pretende-se re-calibrar uma balança. O erro das medições da balança tem uma g2) e, desejavelmente, média 0. Fazendo 5 medições com pesos calibrados qual é a probabilidade de aceitarmos erradamente H0, se o factor de calibração verdadeiro era 2g
; z0.025=1.96
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No exemplo anterior é óbvio que a probabilidade de cometer o erro tipo II só depende do tamanho da mostra (para um dado ). Assim a função podia ser usada para determinar o tamanho da mostra maximizando a probabilidade de aceitar H0: 0 à , quando a verdadeira média é .
Infelizmente não existe solução analítica mas pode ser usada a seguinte aproximação (sem prova):
2
10
222 zz
n
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O teste de hipótese discutido agora resultou uma rejeição de H0 quando o valor média da amostra ficou longe da média “hipotética” da população em qualquer sentido. O que acontece e.g. se a única alternativa é que 0 ou:
H0 : (ou )
H1 :
Região crítica: )cX(C 0
Nos queremos determinar c em concordância de uma tal que
cXP 00
Neste caso o teste chama-se teste unilateral.
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20
zc
nZP
0
n
zc
Assim podemos escrever:
ou
aceitar H0 se n
zX 0
rejeitar H0 se n
zX 0
A probabilidade do erro tipo II é dado
00 nznzZP)(
H0 : (ou )H1 :
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H0 :
H1 :
645.1z68.15.12
5X
n05.00
H0 é rejeitado com 5% de nível de significância.
A mesma forma podemos construir testes de hipótese unilateral para:
H0 : (ou )
H1 :
aceitar H0 se n
zX 0
rejeitar H0 se n
zX 0
Exemplo: Considere o exemplo de calibração da balança(g2)). Agora sabemos que se existe um erro, não pode ser negativo. Poderá o erro da balança em média continuar a ser 0 em média (=0.05)?
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Nota: Existe uma analogia directa entre os intervalos da confiança e os testes de hipóteses
aceitar H0 se n
zX 2
0
n
zX
n
z 20
2
n
zXX
n
z 20
2
o intervalo de confiança:
1n
ZXn
ZXP 2/2/
n
zX
n
zX 2
02
ou
Se fica no intervalo da confiança com nível de conf. 1-, H0 é aceitado
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Testar a média de uma distribuição normal de variância desconhecida-Teste do “t” de Student
H0 : Hipótese nula:
Hipótese alternativa: H1 :
Estatística:
t~S
XnT 0
Assim:aceitar H0 se
n
StX 1n,2
0
rejeitar H0 se n
StX 1n,2
0
(média é igual a um dado valor)
EstatísticaTeste de hipóteses
24
340 344 362 375 356 386 354 364 332 402 340 355 362 322 372 324 318 360 338 370
H0 : H1 :
7778.0s
XnT 0
2231.07778.0tPTtP2p
191n
ou p=0.4462
e.g. com H0 é aceitado (p>).
Exemplo: Suspeita-se que nos EUA o consumo diário de água num domicilio seja de 350 (10-1) gal/dia. Realizou-se uma experiência, que envolveu 20 famílias, e observaram-se os seguintes resultados:
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0.22
EstatísticaTeste de hipóteses
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H0 : (ou )
H1 :
aceitar H0 se n
StX 1n,
0
rejeitar H0 se n
StX 1n,
0
A)
B) H0 : (ou )
H1 :
aceitar H0 se n
StX 1n,
0
rejeitar H0 se n
StX 1n,
0
Podemos efectuar os testes unilaterais:
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Teste da igualdade das médias de duas populações normais com as variâncias conhecidas
H0 : XYHipótese nula:
Hipótese alternativa:
Estatística:
mn,N~
m
Y
n
XYX
2Y
2X
YX
m
1i i
n
1i i
H1 : X Y
Assim se Ho for verdade:
1,0N~
mn
YX2Y
2X
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Assim podemos facilmente construir um teste de hipóteses porque,
aceitar H0 se 22Y
2X
z
mn
YX
rejeitar H0 se 22Y
2X
z
mn
YX
28
EstatísticaTeste de hipóteses
A B 61.1 62.2 58.2 56.6 62.3 66.4 64 56.2
59.7 57.5 66.2 58.4 57.8 57.6 61.4 65.4 62.2 63.6 61.7 60
H0 : AB H1 : A
B
H0 está aceitado com 5% nível de significância
96.1z688.047.2
7.1
836
1016
607.61Z 025.0
29
Exemplo: Temos dois métodos, um barato (B) e um caro (A), para imobilizar enzimas. Medimos o tempo (em horas) que as enzimas imobilizadas mantém a sua capacidade catalítica. Determine se o método mais barato pode ser considerado como uma boa alternativa ao método A com 5% nível de significância com B=4 e B=6.
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Teste da igualdade das médias de duas populações normais com as variâncias desconhecidas
H0 : XYHipótese nula:
Hipótese alternativa:
Estatística:
H1 : X Y
Assim se Ho for verdade: T~tn+m-2
Suponha que: X= Y
2mnS)1m(S)1n(
m1
n1
)(YXT
2Y
2X
YX
aceitar H0 se |T|<tn+m-2
rejeitar H0 se |T|>tn+m-2 31
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Exemplo: Considere o exemplo anterior, mas agora suponha que as variâncias são também desconhecidos
A B 61.1 62.2 58.2 56.6 62.3 66.4 64 56.2
59.7 57.5 66.2 58.4 57.8 57.6 61.4 65.4 62.2 63.6 61.7 60
H0 : AB H1 : A
B
H0 está aceitado com 5% nível de significância
12.2t02.147.0*33.3
7.1T 16,025.0
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Teste do “t” para dados emparelhados
Muitas vezes estamos interessados em avaliar, se uma alteração qualquer no nosso sistema, melhorou ou não o sistema (menos custo, mais produção, melhor qualidade etc.) Para saber isso, compara-se o sistema antes (X) e após (Y) a alteração feita.
Com n pares da amostra (Xi, Yi) podem ser usados para obter uma nova v.a. Wi= Xi-Yi
Assim: H0 : WHipótese nula:
Hipótese alternativa: H1 : W
Estatística: t~S
WnT
W
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Assim:aceitar H0 se
n
StW W1n,2
rejeitar H0 se n
StW W1n,2
Vantagem: O teste do “t” emparelhado pode ser utilizada, apresar as amostras não serem independentes ou não tiveram variâncias iguais, garantido que n1=n2.
Desvantagem: o grau de liberdade em vez que 2n-2 fica apenas n-1.
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Antes Depois W 30.5 23 7.5 18.5 21 -2.5 24.5 22 2.5 32 28.5 3.5 16 14.5 1.5 15 15.5 -0.5
23.5 24.5 -1 25.5 21 4.5 28 23.5 4.5 18 16.5 1.5
H0 : W
H1 : W
aceitar H0 se ,1nW
tS
Wn
rejeitar H0 se ,1nW
tS
Wn
833.1t67.23
15.210
3S
15.2W05.0,9
W
36
Exemplo: Recentemente um novo programa de segurança do trabalho foi introduzido na industria de produção de latas. O tempo (em horas) médio perdido na produção de cada semana por causa de acidentes foi medido em 10 empresas. Determine se o programa teve um efeito positivo com 5% de nível de significância.
Assim H0 é rejeitado, o programa teve um efeito positivo com 5% de nível de significância
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EstatísticaTeste de hipóteses
Teste de hipóteses para a variância de populações normais
H0 : Hipótese nula:
Hipótese alternativa: H1 :
(variância é igual com um dado valor)
Estatística: 21n2
0
2
~S)1n(
Sabemos:
aceitar H0 se
38
1
s)1n(P 1n,2/
22
0
2
1n,2/12
1n,2/2
20
2
1n,2/12 s
)1n(
rejeitar H0 para outros
EstatísticaTeste de hipóteses
H0 :
H1 :
%) 33.07(p 2.27111.210225.0
025.0*19S)1n(1.0,192
0
2
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Exemplo: Uma nova máquina de encher garrafas da água foi instalada numa empresa de água. A máquina pode ser considerada eficiente se o desvio padrão do volume da água engarrafada não ultrapassar 0.15l (garrafas de 15l). 20 amostras indicaram uma variância amostral 0.025l2. O que podemos dizer sobre a máquina?
H0 é aceite com 10% nível de significância (e qualquer nível de significância <p=33.07%).
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21.1
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Teste da igualdade de variâncias de duas populações normais
H0 : X
YHipótese nula:
Hipótese alternativa:
Estatística: F~S
S1m,1n2
Y
2X
H1 : X
Y
1m
)YY(S ;
1n
)XX(S
m
1i
2i2
Y
n
1i
2i2
X
Então:
aceitar H0 se
rejeitar H0 para outros
1F
S
SFP 1m,1n,22
Y
2X
1m,1n,21
1m,1n,22Y
2X
1m,1n,21 FS
SF
41
EstatísticaTeste de hipóteses
Distribuição F: Sejam e
duas v.a. com distribuição chi-quadrado a v.a. F definida:
2
1F 22
21
2,1
tem uma distribuição F com e graus de liberdade
42
- f(x) muito complicado
-tabelas para calcular probabilidades
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EstatísticaTeste de hipóteses
H0 : X
YHipótese nula:
Hipótese alternativa: H1 : X
Y
5.0S
S2
Y
2X 26.0
F
1F
9,11,025.011,9,025.01
59.3F 11,9,025.0
59.35.026.0
Exemplo: Existem dois catalisadores utilizados num processo químico. A quantidade de produto formado usando qualquer um dos catalisadores não tem uma diferença significativa em termos do valor da média. Mas também queremos testar, se as variâncias podem ser considerados iguais com 5% nível de significância. As mostras indicaram que S2
1=0.14 (n=10) e S22=0.28 (n=12).
assim o hipótese de variâncias iguais é aceite.
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