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Edital N. 04/2009-DIGPE 10 de maio de 2009

INSTRUES GERAIS PARA A REALIZAO DA PROVA Use apenas caneta esferogrfica azul ou preta. Escreva o seu nome completo e o nmero do seu documento de identificao no espao indicado

nesta capa. A prova ter durao mxima de 4 (quatro) horas, incluindo o tempo para responder a todas as

questes do Caderno de Provas e preencher as Folhas de Respostas. Ao retirar-se definitivamente da sala, entregue as Folhas de Respostas ao fiscal. O Caderno de Provas somente poder ser levado depois de transcorridas 3 (trs) horas do incio

da aplicao da prova. Confira, com mxima ateno, o Caderno de Provas, observando o nmero de questes contidas e

se h defeito(s) de encadernao e/ou de impresso que dificultem a leitura. A quantidade de questes e respectivas pontuaes desta prova esto apresentadas a seguir:

Tipo de questo Total de questes Pontuao por

questo Total de

pontuao Discursiva 02 questes 15 pontos 30 pontos

Mltipla escolha 20 questes 3,5 pontos 70 pontos

INSTRUES REFERENTES S QUESTES DE MLTIPLA ESCOLHA Confira, com mxima ateno, se os dados (nome do candidato, inscrio, nmero do documento

de identidade, matria/disciplina e opo de campus) esto corretos. Em havendo falhas na Folha de Respostas, comunique imediatamente ao fiscal de sala. Assine, no espao apropriado, a Folha de Respostas. A Folha de Respostas no poder ser rasurada, dobrada, amassada ou danificada. Em hiptese

alguma, ser substituda. Para cada questo, h apenas uma resposta certa. Transfira as respostas para a Folha de Respostas somente quando no mais pretender fazer

modificaes. No ultrapasse o limite dos crculos. OBSERVAO:

As instrues referentes s questes discursivas encontram-se na capa das Folhas de Respostas Discursivas.

NOME COMPLETO: DOCUMENTO DE IDENTIFICAO: _____________________________

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QUESTES DISCURSIVAS

ESTAS QUESTES DEVERO SER RESPONDIDAS NAS FOLHAS DE RESPOSTAS DAS QUESTES DISCURSIVAS, MANTENDO O MEMORIAL DE CLCULO, QUANDO FOR O CASO.

1. (15 pontos) Considere F uma funo real definida no intervalo [ a, b ] por F(x )=x

)(a

dttf ,para

alguma funo real contnua f definida em [ a, b ]. Demonstre que F uma funo limitada em [ a, b ].

2. (15 pontos) Considere o espao vetorial V = R3 sobre R e seja T: V V um operador linear

definido por T(x, y, z) = (2x y, y, z). Demonstre que T um isomorfismo e determine T-1.

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FOLHA PARA RASCUNHO

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QUESTES DE MLTIPLA ESCOLHA

AS RESPOSTAS DESTAS QUESTES DEVERO SER ASSINALADAS NA FOLHA DE RESPOSTAS DAS QUESTES DE MLTIPLA ESCOLHA. 1. (3,5 pontos) Seja R o corpo dos nmeros reais e considere o espao vetorial V =R3={ ( x, y, z ) / x, y ,z

R } sobre R. Sejam W = [ ( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2 )], o subespao de V gerado pelos vetores ( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2 ), e S = { (x + y, y, x) / x, y R } tambm subespao de V. O subespao interseco de W e S dado por

a) [( 1, -1, 1)]. b) [( 2, 1, 1)]. c) [( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 )]. d) [( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2, )].

2. (3,5 pontos) Seja f uma funo real definida por f(x) = 2

22

x

x . Sobre )(lim 2 xfx 2 , correto afirmar

que

a) o limite existe e igual a 2 . b) o limite existe e igual a 22 . c) o limite no existe, face a funo no ser definida no ponto x = 2. d) o limite no existe em virtude dos limites laterais para a funo f embora existindo no serem iguais.

3. (3,5 pontos) Sendo f : R R uma funo diferencivel, correto afirmar que

a) f uma funo contnua e limitada. b) f possui ponto de mximo ou mnimo absoluto. c) f uma funo contnua. d) Necessariamente f possui pontos crticos.

4. (3,5 pontos) Considerando o espao vetorial V = R2 sobre R, = { ( 1, 2 ), ( 2, -1) } e = { ( 1, 0), ( 1, 1 ) } bases de V, a matriz de transio de para corresponde a

a) 12

31

b) 12

31

c) 12

31

d) 12

31

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5. (3,5 pontos) Seja f: R R uma funo real diferencivel tal que dx

df (x) 3x2 + sen(x) = 1. Assinale a

alternativa correta para f(x) sabendo que f(0) = 1.

a) f(x) = x3 + cos(x) + x + k , k R b) f(x) = x3 + cos(x) + x c) f(x) = x3 + sen(x) + x + k , k R d) f(x) = x3 + sen(x) + x

6. (3,5 pontos) Considere V = { f : R R / f funo contnua } o espao vetorial das funes contnuas sobre R. Seja S o conjunto formado pelas funes f e g definidas por f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x). Assinale a alternativa correta.

a) S um conjunto de vetores linearmente dependentes. b) S gera o espao vetorial V. c) V um espao de dimenso finita. d) S um conjunto de vetores linearmente independentes.

7. (3,5 pontos) Considerando f e g funes reais de uma varivel tal que o ))().((lim xgxfax a existe, correto afirmar que

a) as funes f e g so limitadas. b) pode no existir um dos limites: )(lim xfax a ou )(lim xgax a . c) os limites das funes f e g existem no ponto x = a. d) necessariamente as funes so continuas no ponto x = a.

8. (3,5 pontos) Considere f : R R uma funo definida por f( x ) =2 xse 5

2 xse 32 pxx . O valor de p

para que f seja contnua no ponto x = 2 corresponde a

a) -1. b) 1. c) 2. d) 3.

9. (3,5 pontos) Sejam V e W espaos vetoriais sobre um corpo K e T: V W uma transformao linear. Se dim(V) > dim(W), correto afirmar que

a) T transforma base em base. b) Se e so bases de V e W, respectivamente, a matriz associada a T, T , uma matriz

quadrada. c) N(T) { 0 }, ( N (T) = ncleo de T ). d) T necessariamente sobrejetiva.

10. (3,5 pontos) Sendo f: R R uma funo real definida por f(x) = 3

1 x3 4x2 + 12x + 1, correto afirmar

que

a) x = 2 e x = 4 so pontos crticos de f. b) x = 2 um ponto de mximo relativo de f. c) x = 6 um ponto de mximo relativo de f. d) (6, 1) um ponto de inflexo do grfico de f.

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11. (3,5 pontos) Seja V = M2x2(F) o espao das matrizes de ordem 2 sobre o corpo F. Considere o subespao vetorial W = { A V; At = A } de V, formado pelas matrizes anti-simtricas. Em relao dimenso de W correto afirmar que o seu valor

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.

12. (3,5 pontos) Considere o sistema de equaes lineares:

0323

02

02

zyx

zyx

zyx

Seja S o espao soluo deste sistema. correto afirmar que

a) A dimenso de S 2. b) S = { (0,0,0) }. c) S = [ ( -1, 3, 1 )]. d) S = [ ( 1, -3, -1), ( 2, 6, 2 )].

13. (3,5 pontos) A rea da regio compreendida entre as curvas y = x3 e y = 3x 2 corresponde a

a) 4 u.a.

b) 6 u.a.

c) 4

25 u.a.

d) 4

27 u.a.

14. (3,5 pontos) Seja R+ = { x R; x > 0} e considere f: R+ R uma funo definida por f(x) = xt11 dt .

A funo derivada, dx

df (x), de f corresponde a

a) x 1

b) x

1 1

c) x

1

d) 2

1

x

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15. (3,5 pontos) Considere a funo real, y = f(x), dada implicitamente por x3 + y2 = 2, cujo grfico passa pelo ponto ( 1, 1 ). A derivada da funo f no ponto x = 1 corresponde a

a) 3

b) 2

3

c) 2

33

d) 2

5

16. (3,5 pontos) Seja V = R2 e W = R3 espaos vetorias sobre o corpo R e T : V W uma transformao linear tal que T( 1, 1 ) = ( 1, 2, 0 ) e T ( -1, 0 ) = ( 3, -1, 2 ). correto afirmar que

a) T( 2, 3 ) = ( 5, 4, 1 ).

b) T =20

12

31

, com = { ( 1, 1), ( -1, 0 ) } e = { ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ), ( 0, 0, 1 ) } .

c) N(T ) { 0 }. d) Im(T ) = [ ( 1, 2, 0 ), ( 3, 1, 2 ) ], sendo Im(T) = conjunto imagem de T.

17. (3,5 pontos) Considere o espao vetorial V = R3 sobre o corpo R, e sejam E, F e G bases de V. Sabendo-se que a matriz de transio da base E para a base F P e que a matriz de transio da base E para a base G Q, correto afirmar que a matriz de transio da base F para a base G

a) Q.P-1 b) P.Q c) P-1.Q-1 d) Q.P

18. (3,5 pontos) O volume de um tronco de cone que tem como geratriz a funo real definida por f(x) = x, obtido por uma rotao do grfico de f em torno do eixo x, e raios de base inferior e superior, respectivamente, 1 cm e 2 cm corresponde a

a) 7 cm3.

b) 7

3 cm3.

c) 3

cm3.

d) 3

7 cm3.

19. (3,5 pontos) A reta tangente curva y = x4 + 2x2 + x no ponto ( 1, 0 ) tambm tangente essa mesma curva em outro ponto P. correto afirmar que P corresponde a

a) ( 0, 0 ) b) ( 2, 6 ) c) ( 1, 2 ) d) ( 2, 10 )

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20. (3,5 pontos) Seja T : V V um operador linear definido num espao vetorial V sobre o corpo R de dimenso finita. Supondo que exista um autovalor c = 0 de T, correto afirmar que

a) T um isomorfismo. b) T injetivo. c) T sobrejetivo. d) T no-injetivo.

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