EU E A MATEMÁTICA: CALCULANDO E APRENDENDO
Estudo dos Números Decimais a partir de Medidas do corpo
Dorotéia Maria da Silva Rívollia, Drª Ana Lúcia da Silvab,
a Colégio Estadual “Professor Mailon Medeiros- Ensino Fundamental, Médio e
Profissional – Bandeirantes - PR; b Departamento de Matemática Universidade
Estadual de Londrina, Londrina, PR, Brasil.
Correspondência para o autor: Rua Vitório Bertack, nº 172– 86360-000 – Bandeirantes , PR, Brasil. Tel.(43) 3542 - 3180. E-mail: [email protected]__________
Agradecimentos à Secretaria de Estado de Educação do Estado do Paraná(SEED) e Universidade Estadual de Londrina (UEL).
RESUMO:
O artigo apresentado com o tema Eu e a Matemática: Calculando e Aprendendo, objetiva motivar os alunos das diversas séries do Ensino Fundamental, para trabalhar com os números decimais e com as medidas de comprimento. Consideramos que ao medir as partes do próprio corpo, o aluno se motivará para realizar as atividades propostas para o aprendizado dos conteúdos estruturantes ( Números e Medidas) e os conteúdos específicos ( Medidas de Comprimento e Números Decimais). Espera-se que ao se sentir motivado para as medições e operações, os mesmos possam obter um foco deslumbrado em relação à noção de proporcionalidade entre as medidas de comprimento e como conseqüência uma verdadeira compreensão de medidas e suas representações com algarismos, sejam elas, exatas e aproximadas; uma vez isso assimilado, os alunos compreendam que para se expressar por escrito, se faz necessárias representatividades inteiras e não inteiras que são os números decimais e suas especificidades.
Durante a aplicação do material, que será proposto por meio deste artigo, surgiram as curiosidades existentes nas medidas do corpo humano, o que serviu de incentivo para a realização dos cálculos com números decimais de uma forma clara e prazerosa.
Uma das atividades aplicada foi a relação harmônica entre várias partes do corpo, que se finalizará com a apresentação do número PHI ( fi) conhecido como número de ouro. Em princípio, o material escrito estava proposto para ser desenvolvido com alunos da quinta série, porém se tornou também interessante para as demais séries do ensino fundamental.
O resultado obtido foi surpreendente, com objetivo principal de operar com números decimais alcançado.
PALAVRAS-CHAVE:
Motivação; medidas; números decimais; harmonia do corpo humano
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SUMMARY:
The report presented with the subject “I and the Mathematics: Calculating and Learning”, has for objective to motivate the students of the several grades of Intermediate School, when working with the decimal numbers and the measures of length. We leave of the idea that when measuring the parts of the proper body, the pupil will motivate itself to carry through the activities proposals for the specific learning of the estruturantes contents (Numbers and Measures) and contents (Measured of Length and Decimal numbers). It is considered that to if feeling motivated for the measurements and operations the same ones will have one better vision of proportionality among the measures of length and as consequence a real understanding of measures and its representations with numbers, as accurate and approached.They will understanding that to express themselves in writing, they are necessary entire and not entire representations that are the decimal numbers and its own characters. During the application of the material that will be considered by means of this article, the existing curiosidades in the measures had appeared of the human body, what it served of incentive for the accomplishment of the calculations with decimal numbers of a clear and pleasant form. One of the activities is the harmonic relation among some parts of the body, that will be finished with the presentation of number PHI (fi) known as gold number. First, the material the writing was considered to be developed with pupils of the fifth grades, however if it also became interesting for the another grades.
PALAVRAS-CHAVE:
Motivation; measures; decimal numbers; harmony of the human body
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INTRODUÇÃO:
Quando se propõe com os alunos o desenvolvimento de um
projeto, de um material didático diferenciado daqueles aos quais
estamos habituados a trabalhar em sala de aula, este, por mais
idealista que seja já é uma realidade, se desenvolve em uma
caminhada de grande valia na busca de aprendizagem, na travessia
de alunos e professores pela escola.
Diante da falta de perspectiva em relação à melhoria do campo
de trabalho, seja ele qualificado ou não, constamos o desinteresse em
se aprender através da linguagem da escola, que por sua vez se faz
distanciada da realidade. Notamos que os conhecimentos
matemáticos empíricos muitas vezes se sobressaem em relação aos
conhecimentos formais, científicos e epistemológicos dos conteúdos
programáticos para serem apreendidos no âmbito escolar.
Os anos de experiência no magistério nos mostra que a maioria
de nossos alunos, estuda (calcula e lê) somente nos momentos em
que se encontram dentro da sala de aula, o que torna o professor um
orientador, ou seja, um interventor único para a transformação do
saber sistematizado.
A motivação tem sido difundida por um número expressivo de
professores para justificar a importância da aplicação de materiais
que despertem o interesse dos alunos pelo conteúdo que lhe esta
sendo ensinado.
Com base nesta realidade tentamos buscar recursos, com o
intuito de aumentar o interesse do aluno e que os referidos recursos
possam auxiliar cada professor, viabilizando o alcance de seus
objetivos e o cumprimento de sua tarefa de transformador educador.
A atividade docente de auxiliar os alunos na aquisição de
experiências pelo trabalho independente, necessita de um
refinamento de interpretação para a produção de materiais
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instrucionais, fornecedores de subsídios que contribuam para a
transformação do conhecimento.
Com o objetivo de reverter o desinteresse e acreditando numa
metodologia direcionada ao EU, surge a idéia de se desenvolver um
trabalho com a individualidade de cada aluno, pensando que ao
utilizar seu próprio corpo como material de estudo, o aluno se
disponha a ser o agente transformador de seus conhecimentos
matemáticos. Utilizando cálculos que são curiosos e próprios de cada
ser humano, possibilitaremos a descoberta de conhecimentos
científicos já apresentados na área científica, mas para eles
encarados como inéditos.
A cada descoberta, os estudantes estarão construindo a sua
história de conhecimentos, sendo as aplicações matemáticas
efetuadas com maior prazer. Ao analisar e concluir medidas, quantias
e quantidades se motivarão em buscar outras questões que lhes
pareçam interessantes, aumentando a necessidade de se saber
matemática e a necessidade de se calcular com acertos. Conduzindo-
o a uma aceitação de que a linguagem matemática escolar lhe é útil
como transformadora de saberes naturais em conhecimentos
matemáticos e por conseqüência a sua transformação.
Quando se trabalha com alunos motivados, por maior que sejam
suas dificuldades de entendimento, podemos contar com
metodologias que contribuam para uma aprendizagem concreta; no
entanto quando nos mostram estudos pesquisados que sem
motivação dos alunos, dificilmente alcançaremos nossos objetivos de
interventores, por mais que utilizemos as mais diversas metodologias.
Para essa realidade detectada espera-se que o presente estudo seja
instrumento de motivação para professores e alunos.
Esse material relata experiências com atividades de variação de
medidas de comprimento, medidas monetárias, medidas de área de
polígonos, construção de materiais, os quais proporcionam aos
estudantes situações problemas. Para que elas obtenham respostas,
os estudantes efetuam operações com os números decimais, visto
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que se trabalhando com medidas, as representações são em quase
todas as vezes representadas por valores não exatos. Tal prática vem
de encontro com a proposta desse estudo: de oportunizar os
estudantes a analisarem e operarem com representações não exatas,
que aqui denominamos simplesmente por números decimais.
Ao medirmos as partes do corpo, observaremos que os números
inteiros não são suficientes para expressar as medidas de
comprimento analisadas. Surge a necessidade de representar
medidas com números não inteiros.
Momento oportuno para a discussão dos aspectos de geração de
conjecturas, reflexões e formalização dos conteúdos que passam a ter
papel fundamental para os alunos e professores em sala de aula.
Por se tratar de um conteúdo específico do ensino fundamental,
partiremos para um estudo de aprofundamento teórico, que servirá
como base para a conclusão do trabalho com medidas do corpo e
suas relações.
Após a fundamentação teórica teremos condições de alcançar os
objetivos com o estudo das medidas de comprimento e com o estudo
dos números decimais e suas operações, de uma forma inter-
relacionada que são condicionantes para um entendimento concreto
ao aluno, ou seja, uma aprendizagem significativa desses conteúdos
da matemática básica.
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Teorizando Cálculos Matemáticos
A escola: um cenário aparentemente inocente e quase saído das
histórias de contos de fadas, na ilusória pureza do pequeno teatro
cotidiano de uma sala de aula. Mas um cenário onde, às voltas com
as energias e as matérias mais misteriosas da realidade cultural:-o
conhecimento, a circulação e o aprendizado infindo do conhecimento
- a pessoa humana vive momento mais essencial de sua própria
condição. Pois ali ela experimenta o trabalho pensado e vivido, entre
o quadro-negro e as filas geométricas das carteiras, de uma boa
réplica do drama interativo da própria metáfora múltipla da vida
social. Uma metáfora de nós mesmos, onde a aparência de estarmos
aprendendo “coisas para a vida” (o lado intencionalmente utilitário da
educação) estamos empenhados na busca de um sentido para nós e
para ela, a vida. Um cenário de cultura, adormecido nos livros e nas
mentes, acorda e é ressuscitado neste pequeno milagre que nos faz
humanos, cujo nome é “AULA”, e de cujas originalidades e grandeza
estamos mais esquecidos, mais do que devíamos é o que comenta
Carlos Brandão e que o referente artigo anseia alcançar, uma aula
com característica transformadora de informações em conhecimentos
práticos e reais em sua historicidade.
Na abordagem usualmente presente na escola, os alunos têm
pouca autonomia na construção do seu próprio conhecimento. Muitas
vezes avaliamos somente pela repetição de conteúdos apresentados.
Quando ele participa de projetos, deixa de ser receptivo e passa a ser
ativo em seu processo educacional.
A prática de projetos em sala de aula levam os estudantes à
reflexão sobre problemas do seu dia a dia.
Para Abrantes (1995) a característica principal do trabalho com
projetos é a investigação, ele aponta os benefícios para a motivação
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da prática do ensino da Matemática em sala de aula. E que ela, a
matemática é uma das bases teóricas essenciais e necessárias de
todos os grandes sistemas de interpretação da realidade, que
garantem a intervenção social com responsabilidade e dão sentido à
condição humana.
Recorrendo à história, podemos ver que a representação das
frações decimais tal qual a conhecemos hoje com uma vírgula para
separar a parte inteira da parte decimal, de acordo com Ifrah, (2001),
só foi criada no século XVII. No entanto, muito tempo antes havia
proposições nesse sentido. O fato é que essa notação surgiu como
forma de simplificar e agilizar os cálculos com números racionais e
rapidamente se universalizou.
Sabe-se também que essa forma fácil de representação acabou
influenciando na criação dos sistemas decimais de medidas, ainda
que, em alguns países, sistemas não-decimais continuassem a
vigorar. Porém, revelou-se até o final do século XVI a dificuldade de
se comercializar, devido a verdadeira babel do sistema de medidas e
que a uniformização de medidas trouxe maior fluidez nestas relações.
Pensando na aplicação do método exposto, D`Ambrósio
(1998,p.17) relata que todos os povos tiveram as mesmas idéias
para medir as coisas usando partes do corpo.
Muniz, Batista e Barbosa afirmam em estudos relatados num
artigo científico disponibilizado nas páginas da Internet, que em nossa
cultura temos por hábito usar decimais bem mais que as frações: no
dinheiro, nas medidas de comprimento, de massa, capacidade,
superfície, volume. E, mais que isso, o nosso sistema de medidas é
decimal, nosso sistema legal tem por base o dez. Basta olharmos à
nossa volta para constatar a grande quantidade de números com
vírgula em nossos cálculos matemáticos.
De acordo com Nunes (1997, p.99), as atividades de medidas
são importantes para expandir a compreensão do número pelas
crianças, pois elas avançarão do uso de números naturais para
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contagem a um universo maior, que abrange também os números
decimais para medidas.
Desde os primórdios, saber conviver e saber transforma-se
foram o segredo da sobrevivência.
Aprender a escrever sua vida, como autor e como testemunha de
sua história, isto é, biografar-se, existenciar-se, historizar-se é a
proposta animadora da pedagogia de Paulo Freire para a “educação
como prática de liberdade”.
Paulo Freire ainda nos traz a lição maior: a sua preocupação
social. A busca de alternativas e propostas que devem ser constantes
em nosso dia a dia, no sentido de resgatar o “homem”, o cidadão e o
“trabalhador” da alienação de seu “ser”, do exercício de cidadania e
de sua dignidade.
Na tentativa de uma ação transformadora que conduza os
estudantes à uma desalienação de conhecimentos e recorrendo á
estratégias didáticas metodológicas, vemos em Cury (1995) os
comentários sobre pesquisas que comprovam os erros de estudantes,
dizendo que ao analisar os erros cometidos pelos estudantes,
constata-se a necessidade de alterar a situação do ensino de
matemática, também no que tange os cálculos com números
decimais e que apenas constatar o não domínio deste conteúdo é
pouco para mudar a prática pedagógica dos professores de
matemática, mas que isso é preciso.
Segundo Dante: ’’Uma aula de matemática onde os alunos,
incentivados e orientados pelo professor trabalhem de modo ativo-
individualmente ou em pequenos grupos e que na aventura de buscar
a solução de um problema que os desafia é mais dinâmica e
motivadora do que a que segue o clássico esquema de explicar e
repetir. O real prazer de estudar matemática está na satisfação que
surge quando o aluno, por si só, resolve um problema. Quanto mais
difícil, maior a satisfação em resolvê-lo’’.
Ao trabalhar com as medidas, suas representações com números
decimais, podemos observar a harmonia divina da criação em cada
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ser humano que se encontra presente entre várias partes do corpo.
Veremos a seguir algumas dessas relações encontradas nos estudos
de Leonardo da Vinci e outros matemáticos e que foram utilizadas de
ferramenta na elaboração do material didático deste artigo.
Sabemos que são muitas as ferramentas tecnológicas que se
fazem presentes no cotidiano de nossos alunos, em ambientes
escolares e extra-escolares, o material didático relatado a seguir
apresenta-se como uma atividade didática viável por utilizar objetos
simples com condições de contribuir no processo de ensino
aprendizagem de matemática.
Baseando em estudos realizados pelo artista Leonardo Da Vinci,
estruturamos as atividades utilizando-se de vários cálculos sugeridos
nesses estudos. Podemos ver em O Homem Vitruviano que é um
desenho famoso que acompanhava as notas que Leonardo da Vinci
fez ao redor do ano 1490 num dos seus diários. Ele descreve uma
figura masculina desnuda separadamente e simultaneamente em
duas posições sobrepostas com os braços inscritos num círculo e num
quadrado. A cabeça é calculada como sendo um oitavo da altura
total. A partir dessa pesquisa as atividades se focaram nas operações
com as medidas denominadas também de Divina Proporção.
Calculando a Beleza Humana, resultados exatos ou
aproximados?
As atividades com o material didático a ser apresentado através
deste artigo, iniciou-se no Grupo de Estudos denominado GEMMA
( Grupo de Estudos de Matemática do Mailon, uma proposta de ação
na Escola – atividade de Implementação do Programa de
Desenvolvimento Educacional do Paraná), com um número reduzido
de alunos por ser em contra turno, e que teve por experiência a
contribuição satisfatória para em um segundo momento ser aplicada
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em turmas do ensino fundamental com média de 40 alunos por
turma.
Toda experiência adquirida no GEMMA contribuiu para a
viabilização do material e para sua aplicação nas salas de aula; visto
que os participantes do GEMMA trabalhavam em duplas sob
orientação da professora.
Em princípio, os alunos se apresentaram de forma ansiosa ao
visualizar os instrumentos de medidas, que são por todos conhecidos,
porém de pouco ou quase nenhum manuseio. Iniciando pelo
reconhecimento do material notava-se que ao tocarem as fitas
métricas as expectativas aumentavam criando um clima agradável
para se ensinar, portanto para aprender o que se propunha (medidas
e números decimais); ou seja, havia uma motivação coletiva que se
evoluía a cada passo do trabalho que se propunha. Numa
metodologia de interação entre professor - aluno e aluno –aluno, por
ser uma atividade sugerida em duplas, facilitando as medições,
registravam-se as medidas nos referidos cadernos. Momento que
surgiram as primeiras necessidades da representação de números
decimais.
Por meio de uma aula expositiva, apresentamos sobre o histórico
do Metro, de seus múltiplos e submúltiplos e ao detectar os
conhecimentos que cada aluno já obtinha sobre medidas, conduzimos
a aula de forma tranqüila e com objetivos claros, num intercâmbio de
informações.
As primeiras atividades foram registradas em ficha individual
entregue a cada aluno, as dificuldades e as necessidades de se saber
registrar números decimais transformaram-se em uma atividade
desafiadora para cada aluno.
Mediam e registraram o palmo, o pé, o polegar, o dedo médio, o
dedo mínimo, o anelar e o indicador, a perna, o antebraço, o braço, a
cintura, o tórax e a altura.
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De forma confusa e tumultuada no início, porém cautelosa e
agradável, em seu processo assim surgiram as primeiras conquistas
sobre o material didático.
Num segundo momento, a análise se focava, onde cada aluno
percebia, com a colaboração de parceiros de pesquisa, que eram
muito parecidos, harmoniosos, como por exemplo, todos precisavam
de aproximadamente 2,5 palmos para obter a medida do braço.
Analisando por meio de leitura e escrita as medidas e suas
especificidades, construímos gráficos de barras, representando as
alturas, onde o grupo todo observava e relatava outras medidas e
não somente as suas.
O importante nesta atividade vem ser a participação de cada
aluno cuidando dos acertos dos outros colegas, a fim desses não
registrarem, com erros, as medidas que lhes eram comentadas.
Os alunos percebiam o quanto a ciência matemática faz parte da
vida das pessoas e o quanto interfere em seu cotidiano.
Realizamos operações de adição e subtração a fim de estruturar
as formas de registros das medidas na forma de número decimal.
Sendo oportunizado para tal operação as análises referentes à casas
inteiras e às casas decimais de cada medida registrada e operada,
como por exemplo as maneiras de armar as operações de forma
correta que induzirá ao aos acertas nas mesmas.
1. Operações com Números Decimais e Medidas
1.1. Adição e Subtração
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Estando com as fitas métricas em mãos, após medir algumas
partes do corpo, introduzimos as operações matemáticas com valores
exatos e não exatos. Iniciando pela adição, cada aluno em suas
duplas, efetuavam medidas oralmente e por escrito, como: meu
palmo somado com o seu palmo; a soma de suas alturas; a diferença
entre o braço e antebraço e entre os dedos. Os resultados também
foram representados em tabelas, que oportunizavam as análises de
maior que (>), menor que (<) e a igualdade (=).
Os aspectos metodológicos faziam emergir reflexões e
questionamentos que envolvem o saber matemático, portanto cada
vez mais motivados, os alunos incessantemente buscavam maiores
conhecimentos, a fim de se obter acertos perante o coletivo que se
manifestavam sempre que realizavam conclusões significativas que
traduzimos, como: aprendizagem de determinados conteúdos
escolares.
Assim, as operações eram realizadas trabalhando de forma
interativa entre o empírico e o conceitual, sem menosprezar os
fenômenos cognitivos.
A motivação conduziu o trabalho para as medidas de objetos da
sala de aula. Partimos a medir pisos, carteiras, cadernos, quadro, tv,
vidraças, o que ao efetuar as adições de cada figura plana medida
estava entendido o cálculo de perímetro. Um outro conteúdo
específico estava sendo trabalhado, e que vezes era obtido pela
adição dos quatro lados ou ainda pela multiplicação de dois a dois,
esse registrado na forma de expressão numérica e suas regras para
resolução.
Alguns símbolos matemáticos necessitavam de apresentação,
como os parênteses e a igualdade, conduzindo a justificativa das
regras das expressões numéricas que aqui se serviam de exercícios
de fixação.
A matemática é vista como tendo um fim em si e por si mesma,
ao passo que da forma proposta para o desenvolvimento das
questões, ela passa a ser encarada como um meio para se promover
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entre os estudantes, a construção de atitudes e valores de natureza
diversas. Por serem questões genéricas, indicaram direções que
estavam pré-elaboradas, porém possíveis de serem compreendidas e
resolvidas com acertos.
1.2. Divisão com as medidas e Números Decimais
O nosso propósito, neste momento, foi o de ampliar e aprofundar
a discussão em torno das operações com números decimais; com
apropriação significativa dos conceitos epistemológicos a partir de
questões pré- estipuladas e as que emergirem no decorrer das
aplicações.
Ao constatar e analisar que a longitude de suas mãos é um
décimo da sua altura, os alunos estavam convidados a efetuar
cálculos de divisão com números decimais. Como conseqüência e
análise de acertos dos cálculos sugeridos, efetuamos de forma
comparativa a multiplicação com números decimais. Toda atividade
direcionada e acompanhada com explicações no quadro de giz
sempre que necessário.
Uma outra curiosidade serviu de motivadora, quando analisamos
cálculos entre a altura da orelha, que segundo a harmonia pesquisada
por Leonardo da Vinci é um terço da longitude da face.
Ao trabalhar com as variações de grandezas decimais, se
tornavam claras as diferentes formas de registro de um mesmo valor.
Chegando a observação e comparação de registro na forma de
frações.
Tratando de outra maneira de registro, as frações com
denominador dez, através de questões comparativas entre as duas
formas referenciadas, demonstravam a apresentação e a
aprendizagem do conteúdo específico de frações Um conteúdo de
suma importância que também, em muitas vezes nos é considerado
como conteúdo de grande grau de dificuldade para os alunos de
todas as séries do ensino fundamental. Algumas operações com
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frações de denominadores dez fizeram presente neste momento do
trabalho desenvolvido, assim como outros denominadores de
potências de dez.
Na busca de se trabalhar com as mais variadas atividades com
motivações para as operações com números decimais e por ser uma
época de liquidações em determinada loja de eletrodomésticos da
cidade, surgiu a apresentação de panfletos que demonstram os
valores monetários em parcelas fixas de dez vezes sem juros, dando
sugestões de números decimais e operações de multiplicação e
divisão, demonstravam ao projeto uma atividade interessante para a
finalidade de totalizar os preços de cada mercadoria. Aquilo que para
muitos parecia ter um elevado grau de complexidade, se tornava,
através de resultados de questionamentos, comentários orais e
escritos, em conteúdos de fácil compreensão, portanto em conteúdos
concretos.
Obtivemos um número relevante de acertos ao se trabalhar a
multiplicação utilizando estas questões de preço. Pelo fato da maioria
dos alunos serem interlocutores das questões, o material
condicionava, como pré-requisito e análises de outros conteúdos,
neste caso as divisões por dez se fizeram necessária e sugestiva.
Foram para tanto, propostos preços de mercadorias para serem
divididas em dez vezes e ou multiplicadas dez vezes. Um paralelo
onde se visualiza o crescimento e diminuição das partes inteiras e
decimais dos números.
Baseando-se na questão de compreensão significativa, a partir
do manuseio de materiais manipuláveis, cada aluno construiu um
jogo interativo de muita objetividade e ótimos resultados, que foram
analisados durante a sua confecção e execução.
Associando as operações de multiplicação e divisão por dez e
potências de dez com as unidades de medidas de comprimento, que
também utiliza-se do sistema decimal de contagem, um jogo de
interatividade, manuseio e raciocínio se construía com grande
demonstração de compreensão das referidas operações estudadas,
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tanto as multiplicações e divisões, quanto as transformações das
unidades de medidas de comprimento.
O jogo é composto por um tabuleiro quadriculado de 7x7, em
materiais comuns como papel sulfite, cartolina, papel cartão e EVA,
conforme figura abaixo:
Km Hm Dam M Dm Cm Mm
As peças do jogo são vários algarismos de zero a nove e a
vírgula, elemento fundamental para a representação escrita dos
números decimais.
As regras do Jogo foram assim estipuladas:
1. O dono do jogo representa no tabuleiro uma medida de
comprimento;
2. Pede para o jogador ler a medida de comprimento;
3. Pede que através da mudança da vírgula, o adversário obtenha a
mesma medida, usando outra unidade de medida de comprimento;
4. Estando certa a questão, ponto para o adversário, que ganha um
prêmio (bala) e assume o jogo;
5. Se o adversário errar, ele é quem deve doar o prêmio para o
iniciante, que por sua vez deve explicar o correto;
6. Vence aquele que ganhar mais balas.
Observação: As regras foram criadas pelos mesmos alunos, portanto
estão sujeitas à mudanças ao iniciar o jogo.
Ainda o mesmo jogo foi usado para simplesmente efetuar
números decimais. Com questões do tipo: multiplique por dez, por
cem e por mil. Em outros momentos por questões de divisões por
dez, cem e mil.
Em continuidade com os estudos de números decimais e suas
operações, as pesquisas com medidas do corpo retornaram com as
atividades propostas do projeto.
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Utilizando as novas tecnologias, através de pesquisa na internet,
por meio do Programa Paraná Digital, realizamos pesquisa
direcionada a respeito das medidas harmônicas do corpo humano e a
cada curiosidade encontrada, cada estudante relatou de forma escrita
as seguintes curiosidades:
a) divisão da distância entre a cabeça e a base do nariz pela distância
entre a cabeça e base do queixo;
b) divisão da altura da cabeça pela linha das sobrancelhas;
c) divisão, pela boca, da distância entre a base do queixo e do nariz.
d) divisão da altura da coxa pela altura do joelho;
e) divisão da parte superior da coxa até os seios;
f) o umbigo divide o corpo do adulto pela metade, ou seja, a distância
entre o pé e o umbigo deve ser igual à distância do umbigo até a
cabeça.
g) divisão da altura do corpo humano pela medida da altura do
umbigo;
h) a altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça;
i) a igualdade entre a medida da cintura até a cabeça e o tamanho do
tórax;
j) a medida do ombro até a ponta do dedo e a medida do cotovelo até
a ponta do dedo;
l) divisão da medida do quadril ao chão e a medida do joelho até o
chão;
m) igualdade da medida do cotovelo até o pulso e a medida do pé;
n) um palmo é a medida de quatro dedos fechados;
o) o antebraço tem a largura de seis palmos ( quatro dedos);
p) um passo é igual a quatro antebraços;
q) a dobra central do dedo anelar dividida pela primeira dobra do
mesmo dedo;
r) divisão do comprimento do rosto pela distância da cabeça até a
base do nariz;
s) a longitude da mão é um décimo da altura.
t) a altura da orelha é um terço da longitude da face.
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Essas medidas e proporções anatômicas foram representadas na obra
de Leonardo Da Vinci, O Homem Vitruviano,
A cada análise e efetuando cálculos experimentais da pesquisa
referenciada, foram sendo efetuadas operações, dentre elas a que
mais se desenvolveu foram as divisões. Outros conteúdos foram
surgindo com possibilidades para ensinar e aprender, sempre com
interesse da maioria dos estudantes.
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A cada relação métrica que se apresentava aos estudantes, cada
dupla se media e registrava por escrito os resultados. Sempre que se
observava resultados com cujo quociente se aproximava de
1,61803398... ; era sugerido que anotasse como algo comum e
curioso nos corpos humanos. Como as duplas ficavam bem próximas,
o trabalho acabava sendo desenvolvido por um grupo maior que se
encantava a cada quociente obtido. Seria simplesmente uma
curiosidade?
Cada aluno se perguntava de forma expressiva sobre a
importante descoberta que surgia. Até que após vários cálculos e
conclusões, já claras e compreendidas, apresentamos o tão
interessante número irracional, denominado como número de ouro,
número áureo ou até por alguns por número de Deus, cujo valor é de
aproximadamente 1,618, e que cientificamente chamamos de phi,
nome dado como homenagem á Phidias, arquiteto do Phatermon. A
letra grega que o representa é (phi). Φ
Phi é também denominado o número da beleza humana. Dizemos
que somos matematicamente belo quando efetuamos divisões de
partes do nosso corpo e encontramos o quociente phi.
Num diálogo selecionado e com finalidade específica o processo
de transformação do conhecimento se ampliava com o domínio de
novas interpretações das atividades e a aprendizagem era vista com
a capacidade pessoal de se apropriar de conceitos semióticos
produzidos num contexto cultural e ao mesmo tempo repleto de
conhecimentos empíricos.
Depois de explicações sobre as teorias aos alunos, nascia, assim
ainda mais curiosidades da parte de cada estudante que estava
construindo valores a partir de cálculos de partes do seu corpo, que
demonstram aqui a igualdade do amor de Deus a cada ser humano.
Considerando a frase de Foucault, (2000,p.71) que “ Uma teoria
não se expressará, não traduzirá, não aplicará uma prática; ela é uma
prática”, demonstramos aqui que por esta prática desenvolvida em
sala de aula que muita teoria se explicou interativamente.
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A cada operação se faziam necessárias correções e orientações
para obtenção de quocientes com acertos. Em muitos casos as
aproximações, ou seja, os arredondamentos eram verificados a fim de
se estabelecer os estudos. Para se trabalhar com medidas é
sempre importante discutir as comparações entre os valores exatos e
não exatos, o que completa a necessidade de se compreender os
números decimais e suas especificidades. Em vários exercícios se
observava que para a resposta oral o grau de acertos era bem maior
do que os descritos, fortalecendo a experiência e a necessidade de
rever a escrita com algarismos e com letras, por extenso.
As regras que eram conceitos já aplicados pelos alunos passaram
a ser compreendidas com justificativas, as quais conduziram a
aprendizagem significativa.
Como medir e contar são operações cuja realização a vida de
todos os dias exige com grande freqüência, o incentivo é maior para a
realização de questões com estas finalidades.
As operações efetuadas com a finalidade de analisar o quociente
phi, não contou com o auxílio de calculadoras, por ter objetivo de
operar com números decimais, suas aproximações e
arredondamentos, considerando os restos da divisões e suas
conseqüências, considerando a metodologia de orientar a partir de
erros e dúvidas nas operações propostas.
Estas atividades foram apresentadas na EXPOLON (Exposição de
trabalhos pedagógicos do Colégio Mailon), onde pudemos observar e
avaliar o ensino aprendizagem através da exposição aberta à
comunidade escolar.
As atividades foram apresentadas e motivadas sob o título de:
_ ”Você é Matematicamente Belo?” Venha conhecer suas
medidas!
Os estudantes realizaram medições, efetuaram os cálculos e
utilizando os resultados obtidos, informam os conhecimentos sobre o
número phi para vários participantes que se interessaram pela
questão, a maioria dos casos mulheres. Notamos que a curiosidade
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trazia conforto à várias pessoas que passaram a se sentir melhores
em relação as suas medidas corporais e mais interessante pensar que
a harmonia está presente mesmo com as nossas diferenças, com
altura e peso.
Na apresentação no EXPOLON, os cálculos foram realizados com
auxílio de calculadoras objetivando a rapidez na obtenção dos
resultados, visto que a curiosidade era a maior motivação da tarefa.
Vejamos os cálculos sugeridos e resolvidos.
1. Meça e calcule:
a) altura: altura do umbigo;
b) altura da coxa: altura do joelho;
c) altura de cima da coxa até o queixo: altura de cima da coxa até o
seio;
d) tamanho do rosto: altura dos olhos.
Vejamos as medidas da estudante da 5ª série “B”, Amanda:
a) Altura = 1,58 m
Altura do umbigo= 0,94 m
Quociente = 1,6...
b) altura da coxa = 0,76 m
altura do joelho= 0,45 m
quociente = 1,6...
c) altura de cima da coxa até o queixo= 0,58 m
altura de cima da coxa até o seio= 0,35 m
quociente= 1,6...
d) tamanho do rosto= 0,20 m
altura dos olhos= 0,12 m
quociente= 1,6...
Considera-se que a aluna Amanda é matematicamente bela.
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Considerações Finais:
O presente artigo científico é uma das atividades do Programa de
Desenvolvimento Educacional (PDE), iniciado no ano de 2007, onde
professores da Rede Pública do Estado do Paraná, aprovados em
teste de seleção estruturado pela SEED ( Secretaria Estadual de
Educação do Estado do Paraná), foram oportunizados com 100 por
cento de suas carga horária disponibilizadas para estudos. O
programa de forma respeitosa e compromissada com a melhoria da
educação, contemplou os professores com um contato direto com a
Universidade, criando um elo entre os professores da Educação
Básica com professores Mestres e Doutores atuantes nas
Universidades. Com atividades direcionadas pelo professores
universitários, construiu-se uma visão crítica e real da educação
nestes dois âmbitos educacionais.
Sob a orientação dos professores universitários, cada professor
denominado durante a participação no programa, de professor PDE,
realizou por meio de pesquisas, aulas presenciais, orientações,
grupos de estudos, oficinas, participação em eventos direcionados a
cada área de ensino, palestras com filósofos, sociólogos e psicólogos.
Enfim, muito estudo, produziu-se materiais didáticos, realizou-se
aplicação dos mesmos na sala de aula, denominado pelo programa
com Proposta de Ação na Escola, sendo que ao final de dois anos,
essas atividades se constituíssem em um artigo científico.
Ao participar deste grandioso e ousado programa educacional,
me sinto renovada como profissional da educação. Oportunizada pela
troca de experiências de colegas da mesma área de ensino e
principalmente pelo contato com professores, mestres e doutores da
universidade.
Muitas dúvidas, muitas curiosidades e muitos conteúdos
matemáticos, são hoje para mim vistos e trabalhados de forma
23
integrada e com entendimento real, quando até algum tempo parecia
não ter o mesmo significado e, portanto, o valor de ser ensinado,
passa a ser pesquisado e compreendido.
O trabalho teve um papel didático-metodológico, para
estudantes e professores, uma vez que a partir da problematização,
que também é um método, a apropriação dos conteúdos e os
significados foram se aplicando de forma natural. As atividades
promoviam a realização de discussões, que estimulavam a interação
e o diálogo entre os envolvidos, facilitando sobremaneira o ensino
aprendizagem. Sem questões, sem problemas, não há investigações.
Quando estas emergem dos próprios alunos, produzem mais
condicionantes de aprendizagem, pois ao serem produzidas no
interior da sala de aula e ligadas às outras práticas sociais, se
apropriam de uma visão mais abrangente, profunda, crítica e
multidisciplinar dos temas sob estudo.
CONCLUSÃO:
Trabalhar da forma proposta no artigo, foi uma experiência
enriquecedora para mim. Ainda me vejo motivada, assim como os
alunos. Como a proposta abre um leque de novas questões a serem
desenvolvidas com uso do material, acredito que a cada nova turma,
surgirão novas e interessantes propostas de atividades que venham
efetuar interlocuções entre outros conteúdos programáticos que não
foram relacionados neste artigo.
Os depoimentos relatados a seguir expressam algumas
considerações sobre a viabilidade do material relatado pelo artigo. Os
depoimentos e as avaliações que foram aplicadas de forma escrita,
oral e expositiva demonstram que os objetivos propostos desde o
início deste trabalho foram alcançados com sucesso, que o objetivo
de efetuar cálculos aritméticos a partir da curiosidade foi atingido
com grande satisfação, ganhando motivação e a senbilização ao
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conhecer-se melhor, a própria emoção, ajusta-se, auxilia na
organização de pensamentos, na aceitação de nossas diferenças e
por fim: educa-se, função cumprida com auxílio de conhecimentos
matemáticos, epistemológicos e empíricos.
Vejamos alguns depoimentos de alunos do Colégio Estadual
Professor Mailon Medeiros - Ensino Fundamental, Médio e Profissional
da cidade de Bandeirantes, estado do Paraná, que trabalharam com o
projeto e professores que trabalharam com a proposta sugerida neste
artigo, sendo estes de escolas públicas estaduais do Paraná e que
participaram do Grupo de Trabalho em Rede.
“Aprender a calcular com as minhas próprias medidas foi muito
divertido e interessante e me fez ver as igualdades das medidas
existentes em algumas partes do meu corpo e também, nas de meus
colegas”. Ricardo - 8ª”B”.
“Eu e meus colegas aprendemos brincando e discutindo as
medidas de cada corpo, pois aprendemos muitas coisas diferentes,
usando as matérias e imaginando em nossas cabeças.” Amanda
Caroline – 5ª série “B”.
“Foi muito legal e interessante conhecer que algumas partes do
meu corpo são proporcionais e iguais às de minhas colegas.” Lorena –
7ª “B”.
“Aprender de forma curiosa sobre o meu corpo foi bem legal,
ainda mais para mim que estou na adolescência, nessa fase que a
gente se acha a pessoa mais estranha do mundo, descobrir coisas
novas e principalmente que somos iguais é muito gratificante.” Karine
– 7ª “B”.
Depoimentos de Professores que aplicaram a atividade que foi
disponibilizada no GTR (Grupo de Trabalho em Rede) - atividade
proposta como integrante do PDE, onde professores da Rede Pública
Estadual do Paraná, foram colaboradores para a escrita, aplicação e
conclusão do material didático relatado neste artigo:
“Por se tratar de uma turma de alunos adultos (APED - Educação
de Jovens e Adultos - 5ª a 8ª) com que este plano foi realizado, a
25
aceitação deles perante as atividades foram ótimas, realizaram as
atividades com naturalidade, não demonstrando em nenhum
momento falta de interesse por se tratar de uma turma adulta. É um
projeto simples, eficaz e de fácil aplicação por utilizar-se de recursos
acessíveis. Os alunos puderam perceber através deste trabalho a
importância e a utilização dessas medidas no dia-a-dia deles.”
Professora Izis Mara Silva.
Durante a atividade, os alunos participaram ativamente, com
motivação, e um trabalho sério, quando eles faziam as medições, a
professora solicitava medidas com números decimais, uma vez que o
objetivo é trabalhar números com casas decimais finitas.
O interesse na busca de soluções para as situações-problema
criadas conduziam um diálogo. Durante a análise das diversas
medidas coletadas, os alunos me procuravam para tirar suas dúvidas,
mandavam e-mail, deixavam recados na página do orkut, enfim eles
se mobilizaram para realmente validar o modelo. O diálogo, é a
essência, e assim, ponto de partida para o fazer pedagógico, o
resgate do conversar, do ouvir, do dialogar, enfim, abre espaço para
criar, inventar, reinventar – professor e aluno”. Professora Jeanine
Alves de Oliveira.
“Os resultados das atividades propostas superaram as minhas
expectativas. Confesso que no inicio dos trabalhos os alunos
demonstraram certo desinteresse. Contudo, a presença de métodos e
materiais diferenciados durante as atividades reverteu tal situação.
Observei que os alunos apresentam dificuldades com unidades de
peso e medidas e suas transformações. Além disso, notei o mesmo
problema com o uso de números decimais. Ao finalizar esse projeto,
acredito que os alunos ao construirem suas atividades, puderam
conhecer na prática os elementos estudados e obter uma maior
informação a respeito do conteúdo propriamente dito. A avaliação se
deu em cada aula, através do interesse do aluno, com sua
participação e da resolução das atividades, do seu entendimento, e
26
linha raciocínio e principalmente pela sua colaboração.” Professora
Meirielen.
“Apliquei a atividade proposta com a sexta série. Gostei muito
pois surgiu o interesse dos alunos na realização das tarefas e na
troca de respostas.” Professora Deise Cristina Brito.
“O desenvolvimento dessas atividades enriqueceu o conteúdo
visto que os números decimais, medidas, conversão de unidades de
medida é muitas vezes complicado de explicar aos alunos, já na
prática, usando seu próprio corpo, materiais presentes na sala de
aula houve com certeza um aprendizado significativo.” Professora
Daniela Eliza Freitas.
Inserir a arte nas diversas disciplinas escolares é um importante
trabalho educativo, pois favorece as tendências individuais,
encaminha a formação do gosto, estimula a inteligência e contribui
para a formação da personalidade do indivíduo.
Notamos que a aplicação de atividades proporcionou o
desenvolvimento da percepção, da imaginação, da observação e do
raciocínio que influem na aprendizagem.
Poder contribuir com os conhecimentos epistemológicos, teóricos
científicos da disciplina de matemática, utilizando de curiosidades e
na prática dos cálculos, foi para mim uma das experiências mais
gratificantes de minha profissão. Espero que a minha gratificação seja
instrumento de formação de cidadania e felicidade dos meus alunos.
Espero, ainda, que o mito enfrentado pelos professores de
Matemática, em relação às complexidades desta ciência, diminuam a
cada atividade e que possamos trabalhar de forma tão prazerosa com
outros conteúdos estruturantes ou específicos.
Ao percebera evolução do aprendizado do ensino, por meio dos
depoimentos escritos e falados, no decorrer da proposta e em
27
diálogos informais com os alunos, me sinto com a alegria de quem
alcançou um objetivo de maneira muito satisfatória.
No decorrer dos estudos para a escrita deste artigo, muitos fatos
se tornaram polêmicos e que foram questões ímpares para o próprio
entendimento, como: O que é um número decimal? O que é um
número irracional? Todo decimal é um irracional?
Uma outra questão se faz presente no artigo: Será que os
cirurgiões plásticos usam a proporção áurea na beleza humana, nas
suas sugestões de alterações de partes do corpo? Será que utilizam
este antigo conhecimento como referencial?
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
Bolzan,W.J. A Matemática nos cursos profissionalizantes de mecânica.Dissertação de Mestrado em Educação Matemática.Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista,Rio Claro.
Bean, D. O que é modelagem matemática? In: Educação Matemática em Revista, São Paulo, SBEM, v.8, n.9/10, p.49-57, abril, 2001.
Berbel, Neusi Aparecida. Exercitando a reflexão com conversas com professores Organizadores. UEL. Londrina/PR.2005.
Caraça, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Ed.Gradiva.Coleção Ciência Aberta.2005.
Brandão, Carlos R. escritos abreviados. Série: educação/cultura-7
Calliari, Luiz Roberto. A Contextualização na Matemática - uma alternativa para o ensino. Florianópolis, 2001. Dissertação (Mestrado em Engenharia da Produção).Programa de Pós-Graduação em Engenharia da Produção, UFSC,2001.
Centeno, Júlia P. Números Decimales - Porquê, Para quê?. Espana: Editorial Síntesis. 1988.Pesquisado em 19/05/2007 no www.google.com.
Dante, L.R. Didática da resolução de problemas de Matemática: 1º a 5º séries. São Paulo: Ática, 1989.
28
D’ Ambrósio, B. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates. Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Ano II, n.2, p.15-19, 1989.
D’Ambrósio, U. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 1996.
___________.A História as Matemática: questões historiográficas e políticas e reflexos na Educação Matemática. In BICUDO, M.A.V. (Org). Pesquisa em educação Matemática: Concepções e Perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999.
Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná. DCE. SEED. Curitiba. 2006.
__________. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
Eves, Horward. História da Geometria; trad.HyginoH. Domingues. -São Paulo: Atual, 1992. -(Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula.)
Freire, Paulo. Pedagogia do Oprimido – Editora Paz e Terra.- 2007
Ifrah Georges.Os Números- a história de uma grande invenção.6º Ed. São Paulo: Globo,1994.
Knechtel, Maria do R. Multiculturalismo e processos educacionais.Ed.IBPEX.2003.
Luckesi, Cipriano Carlos, Avaliação da Aprendizagem escolar, São Paulo, Cortez Editora, 1996.
Mizukami, Maria G. Ensino: as abordagens do processo. São Paulo: EPU, 1986.
Machado, Nilson José. Medindo Comprimentos. Ed.Scipione.2000.
Paiva. Manoel. Matemática .Editora Moderna Ensino Médio.2000.
Polya, G. A Arte de Resolver Problemas. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo. Editora Interciência. Rio de Janeiro- 2006.
Silva, Alciony R.H. Sousa. A concepção do Professor de Matemática e dos alunos frente ao erro no processo de ensino e aprendizagem dos números racionais. Dissertação apresentada para obtenção do grau
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de Mestre em Educação no Programa de Pós-Graduação da Pontifícia Universidade Católica do Paraná-Curitiba, 2005. PARANÁ.
Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Ensino de Primeiro Grau. Currículo Básico para a Escola Pública do Paraná. Curitiba: SEED/DEPG, 1990.
Pesquisa virtual: www.google.com. Nacional e internacional.
Secretaria da Educação Básica. Explorando o Ensino da Matemática. Brasília. 2004.
Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Ensino de segundo grau no Paraná. Curitiba: SEED/DEPG, 1993.
Sociedade Brasileira de Matemática. SBM.http://www.org.br/Univ.Escola 1.pdf
Zunino, Delia L.de - A Matemática na escola: aqui e agora. Tradução Juan Lhorens. Ed.Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.
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