PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Aguinaldo Borba Pereira
EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE
INFORMÁTICO DE ENSINO
Belo Horizonte
2014
Aguinaldo Borba Pereira
EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE
INFORMÁTICO DE ENSINO
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2014
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Pereira, Aguinaldo Borba
P436e Explorando elementos dos triângulos em um ambiente informático de ensino /
Aguinaldo Borba Pereira. Belo Horizonte, 2014.
124 f.: il.
Orientador: Dimas Felipe de Miranda
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Ciência - Estudo e ensino. 2. Triângulo. 3. Software de sistemas. 4. Ensino
auxiliado por computador. 5. Geometria - Estudo e ensino. I. Miranda, Dimas
Felipe de. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 513:373
Aguinaldo Borba Pereira
Explorando elementos dos triângulos em ambiente informático de
ensino.
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
___________________________________________________
Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda (Orientador), PUC Minas.
__________________________________________________
Prof. Dr. Sandro Laudares, PUC Minas.
__________________________________________________
Profa. Dr. João Bosco Laudares, PUC Minas.
Belo Horizonte, 11 de setembro de 2014.
A minha Mãe Maria de Lourdes, minha
esposa Ariane, minha filha Mariane, minha
enteada Ana Clara, ao meu Pai Lázaro Pereira
e ao meu filho Natan.
AGRADECIMENTOS
A todos que contribuíram para a realização deste trabalho; fica expressa,
aqui, a minha gratidão especialmente:
A Deus, pela vida, saúde e sabedoria a mim concedidas e pelas pessoas
colocadas em meu caminho.
Minha esposa Ariane Machado, amiga e companheira; pelo amor renovado a
cada dia.
Aos meus filhos muito amados, Mariane e Natan, e a minha enteada, Ana
Clara, pela paciência e apoio quando precisei me ausentar fisicamente.
Aos meus pais, Lázaro e Maria de Lourdes, pelo amor incondicional; pelo
carinho e por proporcionar a oportunidade de ter um estudo de qualidade.
Ao Professor Dr. Dimas Felipe de Miranda, pela orientação, aprendizado e
apoio em todos os momentos necessários, mesmo em meio a dificuldades pessoais.
Sua história de vida é um exemplo para mim.
À Professora Dra. Maria Clara Resende Frota, pela dedicação, paciência e
ensinamentos. Estimo pela sua melhora.
Aos professores Agnela da Silva Giusta (em memória), Amauri Carlos
Ferreira, Eliane Scheid Gazire, João Bosco Laudares, Lídia Maria Luz Paixão
Ribeiro de Oliveira, pelos ensinamentos, conversas e esforços em nos fazer crescer.
Aos meus colegas de classe, pela rica troca de experiências, pelas risadas,
convívio e amizade que levarei para sempre comigo.
Ao secretário Adriano Neves, pela cordialidade, educação e presteza que
sempre nos recebeu.
A toda equipe administrativa do Grupo Educacional Unis, em especial, Luiz
Carlos Vieira Guedes, Ivana Prado e Alexandre Oliveira Lopes, que foram
compreensivos e me apoiaram nos momentos que tive que me ausentar.
A equipe do Colégio Nova Geração que me apoiou, especialmente à diretora
pedagógica Roselaine Pozo, que autorizou a aplicação das atividades; e aos alunos
do 3º ano de 2013 que participaram de maneira voluntária.
Ao Professor Dr. Sandro Laudares por participar da banca examinadora e
contribuir para o enriquecimento da dissertação.
“Ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as
possibilidades para a sua própria produção ou a sua
construção”. (Paulo Freire)
RESUMO
O presente trabalho aborda o estudo de triângulos, explorando seus elementos em
um ambiente informático de ensino, como estratégia de ensino e aprendizagem em
aulas do 3º ano do ensino médio de uma escola da rede particular de ensino na
cidade de Três Corações, Minas Gerais. As atividades foram elaboradas dentro de
uma sequência didática com propriedades já demonstradas dos triângulos, com uma
abordagem diferenciada, utilizando o software de geometria dinâmica, GeoGebra. A
motivação deste trabalho foi o interesse em saber se um recurso computacional
poderia ser útil a um grupo de alunos, como ferramenta auxiliar de aprendizagem e
revisitação de conceitos no estudo de triângulos. Na pesquisa, foi descrita uma linha
do tempo mostrando a evolução do ensino de geometria e também as teorias e
documentos oficiais que tratam das diretrizes didáticas para o desenvolvimento da
mesma. As atividades foram elaboradas e norteadas com base no livro do Projeto
VOAZ do autor Luiz Roberto Dante, autor que tem como característica levar em
conta os últimos estudos e avanços da Educação Matemática. O encerramento
deste trabalho foi marcado pela análise da aplicação das atividades didáticas e pela
criação de um material didático, destinado a contribuir com o estudo de triângulos, e
servir de incentivo para que outros professores/pesquisadores possam criar novas
sequências didáticas, utilizando as atividades dirigidas em um ambiente informático
de ensino.
Palavras-chave: Triângulos. GeoGebra. Ambiente informático.
ABSTRACT
This paper describes the study of triangles, exploring your elements in a
computerized learning environment, as a teaching and learning strategy lessons in
the 3rd year high school in a private school in Três Corações, Minas Gerais. The
activities were developed within a didactic sequence with properties already
demonstrated from the triangles with a different approach, using the dynamic
geometry software, GeoGebra. The motivation of this work was the interest in
whether a computational resource could be useful to a group of students, as an
auxiliary tool for learning and revisiting concepts in the study of triangles. In the
research a timeline was described showing the evolution of the geometry teaching
and also the theories and official documents dealing with didactic guidelines for its
development. The activities were prepared and guided based on the book VOAZ
Project by the author Luiz Roberto Dante, the author has the characteristic to take
into account the latest research and advances in mathematics education. The
closure of this work was marked by the analysis of the application of teaching and the
creation of didactic material activities, to contribute to the study of triangles, and
serve as an incentive for other teachers / researchers to create new teaching
sequences, using the investigative activities in a computerized learning environment.
Keywords: Triangles. GeoGebra. Computing environment.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Papiro de Moscou ................................................................................... 255
Figura 2 - Papiro Rhind ........................................................................................... 255
Figura 3 - Segmentos perpendiculares ................................................................... 255
Figura 4 - Interface da página inicial do software GeoGebra .................................. 344
Figura 5 – Janela de Visualização do software GeoGebra ....................................... 40
Figura 6 - Campo de entrada do software GeoGebra ............................................... 40
Figura 7 – Barra de Ícones do software GeoGebra ................................................... 41
Figura 8 - Janela de álgebra do software GeoGebra .............................................. 422
Figura 9 - Ícone ponto ............................................................................................. 455
Figura 10 – Ícone reta ............................................................................................. 455
Figura 11 – Exibição do plano quadriculado na janela de visualização ................... 455
Figura 12 – Definição de três pontos ....................................................................... 477
Figura 13 – Determinação da área do triângulo ...................................................... 488
Figura 14 – Deslocamento horizontal do ponto C mantendo a base AB ................... 49
Figura 15 - Definição dos ângulos correspondentes ............................................... 522
Figura 16 – Imagem ilustrativa dos itens f e g ......................................................... 566
Figura 17 - Soma dos ângulos internos do triângulo ............................................... 577
Figura 18 - Base média ............................................................................................. 60
Figura 19 – Baricentro e suas propriedades.............................................................. 65
Figura 20 – Ilustração do item h, atividade 04, rastro ................................................ 66
Figura 21 – Encontro das mediatrizes (circuncentro) ................................................ 70
Figura 22 – Existência de triângulos ......................................................................... 74
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Tipo de linguagem utilizada..................................................................... 30
Quadro 2 – Cronologia dos softwares de geometria dinâmica...................................32
Quadro 3 – Detalhamento das atividades.................................................................. 37
Quadro 4 – Resumo das respostas dadas ao item f, atividade 01............................. 50
Quadro 5 – Resumo das respostas do item d, atividade 02.......................................54
Quadro 6 – Resumo das respostas dadas ao item d, atividade 03............................ 61
Quadro 7 – Resumo das respostas dadas ao item c, atividade 04............................ 64
Quadro 8 – Resumo das respostas dadas ao item h, atividade 05............................ 71
Quadro 9 – Resumo das respostas dadas aos itens, atividade 06........................ .... 74
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO...................................................................................................... 14 1.1 Apresentação........................................................................................................14 1.2 Interesse pelo tema.............................................................................................. 15 1.3 Características gerais da pesquisa...................................................................... 15 1.4 Problemática......................................................................................................... 17 1.5 Questionamentos..................................................................................................19
2. HISTÓRIA, TENDÊNCIAS E TEORIAS................................................................ 23 2.1 Contextualização histórica.................................................................................... 23 2.2 Orientações de documentos oficiais..................................................................... 27 2.3 Registros de representação..................................................................................29 2.4 Softwares de geometria dinâmica........................................................................ 31
3. DELINEAMENTO METODOLÓGICO................................................................... 35 3.1 Ambiente, características e sujeitos da pesquisa.................................................35 3.2 Caracterização da pesquisa................................................................................. 36 3.3 Procedimentos Metodológicos............................................................................. 38 3.4 O GeoGebra......................................................................................................... 39 4. DESCRIÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES...................................................... 43 4.1 Ambientação......................................................................................................... 43 4.2 Conservação da área do triângulo....................................................................... 46 4.3 Soma dos ângulos internos de um triângulo........................................................ 51 4.4 Comprimento da base média............................................................................... 58 4.5 O Baricentro e suas propriedades........................................................................ 62 4.6 O Circuncentro e suas propriedades.................................................................... 67 4.7 Condição de existência de um triângulo............................................................... 71
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................. 75
REFERÊNCIAS.......................................................................................................... 81 APÊNDICE A – Lista de atividades aplicadas aos alunos......................................... 83 APÊNDICE B – Quadros primários de apuração das observações dos alunos......... 91
14
1. INTRODUÇÃO
1.1 APRESENTAÇÃO
O tema da presente pesquisa é o ensino e aprendizagem explorando
elementos dos triângulos em um ambiente informático de ensino.
As ideias iniciais do tema dessa pesquisa ocorreram em 2010, no momento
em que o professor/pesquisador ministrava o assunto referente a triângulos nas
turmas do ensino fundamental e médio (revisitando conteúdos), em uma instituição
particular em Três Corações, Sul de Minas Gerais. As dificuldades encontradas
pelos alunos em assimilar os conceitos e os cálculos envolvendo Geometria, em
geral, foi percebida desde o primeiro momento e isto impulsionou o desejo de saber
quais eram as causas e tentar uma nova estratégia de ensino.
Estas dificuldades para um “matemático”, ou melhor, para um “educador
matemático” eram objetos de angústia e preocupações. Há uma grande diferença
em ser “matemático” e “educador matemático”, assinalam Fiorentini e Lorenzato
(2009):
“O matemático, por exemplo, tende a conceber a matemática como um fim em si mesma, e, quando requerido a atuar na formação de professores de matemática, tende a promover uma educação para a matemática, priorizando os conteúdos formais e uma prática voltada à formação de novos pesquisadores em matemática.
O educador matemático, em contrapartida, tende a conceber a matemática como um meio ou instrumento importante à formação intelectual e social de crianças, jovens e adultos e também do professor de matemática do ensino fundamental e médio e, por isso, tenta promover uma educação pela matemática.”
Lorenzato (1995) verificou que o ensino de Geometria, em comparação a
outros conteúdos da Matemática, estava praticamente extinto na maioria das
escolas. Em 2002, quando o professor/pesquisador começou a lecionar, observou
também que a disciplina Desenho Geométrico já não existia mais nas escolas
públicas e, entre as escolas particulares, eram poucas que ainda adotavam a
disciplina. O pesquisador acredita que isso possa ter alavancado ainda mais a
15
defasagem do pensamento geométrico, consequentemente afetando o estudo dos
triângulos.
1.2 INTERESSE PELO TEMA
A escolha de enfatizar a exploração dos elementos dos triângulos em um
ambiente informatizado ocorreu em virtude de estar em meio a um crescimento
absurdo da tecnologia informática e a mesma ser reconhecida como útil ao meio
acadêmico. A expectativa inicial é que a tecnologia informática seja uma aliada no
processo de ensino-aprendizagem dos alunos tornando-o mais dinâmico e atrativo.
O professor/pesquisador sempre foi adepto dos computadores e atento às
possibilidades criadas por eles. O primeiro computador adquirido pelo pesquisador
foi em 2002 e, com ele, o mesmo visualizava enormes oportunidades para
implementar recursos didáticos em sala de aula, mas a realidade profissional e a
estrutura escolar não favoreciam muito. Hoje, a inclusão digital atingiu todas as
classes e explorar esta ferramenta torna-se quase que obrigatória. Existem vários
softwares facilitadores da aprendizagem, com isso, o professor e toda organização
escolar necessitam acompanhar este processo de evolução do ensino e ir além.
O triângulo é uma figura geométrica muito difundida e utilizada em diversas
áreas do conhecimento, mesmo em áreas em que a matemática é uma referência
distante. Em todas essas áreas, a visualização, as propriedades e pontos notáveis
do triângulo podem ser exibidos e explorados em modernos softwares disponíveis e
sem custo.
1.3 CARACTERÍSTICAS GERAIS DA PESQUISA
A pesquisa foi realizada em novembro de 2013 com os quatorze alunos do 3º
ano do ensino médio do Colégio Nova Geração – Sistema COC1 de Ensino, em Três
Corações, sul de Minas Gerais. Esta turma foi escolhida por estar revisitando o
conteúdo podendo assim dar um feedback em relação a atividade.
O colégio, da rede particular, tem um perfil inovador, com um ambiente
bastante moderno, contando com “lousas interativas” em todas as salas. No entanto,
1 COC – Colégio Oswaldo Cruz – Ribeirão Preto-SP
16
no momento não possui um laboratório de informática, mas pretende implementar o
uso de tablets no processo de ensino-aprendizagem.
Existem dois tipos básicos de perguntas quando se faz pesquisa em
Educação Matemática, segundo Fiorentini e Lorenzato (2009, p.11):
“Aquelas que surgem diretamente da prática de ensino, ou melhor, da reflexão do professor-investigador sobre sua própria prática e sobre a prática de outros.
Aquelas geradas a partir de investigações ou estudos precedentes ou da própria literatura”.
Esta pesquisa surgiu da prática de ensino na busca de um recurso
diferenciado, visando o melhor aprendizado dos alunos e despertar um maior
interesse dos mesmos para buscar construir o conhecimento, por si próprios, com o
auxílio da tecnologia.
O tema triângulos não é uma novidade para os alunos do ensino fundamental
e/ou médio, assim como seus conceitos e propriedades, porém, este conteúdo é
tratado de maneira pouco dinâmica e um tanto quanto superficial, fazendo com que
os alunos não aprendam de fato, e assim, não consigam estabelecer uma relação
entre o que foi aprendido e o que está sendo ensinado.
Por exemplo, desde os anos iniciais são estudados os triângulos, seus
elementos e conceitos, porém, quando se estende o estudo para polígonos, como
uma soma de ângulos internos, deduzindo-se que os polígonos podem ser
decompostos em triângulos, os alunos têm dificuldades em aplicar os conceitos
aprendidos anteriormente e tratam o conteúdo como algo totalmente distinto e
estranho a sua realidade.
Este cenário tende a sofrer mudanças aos poucos com pesquisas
desenvolvidas recentemente por Bento (2010), Frade (2012), Miranda (2008),
Oliveira (2012), entre outros.
No estudo da geometria, os métodos dedutivo2 e indutivo3 devem ser bastante
explorados e estimulados, mas para isso é necessário que se tenha um
2 Método dedutivo é a modalidade de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter
uma conclusão a respeito de determinada(s) premissa(s). A indução normalmente se contrasta à
dedução. (WIKIPEDIA)
17
embasamento teórico bastante sólido e consistente. Assim, o presente trabalho irá,
através de uma pesquisa de cunho qualitativo, contribuir para um estudo mais
satisfatório do conteúdo triângulo.
1.4 PROBLEMÁTICA
O professor/pesquisador atua desde 2002, no ensino fundamental e médio e,
desde 2009, no ensino superior com disciplinas diversas. Por diversas vezes
deparou-se, também no curso superior, com dificuldades dos alunos em estudar
geometria e suas representações na forma escrita e/ou geométrica.
DUVAL (1994, p.39) diz que “as representações semióticas são produções
constituídas pelo uso de símbolos pertencendo a um sistema de representação que
tem condições próprias de significado e de funcionamento”.
No ensino médio, há professores que se dedicam pouco a explorar com os
alunos as diferentes formas de representação em Matemática. Isso pode ter como
consequência as dificuldades encontradas por parte dos alunos no curso superior. A
representação gráfica, por exemplo, muitas vezes é deixada de lado pelo tempo
demandado para as construções de gráficos e pelas imperfeições dos mesmos.
Estas dificuldades são causadas pelo manuseio errado dos instrumentos como
régua, lápis, compasso etc; e podem conduzir a uma interpretação errada da
atividade.
Existem hoje vários softwares de geometria dinâmica e de plotagem de
gráficos que podem auxiliar a compreensão e o desenvolvimento do ensino-
aprendizagem e que normalmente não são utilizados e/ou explorados como
ferramenta facilitadora neste processo.
O foco desta pesquisa é o ensino dos triângulos, seus elementos e
propriedades em um ambiente informatizado de ensino. Como já citado, o
professor/pesquisador ministra o conteúdo há quatro anos em uma instituição
particular de ensino, e não percebe uma aprendizagem significativa dos alunos.
3 Método indutivo, ou indução, é o raciocínio que, após considerar um número suficiente de
casos particulares, conclui uma verdade geral. A indução, ao contrário da dedução, parte da
experiência sensível, dos dados particulares. (WIKIPEDIA)
18
Quando ministrou pela primeira vez o conteúdo, em 2010, o foco foi
totalmente expositivo, não explorando muito questões relativas à representação
geométrica. Na segunda vez, em 2011, introduziu a representação geométrica,
porém, foi percebido que o tempo demandado foi grande e o rendimento dos alunos
diminuiu, considerando-se a falta de habilidade dos mesmos para manusear
instrumentos de desenho (lápis, régua, compasso etc). Na terceira vez, em 2012,
papel quadriculado e dobradura foram utilizados como recurso didático, o que
favoreceu a compreensão e o desenvolvimento dos alunos, mas ainda não agradou
o suficiente o professor/pesquisador, pois muitos não conseguiram generalizar os
conceitos abordados.
Em 2013, o conteúdo foi ministrado pela quarta vez e foi iniciada a presente
pesquisa visando implementar uma dinâmica diferente na abordagem da geometria,
mais especificamente no estudo dos triângulos, fato que suscitou algumas questões
motivadoras como a seguir:
Atividades dirigidas podem auxiliar os alunos na habilidade de interpretação
geométrica?
Problemas de construções geométricas pode ajudá-los a compreender melhor
o conteúdo de geometria?
Recursos computacionais podem dar suporte a esse processo de ensino-
aprendizagem?
Essas são questões que o professor/pesquisador procurará responder nessa
pesquisa.
Segundo Polya (2006):
“Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter”.
19
Para a composição das atividades foi adotado como referencial o material do
Projeto VOAZ do autor Luiz Roberto Dante. Luiz Roberto Dante é livre-docente em
Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP; doutor em Psicologia da
Educação: Ensino da Matemática, pela PUC-SP; mestre em Matemática pela USP.
Atualmente ministra cursos e palestras sobre aprendizagem e ensino da Matemática
para professores do Ensino Fundamental e Médio e escreve livros didáticos e
paradidáticos de Matemática para o Ensino Fundamental e Médio pela Editora Ática.
Os livros do professor Dante levam em conta os últimos estudos e avanços da
Educação Matemática. A apresentação dos conteúdos é feita de forma significativa,
instigando a descoberta e liberando a criatividade do aluno. Todo enfoque
metodológico é feito por meio de formulação de atividades dirigidas, possibilitando-
se o trabalho interdisciplinar.
1.5 QUESTIONAMENTOS
A pesquisa foi realizada com alunos do terceiro ano do ensino médio em uma
instituição da rede particular de Três Corações, sul de Minas Gerais.
Os alunos dessa turma têm características bastante diversificadas no que diz
respeito ao nível de aprendizagem. Assim, a definição de abordagens de ensino
torna-se necessária, cada vez mais, na busca de métodos que possam contribuir
para a compreensão da Matemática pelos alunos. Como trabalhar com alunos de
diferentes níveis de conhecimento matemático? Este é um desafio que muitos
professores enfrentam, mas, que não existe uma fórmula ou modelo a se seguir.
Neste contexto a busca por uma forma ideal para se conduzir as aulas
atingindo um percentual de alunos maior se faz necessário. O uso de atividades
dirigidas pode facilitar a aprendizagem desses alunos? Como essa busca passa
por um processo experimental, é natural que os alunos apresentarem dificuldades.
Em que momento o aluno encontra dificuldade? Essa dificuldade pode estar na
forma ou no conteúdo e cabe ao professor saber discernir entre intervir ou desafiar.
Em que momento o professor deve intervir? Caso a opção tomada seja a de
intervir é necessário definir como fazer a intervenção. Qual é a medida dessa
intervenção?
20
Estes são pontos importantes, uma vez que os alunos não estão habituados a
esse tipo de metodologia.
Para se trabalhar dessa forma, torna-se necessário selecionar uma série de
problemas bem elaborados, que permitam fazer uma análise para identificar as
lacunas e ao mesmo tempo permitir o avanço buscando o aprendizado do aluno.
Diversos exames, provas, concursos e olimpíadas de matemática trazem
problemas geométricos muito interessantes e que podem contribuir para o
desenvolvimento do pensamento geométrico. Como fazer a escolha e/ou a
elaboração destes problemas de construções geométricas? Para essa definição
é necessário analisar quais os conceitos e propriedades que se quer abordar e dirigir
a atividade para isso. Os alunos estão preparados para trabalhar com problemas
geométricos? É preciso ter em mente que soluções inesperadas podem ocorrer e
que é importante o registro de diferentes modos. O uso de diferentes
representações pode auxiliar nos problemas geométricos?
A elaboração de um conjunto de atividades, variando de atividades mais
simples até aplicações mais complexas na forma de problemas de construções
geométricas, envolvendo o conteúdo de triângulos, pode contribuir para a
aprendizagem significativa desse conteúdo acredita o professor/pesquisador.
O uso da tecnologia é uma tendência nos dias atuais. O avanço tecnológico
tem auxiliado o ensino em diversas áreas do conhecimento. Mas, ainda oferecem
desafios e levantam perguntas.
O uso de recursos computacionais pode auxiliar os alunos em
atividades dirigidas envolvendo triângulos? Quais softwares podem ser
utilizados para isso?
A partir dos questionamentos anteriores foi elaborada a questão que norteou
a pesquisa aqui desenvolvida:
“Como atividades com foco em problemas de construções geométricas,
com apoio computacional, podem auxiliar o processo de ensino/aprendizagem
e/ou revisitação dos conceitos e propriedades de triângulos, junto a um grupo
de alunos do 3º ano do ensino médio?”
21
Como objetivo geral, estabelece-se: levar os alunos a desenvolverem a
capacidade de lidar com os elementos constituintes e propriedades dos triângulos,
auxiliados por atividades didáticas e a visualização.
De forma mais específica, buscou-se:
Desenvolver a capacidade de identificação dos elementos constituintes e
propriedades dos triângulos por meio de atividades dirigidas.
Utilizar situações problemas para estimular o raciocínio, a dedução, a indução
e o estabelecimento de relações a partir da compreensão dos conceitos
adquiridos no estudo de triângulos.
Usar um instrumento computacional para favorecer a construção, visualização
e interpretação de situações e figuras que envolvam triângulos.
Para responder aos questionamentos e objetivos foram buscados livros,
artigos, dissertações e recursos que pudessem auxiliar o professor/pesquisador
neste processo. Assim, nessa Introdução, capítulo 1, apresentou-se uma visão geral
da presente pesquisa.
No capítulo 2 apresentam-se, História, Tendências e Teorias, nele há uma
breve retomada em partes do desenvolvimento da geometria a fim de posicionar a
pesquisa no contexto.
No capítulo 3, Delineamento Metodológico, são apresentadas as
características gerais da pesquisa bem como as atividades aplicadas e ainda a
metodologia utilizada para o desenvolvimento da pesquisa. Também neste capítulo,
é apresentado o software que foi utilizado para o desenvolvimento da visualização,
GeoGebra4.
No capítulo 4, Descrição das atividades e Análise dos resultados, são
analisados aspectos positivos e negativos da pesquisa, questão por questão, a fim
de encontrar falhas do processo e corrigi-las em um próximo trabalho.
4 O GeoGebra é um software gratuito de Matemática com aplicações de Álgebra, Cálculo,
Estatística e Geometria.
22
Nas Considerações Finais, capítulo 5, far-se-á um apanhado geral do que foi
a pesquisa e será traçado uma perspectiva para aproveitar este trabalho em outros
momentos da vida acadêmica.
23
2. HISTÓRIA, TENDÊNCIAS E TEORIAS
2.1 CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA
A linha do tempo da geometria e do ensino da matemática, apresentada
abaixo, tem por base os textos de Boyer (1974), Eves (1997), Fiorentini e Lorenzato
(2009), além de artigos e dissertações. Ela descreve fatos e nomes importantes de
quando e como começaram os estudos em geometria e quais os rumos de seu
ensino no Brasil.
Muito antes de termos os conceitos e fórmulas conhecidas hoje, os povos
antigos já utilizavam a dedução e a experimentação, e foi assim que foram criadas
as bases da Geometria. Os cálculos e ideias eram representados através de figuras
geométricas.
A palavra Geometria (do grego medir a terra) é bastante atual, uma vez que
espaços de terra geram conflitos pelo mundo e o metro quadrado fica mais caro a
cada dia. A Geometria tem suas origens nas antigas civilizações do Egito e da
Babilônia, e geralmente a astrologia era utilizada como ponto de partida. Tales de
Mileto é apontado como responsável por introduzir a Geometria trazida do Egito, na
Grécia.
Tales de Mileto é apontado por alguns historiadores como o primeiro a utilizar
a geometria demonstrativa. Ele fundou a escola jônica, que se dedicava à
investigação de questões filosóficas, tais como, a validade de propriedades
matemáticas dos números e das figuras. As obras de Tales foram perdidas com o
tempo, mas muitas descobertas matemáticas são atribuídas a ele em antigas
referências gregas à história da matemática. É atribuído a Tales o cálculo da altura
das pirâmides e o cálculo da distância até navios no mar por triangulação. Acredita-
se que seus resultados não foram obtidos apenas por intuição e/ou experimentação,
mas mediante de muitos raciocínios lógicos. Alguns dos fatos geométricos cuja
descoberta é dada a Tales são:
A demonstração de que os ângulos da base de dois triângulos isósceles são
congruentes;
A demonstração do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e
um lado respectivamente congruentes, então são congruentes;
24
A demonstração de que todo diâmetro divide um círculo em duas partes
congruentes;
A demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos
extremos de um diâmetro AB obtém-se um triângulo retângulo em C.
Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales usou também o fato de
que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a soma de dois ângulos
retos;
Tales chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas
retas se cortam, então os ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Arquimedes, Apolônio e Euclides também tiveram grande contribuição para o
desenvolvimento da Geometria, sendo Euclides o autor da mais famosa obra
conhecida, os “Elementos” de Euclides.
Euclides foi professor do Museu em Alexandria. Escreveu vários tratados,
porém, mais da metade do que ele escreveu foi perdido. Entre as obras que
sobreviveram até hoje temos: Os elementos, Os dados, Divisão de figuras, Os
fenômenos e Óptica.
Segundo Boyer, os Elementos de Euclides não tratam apenas de geometria,
mas também de teoria dos números e álgebra elementar (geométrica). O livro é
composto de quatrocentos e sessenta e cinco proposições dispostas em treze livros
ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os
três seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre incomensuráveis e os três
últimos tratam sobre geometria no espaço.
Arquimedes é tido como um dos maiores matemáticos do século III a.C., seus
trabalhos contém grande rigor nas demonstrações, exibem originalidade e habilidade
computacional. Há cerca de dez tratados que foram preservados até hoje e acredita-
se que existam outros.
Há registro de dois papiros que se referem à matemática egípcia antiga. O
papiro de Moscou (figura 1) com data de aproximadamente no ano 1850 a.C. e o
papiro Rhind (figura 2) com data de aproximadamente no ano 1650 a.C.
Os dois papiros juntos continham 110 problemas com características de
práticas. Vinte e seis dos 110 problemas apresentam uma ideia geométrica e muitos
deles envolvem o cálculo de áreas e volumes.
25
Figura 1 - Papiro de Moscou
Fonte: Boyer
Figura 2 - Papiro Rhind
Fonte: Boyer
Na antiguidade, para se traçar segmentos perpendiculares, utilizavam-se de
estacas fixadas ao chão (segmento 1, AB ) e com o auxílio de uma corda
desenhava-se duas circunferências, cada uma com centro em uma estaca,
cruzando-se em dois pontos (segmento 2, CD , perpendicular). O esquema da figura
3 abaixo ilustra esta situação.
Figura 3 - Segmentos perpendiculares
Fonte: Elaborada pelo autor
A triangulação era utilizada pelos primeiros cartógrafos e agrimensores para
determinar áreas de superfícies diversas, este método consistia em cobrir toda
superfície por triângulos cujas áreas eram conhecidas, assim era possível
determinar uma aproximação aceitável da superfície total.
26
Mesmo havendo pesquisas que adotam este método de ensino, esta prática é
pouco estimulada em sala de aula como estratégia de aprendizagem. Criatividade,
inovação, dedução lógica, raciocínio para estruturar a resolução de uma situação-
problema, ser crítico e buscar ir além, estas estratégias nem sempre foram
estimuladas em todos os níveis de ensino. Mas hoje, os PCNs e autores da
Educação Matemática retomam as discussões em torno dessas estratégias. O
presente trabalho aqui proposto busca resgatar este espírito que faz o conhecimento
transcender.
No Brasil, Fiorentini e Lorenzato (2009) relatam que após 1950, estudos
relativos ao ensino e à aprendizagem da matemática receberam um impulso graças,
principalmente, à realização dos Congressos Brasileiros do Ensino de Matemática
(CBEM5), entre 1955 e 1966, e à criação dos Centros Regionais de Pesquisas
Educacionais (CRPE6) em 1956. O I Congresso Brasileiro do Ensino de Matemática
ocorreu em Salvador, Bahia, em 1955; o II Congresso foi realizado em 1957, em
Porto Alegre e o III Congresso, em 1959, foi sediado no Rio de Janeiro e nele foi
reconhecido que a Matemática Moderna não era conhecida pela maioria dos
professores brasileiros. Assim, recomendou-se que os Departamentos de
Matemática de todo o país oferecessem cursos de capacitação para professores
secundários (FERREIRA, 2008).
No V CBEM, em 1966, as ideias da Matemática Moderna estavam difundidas
definitivamente. A partir dai, os primeiros livros didáticos foram elaborados e
publicados com essa nova orientação. Porém, a Matemática Moderna não
solucionou os problemas do ensino da matemática e para vários estudiosos eles se
agravaram, pois teve um foco na linguagem matemática e em sua formalização. Em
meados dos anos 70, o movimento sofreu pesadas críticas. Em 1988, foi criada a
Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM7) com o objetivo de discutir
5 CBEM – Congresso Brasileiro do Educação Matemática. Realizado primeiramente em
Salvador, Bahia, em 1955, e foi de fundamental importância para a conclusão de que a educação
matemática deveria sofrer mudanças profundas.
6 CRPEs – Centros Regionais de Pesquisas Educacionais. A partir de 1956 deram início aos
trabalhos em São Paulo, Belo Horizonte, Salvador e Porto Alegre, com o intuito de colocar em prática,
em âmbito nacional, uma ideia experimentada por Anísio Teixeira na década de 30.
7 SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Fundada em 27 de janeiro de 1988,
a SBEM é uma sociedade civil, de caráter científico e cultural, sem fins lucrativos e sem qualquer
27
de maneira organizada o desenvolvimento da Educação Matemática no Brasil. A
SBEM tem expandido sua área de atuação, criou de diretorias regionais em quase
todos estados do país. Entre as atividades realizadas pela SBEM destacam-se:
Realização de 8 (oito) Encontros Nacionais.
Realização de 2 (dois) Seminários Internacionais de Pesquisa em Educação
Matemática – SIPEM
Dezenas de encontros regionais.
Manutenção de um periódico, Educação Matemática em Revista, com 17
edições publicadas”.
Todas essas ações da SBEM têm promovido e aberto espaços para se
discutir e apresentar experiências com novas estratégias para o ensino de
Matemática, em geral e da geometria, em particular.
2.2 ORIENTAÇÕES DE DOCUMENTOS OFICIAIS
Essa pesquisa está norteada pelos parâmetros curriculares nacionais do
ensino médio (1999, p. 254) que tem por finalidade e objetivo levar o aluno a:
Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que
permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação
científica geral;
Aplicar seus conhecimentos matemáticos em situações diversas, utilizando-os
na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades
cotidianas;
Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando
ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita
expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas
do conhecimento e da atualidade;
Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de
comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;
vínculo político, partidário ou religioso. Tem como finalidade congregar profissionais da área de
Educação Matemática e de áreas afins.
28
Utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para
desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;
Expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e
valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;
Estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses
temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;
Reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito,
relacionando procedimentos associados às diferentes representações;
Promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em
relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de
autonomia e cooperação.
Na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº 9.394/96), a
Educação Básica tem por finalidade desenvolver o educando, assegurar-lhe a
formação comum indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios
para progredir no trabalho e em estudos superiores. Segundo o artigo 35 desta lei,
consta que:
O Ensino Médio, etapa final da Educação Básica, com duração de três anos,
tem como finalidades:
A consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no Ensino
Fundamental, possibilitando o prosseguimento dos estudos;
1. A preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando para
continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a
novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores;
2. O aprimoramento do educando como ser humano, incluindo a formação ética
e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico;
3. A compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos
produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina.
Além disso, este currículo observará as seguintes diretrizes:
29
I. destacará a educação tecnológica básica, a compreensão do significado da
Ciência, das Letras e das Artes; o processo histórico de transformação da
sociedade e da cultura; a língua portuguesa como instrumento de
comunicação, acesso ao conhecimento e exercício da cidadania;
II. adotará metodologias de ensino e de avaliação que estimulem a iniciativa dos
estudantes. Os conteúdos, as metodologias e as formas de avaliação serão
organizados de tal forma que, ao final do Ensino Médio, o educando
demonstre:
a) Domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a produção
moderna;
b) Conhecimento das formas contemporâneas de linguagem;
c) Domínio dos conhecimentos de Filosofia e Sociologia necessários ao
exercício da cidadania.
A presente pesquisa procurou orientar-se pelas diretrizes acima relacionadas
e em autores como Duval (2003), Polya (2006), Borba e Penteado (2001).
2.3 REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO
Nesse trabalho, há uma busca em recordar, ampliar e aprofundar os
conceitos da geometria plana, em particular os triângulos, dando uma abordagem
visual com a utilização do software de geometria dinâmica, Geogebra, na tentativa
de fazer com que os alunos tivessem a iniciativa de construir os conceitos de forma
indutiva e dedutiva por meio de observação. Para isso, o aluno foi desafiado a
utilizar diferentes formas de linguagem em suas conclusões: natural, gráfica, tabelas
e simbólica.
Segundo DUVAL (2003, p.21), no ensino tradicional, “o sucesso, para grande
parte dos alunos em matemática, ocorre no caso dos monorregistros”, o que
restringe o desenvolvimento do aluno, uma vez que ele não consegue estabelecer
correlações entre as diferentes representações de um mesmo objeto matemático.
Estudando os vetores, BITTAR (2003), desenvolveu uma pesquisa analisando
livros didáticos de Geometria Analítica em relação ao tipo de linguagem utilizado.
Na pesquisa realizada por BITTAR (2003), foram analisados 73 exercícios de
livros didáticos e concluiu-se que em 49 deles há registro simbólico vetorial no
30
enunciado e na resolução, havendo a necessidade da análise e interpretação de
mais de um registro na resolução do exercício, seja em uma linguagem simbólica,
natural, ou algébrica, ou outra.
Quadro 1: Tipo de linguagem utilizada.
Fonte: BITTAR, Marilena (2003, p.86)
Fica evidente, para Bittar (2003), que é necessário conhecer diferentes tipos
de representação para a solução da maioria dos exercícios. DUVAL (2003, p.21) diz
que “o acesso aos objetos matemáticos passa necessariamente por representações
semióticas”.
DUVAL (2003, p.24) destaca também que “em toda análise de tarefa como
em toda resolução de problemas, é necessário distinguir cuidadosamente o que
sobressalta no tratamento em um registro e aquilo que sobressalta em uma
conversão”.
Identificar as propriedades dos triângulos é bastante simples uma vez que a
figura e os conceitos são conhecidos, mas DUVAL (2003, p.27) aponta que “um
sucesso matemático não corresponde a um sucesso cognitivo”, é necessário então
trabalhar a resolução de problemas a fim de desenvolver a capacidade de
interpretação e estabelecimento de relações.
Segundo DUVAL, coordenar, articular e transformar registros de
representação são essenciais no processo de aprendizagem das atividades
matemáticas.
Estas atividades podem ser exploradas a partir da resolução de problemas e
de atividades que proporcionem ao aluno a curiosidade e o interesse em entender o
que se passa no problema proposto.
73 exercícios
55/73
vetorial
18/73
não-vetorial
49/55
vetorial
6/55
não-vetorial
16/18
vetorial
2/18
não-vetorial
Registro de saída
Registro da solução Registro da solução
31
Segundo POLYA:
“O estudante deve adquirir tanta experiência pelo trabalho independente quanto lhe for possível. Mas se ele for deixado sozinho, sem ajuda ou com auxilio insuficiente, é possível que não experimente qualquer progresso”. (2006, p.1)
Resolver um problema depende muitas vezes da prática ou da imitação de
um modelo. POLYA (2006) sugere duas etapas: primeiro, auxiliar o estudante a
resolver o problema que lhe é apresentado; segundo, desenvolver no estudante a
capacidade de resolver futuros problemas por si próprio.
Para desenvolver esta pesquisa, algumas vezes serão utilizados recursos
computacionais, utilizando para isso teorias que abordam esse tema, como, por
exemplo, BORBA e PENTEADO (2001). Para BORBA e PENTEADO (2001, p.54,
55), isso poderá contribuir para que ocorra um movimento “saindo da “zona de
conforto” onde quase tudo é conhecido, previsível e controlável”, para uma “zona de
risco” na qual “é preciso avaliar constantemente as consequências das ações
propostas”.
Nesta perspectiva, o professor/pesquisador procurou fazer um levantamento
de softwares de geometria dinâmica que pudessem ser utilizados no levantamento
de dados e na aplicação das atividades. Foi pensado, também, que tipo de atividade
poderia ser utilizado de forma investigativa.
2.4 SOFTWARE DE GEOMETRIA DINÂMICA
O que é Geometria Dinâmica?
É um termo usado para um método dinâmico e interativo para o ensino e
aprendizagem de geometria e suas propriedades utilizando um recurso
computacional (software) com características próprias (Néri, 2012). Este processo
não tem a intenção de substituir a régua e compasso, mas melhorar o processo de
construção do conhecimento.
Segundo Néri (2012), o termo “dinâmico” na geometria refere-se à ideia de
movimento, assim, os programas de Geometria Dinâmica permitem que as
32
construções possam ser modificadas e analisadas em diversas formas ajudando na
visualização das propriedades geométricas.
O fato de estes softwares serem bastante precisos colabora muito com os
alunos que não possuem habilidade para manusear a régua e o compasso. Muitas
vezes, o aluno não visualiza uma propriedade pelo fato de o desenho não
representar adequadamente a situação problema.
É importante na manipulação do software que o aluno tenha uma noção
básica de geometria. O que são ponto, reta, retas paralelas, retas perpendiculares,
bissetrizes, ângulos e também uma noção de simetria. Esta noção é necessária para
o maior dinamismo da atividade.
Quadro 2 - Cronologia dos softwares de geometria dinâmica
Cronologia dos softwares de geometria dinâmica
Quando? Software Quem desenvolveu?
Anos 60 SuperLogo Desenvolvida por Seymour Papert, um educador
matemático, no MIT - Massachusetts Institute of
Technology, de Cambridge, MA, Estados Unidos, e
adaptada para o português em 1982, na Unicamp.
Anos 80 Cabri
Géomètre
Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain desenvolveram
o Cabri Geometry II no Institut d'Informatique et
Mathématiques Appliquées de Grenoble (IMAG).
Anos 80 Geometer’s
Sketchpad
Swarthmore College, sob a direção dos doutores
Eugene Klotz e Doris Schattschneider.
1996 Cinderela Foi inicialmente desenvolvido por Jürgen Richter-
Gebert e Henry Crapo. Foi reescrito em Java a partir do
zero por Jürgen Richter-Gebert e Ulrich Kortenkamp.
2001 Geogebra Markus Hohenwarter da Flórida Atlantic University.
2003 Graphmática Keith Hertzer, um bacharel em Engenharia Elétrica e
Ciência da Computação da Universidade de Berkeley.
2008 C.a.R Desenvolvido pelo professor René Grothmann da
Universidade Católica de Berlim, na Alemanha.
Fonte: Elaborada pelo autor
33
O software SuperLogo 3.0 é um aplicativo que o professor/pesquisador
acredita ter impulsionado os aplicativos de geometria dinâmica. Ele possuía uma
linguagem simples, poderosa e muito interativa, pois o usuário podia “ensinar” os
comandos para o aplicativo. Não era dinâmico, mas é bem provável ter impulsionado
os estudos para que os aplicativos fossem modificados para esse propósito
educacional. É um software livre8 e gratuito9.
Os primeiros softwares criados para Geometria Dinâmica foram o Geometer’s
Sketchpad (1989) e o Cabri Géomètre (1988). Estes programas a princípio
procuravam reproduzir os desenhos feitos com régua e compasso (Néri, 2012). São
softwares não-livres e gratuitas para testar, possuem versões Demo10 e/ou Trial11,
sendo necessário adquirir uma licença para usufruir de seus recursos de maneira
plena.
Hoje, há vários softwares de Geometria Dinâmica: C.a.R (régua e compasso),
Cinderela, GeoGebra, entre outros.
8 Opensource: (Software livre) São programas gratuitos que possuem o código-fonte aberto,
desenvolvidos, na maioria das vezes, por comunidades que dedicam seu tempo livre para fazê-lo. Se
você for programador, pode modificar o código-fonte dos programas caso queira, desde que
mantenha os créditos aos criadores deles. A licença de uso opensource mais popular é a GNU-GPL,
para ler o conteúdo integral desta licença acesse: http://www.magnux.org/doc/GPL-pt_BR.txt
9 Freeware: (software gratuito): São programas gratuitos, eles não expiram e você pode usá-
los livremente e nunca terá que pagar nada por isso. Alguns programas são gratuitos apenas para
pessoas físicas ou uso não comercial.
10 Demo: Este tipo de distribuição é mais comum em jogos. Os demos de jogos apresentam
apenas algumas fases e servem para você analisar se vale a pena comprá-lo ou não. Os demos não
expiram e nem podem ser registrados. Se você quiser comprar o software terá que recorrer a uma
loja.
11 Trial: É semelhante ao tipo DEMO, mas se aplica a programas. Você pode testar o
programa em sua totalidade, com todos os recursos e por quanto tempo quiser, mas geralmente não
poderá salvar ou exportar os trabalhos feitos. Se quiser comprar o programa deverá ir a uma loja e
comprar a caixa, não há opção para registrar o programa. Alguns programas Trial permitem que você
salve e exporte os trabalhos por um certo tempo, mas após este tempo de uso a única opção é
comprar o programa completo ou apagá-lo do computador.
34
Figura 4 - Interface da página inicial do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
O software escolhido para ser utilizado na pesquisa foi o GeoGebra, sobre o
qual é dedicada uma seção (3.4) no próximo capítulo.
35
3. DELINEAMENTO METODOLÓGICO
Para responder a questão levantada “Como atividades com foco em
problemas de construções geométricas e investigações, com apoio
computacional, podem auxiliar o processo de ensino/aprendizagem e/ou
revisitação dos conceitos e propriedades de triângulos, junto a um grupo de
alunos do 3º ano do ensino médio?” foi adotada uma metodologia qualitativa.
Como já citado, a pesquisa foi desenvolvida com quatorze alunos do terceiro
ano do ensino médio de uma instituição da rede particular de Três Corações, Sul de
Minas Gerais.
3.1 AMBIENTE, CARACTERÍSTICAS E SUJEITOS DA PESQUISA
A instituição, Colégio Nova Geração, adota hoje o sistema COC de ensino, e
foi fundada no ano de 2010 na cidade de Três Corações, como uma opção de
ensino diferenciado, por ter uma equipe docente eficiente, aliada a um material
didático reconhecido nacionalmente e um amplo apoio on-line. Além disso, o colégio
dispõe de lousa interativa em todas as salas, o que proporciona uma aula mais
dinâmica e com uma maior participação do aluno na construção do conhecimento.
O público da instituição é bastante diversificado. As turmas são heterogêneas
em relação aos níveis de aprendizagem e isso, de certa forma, dificulta o processo
de ensino-aprendizagem do conteúdo. Todos os quatorze alunos estudaram o
ensino fundamental em outras instituições, portanto são transferidos, o que pode ter
ocasionado “falhas” no processo de ensino-aprendizagem.
Por ser uma instituição nova e com recursos financeiros, ela tem procurado se
adequar às necessidades dos alunos com inovação e tecnologia de ponta.
Os quatorze alunos, sujeitos da pesquisa, serão denominados de aluno A,
aluno B, aluno C, aluno D, aluno E, aluno F, aluno G, aluno H, aluno I, aluno J, aluno
K, aluno L, aluno M, aluno N. Estes alunos sentiram-se inseguros e motivados ao
mesmo tempo. Inseguros por estarem utilizando uma ferramenta nova, porém
motivados em conhecer o conteúdo de um modo inovador e dinâmico.
36
3.2 CARACTERIZAÇÃO DA PESQUISA
Alguns procedimentos metodológicos foram necessários para o
desenvolvimento desta pesquisa e o professor/pesquisador julga importante citá-los.
Uma vez que estas atividades serão aplicadas em uma turma de terceiro ano
do ensino médio, as propriedades abordadas já eram de conhecimento dos alunos,
pois os conteúdos contidos nas mesmas fazem parte da estrutura curricular dos
anos anteriores. Todos os alunos regularmente matriculados na turma fizeram parte
da pesquisa, não sendo o desempenho escolar um fator de relevância para a
escolha. Espera-se que os diferentes níveis de aprendizagem não prejudiquem os
resultados da pesquisa.
Com o objetivo de socializar o conhecimento compartilhado, os alunos foram
separados em duplas e as mesmas foram estimuladas a discutirem entre si antes de
solicitar a orientação do professor. A amostra foi formada por quatorze (14) alunos
sendo sete (7) do sexo masculino e sete (7) do sexo feminino. A formação das
duplas foi por afinidades dos membros para que o diálogo pudesse ser mais
produtivo. No entanto, cada aluno deveria fazer seu próprio registro da solução
encontrada.
As atividades foram desenvolvidas em momento oportuno em sala de aula
sendo utilizadas quatro aulas de cem (100) minutos para o desenvolvimento das
mesmas.
Para a coleta de dados, foram utilizadas atividades dirigidas que tratavam das
propriedades dos triângulos. Num primeiro momento, as atividades precisaram ser
“calibradas”, ou seja, foram testadas para verificar se realmente estão avaliando
aquilo que foi proposto, para que o objetivo da pesquisa seja alcançado. Este teste
foi feito junto a professores que avaliaram as questões propostas.
O quadro a seguir apresenta de forma simplificada os conteúdos abordados
em cada atividade. Ele apresenta também o tempo de duração disponível, os
objetivos e os recursos didáticos utilizados.
37
Quadro 3 – Detalhamento das atividades
Atividade Conteúdo Objetivo Recurso
Didático
01 Conservação da área do
triângulo, retas paralelas.
Investigar propriedades do
triângulo explorando a
questão do ponto de vista
geométrico.
GeoGebra
Lápis
Papel
Régua
02 soma dos ângulos internos,
retas paralelas, retas
transversais, ângulos
correspondentes e opostos
pelo vértice.
Investigar propriedades do
triângulo explorando a
questão do ponto de vista
geométrico.
GeoGebra
Lápis
Papel
Régua
03 Base média, segmentos
paralelos, módulo do
segmento, ponto médio,
proporção.
Investigar propriedades do
triângulo explorando a
questão do ponto de vista
geométrico.
GeoGebra
Lápis
Papel
Régua
04 Medianas, módulo de
segmentos, ponto médio,
proporção, lugar
geométrico, baricentro.
Investigar propriedades do
triângulo explorando a
questão do ponto de vista
geométrico.
GeoGebra
Lápis
Papel
Régua
05 Retas perpendiculares,
mediatriz do lado do
triângulo, circunferência
circunscrita.
Investigar propriedades do
triângulo explorando a
questão do ponto de vista
geométrico.
GeoGebra
Lápis
Papel
Régua
06 Condição de existência de
um triângulo.
Investigar propriedades do
triângulo explorando a
questão do ponto de vista
geométrico.
GeoGebra
Lápis
Papel
Régua
Fonte: Elaborado pelo autor
As atividades foram aplicadas no último bimestre de 2013 utilizando recursos
computacionais. Como já citado, o professor/pesquisador utilizou o software
GeoGebra devido a sua interface bastante intuitiva e também por ser um software
que pode servir como instrumento de aprendizagem para outros conteúdos dentro
38
da própria geometria, na álgebra, na estatística, entre outras, podendo ainda utilizar
este recurso no curso superior.
Nas atividades, haverá um equilíbrio no emprego da linguagem usual e da
linguagem matemática, procurando manter uma comunicação clara e direta ao nível
dos alunos aos quais se destinam as mesmas.
3.3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A pesquisa visa analisar como recursos didáticos planejados podem contribuir
para a aprendizagem do conteúdo de triângulos, possibilitando usar diferentes
registros de representação, escrito e/ou algébrico e/ou geométrico, para entender a
conceituação, as propriedades e a construção de triângulos.
Estes registros de representação variam dependendo do sujeito. Cada sujeito
procura se expressar da forma mais conveniente ao seu entendimento. Os sistemas
semióticos cumprem três atividades cognitivas, segundo Duval (2009):
“A primeira é a formação de uma marca, que possa ser identificada como representação de um objeto, a segunda, o tratamento, é a transformação da representação, uma mudança de forma, mas preservando as características próprias do sistema onde foi criada. E a terceira, a possibilidade de conversão da representação com sua passagem a outro sistema, mas mantendo o mesmo objeto de referência”.
Pretende-se verificar se as atividades dirigidas colaboram para aguçar o
interesse dos alunos pelo objeto de estudo e ainda se há um estímulo para
atravessar as três atividades cognitivas citadas acima buscando diferentes
representações ou causa o desinteresse por lidar com o desconhecido e/ou não ter
habilidade cognitiva suficiente e necessária para o desenvolvimento das atividades.
Segundo Kilpatrick (1994, p.2), “pesquisa é uma indagação metódica ou
estudo sistemático e consistente de um problema”. O termo “indagação”, neste caso,
sugere a busca por respostas a uma questão particular e o termo “metódica”
significa que a investigação deve ser orientada através de conceitos sólidos, porém
sua questão está passível de verificação e a conclusões que possam ser
observadas através da própria pesquisa.
Segundo Fiorentini (2009, p. 61), a pesquisa será de campo ou de laboratório
se a questão só pode ser respondida efetivamente se houver uma experimentação
39
ou uma coleta de dados no ambiente ao qual se refere tais questionamentos. Sendo
assim, esta pesquisa se caracteriza como sendo uma pesquisa de campo, pois suas
conclusões estão condicionadas a aplicação da atividade.
3.4 O GEOGEBRA
O que é o GeoGebra?
Para responder a essa pergunta o professor/pesquisador buscou o site dos
seus desenvolvedores: www.geogebra.org.
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica gratuito e
multiplataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra,
tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema.
Dizemos que é um software de matemática dinâmica, pois ele transcende a
geometria sendo útil em diversas áreas da matemática. É um software bastante
premiado e sua versão em 3D está em desenvolvimento e possui apenas a versão
Beta.
Hoje o software se encontra na versão 4.4 e em constante desenvolvimento
através de grupos on-line de discussão e aprimoramento. Nestes grupos há também
demonstrações que podem ser baixadas para serem trabalhadas em sala de aula.
O software é constituído basicamente por três áreas: campo de entrada,
janela de álgebra e janela de visualização. Estas áreas possibilitam a construção de
aulas, resolução de problemas, testes de hipóteses e principalmente para um
trabalho investigativo de verificação de propriedades e teoremas da geometria, da
álgebra e até mesmo da estatística.
Para ter acesso ao manual completo do software GeoGebra visite o link:
http://wiki.geogebra.org/pt/Manual:P%C3%A1gina_Principal
Para a presente pesquisa, utilizou-se itens das telas do GeoGebra pertinentes
ao trabalho proposto, conforme a seguir.
A janela de visualização (figura 5, p.40) é onde fica registrado
geometricamente todo comando inserido no campo de entrada e/ou inserido
diretamente através da seleção de um ícone na barra de ferramentas acima da
janela.
40
Figura 5 – Janela de Visualização do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
O campo de entrada (figura 6, p.40) é o local onde o comando é descrito e
este comando é representado simultaneamente na janela de álgebra e na janela de
visualização. Por exemplo, para se representar um ponto A localizado na
coordenada A=(2,3), inserimos no campo de entrada A=(2,3) ou A:ponto(2,3).
Figura 6 - Campo de entrada do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
41
Este ponto pode ainda ser inserido diretamente na janela de visualização.
Para isso, é necessário acionar o ícone referente a “Novo Ponto”, porém, este ponto
pode ficar impreciso por estar sendo marcado “a mão livre”.
Figura 7 – Barra de Ícones do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
A janela de álgebra (figura 8, p. 42) indica tudo que é feito na janela de
visualização, portanto, caso queira editar alguma informação basta acionar o item
diretamente na caixa de álgebra e alterá-lo com a precisão desejada.
É com o auxílio desta ferramenta que se pretende melhorar o processo de
ensino-aprendizagem dos alunos em geometria. Para isso, primeiramente o aluno
deverá passar por uma ambientação do software a fim de dominar os comandos
básicos para que possam desenvolver a atividade de forma satisfatória e a
ferramenta do software seja um facilitador e não um problema a mais neste
processo.
A ferramenta é bastante simples e intuitiva, mas com um número de
comandos bastante extenso. Claro que há áreas mais complexas no software, mas
não é objetivo desta pesquisa abordar esta complexidade e sim verificar se o
GeoGebra pode auxiliar no ensino de apenas um tópico da geometria, triângulos.
42
Figura 8 - Janela de álgebra do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
43
4. DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES E ANÁLISE DOS RESULTADOS
Neste capítulo, o professor/pesquisador fará a apresentação das atividades
aplicadas, buscando analisar a maneira como as mesmas foram trabalhadas,
observando quais os pontos positivos e os pontos negativos da aplicação. As
atividades foram escolhidas utilizando conceitos básicos da geometria aplicados a
triângulos. Os alunos do terceiro ano do ensino médio obviamente tiveram contato
com esse conteúdo no ensino fundamental, embora nem sempre com resultados
positivos. Mas, aqui, a ideia era verificar como estes alunos se comportariam na
recuperação desse conteúdo e diante de uma proposta planejada que possibilitaria
aos mesmos transcenderem seus conhecimentos.
4.1 AMBIENTAÇÃO
Num primeiro momento era necessário que os alunos conhecessem o
software de geometria dinâmica, GeoGebra, que seria utilizado na aplicação das
atividades. Como o colégio não possui laboratório de informática, foi solicitado aos
alunos que levassem tablets e/ou notebooks nos dias marcados para a aplicação
das atividades. Assim a atividade inicial chamada de atividade zero foi a
ambientação, para que o software fosse um facilitador e não ou problema a mais no
desenvolvimento das atividades.
Para garantir que todos os alunos possuíssem a mesma versão do software,
o professor/pesquisador encarregou-se de baixar e instalar a mesma versão do
software em todas as máquinas. A versão utilizada na aplicação da atividade foi a
4.2 que naquele momento era a versão mais atual do software disponível, além
disso, foi feito ainda a atualização do Java.
44
Atividade 00
Objetivo
Proporcionar ao aluno uma ambientação com a ferramenta que será utilizada
na aplicação das atividades.
Conteúdo explorado
Janela de visualização, janela de álgebra, campo de entrada, barra de
ferramentas e ícones.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
Após a instalação do software e atualização do Java, o professor/pesquisador
fez uma introdução explicativa das janelas de trabalho do software GeoGebra
(Janela de visualização, Janela de álgebra, Campo de entrada, Barra de ferramentas
e Ícones). Em seguida, os alunos foram estimulados a explorar as ferramentas,
janelas e ícones do software. Como era o primeiro contato dos alunos com o
software, eles sentiram-se inseguros e não sabiam por onde começar sendo
necessária intervenção do professor/pesquisador através de orientações
direcionadas como:
Selecione o segundo ícone e nele selecione “ponto”. Com o “ponto”
selecionado clique na “janela de visualização” para marcar um ou mais
pontos. (Figura 9, p.45)
Selecione o terceiro ícone e nele selecione “reta”. Com a “reta” selecionada
clique na “janela de visualização” em dois pontos distintos para formar uma
reta. (Figura 10, p.45)
45
Figura 9 - Ícone ponto
Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 10 – Ícone reta
Fonte: Elaborada pelo autor
Em um segundo momento, os alunos foram orientados a exibir a malha
quadriculada na “janela de visualização” a fim de ajudá-los a determinar pontos que
continham coordenadas inteiras. Não que fosse relevante o valor ser inteiro, mas
com este valor é mais fácil verificar as relações e manipulá-lo (figura 11, p.45). Eles
foram orientados ainda a sempre estar atentos na janela de álgebra, pois a partir
dela seria possível chegar a muitas conclusões.
Figura 11 – Exibição do plano quadriculado na janela de visualização
Fonte: Elaborada pelo autor
46
Passada a fase de ambientação, foi solicitado aos alunos que continuassem
explorando os recursos do software em casa para que em um próximo momento
iniciasse a aplicação das atividades dirigidas propostas pelo professor/pesquisador.
4.2 CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO
A área de um triângulo qualquer é calculada pela metade do produto da
medida segmento da base pela medida do segmento da altura. O objetivo específico
desta atividade é fazer com que os alunos observem que em um triângulo qualquer
definindo um dos lados como base ao deslocar o vértice oposto à base por uma reta
paralela à base a área do triângulo permanece o mesmo valor, não importando a
sua forma.
Atividade 01
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Conservação da área, reta paralela.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque, no plano, dois pontos, A e B, em um mesmo alinhamento horizontal.
b) Marque um ponto C não colinear aos pontos A e B. (Figura 12, p.47)
c) Construa um triângulo ABC.
No momento desta construção, quatro alunos, 28,6% do total, utilizaram a
ferramenta segmento por dois pontos para determinar os lados do triângulo e
47
tiveram que ser orientados a utilizar outra ferramenta, neste caso o polígono, ou
não seria possível atingir o objetivo do item d.
Figura 12 – Definição de três pontos
Fonte: Elaborada pelo autor
d) Utilizando os recursos do Geogebra determine a área do triângulo. (Figura 13,
p.48)
Solucionado o problema do item c, todos os alunos conseguiram atingir esse
objetivo, assim eles foram solicitados a utilizar diferentes representações para
expressar o resultado como sugere Duval. 64,3% recorreram à fórmula
2
alturabaseÁrea
para calcular a área enquanto 35,7% optaram por contar os
quadrados da malha quadriculada, pois os triângulos definidos por eles favoreciam
esta situação.
Ao realizar esse item d, 42,9% dos alunos observaram que o valor
determinado para área utilizando o recurso área do Geogebra já estava
representado na “Janela de Álgebra” do software.
48
e) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento
AB passando por C.
Figura 13 – Determinação da área do triângulo
Fonte: Elaborada pelo autor
f) Selecione o ponto C e desloque para direita e para esquerda. O que pode ser
dito em relação à área do triângulo? Explique porque isso ocorre?
49
Fonte: Elaborada pelo autor
O quadro 4 apresenta uma análise detalhada das respostas dos alunos. Nele
podemos observar que 92,9% dos alunos observaram que a área em relação a seu
valor não se altera quando movimentado o ponto C sobre a reta paralela. Nenhum
dos alunos comentou, em sua representação escrita, as diferentes formas adquiridas
pelo triângulo, mas durante a aplicação surgiu o comentário oral: “está errado! esses
triângulos não parecem ter a mesma área”. Podemos observar também que 100%
dos alunos relataram que a altura não se altera, 71,4% relatam que a base não se
altera, 28,6% citam o fato de o ponto C deslocar-se por uma reta paralela ao
segmento AB da base do triângulo. A fórmula da área foi relatada por 35,7% dos
alunos e apenas um aluno (7,1%) relatou, em sua descrição, que não aconteceu
nada, o que não deixa de ser uma colocação correta quando se olha apenas o valor
da área.
Em conversa com os alunos, o professor/pesquisador pôde constatar que
71,4% dos alunos demonstraram satisfação ao realizar a atividade, porém as
representações na linguagem escrita não possuem uma linguagem matemática
formal.
Figura 14 – Deslocamento horizontal do ponto C mantendo a base AB
50
Quadro 4 – Resumo das respostas dadas ao item f, atividade 01
Argumentações
dos alunos
Porcentagem (%)
Código do
aluno que
argumentou
Área não
muda
A, B, C, D,
E, F, G, H,
J, K, L, M,
N
Altura não
muda
A, B, C, D,
E, F, G, H,
I, J, K, L,
M, N
Base não
muda
A, B, G, H,
I, J, K, L,
M, N
Fórmula da
área
E, F, G, J
Fonte: Dados da pesquisa
A seguir são apresentados três relatos da atividade.
Protocolo 1 – Resposta do aluno J, item f, atividade 01
Fonte: Dados da pesquisa
Protocolo 2 - Resposta do aluno I, item f, atividade 01
Fonte: Dados da pesquisa
51
Protocolo 3 - Resposta do aluno F, item f, atividade 01
Fonte: Dados da pesquisa
De acordo com os protocolos apresentados podemos observar que os alunos
F e J conseguiram alcançar o objetivo da atividade de maneira satisfatória,
registrando e explicando suas constatações. O aluno I foi mais sintético em sua
resposta, o que causou suspeita ao pesquisador. Em conversa reservada com o
aluno I, o professor/pesquisador pôde verificar que o mesmo não executou o
experimento do deslocamento do vértice, não atendendo ao objetivo da atividade,
ele apenas captou comentários dos colegas..
4.3 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO
Uma das propriedades mais conhecidas envolvendo triângulos é que a soma
dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Há muitas formas de mostrar e
demonstrar esta propriedade; dobraduras, recortes e desenvolvimento algébrico são
alguns exemplos. O professor/pesquisador pretende fazer uma verificação, através
do recurso computacional, de manipulações e de resgate de conhecimentos.
Na atividade, são abordadas ainda as propriedades das retas paralelas
cortadas por transversais. Ângulos correspondentes, alternos internos, opostos pelo
vértice podem ser observados.
Atividade 02
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
52
Conteúdo explorado:
Soma dos ângulos internos, retas paralelas, retas transversais, ângulos
correspondentes e opostos pelo vértice.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano três pontos quaisquer, A, B e C e construa um triângulo
ABC.
b) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento
AB passando por C.
c) Construa a semirreta com origem em A, passando por C.
d) Utilizando os recursos do Geogebra meça o ângulo interno A do triângulo
ABC e o ângulo formado pela reta paralela e a semirreta. O que podemos
observar? Que é dado a esses ângulos? (Figura 15)
Figura 15 - Definição dos ângulos correspondentes
Fonte: Elaborada pelo autor
53
A construção dos itens a e b desta atividade foram semelhantes à atividade
01, portanto, não houve dificuldade em fazê-los. Nos itens c e d foram exploradas
duas novas ferramentas (ícones), semirreta e ângulo. O
professor/pesquisador observou que 100% dos alunos construíram a semirreta e
determinou o ângulo de forma satisfatória, porém ele faz uma ressalva em relação à
determinação do ângulo. Ele observou que os alunos selecionaram a ferramenta
“ângulo” e simplesmente selecionaram o triângulo, isso fez com que todos os
ângulos tivessem seus valores mostrados. Mas para mostrar o ângulo entre a reta e
a semirreta era necessário um pouco mais de critério. Apenas 64,3% dos alunos
conseguiram determinar o ângulo de maneira satisfatória. Os demais alunos
determinaram o ângulo replementar12 ao desejado, então, o professor/pesquisador
questionou a todos para saber se algum deles saberia o porquê dos valores
diferentes. Depois de algum tempo o aluno L concluiu que a leitura do item é
importante. A determinação do valor do ângulo utilizando o Geogebra dá-se no
sentido anti-horário, portanto deve haver um critério para a seleção dos elementos
que definem o ângulo.
Em relação à resposta do item d, o professor/pesquisador observou que todos
os alunos concluíram que os ângulos possuem mesmo valor. Ele observou também
que os alunos não dominavam a nomenclatura dada aos ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma transversal, pois apenas 50% deles responderam que o
nome dado aos ângulos do item são ângulos correspondentes13, 42,9% disseram
que eram ângulos alternos internos e 7,1% ser ângulos suplementares14. Estas
respostas causaram preocupação ao professor/pesquisador.
12 Ângulos replementares são dois ângulos cuja soma de suas medidas, resultam em um
ângulo de 360º.
13 Ângulos correspondentes são ângulos congruentes definidos de um mesmo lado de uma
transversal que corta um feixe de paralelas.
14 Ângulos suplementares são dois ângulos cuja soma de suas medidas, resultam em um
ângulo de 180º.
54
Quadro 5 – Resumo das respostas dadas ao item d, atividade 02
Observações
registradas
pelos alunos
Porcentagem (%)
Código do
aluno que
argumentou
Ângulos
congruentes:
𝛂 = 𝛃
(correto)
A, B, C, D,
E, F, G, H, I,
J, K, L, M, N
𝛂 = 𝛃:
Correspondente
(correto)
A, B, G, J,
K, L, M, N
𝛂 = 𝛃
Alternos
internos
(errado)
C, D, E, F, I
𝛂 = 𝛃:
Suplementar
(errado)
H
Fonte: Dados da pesquisa
A seguir estão três protocolos com estas respostas.
Protocolo 4 - Resposta do aluno J, item d, atividade 02
Fonte: Dados da pesquisa
Protocolo 5 - Resposta do aluno I, item d, atividade 02
Fonte: Dados da pesquisa
55
Protocolo 6 - Resposta do aluno H, item d, atividade 02
Fonte: Dados da pesquisa
e) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que podemos observar em relação
aos ângulos? Registre todas as suas observações.
Protocolo 7 - Resposta do aluno J, item e, atividade 02
Fonte: Dados da pesquisa
Protocolo 8 - Resposta do aluno K, item e, atividade 02
Fonte: Dados da pesquisa
Nesse item e, esperava-se que os alunos expusessem mais detalhes de suas
observações, porém eles não estavam habituados a fazer este tipo de
representação, a linguagem escrita em atividades matemáticas. Assim sendo, 64,3%
registraram apenas que os valores dos ângulos mudam, fazendo referência aos
ângulos congruentes. Esperava-se que os mesmos citassem que esta propriedade é
válida para todo tipo de triângulo.
f) Construa a semirreta com origem em B, passando por C (Figura 16).
g) Utilizando os recursos do Geogebra meça o ângulo interno C do triângulo
ABC e o ângulo formado pelas duas semirretas. O que podemos observar?
Que nome é dado a esses ângulos?
56
Figura 16 – Imagem ilustrativa dos itens f e g
Fonte: Elaborada pelo autor
No desenvolvimento dos itens f e g, todos os alunos atingiram de maneira
satisfatória a construção com o auxílio do software, uma vez que os mesmos já
haviam sido orientados sobre a forma correta de se utilizar a ferramenta ângulo no
item d desta atividade.
Os erros de definição e denominação dos ângulos se repetiram nesse item
como pode ser verificado no protocolo 10 a seguir. Vale ressaltar que nesta
atividade, os alunos foram orientados a construir a base AB na horizontal, diferente
das imagens elaboradas pelo autor nesta atividade, para que ficasse mais evidente
a congruência dos ângulos, porém isso pode ter prejudicado a linguagem utilizada
pós-observação, assim foi utilizada a palavra igual no lugar de congruente.
Protocolo 9 - Resposta do aluno J, item g, atividade 02
Fonte: Dados da pesquisa
57
Protocolo 10 - Resposta do aluno I, item g, atividade 02
Fonte: Dados da pesquisa
h) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode observar em relação
aos ângulos? Registre todas as suas observações.
Protocolo 11 - Resposta do aluno J, item h, atividade 02
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 17 - Soma dos ângulos internos do triângulo
Fonte: Elaborada pelo autor
i) O que podemos concluir em relação à soma dos ângulos internos de um
triângulo?
58
Protocolo 12 - Resposta do aluno J, item i, atividade 02
Fonte: Dados da pesquisa
Protocolo 13 - Resposta do aluno I, item i, atividade 02
Fonte: Dados da pesquisa
j) O que se pode dizer em relação ao ângulo externo do vértice B?
Protocolo 14 - Resposta do aluno J, item j, atividade 02
Fonte: Dados da pesquisa
Nesta atividade, o professor/pesquisador pôde observar que cerca de 50%
alunos não possuem formados ou não se lembraram dos conceitos e classificações
em relação a ângulos formados por paralelas cortadas por transversais.
Nela, houve a necessidade de fazer intervenção para utilização do software
no momento de fazer a medição dos ângulos. Uma vez sanada esta dificuldade, pelo
professor/pesquisador, a atividade teve seu objetivo alcançado.
4.4 COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA
Nessa atividade, o professor/pesquisador busca explorar conceitos como
ponto médio, ângulos, segmentos paralelos e proporção. Nela, ele pretende ainda
explorar a semelhança de triângulos além do teorema de Tales. No GeoGebra, há a
possibilidade de inserção de imagens em sua janela de visualização, este é um
recurso que pode ajudar alunos e professores na resolução de diversas situações
problema.
59
Atividade 03
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Base média, segmentos paralelos, módulo do segmento, ponto médio,
proporção.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano três pontos quaisquer: A, B e C;
b) Construa o triângulo ABC;
c) Determine, de alguma forma, os pontos médios dos lados AC e BC, nomeie
esses como D e E, respectivamente, e construa o segmento DE;
d) O que você observa em relação ao segmento obtido, comparando-o com os
segmentos inicialmente construídos? Use os recursos do Geogebra para
medir, por exemplo, ângulos e comprimentos, para auxiliar nas conclusões;
Protocolo 15 - Resposta do aluno C, item d, atividade 03
Fonte: Dados da pesquisa
60
Figura 18 - Base média
Fonte: Elaborada pelo autor
Nesta atividade, percebe-se nitidamente como a disciplina Desenho
Geométrico faz falta. Quando no item c pede-se para “determinar, de alguma forma,
os pontos médios”, nenhum aluno buscou utilizar os conceitos geométricos para tal
determinação. Todos utilizaram o recurso Ponto Médio ou Centro do software.
O item d possibilitou aos alunos utilizar outro recurso do Geogebra, a
ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro. Esta ferramenta permitiu a
78,6% dos alunos concluir que a medida do segmento DE correspondia à metade da
medida do segmento AB. Os 21,4% restantes não puderam chegar à mesma
conclusão imediatamente devido ao número de casas decimais para as medidas dos
segmentos ser maior que aquele configurado no software.
O protocolo 15 e o quadro 6, a seguir, apontam as conclusões obtidas por
parte dos alunos na atividade.
61
Quadro 6 – Resumo das respostas dadas ao item d, atividade 03
Observações
registradas
pelos alunos
Porcentagem (%)
Código do
aluno que
argumentou
A medida de
DE vale a
metade de
AB
A, B, C, D,
E, F, G, H,
I, J, K, L,
M, N
Fórmula de
ponto médio
Nenhum
aluno
Triângulos
ABC e DEC
são
semelhantes
A, B, J, K
A e D –
ângulos
congruentes
B e E –
ângulos
congruentes
A, C, D, E,
F, G, H, I
Fonte: Dados da pesquisa
e) O que acontece se modificarmos o triângulo construído inicialmente? Mova
um dos vértices e registre suas observações;
Protocolo 16 - Resposta do aluno C, item e, atividade 03
Fonte: Dados da pesquisa
Nesta atividade, os alunos tiveram mais facilidade, pois estavam mais
familiarizados com os comandos do software. A linguagem utilizada continuava não
62
sendo apropriada e precisaria de um tempo maior para que fosse trabalhada de
maneira mais adequada.
4.5 O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES
A atividade aborda conceitos como ponto médio, mediana e permite
demonstrar através do conceito de área porque o ponto G (baricentro) é o centro de
gravidade de qualquer triângulo. Utilizando o software é possível modificar a forma
do triângulo e assim observar que há uma equivalência na área dos triângulos
menores formados pelas medianas do triângulo maior.
Atividade 04
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Medianas, módulo de segmentos, ponto médio, proporção, lugar geométrico,
baricentro.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano três pontos quaisquer: A, B e C; Construa o triângulo ABC;
b) Determine os pontos D, E e F, que são os pontos médios dos lados AB, AC e
BC, respectivamente, do triângulo ABC;
c) Determine os segmentos que representam as medianas do triângulo ABC. O
que você observa em relação às medianas do triângulo ABC? Registre.
Uma dificuldade apresentada nessa atividade foi em relação ao conceito de
mediana, os alunos não sabiam afirmar com certeza o que viria ser este segmento.
63
Assim, foi necessário diferenciar bissetriz, mediatriz e mediana, para que os alunos
pudessem desenvolver a atividade.
Protocolo 17 - Resposta do aluno L, item c, atividade 04
Fonte: Dados da pesquisa
O professor/pesquisador verificou que 64,3% dos alunos registraram que as
três medianas se cruzam em um mesmo ponto, 57,1% citaram que este ponto
recebe o nome de baricentro. Entre os registros, 28,6% fizeram apontamento
equivocados e com erros de definição. O quadro 7 mostra o panorama dos registros
deste item c.
d) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que você observa? Registre.
Protocolo 18 - Resposta do aluno L, item d, atividade 04
Fonte: Dados da pesquisa
Nesta atividade, a linguagem escrita continuou sendo um problema. O
professor/pesquisador observou que nos itens c e d, o aluno não tinha vocabulário
adequado para registrar suas observações. Isso mostra que o professor deve
manter sempre uma linguagem matemática apropriada e ressaltar os conceitos
sempre que tiver oportunidade para que o aluno tenha sempre os mesmos na
memória.
64
Quadro 7 – Resumo das respostas dadas ao item c, atividade 04
Observações
registradas
pelos alunos
Porcentagem (%)
Código do
aluno que
argumentou
Confusão
entre
mediana,
mediatriz e
bissetriz
G, H, M, N
As 3
medianas se
interceptam
num mesmo
ponto
C, D, E, G,
H, J, K, L,
N
Ponto de
encontro das
medianas
denomina-se
baricentro
C, D, E, G,
H, J, K, L
Surgem 6
triângulos
menores de
mesma área
G, H, L
Fonte: Dados da pesquisa
e) Meça os segmentos formados sobre as medianas. O que você observa?
Registre.
Protocolo 19 - Resposta do aluno L, item e, atividade 04
Fonte: Dados da pesquisa
Neste caso, apenas 28,6% dos alunos concluíram que o segmento da
mediana ficava dividida na razão 2 para 1, que é uma propriedade destes
65
segmentos. Para o professor/pesquisador; ficou evidente que esta propriedade, para
ser observada a atividade, deveria ser direcionada inclusive a escolha dos pontos do
triângulo, pois os valores, na maioria das vezes, não podem ser verificados
facilmente. Poderia ainda explorar a ferramenta Compasso do software.
f) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que você observa em relação a
essas medidas?
Protocolo 20 - Resposta do aluno L, item f, atividade 04
Fonte: Dados da pesquisa
g) As medianas dividem o triângulo ABC em 6 triângulos menores. Determine a
área de cada um desses triângulos. O que você observa? Explique porque
isto ocorre.
Figura 19 – Baricentro e suas propriedades
Fonte: Elaborada pelo autor
66
Protocolo 21 - Resposta do aluno L, item g, atividade 04
Fonte: Dados da pesquisa
h) Selecione o ponto de encontro das medianas, habilite o recurso do Geogebra
chamado “rastro”, em seguida mova um dos vértices do triângulo na
horizontal ou na vertical. Qual a trajetória do ponto selecionado? (Figura 20)
Protocolo 22 - Resposta do aluno L, item h, atividade 04
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 20 – Ilustração do item h, atividade 04, rastro
Fonte: Elaborada pelo autor
Durante a aplicação da atividade, um dos alunos comentou que os triângulos
determinados não poderiam ter a mesma área por serem muito diferentes. Uma
maneira de convencer o aluno seria realizar o cálculo manualmente. Os cálculos
foram realizados, porém não constam nesta pesquisa. Os valores nem sempre
67
coincidiam exatamente, pois o software pode apresentar valores arredondados, mas
foi o suficiente para convencer o aluno da igualdade existente.
4.6 O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES
A atividade visa permitir a verificação de que um ponto qualquer da mediatriz
é o lugar geométrico equidistante de dois pontos fixos. Ela visa também observar
que a partir do momento que são traçadas as mediatrizes referentes aos lados de
um triângulo qualquer, existe um único ponto comum (circuncentro) entre essas
retas e que por ele é possível traçar uma circunferência circunscrita ao triângulo.
Atividade 05
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Reta perpendicular, mediatriz do lado do triângulo, circunferência
circunscrita.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano três pontos: A, B e C;
b) Construa o triângulo ABC;
c) Determine o ponto médio de cada um dos lados do triângulo ABC.
d) Construa uma reta perpendicular a cada um dos lados passando pelo seu
ponto médio. O que podemos observar? Registre. Como podemos chamar as
retas perpendiculares?
68
Para esta construção, uma nova ferramenta foi utilizada, Reta
Perpendicular. 85,7% dos alunos registraram que as retas perpendiculares se
encontram em um mesmo ponto; destes, 66,7% citaram que o ponto está fora do
triângulo e 41,7% dentro, sendo que 33,3% observaram que ambas as situações
poderiam ocorrer. Esta situação ocorre por causa do tipo de triângulo, nos triângulos
acutângulos este ponto se encontra dentro, nos triângulos obtusângulos se encontra
fora, enquanto no triângulo retângulo se encontra no ponto médio da hipotenusa.
A palavra mediatriz não foi citada por nenhum aluno e 21,3% dos alunos
indicaram as retas perpendiculares como sendo as alturas. O professor/pesquisador
observou que 35,7% dos alunos usaram a palavra ortocentro no item d e ao mesmo
tempo usaram a palavra circuncentro no item g, ele acredita que os alunos que
classificaram como ortocentro o ponto de encontro das mediatrizes acreditaram que
as retas representavam as alturas.
Protocolo 23 – Resposta do aluno A, item c, atividade 05
Fonte: Dados da pesquisa
e) Marque o ponto de encontro entre as retas perpendiculares.
f) Meça de alguma forma a distância deste ponto a cada vértice do triângulo
ABC. O que podemos observar? Registre.
Como a ferramenta Distância já havia sido abordada, 100% dos alunos
puderam concluir que o ponto de encontro das mediatrizes (circuncentro) possuía a
mesma distância de todos os vértices do triângulo.
Protocolo 24 - Resposta do aluno A, item f, atividade 05
Fonte: Dados da pesquisa
69
g) Mova um dos vértices do triângulo, o que você observa? Registre.
Protocolo 25 - Resposta do aluno A, item g, atividade 05
Fonte: Dados da pesquisa
h) Construa uma circunferência com centro no ponto de intersecção das retas
perpendiculares e extremidade em um dos vértices do triângulo ABC. O que
você observa? Como podemos chamar este ponto de intersecção?
71,4% dos alunos responderam corretamente o nome dado ao ponto de
encontro das perpendiculares (circuncentro) e 28,6% disseram que o nome dado a
este ponto seria ortocentro.
Protocolo 26 - Resposta do aluno A, item h, atividade 05
Fonte: Dados da pesquisa
i) Mova um dos vértices do triângulo. O que você observa? Registre.
Protocolo 27 - Resposta do aluno A, item i, atividade 05
Fonte: Dados da pesquisa
70
Figura 21 – Encontro das mediatrizes (circuncentro)
Fonte: Elaborada pelo autor
O professor/pesquisador constatou que 66,7% dos alunos que registraram
como sendo a perpendicular a altura do triângulo tiveram esta impressão pelo fato
de construírem um triângulo equilátero. O aluno A que comentara que o encontro
das mediatrizes ocorre fora do triângulo no protocolo 23, foi orientado a diversificar o
modelo do triângulo adotado por ele e logo percebera que se tratava de um caso
particular, válido apenas para triângulos acutângulos como comentado
anteriormente.
O quadro a seguir registra o resumo das observações feitas pelos alunos ao
item h.
71
Quadro 8 – Resumo das respostas dadas ao item h, atividade 05
Observações
registradas
pelos alunos
Porcentagem (%)
Código do
aluno que
argumentou
O ponto está
a uma
mesma
distância
dos vértices
A, B, C, D,
E, F, G, H,
I, J, K, L,
M, N
Classificou o
ponto como
sendo o
circuncentro
A, B, C, D,
E, F, G, H,
M, N
Classificou o
ponto como
sendo o
ortocentro
(errado)
C, D, E, F,
G, I, J, K,
L
Classificou
as retas
como sendo
as alturas
(errado)
J, K, L
Fonte: Dados da pesquisa
4.7 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO
Nesta atividade, a proposta do professor/pesquisador consistia em verificar a
desigualdade triangular. Ele buscava fazer com que os alunos conseguissem
observar que a existência de um triângulo estava condicionada a soma da medida
dos seus dois menores lados ser maior que a medida do seu maior lado. Fora uma
atividade bastante complexa para os alunos, pois eles tiveram dificuldade em
observar que ao ocorrer o cruzamento das circunferências havia ali a determinação
de um ponto que possibilitaria a formação de um triângulo.
72
Atividade 06
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Condição de existência de um triângulo.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Construa um segmento de reta com 15 cm de comprimento.
b) Com centro em uma das extremidades construa uma circunferência com raio
igual a 7 cm.
c) Com centro na outra extremidade construa circunferências com raios: 5 cm, 6
cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm, 10 cm, 11 cm.
d) Marque os pontos de intersecção entre as circunferências registrando as suas
observações.
Protocolo 28 – Resposta do aluno H, item d, atividade 06
Fonte: Dados da pesquisa
Apenas 14,2% dos alunos concluíram de maneira satisfatória o item d, 35,7%
observaram que as circunferências se encontraram quando a circunferência com
centro em B possuía o raio de medida 8 cm, porém estes não generalizaram que
apenas a partir deste momento havia pontos de intersecção.
73
e) Estabeleça uma condição necessária para que exista ponto de intersecção
entre as circunferências.
Protocolo 29 – Resposta do aluno H, item e, atividade 06
Fonte: Dados da pesquisa
Neste item, 64,3% dos alunos conseguiram observar que a intersecção
ocorreria apenas quando a soma da medida dos raios das circunferências com
centro em A e B fosse maior ou igual a 15 cm, porém nenhum deles citou que se
continuasse a fazer circunferências maiores existiria um limitante para estas
intersecções.
f) Que figura é formada ligando as extremidades do segmento com o ponto de
intersecção?
Protocolo 30 – Resposta do aluno H, item f, atividade 06
Fonte: Dados da pesquisa
Esta foi uma atividade que poderia ter sido explorada de maneira melhor. Os
alunos não entenderam a proposta da atividade e foi necessário fazer intervenção
para que os alunos pudessem registrar suas conclusões.
74
Figura 22 – Existência de triângulos
Fonte: Elaborada pelo autor
Quadro 9 – Resumo das respostas dadas aos itens, atividade 06
Observações registradas
pelos alunos
Porcentagem (%)
Código do aluno que
argumentou
Circunferên-cias se
cruzam o raio em B é igual a 8 cm
A, B, G, H, L
A soma dos raios deve ser maior que 15 cm
G, H, J, H, M, N
Formam-se triângulos
com os pontos de
intersecção
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L,
M, N
Não são todas as
circunferên-cias que se
cruzam
E, F, I
Fonte: Dados da pesquisa
75
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O professor/pesquisador espera que a pesquisa desenvolvida possa trazer
contribuições com o objetivo de aprimorar a forma de abordar a disciplina de
Geometria, mais especificamente o conteúdo de triângulos; e que em seguida possa
se estender a outros conteúdos, e assim colaborar para a aprendizagem significativa
dos conceitos, buscando a aplicabilidade do conteúdo estudado utilizando o software
de apoio, seja ele o GeoGebra ou outro software disponível.
A partir dessa pesquisa, foi produzido um material didático e um conjunto de
atividades, baseadas no estudo de propriedades aplicadas ao estudo dos triângulos
e outros polígonos que possam, por vezes, ser resolvidos com o auxílio de recursos
computacionais.
No desenvolvimento da pesquisa, a dificuldade inicial para a sua aplicação
era a não disponibilidade de um laboratório de informática no colégio Nova Geração,
porém, esta dificuldade foi sanada pelo fato de os alunos possuírem notebook e/ou
tablet. Ainda que não haja a possibilidade de trabalhar a atividade em sala de aula, a
mesma sendo bem elaborada pode ser encaminhada para casa através de um
estudo dirigido que possa ser desenvolvido em computador próprio ou outro.
O software GeoGebra 4.2 foi instalado pelo professor/pesquisador objetivando
que todos tivessem a mesma versão, caso a atividade seja encaminhada para casa
é importante fazer a indicação da versão em que as atividades foram elaboradas
para que não ocorram problemas na execução da atividade por conta de uma versão
diferente. Mesmo tomando este cuidado ocorreu que em máquinas diferentes o
software se comportou de maneira diferente, assim, houve a necessidade da
verificação da configuração de cada máquina na tentativa de fazer com que todos se
comportassem da mesma maneira que foram testadas as atividades.
Após algumas tentativas durante a atividade, não foi possível encontrar o
motivo de tal comportamento, assim, o professor/pesquisador deixou que a atividade
continuasse sendo desenvolvida, estimulando os alunos a encontrarem soluções
utilizando o próprio software. A partir desta constatação, o professor, ao elaborar as
atividades, deve fazer a verificação em diferentes sistemas operacionais para poder
acrescentar orientações se necessário.
No início da atividade de pesquisa, os alunos tiveram a oportunidade de
explorar o software em busca de descobertas sobre os recursos disponíveis. O
76
professor/pesquisador ficou como observador por um momento, em seguida passou
a estimular os alunos a explorar outros comandos e recursos “ocultos” do software,
por último buscou explicitar recursos específicos que seriam utilizados nas
atividades.
Durante este período de descoberta, perguntas do tipo “pra que serve isso?”,
“como eu apago?” foram surgindo. O professor/pesquisador pôde observar que
nenhum dos alunos tinha o hábito de trabalhar com qualquer tipo de software
parecido, portanto era necessário dedicar um tempo maior para a ambientação dos
mesmos.
Em seguida, foi apresentada cada janela (visualização, álgebra e entrada) do
software estabelecendo a relação existente entre elas. O professor/pesquisador
explicou cada ícone, dando ênfase àqueles que seriam explorados nas atividades.
Ícones como: Reta passando por um ponto fora da dela, retas perpendiculares,
circunferências, ângulos foram alguns dos exemplos utilizados como referência na
ambientação com o software.
Em um segundo momento, as atividades foram apresentadas, uma a uma,
aos alunos, solicitando a eles que registrassem todas as suas observações,
facilidades e dificuldades que tivessem durante o desenvolvimento da mesma.
Porém, como pôde ser percebida, a representação escrita é algo que precisa ser
muito bem trabalhada, pois os alunos não têm o hábito de escrever suas
observações e quando elas são necessárias, eles não têm conteúdo e/ou bagagem
da linguagem específica matemática para registrá-las. Para que a linguagem escrita
seja melhorada é necessária uma ação conjunta de todos os professores desde a
educação infantil que estimule este tipo de representação em todo e qualquer tipo de
atividade.
Ainda que os alunos tenham passado por uma ambientação, a pouca
habilidade dos mesmos ao lidar com o software foi um obstáculo para o
desenvolvimento das atividades. Outra dificuldade foi o fato de os alunos não terem
o hábito de desenvolver atividades dirigidas, que os obrigava a lidar com o software
e a registrar suas observações. Por alguns momentos a novidade era tratada de
maneira adversa. O aluno se sente inseguro de expor sua opinião, mesmo não
sendo uma atividade avaliativa. O professor/pesquisador procurou não intervir muito,
mas, a pouca experiência também dele para lidar com este tipo de atividade pode ter
prejudicado e sido ineficaz. Para o professor/pesquisador a experiência foi válida e
77
serviu para saber que para fazer este trabalho é importante que se tenha o cuidado
na preparação dos alunos e do professor e que isso se faz de maneira gradativa e
constante, devendo os alunos ser estimulados, desde as séries iniciais, a trabalhar
com atividades dirigidas em todas as áreas, não apenas na matemática.
Assim, torna-se necessário uma capacitação conjunta dos professores que
irão atuar na escola a fim de nortear o trabalho de modo que o software seja um
facilitador e não um problema a mais no processo de ensino-aprendizagem. Ele
deve ser adotado como um aliado e não um inimigo.
No desenvolvimento da atividade, o professor/pesquisador observou que
alguns alunos, neste caso sempre os mesmos, demonstraram recordar e/ou
reconhecer propriedades em determinadas atividades, porém, não conceituaram de
maneira específica e com linguagem matemática adequada, também não
conseguiram representar com o uso do software. Porém, estes mesmos alunos, ao
serem orientados para o uso do software, demonstraram uma reação positiva ao
desenvolver a atividade e acharam bastante interessante a generalização.
Foi observado que em alguns computadores o comportamento do software foi
diferente de quando o professor/pesquisador criou as atividades, isso proporcionou
certo desconforto no momento da aplicação. Por isso é necessária a manipulação
constante por parte de professores e alunos para poder vir a sanar este problema,
pois havendo o interesse e o domínio por parte dos professores e alunos em relação
ao software este comportamento diferenciado não virá a interferir no andamento da
atividade não causando assim tal desconforto.
No início desta pesquisa, havia questionamentos aos quais o
professor/pesquisador procurava responder e as mesmas puderam ser respondidas
de maneira satisfatória. De forma sintetizada, as respostas a estes questionamentos
estão apresentadas abaixo.
Como trabalhar com alunos de diferentes níveis de conhecimento
matemático?
Durante a pesquisa, pôde-se observar que os alunos que têm mais
dificuldade, mesmo os mais falantes, ficam tímidos perante a uma situação
problema, assim, aqueles que têm maior facilidade desempenham papel
fundamental colaborando de modo prestativo para o bom desempenho da atividade.
78
Dessa forma, o trabalho em grupo deve ser estimulado através de monitores de
conhecimento específico e de conhecimento do software, essa estratégia pode
contribuir para o desenvolvimento comum de todos.
O uso de atividades dirigidas pode facilitar a aprendizagem desses
alunos? Em que momento o aluno encontra dificuldade? Em que momento o
professor deve intervir? Qual é a medida dessa intervenção?
A utilização de atividades dirigidas contribui muito no sentido de incentivar o
aluno a buscar autonomia e a ser um pesquisador. É necessário estudo por parte do
professor para que as atividades sejam bem elaboradas. O professor/pesquisador
apesar das dificuldades por serem poucas as suas experiências com esse tipo de
atividade pôde observar que há pré-disposição do aluno em receber o novo e que
isso pode melhorar a aprendizagem.
Os alunos encontram dificuldades de conteúdo, de implementação do
software e na transcrição de suas observações, assim as atividades devem estar
bem alinhadas no sentido de propiciar o conhecimento do aluno de maneira plena,
possibilitando-o argumentar perante possíveis questionamentos.
No desenvolvimento da atividade, o professor deve intervir muito pouco,
devendo agir como um observador. Suas intervenções deverão ser feitas de modo
geral através de questionamentos que permitam que os alunos sejam guiados em
uma busca constante que pode até levar a conclusões que o professor/pesquisador
não esperava.
Como fazer a escolha e/ou a elaboração destes problemas de
construções geométricas? Os alunos estão preparados para trabalhar com
problemas geométricos? O uso de diferentes representações pode auxiliar nos
problemas geométricos?
As diferentes representações colaboram na aprendizagem do conteúdo como
um todo. A resolução algébrica, gráfica e a escrita devem ser trabalhadas de
maneira simultânea buscando sempre a generalização algébrica e geométrica. O
aluno deve utilizar uma linguagem matemática mais apurada evitando ambiguidades
e conclusões erradas. A pesquisa mostrou que os alunos que participaram da
79
aplicação não estavam preparados para trabalhar com problemas geométricos
principalmente no que diz respeito à linguagem e observações. Assim, a escolha das
atividades bem como sua elaboração deve ser muito minuciosa com questões
dirigidas de forma a evitar dúvidas nos conceitos e procedimentos.
Apesar de o conteúdo ser de conhecimento dos alunos, a atividade não foi
aplicada em um mesmo momento em que o mesmo estava sendo trabalhado no
currículo. Caso esta aplicação ocorresse em um mesmo período, os resultados e
observações poderiam ser diferentes.
O uso de recursos computacionais pode auxiliar os alunos em
atividades dirigidas envolvendo triângulos? Existem softwares que podem ser
utilizados para isso?
Através da pesquisa, o professor/pesquisador pôde observar que os alunos
que têm dificuldade de aprendizagem, na maioria das vezes, têm um bom domínio
dos recursos computacionais como softwares e aplicativos. O computador, ipad,
iphone, tablet são ferramentas que se tornaram comuns e o seu manuseio é, na
maioria das vezes, simples. Assim, o professor/pesquisador acredita que a
exploração destes recursos é sim uma maneira de promover o interesse e a
aprendizagem dos alunos de forma interativa e agradável. Existem hoje softwares
que podem contribuir não apenas na resolução de questões que envolvam
triângulos, mas de geometria em geral. Por exemplo, é possível determinar a altura
aproximada de um prédio manipulando uma foto do mesmo em um software e
cálculos simples envolvendo proporção.
“Como atividades com foco em problemas de construções geométricas,
com apoio computacional, podem auxiliar o processo de ensino/aprendizagem
e/ou revisitação dos conceitos e propriedades de triângulos, junto a um grupo
de alunos do 3º ano do ensino médio?”
O professor/pesquisador conclui que as atividades dirigidas com foco em
problemas de construções geométricas aplicadas ao cotidiano escolar dos alunos
aliadas ao apoio computacional podem facilitar o processo de ensino-aprendizagem
dos conceitos e propriedades de triângulos por parte dos alunos. E esta conclusão
80
serve não apenas para triângulos, mas para todo e qualquer objeto geométrico, e há
vários softwares que assim como o GeoGebra podem atuar como facilitadores da
aprendizagem.
Para isso, é necessário um currículo escolar que proporcione um
planejamento adequado e um tempo suficiente para que as atividades possam ser
bem elaboradas e aplicadas de forma que possam promover o interesse e o
desenvolvimento dos alunos.
O professor/pesquisador conclui ainda que as atividades podem ser utilizadas
não apenas com alunos do 3º ano do ensino médio, mas em toda educação básica e
superior. Ele pretende ampliar estes estudos com a implementação do GeoGebra
3D que está prestes a ser lançado na versão final e assim criar cursos de
capacitação e materiais dirigidos para auxiliar os professores nesse avanço e
retomada dos conhecimentos geométricos.
81
REFERÊNCIAS
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construção de figuras geométricas planas utilizando o software: Geogebra /
Humberto Alves Bento. Belo Horizonte, 2010.
BITTAR, M. (2003). O ensino de vetores e os registros de representação
semiótica. Campinas: Papirus.
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matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
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Educação, 1999.
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82
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<http://www.geometriadinamica.com.br/>. Acesso em: 25 jun. 2014.
OLIVEIRA, Mariângela de Castro e. Ressignificando conceitos de geometria
plana a partir do estudo de sólidos geométricos / Mariângela de Castro e
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POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
FERREIRA, Márcia Santos. Os Centros de Pesquisas Educacionais do INEP e os
estudos em ciências sociais sobre a educação no Brasil. Revista Brasileira de
Educação, v. 13, n. 38, maio/ago. 2008. Disponível em:
<http://www.scielo.br/pdf/rbedu/v13n38/07.pdf>. Acesso em: 25 jun. 2014.
83
APÊNDICE A – Lista de atividades aplicadas aos alunos
Atividade 01
Objetivo: Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto
de vista geométrico.
Conteúdo explorado: conservação da área, reta paralela.
Ambiente virtual: Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano dois pontos, A e B, em um mesmo alinhamento horizontal.
b) Marque um ponto C não colinear aos pontos A e B.
c) Construa um triângulo ABC.
d) Utilizando os recursos do Geogebra determine a área do triângulo.
e) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento AB
passando por C.
f) Selecione o ponto C e desloque para direita e para esquerda. O que pode ser
dito em relação a área do triângulo? Explique porque isso ocorre?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
84
Atividade 02
Objetivo: Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto
de vista geométrico.
Conteúdo explorado: soma dos ângulos internos, retas paralelas, retas
transversais, ângulos correspondentes e opostos pelo vértice.
a) Marque no plano três pontos quaisquer, A, B e C e construa um triângulo ABC.
b) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento AB
passando por C.
c) Construa a semirreta com origem em A, passando por C.
d) Utilizando os recursos do Geogebra meça o ângulo interno A do triângulo ABC e
o ângulo formado pela reta paralela e a semirreta. O que podemos observar?
Que nome damos a esses ângulos?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
e) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que podemos observar em relação
aos ângulos? Registre todas as suas observações.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
f) Construa a semirreta com origem em B, passando por C.
g) Utilizando os recursos do Geogebra meça o ângulo interno C do triângulo ABC e
o ângulo formado pelas duas semirretas. O que podemos observar? Que nome
damos a esses ângulos?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
85
h) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que podemos observar em relação
aos ângulos? Registre todas as suas observações.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
i) O que podemos concluir em relação à soma dos ângulos internos de um
triângulo?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
j) O que podemos dizer em relação ao ângulo externo do vértice B?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
86
Atividade 03
Objetivo: Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto
de vista geométrico.
Conteúdo explorado: base média, segmentos paralelos, módulo do segmento,
ponto médio, proporção.
a) Marque no plano três pontos quaisquer: A, B e C;
b) Construa o triângulo ABC;
c) Determine, de alguma forma, os pontos médios dos lados AC e BC, nomeie
esses como D e E, respectivamente, e construa o segmento DE;
d) O que você observa em relação ao segmento obtido, comparando-o com os
segmentos inicialmente construídos? Use os recursos do Geogebra para medir,
por exemplo, ângulos e comprimentos, para auxiliar nas conclusões;
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
e) O que acontece se modificarmos o triângulo construído inicialmente? Mova um
dos vértices e registre suas observações;
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
87
Atividade 04
Objetivo: Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto
de vista geométrico.
Conteúdo explorado: medianas, módulo de segmentos, ponto médio,
proporção, lugar geométrico, baricentro.
a) Marque no plano três pontos quaisquer: A, B e C; Construa o triângulo ABC;
b) Determine os pontos D, E e F, que são os pontos médios dos lados AB, AC e
BC, respectivamente, do triângulo ABC;
c) Determine os segmentos que representam as medianas do triângulo ABC. O que
você observa em relação às medianas do triângulo ABC? Registre.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
d) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que você observa? Registre.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
e) Meça os segmentos formados sobre as medianas. O que você observa?
Registre.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
f) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que você observa em relação a essas
medidas?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
88
g) As medianas dividem o triângulo ABC em 6 triângulos menores. Determine a
área de cada um desses triângulos. O que você observa? Explique porque isto
ocorre.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
h) Selecione o ponto de encontro das medianas, habilite o recurso do Geogebra
chamado “rastro”, em seguida mova um dos vértices do triângulo na horizontal ou
na vertical. Qual a trajetória do ponto selecionado?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
89
Atividade 05
Objetivo: Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto
de vista geométrico.
Conteúdo explorado: reta perpendicular, mediatriz do lado do triângulo,
circunferência circunscrita.
a) Marque no plano três pontos: A, B e C;
b) Construa o triângulo ABC;
c) Determine o ponto médio de cada um dos lados do triângulo ABC.
d) Construa uma reta perpendicular a cada um dos lados passando pelo seu ponto
médio. O que podemos observar? Registre. Como podemos chamar as retas
perpendiculares?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
e) Marque o ponto de encontro entre as retas perpendiculares.
f) Meça de alguma forma a distância deste ponto a cada vértice do triângulo ABC.
O que podemos observar? Registre.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
g) Mova um dos vértices do triângulo, o que você observa? Registre.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
h) Construa uma circunferência com centro no ponto de intersecção das retas
perpendiculares e extremidade em um dos vértices do triângulo ABC. O que você
observa? Como podemos chamar este ponto de intersecção?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
i) Mova um dos vértices do triângulo. O que você observa? Registre.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Atividade 06
Objetivo: Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto
de vista geométrico.
Conteúdo explorado: condição de existência de um triângulo.
a) Construa um segmento de reta com 15 cm de comprimento.
b) Com centro em uma das extremidades construa uma circunferência com raio
igual a 7 cm.
c) Com centro na outra extremidade construa circunferências com raios: 5 cm, 6
cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm, 10 cm, 11 cm.
d) Marque os pontos de intersecção entre as circunferências registrando as suas
observações.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
e) Estabeleça uma condição necessária para que exista ponto de intersecção entre
as circunferências.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
f) Que figura é formada ligando as extremidades do segmento com o ponto de
intersecção?
APÊNDICE B – Quadros primários de apuração das observações dos alunos
Quadro 4 – Análise primária das respostas do item f, atividade 01
Aluno Área não
muda
Altura não
muda
Base não
muda
Ponto C paralelo
AB
Citou a fórmula
Não acontece
nada
1 X X X
2 X X X
3 X X X
4 X X X
5 X X X X
6 X X X X
7 X X X X
8 X X X
9 X X X
10 X X X X
11 X X X X
12 X X X
13 X X X
14 X X X
Fonte: Dados da pesquisa
Quadro 5 – Análise primária das respostas do item d, atividade 02
Aluno Observou que os ângulos
são congruentes
Classificou os ângulos como
correspondentes
Classificou os ângulos como
alternos internos
Classificou os ângulos como suplementares
1 X X
2 X X
3 X X
4 X X
5 X X
6 X X
7 X X
8 X X
9 X X
10 X X
11 X X
12 X X
13 X X
14 X X
Fonte: Dados da pesquisa
Quadro 6 – Análise primária das respostas do item g, atividade 02
Aluno
Observou que os ângulos
são congruentes
Classificou os ângulos como opostos pelo
vértice
Classificou os ângulos como
alternos internos
Classificou os ângulos como
correspondentes
1 X X
2 X X
3 X
4 X
5 X X
6 X X
7 X X
8 X X
9 X X
10 X X
11 X X
12 X X
13 X X
14 X X
Fonte: Dados da pesquisa
Quadro 6 – Análise primária das respostas da atividade 03
Aluno Observou que os triângulos ABC e
DEC são semelhantes
Observou que os ângulos A e D e os ângulos B e E são
congruentes
Observou que o segmento DE corresponde a
metade da medida do segmento AB
1 X X X
2 X X
3 X X
4 X X
5 X X
6 X X
7 X X
8 X X
9 X X
10 X X
11 X X
12 X
13 X
14 X
Fonte: Dados da pesquisa
Quadro 8 – Análise primária das respostas do item c, atividade 04
Aluno Relatou que as 3 medianas encontram-se em um mesmo
ponto
Registraram que o ponto de enconto
das medianas é o Baricentro
Relataram que ficaram
determinados seis triângulos
menores de mesma área
Disseram que o ponto de
encontro fica no centro do
triângulo (incorreto)
1 X
2 X
3 X X
4 X X
5 X X
6 X
7 X X X
8 X X X
9 X
10 X X
11 X X
12 X X X
13 X
14 X
Fonte: Dados da pesquisa
Quadro 9 – Análise primária das respostas da atividade 05 A L U N O
Ponto de encontro
dentro triângulo
Ponto de encontro fora do
triângulo
Classificou reta
perpendicularcomo altura
O ponto está a uma mesma
distância dos 3 vértices
Classificaram o ponto como
sendo o circuncentro
Classificaram o ponto como
sendo o ortocentro
1 X X X
2 X X X
3 X X X
4 X X X X
5 X X X X X
6 X X X X X
7 X X X X X
8 X X X X
9 X X X
10 X X X
11 X X X
12 X X X
13 X X X
14 X X
Fonte: Dados da pesquisa
Quadro 10 – Análise primária das respostas da atividade 06
Aluno Registrou que a
circunferências se cruzam no
momento que a de raio em B media 8 cm
Registrou que a soma dos
raios deveria ser maior que
15
Registrou que são formados
triângulos com os
pontos de intersecção
Nem todas as circunferências
se cruzam
1 X X
2 X X
3 X
4 X
5 X X
6 X X
7 X X X
8 X X X
9 X X
10 X X
11 X X
12 X X
13 X X
14 X X
Fonte: Dados da pesquisa
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
CADERNO DE ATIVIDADES
EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE INFORMÁTICO DE ENSINO
Aguinaldo Borba Pereira
Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2014
Aguinaldo Borba Pereira
CADERNO DE ATIVIDADES
Explorando elementos dos triângulos em um ambiente informático de ensino
Produto construído após aplicação e análise das atividades da pesquisa apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte 2014
PREFÁCIO
Este caderno de atividades é produto da dissertação de Mestrado em Ensino
de Ciências e Matemática da PUC Minas, intitulada “Explorando elementos dos
triângulos em um ambiente informático de ensino” e tem como objetivo geral propor
atividades que possibilitem aos estudantes e professores obterem através de
atividades investigativas generalizações de propriedades do triângulo e que podem
ser estendidos para o estudo da geometria e da matemática em geral, bem como
relembrar alguns conceitos matemáticos básicos, que visam desenvolver habilidades
algébricas e aritméticas fundamentais para o bom andamento do processo de
ensino-aprendizagem.
A elaboração da sequência didática das atividades foi baseada em Dante
(2012), numa abordagem intuitiva e investigativa, desenvolvidas em um ambiente
informático de acordo com o conteúdo abordado.
As atividades fazem uso do software gratuito GeoGebra, voltado para o
desenvolvimento da matemática dinâmica, que aborda a aritmética, a geometria e a
álgebra, possibilitando a realização de cálculos matemáticos, numéricos ou
simbólicos, possibilita ainda manipular diferentes representações de expressões
algébricas, derivar e integrar funções, visualizar diversos tipos de gráficos, além de
outras funcionalidades, sendo um software de fácil utilização e interface amigável.
Foram seis atividades em sequência didática, especialmente preparadas e
aplicadas a estudantes do 3º ano do ensino médio de uma instituição da rede
particular de ensino de Três Corações, Minas Gerais, durante a pesquisa de
mestrado. Estas atividades contemplam os seguintes assuntos: Conservação da
área do triângulo, retas paralelas, retas perpendiculares, soma dos ângulos internos
do triângulo, feixe de paralelas cortadas por transversais e outros conceitos de
geometria. Estes tópicos geralmente encontram-se intercalados com capítulos de
aritmética e álgebra nos livros.
Após a aplicação, análise, discussão das atividades com os alunos
participantes, algumas revisões e adaptações; estas atividades foram organizadas
para compor este caderno de atividades.
Os autores.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................... 99
1.1. APRESENTAÇÃO ...................................................................................... 99
1.2. INTERESSE PELO TEMA ........................................................................ 100
2. O GEOGEBRA ................................................................................................ 101
3. ATIVIDADES ................................................................................................... 105
3.1. CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO ......................................... 106
3.2. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO ............................. 109
3.3. COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA .......................................................... 113
3.4. O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES ........................................... 115
3.5. O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES ...................................... 118
3.6. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO ................................ 121
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 123
99
1. INTRODUÇÃO
1.1. APRESENTAÇÃO
O tema deste projeto de pesquisa é o ensino e aprendizagem de triângulos,
com ênfase na exploração e investigação de seus elementos e propriedades, com
auxílio da visualização, em um ambiente informatizado de ensino.
As ideias iniciais do tema deste projeto de pesquisa ocorreram em 2010, no
momento em que o professor/pesquisador ministrava o conteúdo referente a
triângulos nas turmas do ensino fundamental e médio, em uma instituição particular
em Três Corações, Sul de Minas Gerais. As dificuldades encontradas pelos alunos
em assimilar os conceitos e os cálculos envolvendo Geometria, em geral, foram
percebidas desde o primeiro momento e isto impulsionou o desejo de saber quais
eram as causas e tentar uma nova estratégia de ensino.
Estas dificuldades para um “matemático”, ou melhor, para um “educador
matemático” era objeto de angústia e preocupações. Há uma grande diferença em
ser “matemático” e “educador matemático”, assinalam Fiorentini e Lorenzato (2009):
“O matemático, por exemplo, tende a conceber a matemática como um fim em si mesma, e, quando requerido a atuar na formação de professores de matemática, tende a promover uma educação para a matemática, priorizando os conteúdos formais e uma prática voltada à formação de novos pesquisadores em matemática.
O educador matemático, em contrapartida, tende a conceber a matemática como um meio ou instrumento importante à formação intelectual e social de crianças, jovens e adultos e também do professor de matemática do ensino fundamental e médio e, por isso, tenta promover uma educação pela matemática.”
Lorenzato (1995) verificou que o ensino de Geometria, em comparação a
outros conteúdos da Matemática, estava praticamente extinto na maioria das
escolas. Em 2002, quando o professor/pesquisador começou a lecionar, observou
também que a disciplina Desenho Geométrico já não existia mais nas escolas
públicas e, entre as escolas particulares, eram poucas que ainda adotavam a
disciplina. O pesquisador acredita que isso possa ter alavancado ainda mais a
100
defasagem do pensamento geométrico, consequentemente afetando o estudo dos
triângulos.
1.2. INTERESSE PELO TEMA
A escolha de enfatizar a exploração e investigação dos elementos e
propriedades dos triângulos, em um ambiente informatizado de ensino, ocorreu em
virtude de estar em meio a um crescimento absurdo da tecnologia informática e a
mesma ser reconhecida como útil ao meio acadêmico. A expectativa inicial é que a
tecnologia informática seja uma aliada no processo de ensino-aprendizagem dos
alunos tornando-o mais dinâmico e atrativo.
O professor/pesquisador sempre foi adepto dos computadores e atento às
possibilidades criadas por eles. O primeiro computador adquirido pelo pesquisador
foi em 2002 e, com ele, o mesmo visualizava enormes oportunidades para
implementar recursos didáticos em sala de aula, mas a realidade profissional e a
estrutura escolar não favoreciam muito. Hoje, a inclusão digital atingiu todas as
classes e explorar esta ferramenta torna-se quase que obrigatória. Existem vários
softwares facilitadores da aprendizagem, o professor e toda organização escolar
devem acompanhar este processo de evolução do ensino, e ir além.
O triângulo é uma figura geométrica muito difundida e utilizada em diversas
áreas do conhecimento, mesmo em áreas em que a matemática é uma referência
distante. Em todas essas áreas, a visualização, as propriedades e pontos notáveis
do triângulo podem ser exibidos e explorados em modernos softwares disponíveis e
sem custo.
101
2. O GEOGEBRA
O que é o GeoGebra?
Para responder a essa pergunta o professor/pesquisador buscou o site dos
seus desenvolvedores: www.geogebra.org.
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica gratuito e
multiplataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra,
tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema.
Dizemos que é um software de matemática dinâmica, pois ele transcende a
geometria sendo útil em diversas áreas da matemática. É um software bastante
premiado e sua versão em 3D está em desenvolvimento e possui apenas a versão
Beta.
Hoje o software se encontra na versão 4.4 e em constante desenvolvimento
através de grupos on-line de discussão e aprimoramento. Nestes grupos há também
demonstrações que podem ser baixadas para serem trabalhadas em sala de aula.
O software é constituído basicamente por três áreas: campo de entrada,
janela de álgebra e janela de visualização. Estas áreas possibilitam a construção de
aulas, resolução de problemas, testes de hipóteses e principalmente para um
trabalho investigativo de verificação de propriedades e teoremas da geometria, da
álgebra e até mesmo da estatística.
Para ter acesso ao manual completo do software GeoGebra visite o link:
http://wiki.geogebra.org/pt/Manual:P%C3%A1gina_Principal
Para a presente atividade, utilizou-se itens das telas do GeoGebra pertinentes
ao trabalho proposto, conforme a seguir.
A janela de visualização é onde fica registrado geometricamente todo
comando inserido no campo de entrada e/ou inserido diretamente através da
seleção de um ícone na barra de ferramentas acima da janela.
102
Figura 1 – Janela de Visualização do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
O campo de entrada é o local onde o comando é descrito, e este comando é
representado simultaneamente na janela de álgebra e na janela de visualização. Por
exemplo, para se representar um ponto A localizado na coordenada A=(2,3),
inserimos no campo de entrada A=(2,3) ou A:ponto(2,3).
Figura 2 - Campo de entrada do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
103
Este ponto pode ainda ser inserido diretamente na janela de visualização.
Para isso, é necessário acionar o ícone referente à “Novo Ponto”, porém, este ponto
pode ficar impreciso por estar sendo marcado “a mão livre”.
Figura 3 – Barra de Ícones do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
A janela de álgebra indica tudo que é feito na janela de visualização, portanto,
caso queira editar alguma informação basta acionar o item diretamente na caixa de
álgebra e alterá-lo com a precisão desejada.
Figura 4 - Janela de álgebra do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
104
É com o auxílio desta ferramenta que se pretende melhorar o processo de
ensino-aprendizagem dos alunos em geometria. Para isso, primeiramente o aluno
deverá passar por uma ambientação do software a fim de dominar os comandos
básicos para que possam desenvolver a atividade de forma satisfatória e a
ferramenta do software seja um facilitador e não um problema a mais neste
processo.
A ferramenta é bastante simples e intuitiva, mas com um número de
comandos bastante extenso. Claro que há áreas mais complexas no software, mas
não é objetivo desta pesquisa abordar esta complexidade e sim verificar se o
GeoGebra pode auxiliar no ensino de apenas um tópico da geometria, triângulos.
105
3. ATIVIDADES
As atividades que compõe este caderno foram propostas com caráter
investigativo em trabalho de mestrado desenvolvido na PUC-Minas, campus
Coração Eucarístico.
Neste capítulo são apresentadas as atividades aplicadas com a proposta de
colaborar com professores e alunos para a inserção do software GeoGebra no
cotidiano escolar e assim propiciar uma generalização dos conceitos através do
dinamismo que o mesmo pode proporcionar. As atividades foram escolhidas
utilizando conceitos básicos da geometria aplicados a triângulos.
A ideia é que o ambiente informático possa ser um aliado no processo de
ensino-aprendizado preenchendo lacunas que possam ocorrer no ensino
convencional, através de uma proposta planejada que possibilitaria aos alunos
transcenderem seus conhecimentos.
Num primeiro momento, é necessário que os alunos conheçam o software de
geometria dinâmica, GeoGebra, que é utilizado na aplicação das atividades. Assim
torna-se necessário a orientação para baixar e instalar corretamente o software seja
em um laboratório de informática, em computadores de casa, tablets e/ou
notebooks.
É de extrema importância que se faça a ambientação dos alunos com o
software para o desenvolvimento de qualquer atividade utilizando o mesmo. Isso
fará com que ele seja um facilitador da aprendizagem e não um problema.
106
3.1. CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO
A área de um triângulo qualquer é calculada pela metade do produto da
medida segmento da base pela medida do segmento da altura. O objetivo específico
desta atividade é fazer com que os alunos observem que em um triângulo qualquer
definindo um dos lados como base ao deslocar o vértice oposto à base por uma reta
paralela à base a área do triângulo permanece o mesmo valor, não importando a
sua forma.
Atividade 01
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Conservação da área, reta paralela.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano dois pontos, A e B, com coordenadas inteiras, em um mesmo
alinhamento horizontal.
b) Marque um ponto C, com coordenadas inteiras, não colinear aos pontos A e B.
c) Construa um triângulo ABC, utilizando o recurso polígono do software
GeoGebra.
107
Figura 5 – Exemplo da definição de três pontos
Fonte: Elaborada pelo autor
d) Utilizando os recursos do Geogebra determine a área do triângulo.
Dica: Explore aqui as diferentes representações semióticas, faça com que o
aluno utilize a fórmula do cálculo da área do triângulo para verificação do resultado.
108
Figura 6 – Determinação da área do triângulo
Fonte: Elaborada pelo autor
e) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento AB
passando por C.
f) Selecione o ponto C e desloque para direita e para esquerda. O que pode ser
dito em relação à área do triângulo? Explique porque isso ocorre?
109
Fonte: Elaborada pelo autor
3.2. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO
Uma das propriedades mais conhecidas envolvendo triângulos é que a soma
dos ângulos internos de um triângulo é igual a 360º. Há muitas formas de mostrar e
demonstrar esta propriedade, dobraduras, recortes e desenvolvimento algébrico são
alguns exemplos. A ideia aqui é obter a propriedade através da generalização
fazendo o uso do recurso computacional.
Na atividade são abordadas ainda as propriedades das retas paralelas
cortadas por transversais. Ângulos correspondentes, alternos internos, opostos pelo
vértice podem ser observados.
Atividade 02
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Figura 7 – Deslocamento horizontal do ponto C mantendo a base AB
110
Conteúdo explorado:
Soma dos ângulos internos, retas paralelas, retas transversais, ângulos
correspondentes e opostos pelo vértice.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano, três pontos quaisquer, A, B e C, e em seguida construa um
triângulo ABC utilizando o recurso polígono do software GeoGebra.
b) Utilizando o recurso reta paralela do software GeoGebra, determine a reta paralela ao segmento AB passando por C.
c) Construa a com o recurso semirreta do software GeoGebra, a semirreta com origem em A, passando por C.
d) Utilizando o recurso ângulo do software GeoGebra, meça o ângulo interno A do triângulo ABC e o ângulo formado pela reta paralela e a semirreta, nessa ordem. O que pode ser dito em relação à medida desses ângulos? Que é dado a esses ângulos?
111
Figura 8 – Exemplo do item d, atividade 2
Fonte: Elaborada pelo autor
e) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que podemos observar em relação
aos ângulos? Registre todas as suas observações.
f) Construa a semirreta com origem em B, passando por C.
g) Utilizando os recursos do GeoGebra meça o ângulo interno C do triângulo ABC e
o ângulo formado pelas duas semirretas. O que pode ser dito em relação à
medida desses ângulos? Que nome é dado a esses ângulos?
112
Figura 9 – Exemplo dos itens f e g, atividade 2
Fonte: Elaborada pelo autor
h) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação aos ângulos? Registre todas as suas observações.
Figura 10 - Soma dos ângulos internos do triângulo
Fonte: Elaborada pelo autor
113
i) O que pode ser concluído em relação à soma dos ângulos internos de um triângulo, com base nas conclusões anteriores?
j) O que se pode dizer em relação ao ângulo externo do vértice B?
3.3. COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA
Esta atividade tem como objetivo explorar conceitos como ponto médio,
ângulos, segmentos paralelos e proporção. Nela, há pretensão ainda explorar a
semelhança de triângulos além do teorema de Tales. O GeoGebra possibilita a
inserção de imagens em sua janela de visualização, este é um recurso que pode
ajudar alunos e professores na resolução de diversas situações problema.
Atividade 03
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Base média, segmentos paralelos, módulo do segmento, ponto médio,
proporção.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
114
a) Marque no plano três pontos quaisquer, com coordenadas inteiras: A, B e C;
b) Construa o triângulo ABC utilizando o recurso polígono do software
GeoGebra;
c) Determine utilizando o recurso ponto médio ou centro do software GeoGebra,
os pontos médios dos lados AC e BC, nomeie esses como D e E,
respectivamente, e construa o segmento DE;
d) O que pode observado em relação ao segmento obtido, comparando-o com os
segmentos inicialmente construídos? Use os recursos do Geogebra para medir,
por exemplo, ângulos e comprimentos, para auxiliar nas conclusões;
Observação: Esta conclusão pode ser prejudicada pelo número de casas decimais
com o qual o software está configurado. Pode-se aumentar o número de casas
decimais em: opções → arredondamento ou elaborar uma atividade mais dirigida de
modo a tornar mais evidente as conclusões desejadas.
Figura 11 – Exemplo do item d, atividade 3
Fonte: Elaborada pelo autor
115
e) O que acontece se modificarmos o triângulo construído inicialmente? Mova um
dos vértices e registre suas observações;
3.4. O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES
A atividade aborda conceitos como ponto médio, mediana e permite
demonstrar através do conceito de área porque o ponto G (baricentro) é o centro de
gravidade de qualquer triângulo. Utilizando o software é possível modificar a forma
do triângulo e assim observar que há uma equivalência na área dos triângulos
menores formados pelas medianas do triângulo maior.
Atividade 04
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Medianas, módulo de segmentos, ponto médio, proporção, lugar geométrico,
baricentro.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano três pontos quaisquer, com coordenadas inteiras: A, B e C; em
seguida construa o triângulo ABC com recursos do GeoGebra;
b) Determine os pontos D, E e F, que são os pontos médios dos lados AB, AC e
BC, respectivamente, do triângulo ABC;
116
c) Determine os segmentos que representam as medianas do triângulo ABC. O que
se pode dizer em relação às medianas do triângulo ABC? Registre todas as suas
observações.
d) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que é possível observar em relação
ao item anterior? Registre.
e) Meça os segmentos formados sobre as medianas. O que se pode dizer sobre as
medidas encontradas? Registre todas as suas observações.
f) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação a essas
medidas? Registre todas as suas observações.
117
g) As medianas dividem o triângulo ABC em 6 triângulos menores. Determine a
área de cada um desses triângulos. O que se pode dizer em relação à medida
dessas áreas? Explique porque isto ocorre.
Figura 12 – Baricentro e suas propriedades
Fonte: Elaborada pelo autor
h) Selecione o ponto de encontro das medianas, habilite o recurso do Geogebra
chamado “rastro”, em seguida mova um dos vértices do triângulo na horizontal ou
na vertical. Qual a trajetória do ponto selecionado?
118
Figura 13 – Ilustração do item h, atividade 4, rastro
Fonte: Elaborada pelo autor
3.5. O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES
A atividade visa permitir a verificação de que um ponto qualquer da mediatriz
é o lugar geométrico equidistante de dois pontos fixos. Ela visa também observar
que, a partir do momento que são traçadas as mediatrizes referentes aos lados de
um triângulo qualquer, existe um único ponto comum (circuncentro) entre essas
retas e que por ele é possível traçar uma circunferência circunscrita ao triângulo.
Atividade 05
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Reta perpendicular, mediatriz do lado do triângulo, circunferência
circunscrita.
119
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano três pontos quaisquer: A, B e C;
b) Construa o triângulo ABC;
c) Determine o ponto médio de cada um dos lados do triângulo ABC.
d) Construa utilizando o recurso reta perpendicular do software GeoGebra, uma
reta perpendicular a cada um dos lados passando pelo seu ponto médio. O que
se pode dizer em relação às retas perpendiculares traçadas? Registre todas as
suas observações. Como podemos chamar as retas perpendiculares?
e) Marque o ponto de encontro entre as retas perpendiculares.
f) Meça utilizando os recursos do GeoGebra, a distância deste ponto a cada vértice
do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação às medidas determinadas?
Registre suas observações.
g) Mova um dos vértices do triângulo, o que se pode observar em relação ao item
anterior? Registre suas observações.
120
h) Construa uma circunferência com centro no ponto de intersecção das retas
perpendiculares e extremidade em um dos vértices do triângulo ABC. O que se
pode observar em relação a essa circunferência? Como se chama este ponto de
intersecção? Registre suas observações.
i) Mova um dos vértices do triângulo. O que se pode observar em relação ao item anterior? Registre suas observações.
Figura 14 – Exemplo da atividade 5
Fonte: Elaborada pelo autor
121
3.6. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO
Esta atividade consiste em verificar a desigualdade triangular. Ela busca fazer
com que os alunos consigam observar que a existência de um triângulo está
condicionada a soma da medida dos seus dois menores lados ser maior que a
medida do seu maior lado. A atividade é bastante complexa, pode haver dificuldade
em observar que ao ocorrer o cruzamento das circunferências ocorre ali a
determinação de um ponto que possibilita a formação de um triângulo.
Atividade 06
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Condição de existência de um triângulo.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Construa um segmento de reta com 15 cm de comprimento.
b) Com centro em uma das extremidades construa uma circunferência com raio
igual a 7 cm.
c) Com centro na outra extremidade construa circunferências com raios: 5 cm, 6
cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm, 10 cm, 11 cm.
d) Marque os pontos de intersecção entre as circunferências registrando as suas
observações.
122
e) Estabeleça uma condição necessária para que exista ponto de intersecção
entre as circunferências.
f) Que figura é formada ligando as extremidades do segmento com o ponto de
intersecção?
Dica: Deixar claro que existe um limitante inferior e um limitante superior para que
tenha a formação de triângulos dados duas medidas.
Figura 15 – Exemplo da atividade 6
Fonte: Elaborada pelo autor
123
REFERÊNCIAS
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Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: Ministério da
Educação, 1999.
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e metodológicos / Dario Fiorentini, Sergio Lorenzato. – 3ª ed. rev. – Campinas, SP:
Autores Associados, 2009.
124
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Grupo Editorial Iberoamérica & una empresa docente, 1994. p. 1-18.
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em Revista, SBEM, n.4., p.3-13. set./1995.
NÉRI, Izaias Cordeiro. O que é Geometria Dinâmica. Disponível em:
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POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
FERREIRA, Márcia Santos. Os Centros de Pesquisas Educacionais do INEP e os
estudos em ciências sociais sobre a educação no Brasil. Revista Brasileira de
Educação, v. 13, n. 38, maio/ago. 2008. Disponível em:
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