EXTENSIVO – APOSTILA 05 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A

AULA 13

01)

{56, 63, 70, ... , 994} P.A

an = a1 + (n – 1) ∙ r

994 = 56 + (n – 1) ∙ 7

938 = (n – 1) ∙ 7

134 = n – 1

n = 135

02)

Os elementos das matrizes formam a P.A {1, 3, 5, 7, .... }

A 41ª matriz será formada pelos elementos: a161, a162, a163 e a164, então:

a161 = 1 + 160 ∙ 2

a161 = 321

Logo,

a162 = 323

a163 = 325

a164 = 327

A Matriz é 41

321 323A

325 327

03)

{11, 15, 19, ... }

an = a1 + (n – 1) ∙ r

an = 11 + (n – 1) ∙ 4

an = 11 + 4n – 4

an = 4n + 7

04)

Século XXI: 2 001, 2 002, 2 003, ..., 2 100

Múltiplos de 4: {2 004, 2 008, ..., 2 100}

Múltiplos de 100: {2 100}

Múltiplos de 400: Não existe

Anos Bissexto: {2 004, 2008, ..., 2 096} PA

2 096 = 2 004 + (n – 1) · 4

92 = (n – 1) ∙ 4

23 = n – 1

n = 24 anos

05)

f(n + 2) = f(n) + 3

f(0) = 10

f(1) = 5

n = 0 f(2) = f(0) + 3 f(2) = 10 + 3 f(2) = 13

n = 1 f(3) = f(1) + 3 f(3) = 5 + 3 f(3) = 8

n = 2 f(4) = f(2) + 3 f(4) = 13 + 3 f(4) = 16

n = 3 f(5) = f(3) + 3 f(5) = 8 + 3 f(5) = 11

(...)

P.A: {f(0), f(2), f(4), ... , f(20), ...} {10, 13, 16, ..., a11, ... }

a11 = 10 + 10 ∙ 3 a11 = 40 f(20) = 40

P.A: {f(1), f(3), f(5), ..., f(41), ... } {5, 8, 11, ..., a21, ...}

a21 = 5 + 20 ∙ 3 a21 = 65 f(41) = 65

AULA 14

01)

Soma dos Extremos = a1 + an

Soma dos Extremos = a1 + a1 + (n – 1) ∙ r

Soma dos Extremos = 2a1 + (n – 1) ∙ r

Equidistantes = a(1 + k) + a(n – k)

Equidistantes = a1 + (n – 1 – k) ∙ r + a1 + (n – n + k) ∙ r

Equidistantes = 2a1 + (n – 1 – k + n – n + k) ∙ r

Equidistantes = 2a1 + (n – 1) ∙ r

02)

Hipotenusa = (x + r)

Catetos = x e (x – r)

Aplicando Teorema de Pitágoras, tem-se:

(x + r)2 = x2 + (x – r)2

x2 + 2xr + r2 = x2 + x2 – 2xr + r2

x2 – 4xr = 0

x ∙ (x – 4r) = 0

x = 0 (não convém)

ou

x – 4r = 0 x = 4r

Assim, os lados do triângulo são:

Hipotenusa = 5r

Catetos = 4r e 3r

I – FALSO

2

4r 3rÁrea

2

Área 6r

II – VERDADEIRO

3r, 4r, 5r

III – VERDADEIRO

Perímetro = 3r + 4r + 5r

Perímetro = 12r

03)

a)

4ª Linha: {a1, a2, 75, a4, a5}

Pelo termo médio, sabe-se que:

1 51 5

a a75 a a 150

2

Pela soma dos equidistantes, sabe-se que:

a1 + a5 = a2 + a4 = 150

Logo, a soma dos elementos da 4ª Linha será:

Soma = (a1 + a5 )+ (a2 + a4 )+ 75

Soma = 150 + 150 + 75

Soma = 375

b)

A 1ª coluna apresenta o elemento 0. Considerando que ele seja o primeiro

elemento da PA da coluna, observa-se que se o 2º elemento for x, o terceiro será

2x. Assim:

Considerando ainda y e z os vizinhos da 2ª coluna, respectivamente, a 2x e x, e

que a razão da PA da 3ª linha é r tem-se:

130 2x 4r 130 6x130 2x 4(y 2x) y

4y 2x r r y 2x

65 zy z 2y 65

75 x 75 x 75 x 130 205 x22y 65 2y 65 y y

2 2 4 475 xz

2

2x 30

130 6x 205 x 75 75 15130 6x 205 x 5x 75 x x 15 z 45

4 4 5 2

65 45y 55

2

Completando a tabela, tem-se:

AULA 15

01)

Pela característica da soma dos equidistantes, tem-se:

a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + a(n – 2) = ...

Em uma P.A de n termos, formam-se n

2somas iguais, assim: n 1 n

nS a a

2

02)

y = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + 1003

y = 1 + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) + (13 +15 + 17 + 19) + ...

Monta-se o triângulo:

1 = 13

3 + 5 = 23

7 + 9 + 11 = 33

13 + 15 + 17 + 19 = 43

(...)

... = 1003

1ª Linha possui 1 termo

2ª linha possui 2 termos

3ª linha possui 3 termos

(...)

100ª linha possui 100 termos

Para calcular o número total de termos, temos a P.A: {1, 2, 3, ..., 100} cuja soma

de todos os termos é calculada por:

100 1 100

100

100

100S a a

2

S 1 100 50

S 5 050

Assim, o valor de y é a soma dos 5 050 primeiros números ímpares, ou seja:

y = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + a5 050

Calculando o último termo, tem-se:

a5 050 = a1 + 5 049 ∙ 2

a5 050 = 1 + 10 098

a5 050 = 10 099

Cálculo de y:

1 5 050

5 050y a a

2

y 1 10 099 2 525

y 25 502 500

03)

a20 = S20 – S19

a20 = 20 ∙ (20 + 1) – 19 ∙ (19 + 1)

a20 = 420 – 380

a20 = 40

EXTENSIVO – APOSTILA 05 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B

AULA 13

01)

1º Critério: Maior Média

Ana Ana

Bia Bia

79 80 85 80M M 81

4

72 74 92 86M M 81

4

2º Critério: Maior Mediana

Ana Ana

Bia Bia

80 80Med Med 80

2

74 86Med Med 80

2

3º Critério: Maior Regularidade (Menor Desvio Padrão)

2 2 2 2

Ana Ana

2 2 2 2

Bia Bia

81 79 81 80 81 85 81 80 22Dp Dp

4 2

81 72 81 74 81 92 81 86 276Dp Dp

4 2

A Ana possui Desvio Padrão menor, ou seja, a Ana é mais regular e deve ser a

aprovada.

02)

a)

15 1 16 2 17 3 18 4 170Ma Ma Ma 17 anos

1 2 3 4 10

b)

2 2 2 2

17 15 1 17 16 2 17 17 3 17 18 4Dp

1 2 3 4

10Dp

10

Dp 1 ano

AULA 14

01)

Março Janeiro

2

Março Janeiro

x xP P 1 1

100 100

xP P 1

100

Ou seja, será (x%)2 menor.

02)

2006

Brasil = 0,43 ∙ 40 bilhões Brasil = 17,2 bilhões

EUA = 0,45 ∙ 40 bilhões EUA = 18 bilhões

2009

EUA = 9 bilhões

Brasil = x bilhões

Tal que,

x + 9 = 35,2

x = 26,2 bilhões

Aumento do Brasil = 26,2 – 17,2

Aumento do Brasil = 9 bilhões

Aumento percentual = 9

10017,2

Aumento percentual = 52,32%

03)

9 6

9 6

6

6

30 1,2 10 25 6 10Ma

1,2 10 6 10

36 150 10Ma

1 206 10

Ma 29,975 anos

04)

25 1 x 4Ma

5

25 4x12

5

60 25 4x

x 8,75%

AULA 15

01)

N = 6 ∙ 5 ∙ 4

N = 120

02)

Terminados em “0”

N = 9 ∙ 8 ∙ 7

N = 504

Terminados em “5”

N = 8 ∙ 8 ∙ 7

N = 448

TOTAL = 952

03)

Letra “D” na 1ª questão

N = 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ ... ∙ 2

N = 1 ∙ 29

Letra “D” na 2ª questão

N = 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ ... ∙ 2

N = 1 ∙ 29

(...)

Letra “D” na 10ª questão

N = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ ... ∙ 1

N = 1 ∙ 29

TOTAL = 10 ∙ 29

04)

1 bola

N = 10

2 bolas

N = 5 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 3 ∙ 2

N = 31

3 bolas

N = 5 ∙ 3 ∙ 2

N = 30

TOTAL = 71

05)

N = (Total de Números de 4 algarismos) – (Números de 4 algarismos sem o “2”)

N = (9 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10) – (8 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9)

N = 9 000 – 5 832

N = 3 168

EXTENSIVO – APOSTILA 05 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D

AULA 13

01)

O perímetro é:

Per = 23,5 – x + x + y + 23,5 – y

Per = 47 cm

02)

132 = 52 + DP2

DP = 12 cm

DQ = DP

DQ = 12 cm

03)

102 = 62 + AC2

AC = 8 cm

2

BC ACÁrea

2

6 8Área

2

Área 24 cm

04)

= 2 ∙ 60º

= 120º

05)

180º 70ºx

2

x 125º

AULA 14

01)

2

2 2

22 2

22 2

22

h2

h4

h4

3h

4

3h

2

1 1 3 3r h r r

3 3 2 6R 2r

2 2 3 3R h R R

3 3 2 3

2

hS

2

3

2S2

3S

4

02)

Cálculo do lado

h 3 3

a 33 3

2

a 6

Cálculo da Área

2

2

a3

2S

4

3 3S

4

9 3S

4

03)

d 2a 3 a 6

2a 3 2 4d2

Sabendo que a = 12, tem-se:

a 6 12 63 6

4 4

Cálculo da área do quadrado:

2

2S S 3 6 S 54

04)

Sabendo que o hexágono regular é a junção de 6 triângulos equiláteros iguais e

que, a área hachurada na figura corresponde a 4 desses triângulos, tem-se:

2

Área doHexágono

4 1 3S 6

6 4

S 3

05)

2 2

2

22

22

2

hex

22

hex

4

hex

a ab

2 2

ab 2

4

ab

2

b 3S 6

4

a3

2S 6

4

3 3aS

8

EXTENSIVO – APOSTILA 05 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E

AULA 13

01)

1f(x) 10 3 sen x

4

11 sen x 1 10 3 1 f(x) 10 3 1 7 f(x) 13

4

Im:[7,13]

02)

f f

g f

g g

2P P

2P 8 P2

P P 81

4

03)

a)

h(0) 11,5 10 sen 0 2612

13h(0) 11,5 10 sen

6

h(0) 11,5 10 sen6

1h(0) 11,5 10

2

h(0) 11,5 5

h(0) 6,5 m

b)

mín mín

máx máx

h(t) 11,5 10 sen t 2612

h 11,5 10 1 h 1,5 m

h 11,5 10 1 h 21,5 m

2p= p 24 horas

12

AULA 14

01)

Para t = 10, tem-se:

A arctg(10) tgA 10

1 1B arctg tgB

10 10

N tg A B

tgA tgBN

1 tgA tgB

110

10N1

1 1010

99

10N2

99N 20N 99

20

02)

A função f(x) = arcsen(x) é definida no 4º e 1º quadrantes, assim:

32 arcsen

2

2 300º

600º

1cos 2 cos 1 200º cos 120º cos 60º

2

03)

A B

2

2

tgA x 23arctg x 2 arctg x

4 tgB x

3A B

4

3tg A B tg

4

tgA tgBtg

1 tgA tgB 4

x 2 x1

1 x 2 x

2x 2 1 x 2x

x 3

04)

2

2 2

2A B

1senA

1 1 1 ay sen arcsen arccos A B 45º

11 a 1 acosB

1 a

y sen A B

y sen 90º

y 1

AULA 15

01)

Nas fórmulas (1) e (2), pode-se dizer que:

A B P

A B Q

2A P Q

P Q P QA ; B

2 2

Somando as fórmulas (1) e (2), tem-se:

sen(A B) sen(A B) senA cosB senBcos A senA cosB senBcos A

senP senQ 2senA cosB

P Q P QsenP senQ 2sen cos

2 2

Subtraindo as fórmulas (1) e (2), tem-se:

sen(A B) sen(A B) senA cosB senBcos A senA cosB senBcos A

senP senQ 2senBcos A

P Q P QsenP senQ 2sen cos

2 2

02)

Nas fórmulas (1) e (2), pode-se dizer que:

A B P

A B Q

2A P Q

P Q P - QA ; B

2 2

Somando as fórmulas (1) e (2), tem-se:

cos(A B) cos(A B) cos A cosB senAsenB cos A cosB senAsenB

cosP cosQ 2cos A cosB

P Q P QcosP cosQ 2cos cos

2 2

Subtraindo as fórmulas (1) e (2), tem-se:

cos(A B) cos(A B) cos A cosB senAsenB cos A cosB senAsenB

cosP cosQ 2senAsenB

P Q P QcosP cosQ 2sen sen

2 2

03)

sen75º sen15ºx

sen75º sen15º

75º 15º 75º 15º2sen cos

2 2x

75º 15º 75º 15º2sen cos

2 2

sen45º cos30ºx

sen30º cos 45º

2 3

2 2x1 2

2 2

x 3

04)

senp sen3pE

cos3p cosp

p 3p p 3p2sen cos

2 2E

3p p 3p p2sen sen

2 2

sen p cos 2pE

sen 2p sen p

sen p cos 2pE

sen 2p sen p

cos 2pE

sen 2p

E cot g 2p