FUNDAMENTOS DA
ENGENHARIA ECONMICA -
AULA 5 Prof. M. Sc. Renato Teixeira da Silva
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1
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OBJETIVOS DA AULA
Reviso da aula anterior
Estender o conceito de equivalncia de capitais
para sries uniformes
2
NA AULA ANTERIOR...
Equivalncia de capitais
3
Quando o valor est
DEPOIS da data focal
Quando o valor est
ANTES da data focal
1 0
A
4
D
2 3
B C
Data
Focal
SRIES UNIFORMES
Um jovem engenheiro quer garantir sua
aposentadoria e decidiu guardar todo ms R$200
comeando em janeiro de 2013 at dezembro de
2032. Sabendo que a taxa de mercado de 0,5%
a.m., qual ser o montante acumulado em janeiro
de 2033?
4
SRIES UNIFORMES
5
200*(1+0,005)360 + 200*(1+0,005)359 + 200*(1+0,005)358 + 200*(1+0,005)357
+...+ 200*(1+0,005)2 + 200*(1+0,005)1 = Montante
SRIES UNIFORMES
Srie (anuidade): conjunto de prestaes (PMT)
peridicas e constantes.
positivas (plano de poupana, entradas de caixa)
negativas (pagamento de aluguel, sadas de caixa)
Fluxo de caixa uniforme Composto por valor
presente (VP) ou valor futuro (VF), taxa de juros
(i), tempo (n) e prestaes iguais e peridicas
(PMT)
6
SRIES UNIFORMES
Classificao quanto ao nmero de termos
Finita
Infinita
7
...
...
SRIES UNIFORMES
Modalidades de Pagamento - Imediata
Antecipada Parcelas pagas no INCIO do perodo
Postecipada Parcelas pagas no FINAL de cada
perodo
8
SRIES UNIFORMES
Modalidades de Pagamento - Diferida
Antecipada Parcelas pagas no incio do perodo aps
uma carncia
Postecipada Parcelas pagas no FINAL de cada
perodo aps uma carncia
9
SRIES UNIFORMES
10
VP = PMT x an,i
VF = PMT x sn,i
VP = PMT (1+i) x an,i
VF = PMT (1+i) x sn,i
Infitita e postecipada
VP = PMT i
1 0 4 2 3
PMT
n-1 n ...
VP
1 0 4 2 3
PMT
n-1 n ...
VF
1 0 4 2 3
PMT
n-1 n ...
VF
1 0 4 2 3
PMT
n-1 n ...
VP
Postecipado Antecipado
SRIES UNIFORMES
11
Fator de valor atual (FVA) de
uma srie de pagamentos
Fator de acumulao de capital
(FAC) de uma srie de
pagamentos
SRIES UNIFORMES - EXEMPLOS
1) Um bem cujo preo vista de R$ 4.000,00 ser pago
em oito prestaes mensais iguais pagas o fim de cada
ms. Considerando que o juro composto cobrado ser
de 5% a. m., calcular o valor das prestaes.
R: R$ 618,89
=
=
4000
1,05 8 11,05 8 0,05
= $ 618,89
12
SRIES UNIFORMES - EXEMPLOS
2) No exemplo anterior, considerando que no ato da
compra foi paga uma entrada de 20% sobre o valor
vista, calcular o valor das prestaes.
R: R$ 495,11
=
=
4000 800
1,05 8 11,05 8 0,05
= $ 495,11
13
SRIES UNIFORMES - EXEMPLOS
3) Uma pessoa pode abater R$ 7.500 se entregar seu
carro usado na compra de um veiculo novo, cujo valor
vista R$18.500. O saldo ser pago por meio de uma
determinada entrada, mais18 prestaes mensais
postecipadas de R$ 350. Considerando que foram
aplicados juros nominais de 72% a.a. capitalizados
mensalmente, calcular o valor da entrada.
R: R$7.210,34
Taxa de juros efetiva mensal
1 + = 1 +0,72
12 = 6% ..
Clculo das prestaes
=
18500 7500 = 350 1,06 18 1
1,06 18 0,06 = $7.210,34
14
SRIES UNIFORMES - EXEMPLOS
4) Quanto se deve aplicar hoje em um investimento de
forma que se possa retirar R$100.000 no fim de todo ms,
durante os prximos 20 meses, considerando uma taxa de
juros nominal de 120% a. a. capitalizada mensalmente?
R: R$ 851.356,37
Taxa de juros efetiva mensal
1 + = 1 +1,20
12 = 10% ..
Clculo das prestaes
= = 100.000 1,10 20 1
1,10 20 0,10 = $851.356,37
15
SRIES UNIFORMES - EXEMPLOS
5) Um financiamento de R$ 50.000 ser pago em 12
prestaes mensais aplicando-se juros efetivos de 8% a. m.
Considerando que foi estipulado um perodo de carncia
de trs meses, calcular o valor das prestaes antecipadas
e postecipadas.
R: R$ 7.738,77 e R$8.357,87
Atualizao do financiamento para o ms 3
= 1 + = 50.000 1 + 0,08 3 = 62.985,60000
Antecipadas
=
1 + =
62.985,60000
1,081,08 12 1
1,08 12 0,08
= $ 7.738,77
Postecipadas
=
=
62.985,60000
1,08 12 11,08 12 0,08
= $ 8.357,87 16
SRIES UNIFORMES - EXEMPLOS
6) Um bem cujo valor vista de R$ 10.000 ser pago por
meio de uma entrada de 20% mais 13 prestaes
antecipadas mensais de R$ 800 cada e mais um
pagamento final junto com a ltima prestao
Considerando que so aplicados juros efetivos de 4% a.m.
e que h um perodo de carncia de trs meses, calcular o
valor do pagamento final de modo que a dvida seja
liquidada.
10.000 = 2.000 + 8001,04 13 1
1,04 13 0,04
1
1,04 2+
1,04 15
= $ . ,
17
PMT = R$800
R$10.000
1 0 4 2 3 5 15 ...
Y E = 0,2 x R$10.000
SRIES UNIFORMES - EXEMPLOS
7) Uma pessoa deposita trimestralmente R$120 em uma
conta remunerada que paga juros de 6%a.t. Em quanto
tempo acumular um capital de R$1.187,70?
=
1.187,70 = 120 1,06 1
0,06
1,06 = 1,59385
= 8
18
SRIES UNIFORMES - EXEMPLOS
8) Uma pessoa deseja dispor de R$ 13.000 dentro de 6 meses.
Para tal efeito, comea hoje a depositar todo incio de ms
em uma aplicao que paga juros efetivos de 4% a.m. Qual o
valor de cada depsito antecipado de modo que disponha da
quantia ao trmino do sexto ms Qual o valor de cada
depsito antecipado de modo que disponha da quantia ao
incio do sexto ms?
R: R$ 1884,52 e R$ 1.959,90
Ao trmino do sexto ms (antecipada montante um ms aps a ltima parcela)
=
1 + =
13.000
1 + 0,041,04 6 1
0,04
= $ 1.884,52
Ao incio do sexto ms (postecipada ltima parcela coincide com o montante)
=
=
13.000
1,04 6 10,04
= $ 1.959,90 19
SRIES UNIFORMES - EXEMPLOS
9) Uma instituio de previdncia privada utiliza-se das
seguintes taxas de juros: paga 0,95% a.m. sobre os depsitos
(contribuies) feitos pelos seus clientes e paga 0,45% a.m.
sobre o capital acumulado para compor a renda vitalcia
(aposentadoria) deles. De quanto dever ser a
aposentadoria de uma pessoa que contribui com R$66,36
mensais durante 35anos?
R: R$ 1.636,00
Clculo do montante acumulado no ms da ltima contribuio (postecipada)
= = 66,36 1,0095 3512 1
0,0095= $ 363.557,68
Clculo da aposentadoria mensal
= = 363.557,68 0,0045 = $ 1.636,00 20
REFERNCIAS
Notas de aula Prof Brandalise EEIMVR/UFF
Apostila de Matemtica Financeira Prof. Eron CEFET-BA
Matemtica Financeira Matias e Gomes . Editora atlas
Apostila de Matemtica Financeira Prof. Fernando Guerra
UFSC
Matemtica Financeira Carlos Patricio Samanez
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