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A quantização da energia de PlancKA teoria dos fotões de EinsteinDualidade onda-corpúsculo para a luzRadiação ionizante e não ionizanteProdução e aniquilação de paresRaios XDualidade onda-corpúsculo para a matéria. Relação de De BroglieBohr e o átomo de hidrogénioPrincípio de Incerteza e Mecânica Quântica
FÍSICA QUÂNTICA
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Introdução à Física Quântica
A incapacidade da Física clássica em explicar certos fenómenos levou ao desenvolvimento de duas teorias que revolucionaram a Física no início do século XX:
A Teoria da Relatividade de Einstein A Física Quântica
Em particular, foi a impossibilidade de se conseguir explicar classicamente as seguintes experiências
radiação do corpo negro efeito fotoeléctrico
que levou ao desenvolvimento da Física Quântica .
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A quantização da energia de PlancK
Todos os corpos emitem energia na forma de radiação (ondas electromagnéticas de varias frequências).
A emissão é consequência da agitação térmica dos corpúsculos que os constituem.
A potencia total radiada é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann.
A Lei de Stefan-Boltzmann aplica-se à emissão e à absorção de radiação.
P = e σ AT4
e - emissividade (para um emissor ideal é 1)A - área da superfície do corpoT - temperatura absoluta (expressa em kelvin)σ constante de Boltzman cujo valor é
5,6703 x 10-8 W m-2 K-4
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A quantização da energia de PlancK
Um emissor ideal (e=1) absorve toda a radiação nele incidente, por isso chama-se corpo negro.
À medida que a temperatura de um corpo aumenta, também aumenta a potencia total radiada, e altera-se a distribuição de frequências da radiação emitida.
Radiância espectral é a potencia emitida por unidade de área e de comprimento de onda.
Na zona dos menores comprimentos de onda um aumento de temperatura traduz-se por uma maior radiância espectral.
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A quantização da energia de PlancK
A uma dada temperatura, a radiância espectral é máxima para um comprimento de onda bem definido.
Aumentar a
temperatura
Aumentar o valor máximo
da radiância
Menor comprime
nto de onda
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A quantização da energia de PlancK
Lei do deslocamento de Wien Quanto maior a temperatura, mais energia é emitida por unidade
de área e de tempo; A intensidade máxima em cada curva ocorre para comprimentos
de onda, que são tanto maiores, quanto menores as temperaturas.
Esta expressão permite
conhecer a temperatura
da superfície de um corpo
por análise da radiação
emitida, sem haver contacto
directo com ele.
A quantização da energia de PlancK
Justificação clássica para esta radiação: os átomos e moléculas à
superfície do objecto vibram mais quando a temperatura aumenta; esta vibração implica a emissão de radiação.
Problema com a descrição clássica : para os λ grandes, a teoria
clássica está de acordo com os resultados experimentais.
mas quando λ 0, a intensidade da radiação ( catástrofe do ultra-violeta ).
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A quantização da energia de PlancK
No final do sec. XIX os físicos procuram explicar a radiação da curva experimental emitida por um corpo negro com base na teoria electromagnética clássica. Os resultados conduziram a um desacordo com os dados experimentais:
Para comprimentos de onda grandes a previsão da teoria clássica aproximava-se.
Para comprimentos de onda menores, a curva experimental era mais baixa e tendia para zero depois de passar por um máximo.
A teoria previa um aumento continuado da radiância à medida que o comprimento de onda diminuía.
A diferença entre os resultados experimentais e a previsão teórica ficou conhecida por catástrofe do ultravioleta.
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A quantização da energia de PlancK
Em 1900, Max Planck, explicou a radiação do corpo negro.
Descrição Clássica Espectro contínuo depende da amplitude.
Descrição QuânticaEspectro discretodepende da frequência
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A quantização da energia de PlancK
Max Planck, em 1900, encontrou uma expressão que se ajustava aos dados experimentais.
Deduziu a expressão a partir das leis do electromagnetismo, supondo que a radiação do corpo negro era emitida por um conjunto de osciladores electromagnéticos, cuja energia não era continua.
Planck admitiu que a energia destes osciladores era um múltiplo de uma energia elementar proporcional à sua frequência:
h – constante de Planck, 6,62x10-34 Js, e n= 1, 2, 3 …
E = n h f
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A quantização da energia de PlancK
A radiação do corpo negro é emitida em “pacotes” de energia, a que se deu o nome de quanta, plural de quantum.
Um quantum de energia é E0 = h f.
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A quantização da energia de PlancK
A ideia dos quanta proposta por Planck era poderosa!
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Exercício
A temperatura da pele humana é aproximadamente igual a 35ºC. Qual é o comprimento de onda para o qual se verifica o máximo da radiação emitida?
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Exercício
Admitindo que o filamento de tungsténio de uma lâmpada de incandescência se comporta como um corpo negro, determine o comprimento de onda para o qual se verifica o máximo de intensidade da radiação emitida se a temperatura do filamento for igual a 2900 K.
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A teoria dos fotões de Einstein
No fim do séc. XIX, algumas experiências (Heinrich Hertz, 1887) demonstraram que quando se fazia incidir luz na superfície de alguns metais, estes emitiam electrões (efeito fotoeléctrico ).
Para a maioria dos metais, a emissão de electrões só ocorre para luz ultravioleta.
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A teoria dos fotões de Einstein
O efeito fotoeléctrico depende da natureza da luz.
Iluminar um metal com luz muito intensa mas de pequena
frequência sem que nenhum electrão seja arrancado.
Iluminar o mesmo metal com luz pouco intensa mas de frequência suficientemente elevada, já são
arrancados electrões.
A teoria dos fotões de Einstein
Estudo do efeito fotoeléctrico a partir de uma célula fotoeléctrica.
Quando não incide luz na célula, não se regista emissão de electrões a partir da superfície E e, portanto, a indicação no amperímetro é A = 0.
Quando luz monocromática com um comprimento de onda adequado incide na placa E, verifica-se emissão de electrões que vão incidir na placa C. A corrente (fotoelectrónica) é medida no amperímetro.
A teoria dos fotões de EinsteinEstudo do efeito fotoeléctrico a partir de uma célula fotoeléctrica
Os fotoelectrões saem da placa E com uma certa quantidade de energia. Se a tensão aplicada V aumentar (note-se que a polarização é inversa), então quando V for igual à energia dos fotoelectrões, a corrente (foto)eléctrica será igual a zero: os fotoelectrões não terão energia (cinética) suficiente para atingir a placa C.
A tensão aplicada V (multiplicada pela carga do electrão) é igual à energia com que os electrões deixam a superfície E .
Experimentalmente, é possível verificar que o potencial de paragem V0 (que multiplicado pela carga eléctrica é igual à energia dos electrões emitidos) é independente da intensidade da radiação incidente.
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As curvas da corrente em função da tensão aplicada, obtidas experimentalmente, mostram que: A intensidade de corrente aumenta com a tensão aplicada entre os
eléctrodos, até atingir um valor constante (corrente de saturação. Fazendo incidir luz da mesma frequência mas com intensidades
diferentes, o potencial de paragem, V0, é o mesmo mas, quanto mais intensa for a luz, maior será a intensidade da corrente da saturação.
Fazendo incidir luz de frequência diferente, o potencial da paragem é maior para a luz de maior frequência.
A teoria dos fotões de Einstein
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A teoria dos fotões de Einstein
A representação gráfica do potencial de paragem, V0, em função da frequência f da luz incidente, dá origem a um gráfico linear.
Robert Milikan efectuou medidas cuidadosas do efeito fotoeléctrico e mostrou que o declive dessas rectas é igual para todos os metais.
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Efeito fotoeléctrico – Experiência vs. Teoria Clássica
Previsões da teoria
clássica
A corrente fotoeléctrica é tanto maior quanto maior for a intensidade da luz.
Aumentando a intensidade da luz, aumenta a energia transferida para os electrões e, portanto, a energia cinética máxima dos electrões.
A luz de qualquer frequência deverá arrancar electrões da superfície do metal desde que a intensidade seja elevada ou se espere tempo suficiente para que o electrão acumule energia.
Os electrões demoram a acumular energia para se libertarem do metal, sendo o tempo maior para a luz menos intensa.
Resultados
experimentai
s
Desde que ocorra efeito fotoeléctrico, a corrente fotoeléctrica é tanto maior quanto maior for a intensidade da luz.
O potencial de paragem e, portanto, a energia cinética máxima dos electrões não depende da intensidade da luz incidente, mas apenas da sua frequência e do metal onde a luz incide.
Há uma frequência mínima abaixo da qual não há emissão de electrões. Se a frequência da luz incidente aumentar, o potencial da paragem aumentará linearmente.
A emissão dos electrões é praticamente instantânea: a corrente estabelece-se mal se liga a fonte de luz.
Das previsões da teoria clássica só a primeira foi comprovada pela experiência!
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Efeito fotoeléctrico – Interpretação quântica(Einstein 1905)
A luz é constituída por fotões de Energia: E0 = h f. A intensidade luminosa é determinada pelo número de fotões.
Energia cinética de um electrão libertado por um fotão de frequência f> f0.
A energia cinética máxima de um electrão arrancado é:
Experimentalmente, a energia cinética
máxima varia linearmente com
a frequência da luz incidente.
W0 – Energia
mínima para libertar os electrões
Frequência mínima para
libertar os electrões
dada por h f0= W0
Whfvme 2max2
1
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A teoria dos fotões de Einstein
A equação do efeito fotoeléctrico mostra que: A energia cinética máxima só depende, para uma dada superfície
metálica, da frequência da radiação incidente e não da intensidade da radiação.
Há uma frequência mínima da radiação para arrancar electrões, pois tem de se verificar h f > W para que ocorra efeito fotoeléctrico. A energia mínima do fotão que consegue arrancar um electrão é igual à função trabalho, h f 0= W
A intensidade da corrente é proporcional à intensidade da luz incidente no metal. Uma luz mais intensa tem um maior número de fotões que incidem, por
unidade de tempo, na superfície do metal, e o número de electrões libertados é proporcional ao número de fotões incidentes.
No entanto, os electrões não tem mais energia.
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Aplicações do efeito fotoeléctrico
Abertura automática de portas;
Funcionamento de alarmes;
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Exercício
Uma superfície de sódio é iluminada com radiação com um comprimento de onda de 300 nm. A função de trabalho para o sódio é de 2,64 eV. Calcule:
a) a energia cinética dos foto-electrões emitidos.
b) o comprimento de onda crítico ( λc ) para o sódio.
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Exercício
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Dualidade onda-corpúsculo para a luz
O comportamento ondulatório da luz aparece ligado a fenómenos como a difracção da luz por uma fenda ou o padrão interferência da luz que passa através de duas fendas próximas.
O comportamento corpuscular da luz aparece ligado ao efeito fotoeléctrico e ao efeito de Compton. A luz aparece em forma de corpúsculos – os fotões.
Segundo Einstein, os fotões têm: energia E = h ν e momento P = E / c = h ν /c = h / λ. sem massa em repouso.
A intensidade de uma fonte de luz mede-se contando o numero de fotões emitidos por unidade de tempo e de área.
Mas a energia de um corpúsculo é definida pela frequência, grandeza associada a uma onda.
A luz pode comportar-se como uma onda ou como partículas, tem um comportamento dual
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Radiação ionizante e não ionizante
Radiações ionizantes:Raios ultravioleta
Raios XRaios gama
Estas radiações são perigosas porque ao ionizar átomos e moléculas pode destruir os tecidos, com
consequências graves para a saúde.
Efeito de Compton
Raios X (λ0 = 0,071nm) incidem num alvo de grafite.
Os raios X são difractados pela grafite e são detectados por um espectrómetro de comprimento de onda que pode rodar em torno do alvo ( ⇔ os vários λ dos raios X difractados podem ser medidos para vários ângulos de difracção).
O cristal mostrado na figura vai separar angularmente os raios X difractados, proporcionalmente ao seu comprimento de onda.
A câmara de ionização permite medir a intensidade dos raios X em função do ângulo.
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A difracção de raios X por electrões (efeito de Compton) não é explicável classicamente.
Efeito de Compton
Observações experimentais : intensidade dos raios X em função do comprimento de onda para vários ângulos de difracção (θ = 0º, 45º, 90º e 135º )
Os resultados experimentais mostram dois picos no espectro de difracção: um para λ = λ0 (comprimento de onda do feixe incidente) e outro para λ’ > λ0.
Estes resultados não são explicáveis classicamente.
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Efeito de Compton
Explicação do efeito de Compton a partir do conceito de quantização: Cada fotão é tratado como uma partícula livre, de energia E = h f = h c/ λ , e
massa nula, que colide com um electrão inicialmente em repouso. Aplicando a conservação da energia tem-se:
em que Ee é a energia do electrão difractado.
Usando a conservação do momento (para ambas as componentes x e y), notando que a velocidade do electrão << c (⇔ sem correcções relativistas) e sabendo que p = E /c = h / λ para os fotões e p = m v para os electrões, tem-se:
componente segundo x : h / λ0 = h /λ’ cosθ + m v cosϕ
componente segundo y : 0 = h/ λ’ sinθ - m v sinϕ
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Efeito de Compton
Eliminando v e ϕ das equações anteriores, obtém-se uma expressão que relaciona as 3 variáveis restantes (λ’, λ 0 e θ ) :
em que me é a massa do electrão e h/ mec é o chamado comprimento de onda de Compton do electrão.
Esta equação (eq. de difracção de Compton) já prevê a variação no comprimento de onda dos raios X difractados por electrões livres observado experimentalmente.
Produção e aniquilação de pares
A produção de pares só é possível quando a energia do fotão for superior à da massa em repouso do par formado pelo electrão e pelo positrão.
Como o electrão e o positrão têm a mesma massa, a sua energia será: mec2 = 511 keV.
A produção de pares só é possível para fotões com energia superior a E=2mec2=1,022 Mev.
A esta energia mínima corresponde a frequência: que se situa na zona da radiação gama do espectro electromagnético.
Quando um fotão de elevada energia atravessa um campo eléctrico intenso (perto de um núcleo atómico) pode converter-se num electrão e numa partícula semelhante ao electrão mas com carga positiva, o positrão.
Este processo de materialização da energia dá-se o nome de produção de pares.
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1201047,2 sh
Ef
Produção e aniquilação de pares
Se estiver isolado o positrão é uma partícula estável . No entanto, devido à abundância de electrões na matéria, rapidamente se
aniquila, produzindo dois fotões.
Positrão antes da aniquilação
Positrão após a aniquilação
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Interacção da radiação com a matéria: efeito fotoeléctrico, efeito de Compton, produção e aniquilação de pares
A interacção da radiação electromagnética com a matéria pode ocorrer por diversos processos. O mais importante depende da energia da radiação e do material absorvente.
Quando a energia da radiação é baixa, o efeito fotoeléctrico predomina.
Quando a energia da radiação é muito superior à energia da ligação dos electrões aos núcleos mas inferior a 2me
c2
, o efeito de Compton predomina sobre o efeito fotoeléctrico.
Quando a energia da radiação é superior a 2me
c2
, o processo dominante é a produção de pares electrão -positrão.
Raios X
Para caracterizar a nova radiação, Roentgen efectuou uma serie de experiencias, tendo chegado às seguintes conclusões: Os raios X têm um elevado poder de penetração na matéria, sendo capazes de
atravessar corpos sólidos. Materiais constituídos por elementos leves (pequena massa atómica) deixam-se atravessar facilmente pelos raios X, ao contrario dos materiais constituídos por elementos pesados.
Não são deflectidos por campos eléctricos ou magnéticos. Não são refractados nem reflectidos por lentes e espelhos normais. Ionizam os átomos e as moléculas dos gases que constituem o ar.
Foram descobertos em 1895 por Wilhelm Roentgen. Roentgen observou que, quando os raios catódicos
embatiam no ânodo metálico ou no vidro do tubo de raios catódicos, era emitida uma radiação invisível, muito penetrante, que impressionava as películas fotográficas e tornava fluorescente certos minerais.
Como a natureza desta radiação era desconhecida chamou-lhe raios X.
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Wilhelm Roentgen
Raios X
Na produção dos raios X ocorre o efeito inverso do efeito fotoeléctrico.
No efeito fotoeléctrico, a energia de um fotão é utilizada, em parte, para desligar um electrão de uma estrutura, manifestando-se o resto como energia cinética desse electrão.
Na produção de raios X, um electrão perde energia cinética e a isso corresponde o aparecimento de um fotão (na forma de raios X).
Só serão emitidos fotões com um comprimento de onda superior a um valor mínimo que podemos calcular:
c
f
Ehf c
Ec é a energia cinética do electrão;f é a frequência máxima dos fotões emitidos.
cc E
hc
E
hc min
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Dualidade onda-corpúsculo para a matéria. Relação de De Broglie
Em 1923, o físico francês Loius de Broglie defendeu que todas as partículas deveriam possuir um comportamento ondulatório.
Postulado de de Broglie: Como os fotões têm características de onda, talvez todas as formas de
matéria tenham também propriedades de onda e partícula.
Se um fotão, cuja massa em repouso é nula, tem um momento linear p = h/λ , então para qualquer partícula com momento p também se verifica p = h /λ , ou seja, tem associada uma onda com comprimento de onda λ igual a h / p.
O comprimento de onda de de Broglie para uma partícula é então:
Sendo E = h f , afrequência das ondasde matéria é dada por:
Ondas de matéria
h
Ef
mv
h
p
h
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Dualidade onda-corpúsculo para a matéria. Relação de De Broglie
Em 1927, os físicos americanos Davisson e Germer conseguiram que um feixe de electrões de baixa energia, atravessasse um cristal de níquel, tendo obtido imagens daquelas partículas, que revelaram comportamento ondulatório.
Mais tarde obtiveram-se resultados análogos por utilização de feixes de neutrões, protões, átomos de hidrogénio e átomos de hélio, resultado da difracção destes feixes corpusculares.
O físico alemão Werner Heisenberg, fundamentando-se na teoria dos quanta de Planck e Einstein, apresentou na mesma época outra teoria, desenvolvida segundo um tratamento matemático diferente, a chamada Mecânica Quântica.
O físico inglês Paul Dirac demonstrou, todavia, que estas duas mecânicas eram fisicamente idênticas, embora com formas matemáticas diferentes, passando a serem ambas conhecidas como Mecânica Quântica.
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Bohr e o átomo de hidrogénio
Os espectros de riscas constituíam um verdadeiro mistério para os físicos do sec.XIX. Foram feitas muitas tentativas para os explicar e até se encontraram fórmulas matemáticas que descreviam as linhas do espectro do hidrogénio.
No entanto, estas fórmulas não serviam para os outros gases!
Em 1913 físico dinamarquês Niels Bohr , explicou estes espectros, servindo-se do modelo atómico de Rutherford, com o núcleo no centro.
O átomo no modelo de Rutherford era instável, pois, segundo a teoria electromagnética, os electrões acelerados deveriam radiar continuamente energia, acabando por cair no núcleo!
Niels Bohr
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Bohr e o átomo de hidrogénio
O átomo de hidrogénio, que é feito de um só electrão e de um núcleo constituído por um único protão.
Bohr supôs que este electrão só poderia mover-se em torno do protão em órbitas com certos raios e que, nestas órbitas, o electrão não perderia energia sob a forma de radiação (diz-se que o electrão está em estados estacionários).
A órbita de menor raio corresponde o estado estacionário de menor energia, o estado fundamental. Normalmente, o electrão está no estado fundamental. Porém, se receber energia suficiente (por exemplo, de uma fonte de luz), passa para uma órbita de maior raio, ficando num estado excitado.
O electrão tende a voltar ao estado de menor energia, emitindo energia sob a forma de, luz. Designando por ΔE a energia ganha ou perdida.
ΔE = h f
onde h é a constante de Planck e f a frequência da luz emitida
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Bohr e o átomo de hidrogénio
Os espectros mostravam que apenas luz de certas frequências era emitida pelos átomos excitados, o que levou Bohr a concluir que os níveis de energia dos electrões nos átomos estariam quantificados.
Isto correspondia a supor que um electrão só podia ter órbitas com determinados raios.
Bohr mostrou que os raios das órbitas do electrão no átomo de hidrogénio só podiam tomar os valores:
onde a0= 0,53 x 10-10 m é o raio da órbita do electrão no estado fundamental e o número inteiro n é chamado número quântico principal.
Bohr conseguiu reproduzir com precisão todas as riscas observadas do espectro do hidrogénio.
r = aon2, n=1,2,3,…
Princípio de Incerteza e Mecânica Quântica
Em 1927 o físico alemão Werner Heisenberg enunciou o Princípio da Incerteza, que tem a ver com o carácter dual das partículas. De acordo com Heisenberg:
Heisenberg mostrou que o produto das incertezas na posição e no momento linear de, uma partícula tem um valor mínimo, cuja ordem de grandeza é a da constante de Planck.
Como não é possível determinar com absoluta precisão e simultaneamente a posição e a velocidade de um electrão, é impossível falar da sua trajectória.
Assim, não se pode falar em órbita de um electrão num átomo, como se fazia no modelo de Bohr.
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Quanto maior for a precisão com que se determina a posição de uma partícula, menor será a precisão com
que se conhecerá a sua velocidade nesse instante.Werner Heisenberg
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Princípio de Incerteza e Mecânica Quântica
Em 1925, Heisenberg, e o físico austríaco Erwin Schroedinger ,criaram uma nova mecânica que descrevia as propriedades ondulatórias das partículas. Esta nova mecânica é conhecida por mecânica quântica.
Quando se aplica essa mecânica ao átomo de hidrogénio verifica-se que só são permitidos alguns valores para a energia do electrão e que estes coincidem com os do modelo de Bohr, apesar de não se poder falar de trajectória do electrão.
Pode calcular-se a probabilidade de encontrar electrão a uma dada distância do núcleo: essa probabilidade é máxima para as distâncias que correspondem às órbitas de Bohr.
A mecânica quântica tem passado todos os testes experimentais!
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Equação de Schroedinger
potencialEnergiaV
totalEnergiaE
electrãodomassam
ondadefunção
scoordenadazyx
VEh
m
zyx
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