seta Sistema ele Ensino
seta Sistema ele Ensino
CENTRAL DE INFORMAÇÕES:
0 8 0 0 7 0 7 4 0 5 1
3̂ LU]
I
PORCENTAGEM O DEFINIÇÃO
y X a Porcentagem de um número a sobre um número b, b * 0, é a razão -^—^ em que -J^Q = - j j - •
que representamos X%.
B CÁLCULO DE UMA PORCENTAGEM
P% de V = ^ - V
(Facilita-se trabalhar com P% na forma decimal)
Q AUMENTOS PERCENTUAIS
{ P = valor antes do aumento; PA = valor após o aumento de i sobre P; i = taxa percentual. PA = P + IP = P (1 + I) (i na forma decimal)
| AUMENTOS SUCESSIVOS
Í P = valor antes do aumento P„ = valor após "n" aumentos sucessivos de i i = taxa percentual
P „ = P ( 1 + 0 "
FUNÇÕES
B RELAÇÃO Dados dois conjuntos, A e B, denomina-se relação R de A em B qualquer subconjunto de AxB.
QFUNÇÃO Dados dois conjuntos, A e B, denomina-se apl icação ou função f de A em B toda relação que a cada elemento de A associa um e um só elemento de B. a) Domín io : Conjunto (A). b) Contra domín io : Conjunto (B). c) Con jun to imagem: Conjunto das imagens dos elementos do domínio.
Notação: f : A —»- B e y = f(x), em que f(x) é a notação da imagem de x pela função f.
1
Q FUNÇÃO DO 1 o GRAU
f(x) = ax + b, com a # 0
a > 0 a < 0
tg a = a
D = R Im = R
1 FUNÇÃO DO 2° GRAU f(x) = ax 2 + bx + c, com a * 0
A > 0 A = 0 A < 0
a > 0 c
\ x v /
\ 1/ yv a > 0
yv x \ i / 2 X , = x 2 X V
a < 0
yv X1/TV2 X , = x 2 Xv
a < 0
yv X1/TV2 c
/ '\ yv
a < 0 c. / X v\ c
/ '\ yv
Q SINAL DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2 a GRAU a) Raízes pos i t ivas: A > 0 , P > O e S > 0
b) Raízes negat ivas: A > 0 , P > 0 e S < 0 c) Raízes de s ina is cont rár ios : P < 0
* Nota: P (produto) e S (soma)
Q M Ó D U L O _ „ . _ í x , se x > 0; Def in ição: \X\ = <
[ - x , s e x < 0.
Função modular : f : R—>-R, em que f(x) = |x|
P,) |x| > 0 para qualquer x real e | x | = 0 o x = 0 P2) I " I = |y| => x = y ou x = - y P 3) |x| = a => x = a ou x = - a , com a > 0 P 4) |x| > a => x > a ou x < - a , com a > 0 P 5) | x | < a => - a < x < a, com a > 0 Pe) \*2"\ - ! x | 2 n = x 2 n , em que n é um número natural e,
portanto, 2n é um número par.
N T 1—/
- 1 1
Q PARIDADE DE FUNÇÃO a) Par: f ( -x) = f(x) b) ímpar: f ( -x) = - f (x)
D FUNÇÃO COMPOSTA
O TIPOS DE FUNÇÃO a) Injetora: x, x 2 => f(x,) *• f(x 2) b) Sobrejetora: Im = CD c) Bi jetora: Injetora e Sobrejetora
[ Q FUNÇÃO INVERSA D(f) = CD(f" 1)
CD(f) = D ( f 1 )
a) Regra prát ica para o cá lcu lo I - Trocar x por y e y por x. II - Isolar y ("corrigir" notação).
b) Propr iedades: Pi: f (x) e f~1(x) têm gráficos simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
3 2
LOGARITMOS
DEFINIÇÃO
log b a = a<=> b = a C E . a > 0
0 < b * 1
Obs.: log a = log 1 0 a <n a = log e a
i CONSEQUÊNCIAS
log b 1 = 0 l o g b b = 1 log b b" = a b » = a
(PROPRIEDADES
Satisfeitas as condições de existência, temos:
P,) log b m . n = log b m + log b n
P 2) log b ~ = log b m - log b n
P 3 ) l og b n« = a l o g b n OBS: a ?
log a P 4) log b a = | o ^ c ^ (Mudança de base)
|FUNÇÕES
Exponencia l
f : R — R ; e f(x) = b"
0 < b < 1
decrescente b*1 < b"2 = > x 1 > x 2
Logarí tmica
f : R* — • R e f(x) = log b x
logb x 0 < b < 1
log bx
decrescente logb x, < logb x 2 = > x, > x
b > 1 b*<
b*2 ! x,.
b x ' > b"2 = > X, > x 2
logh x b > 1
l°g„ x 2
crescente log b x , > l o g b x 2 = > x, > x 2
PROGRESSÃO ARITMETICA Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com uma constante.
D TERMO GERAL
a n = a, + ( n - 1 ) . r
MÉDIA ARITMÉTICA
Se (a, b, c) estão em P.A., então b : a + c
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS 3 te rmos: (x - r, x, x + r) 4 te rmos : (x - 3a, x - a, x + a, x + 3a), em que a razão r = 2a 5 te rmos: (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)
SOMA DOS n TERMOS
(a, + a„) n
PROGRESSÃO GEOMETRICA Progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante.
D TERMO GERAL
a„ = a, . q"
MÉDIA GEOMÉTRICA Se (a, b, c) estão em P.G., então b 2 = a . c
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS
3 te rmos: x, xqj 4 te rmos: ( ^ r • -*p x1< x c l 3 j razão: q 2
SOMADOS n TERMOS
I - Se q = 1 — • S„ = n . a.
• Se q * 1 — • S n:
a , ( q n - D q - 1
5 te rmos : Í-X- ,-X-, x, xq, x q 2 | l q 2 q j
SOMA P.G. INFINITA
Se - 1 < q < 1, temos: 1 - q
5
QPRODUTO
"Cada elemento Cg é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B e somando-se os produtos assim obtidos".
|GERALMENTE
A . B ^ B . A
I Pode-se ter A . B = 0, mesmo que A * 0 e B * 0.
| MATRIZ INVERSA a) A . A" 1 = A ' 1 . A = I b) 3A" 1 < = > d e t A * 0
c > d e t A " = d e T Ã
DETERMINANTES
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.
D CÁLCULO DO DETERMINANTE
a) Ordem 2 ai2
a 22 : a n 322 — a i 2 3 2 i
b) Ordem 3 => Regra de Sarrus
c) Teorema de Laplace O determinante de A (A: matriz de ordem maior ou igual a 2) é a soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
a i-, a 12 a 13
Exemplo: A = a 2 i a 22 a 23 => det A = a n . A, , + a i 2 . A 1 2 + a 1 3 . A 1 3
331 332 333
em que:
A „ = ( -1)" a 22 323 3 3 2 3 3 3
, A 1 2 = ( - i y 321 a 23 a 3 i a 33 e A,3 = ( -1) ' * 3
a 2 i a 2 2
831 ^32
Obs.: Deve-se escolher a fila que possui o maior número de zeros.
6
Q PROPRIEDADES
1) de tA ' = de tA 2) Se a matriz A possuir uma fila em que os elementos são combinsções linesres dos elementos
de outra fila paralela, então det A = 0. 3) Multiplicando-se os elementos de uma fila de A por um número K, o determinante da nova
matriz B é: det B = K . det A. 4) Seja A: matriz de ordem n , então det (K . A) = K n . det A 5) Teorema de Binet: det (A . B) = det A . det B
SISTEMAS LINEARES
| SISTEMAS EQUIVALENTES
Apresentam o mesmo conjunto solução.
CLASSIFICAÇÃO
Sistema Linear
Possível <
Determinado (Solução única)
Indeterminado > (Infinitas soluções)
Impossível: S = 0
CRAMER
a„ X, + a,2 x 2 + . . . + a,„ x„ = b, a 2 1 Xi + a 2 2 x 2 + . . . + 3 2 n x n = b 2
a„ i X, + 3 n 2 x 2 + . . . + 3 n n x n = b„
Se D * 0 , temos: _ _ D 1 _ D 2
X 1 " D ' X 2 ~~D" _2ü D
DISCUSSÃO D * 0 => S.P.D.
D = 0 => S.P.I. ou S.l.
RESOLUÇÃO
Cramer ou Escalonamento (Método de Gauss).
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ANALISE COMBINATORIA
Seja B = {bu b n} um conjunto com n elementos (n e IN). Temos:
Q ARRANJOS SIMPLES
Arranjos são sequências com p elementos de B (a ordem dos elementos é importante).
An.p " n!
(n - p)! p e IN p < n
I PERMUTAÇÕES SIMPLES
Permutações são sequências de n elementos de B (a ordem dos elementos é importante).
Pn = n!
I COMBINAÇÕES SIMPLES
Combinações são subconjuntos com p e lementosde B (não importa a ordem dos elementos).
n! " P p ! ( n - p ) !
p e IN p < n
I PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS (a,ß, ... ,p) = n!
a ! ßl ... p!
BINOMIO DE NEWTON
<X + a > n = Í ( D ) X n " - a P
Termo Geral: p+i < p ) X " -
PROBABILIDADE
Seja E um espaço amostrai equiprovável, e A um de seus eventos; então
O PROPRIEDADES
1. P (E)= 1
2. P (0 ) = O
3. 0 < P ( A ) < 1
4. P(A) + P(Ã) = 1 (Ã : complementar de A)
P(A) = n(A) n(E)
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Q ADIÇÃO DE PROBABILIDADES P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
Eventos mutuamente exc lus ivos A n B = 0 => P(A u B) = P(A) + P(B)
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES P(A n B) = P(A) . P(B/A)
Eventos independentes
P(A/B) = P(A) 1 ou ?
P(B/A) = P(B) P(A n B) = P(A) . P(B)
TRIGONOMETRIA NO TRIANGULO RETANGULO
c /cateto oposto \ ¡en a = -g- -r-.—— I
3 \ hipotenusa /
_ b_ /cateto adjacenteN a \ hipotenusa / c / cateto oposto \
9 a ~ "B~ Vcateto adjacente/
FUNÇÕES CIRCULARES
a / hipotenusa sec a = - r cente")
hipotenusa cateto oposto
b / cateto adjacente \ c \ cateto oposto /
(n + x)
ARCOS NOTÁVEIS
f(30°) f (45°) f (60°)
sen 1 2
V2 2
V3 2
cos V3 ~T
V2 ~T
1 2
tg V3 3
1 V3
€1
O
B
O
0
O
sen x = ON e cos x = OP
t g x = Á T ou t g x = | | ^ | - (cos x *
COS X c o t g x = -ièTTY < s e n x * ° )
i
sec x = c o s x (cos x * 0)
1 (sen x * 0)
sen (TI - x) = sen x sen (TI + x) = sen (2n - x) = - sen x
cos {K - x) = cos (n + x) = - cos x cos (2TI - x) = cos x
t g ( j i - x ) = t g ( 2 n - x ) = - t g x tg (n + x) = tg x
sen x = cos (90° - x) cos x = sen (90° - x)
O RELAÇÕES IMPORTANTES Relação Fundamental: sen 2 x + cos 2 x = 1 Q Sec 2 x = 1 + ,tg 2x © Cosec 2 x = 1 + cotg 2
FÓRMULAS FUNDAMENTAIS
I I sen (x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x
0 sen (x - y) = sen x . cos y - sen y . cos x
O cos (x + y) = cos x . cos y - sen x . sen y
t i cos (x - y) = cos x . cos y + sen x . sen y
Q sen 2x = 2 sen x . cos x
0 cos 2x = cos' x - sen 2 x
tg x + tg y © tg (x + y) :
,'i , , ^ tg x - tg y 0 , 9 ( x - y ) = TTTqir
1 - tg x . tg y
x - t g y tg x . tg y
0 . „ 2 tgx tg 2x = - — f ^ — a 1 - tg 2 x
| FUNÇÕES CIRCULARES: GRAFICOS
a) Função seno
D = IR lm(f) = {y e R ! - 1 < y < 1} p = 2jt
b) Função cosseno
D = IR lm(f) = {y e R | - 1 < y < 1} p = 2K
c) Função tangente
D = {x e IR
lm(f) = IR P = 71
x + hrt . h e
I PERIODO: p
. . y = a + b sen (mx + n)
p = -r— e Im = [a - b ; a + b]
y = a + b cos (mx + n 2n
"i y = a + b tg (mx + n
m | " " " i - p = — o i m - i a - o . a x D j y | m |
a: deslocamento vertical; b: amplitude; m: período; n: deslocamento horizontal
NUMEROS COMPLEXOS
FORMA ALGÉBRICA
z = a + bi, com a, b e IR
Obs. : 1) Se b = 0 => z = a é real 2) Se a = 0 e b # 0 => z = bi é imaginár io puro
OPERAÇÕES NA FORMA ALGEBRICA
Opera-se como se fosse o binómio a + bx, lembrando apenas que | i 2 = -11
POTENCIAS DE
em que r é o resto da divisão de n e IN por 4
CONJUGADO
z = a - bi
| REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA O número complexo z = a + bi representa no plano de Argand-Gauss o ponto P(a, b), chamado de Afixo.
5.1 - Módulo : |z| = p = V a 2 + b 2
5 . 2 - A r g u m e n t o : é o ângulo 9 tal que 0° < 0 < 360° e cos 9 = y e sen 0 = A
5.3 - Forma t r igonomét r ica
z = p (cos 0 + i sen 0)
OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
6.1 - Sendo z, = p, (cos a + i sen a) e z 2 = p 2 (cos p + i sen p)
temos: a) Z\ . z 2 = p,. p 2 [cos (a + B) + i sen(a + B)]
b) ^ - = [cos (a - p) + i sen(a - p)] z 2 P 2
0° < a + p < 360°
0° < a - p < 360°
6.2 - Sendo z = p (cos 0 + i sen 0) e n e Z , temos:
z" = p n [cos (n0) + i sen(n0)] 0° < n0 < 360°
POLINOMIOS
DEFINIÇÃO
P(x) = a 0 . x" + a:. x"- 1 + ... + a n , n e IN, e a 0 , a,, a„ são complexos.
GRAU
Se a 0 * 0 => Gp = n
RAIZ
a é raiz de P(x) t > P(a) = 0
| DIVISÃO G P = G D + G Q
P(x)| D(x) => P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) em que <j e R(x) Q(x)
GR < G D ou R ( X ) = 0
I TEOREMA DO RESTO
O resto da divisão de P(x) por x - a é P(a).
EQUAÇÕES ALGEBRICAS
| FORMA FATORADA
A equação a 0 . x" + a, . x"~1 + ... + a n = 0 de grau n (n > 1) pode ser decomposta na forma:
ao (x - a,) (x - 0(2) ... (x - a n ) = 0, em que a , , a 2 a n são as raízes da equação.
RELAÇÕES DE GIRARD
Dada a equação: a 0 . x" + a:. x n 1 + ... + a n = 0, com raízes a , , a 2 a n , temos:
a0 a, + a2 + ... + a„ = g
a , . a 2 + a i . a 3 + ... + a n_i . a n - a
a„ a, . a 2 a n = (-1 ) " . a
RAÍZES COMPLEXAS Se o complexo z = a + bi (não real) é raiz da equação a 0 . x" + a , . x"~1 + ... + a n = 0 de coeficientes reais, então z = a - bi também é raiz dessa equação.
12
GEOMETRIA ANALITICA
Todo ponto do eixo dos x tem a ordenada igual a zero.
Todo ponto do eixo dos y tem a abscissa igual a zero.
Todo ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares tem abscissa e ordenada iguais P 6 b 1 3 o x p = y p
| Todo ponto da bissetriz dos quadrantes pares tem abscissa e ordenada simétricas P e b l t o x p = - y p
b 1 3 : bissetriz dos quadrantes ímpares b 2 4 : bissetriz dos quadrantes pares
* Nota: -
| Distância entre dois pontos A(x A , y A ) e B(x B , y B ) :
d = V ( x B - x A ) 2 + ( y B - y A ) 2
d = V (Ax) 2 + (Ay) 2
y,.
y B
VA
Coordenadas do ponto médio A(x A , y A ) e B(x B , y B ) e M(x M , y M ) :
e y M:
y A + y B
M _ | x A + x B y A + y B j
y,
y B
y M
y A
Coordenadas do baricentro de um triângulo G(x G , y G ) :
X A + x B + x c
y G:
y A + y B
+ y c
o
Coeficiente angular de uma reta
m = tg a a * •
y j | Coeficiente angular de uma reta determinada por dois pontos distintos
m = tg a : y B - Y A
XB — X A
_ n Ay a * ou m = ——
2 Ax
y Condição de alinhamento de três pontos (pontos colineares)
A(x A , y A ) B(x B , y B ) C(x c , y c )
y B - Y A _ y c - y B
X B X A Xc X B
x A y A 1
ou x B y B 1 = 0 x c y c 1
Equação fundamental da reta dados P(x 0, y 0 ) e m : y - y 0 = m (x - x 0 )
Equação da reta determinada por dois pontos
1) Calcular m : Ay Ax
2) Com A (ou B) e m substitua em: y - y 0 = m(x - x 0 )
Equação reduzida de uma reta r.
y = mx + q
em que: m = coeficiente angular; q = coeficiente linear.
(0, q)
Equação geral da reta ax + by + c = 0 em que a e b não nulos simultaneamente.
Notar que:
coeficiente angular: m = - (se b ^ 0)
coeficiente linear: q = ( s e b ^ 0)
Equação segmentaria de uma reta:
^ - + ^ - = 1 ( p . q * 0 )
y Equações paramétricas de uma reta: x = f(t) e y = f(t)
Retas paralelas sendo r paralela a s, mas não paralela a y, temos: r / / s m r = m s
Retas perpendiculares. Sendo r (ou s) não paralela ao eixo dos y, temos:
r i s <=> m , . rrio= - 1 y
£J Posições relativas de duas retas r e s. Sejam as retas:
(r): y = m, x + q, e (s): y = m 2 x + q 2
r n s = {P} => m, * m 2
(retas concorrentes)
m, = m 2
. q, * q 2
(retas paralelas não coincidentes)
•J Distância de um ponto a uma reta. Sejam P(x 0, y„) e r:
ax + by + c = 0
I ax 0 + by 0 + c I \ / a 2 + b 2
P(XQ, y0)
Equação reduzida da circunferência
( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r2 P(x, y)
Equação normal da circunferência x 2 + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b 2 - r2 - 0
Posições relativas de reta e circunferência
• y
x 0 d C s < r (secantes) dcs = r
(tangentes)
GEOMETRIA PLANA
IÂNGULOS NUM TRIÂNGULO a) Soma dos ângu los in ternos
A b) Angu lo externo
A
I POLIGONOS CONVEXOS a) Diagonais b) Soma dos ângu los in ternos c) Soma dos ângulos externos
S¡ = ( n - 2 ) . 180°| (n > 3) I S e = 360° , n ( n - 3 ) a - 2 ( n > 3 )
d) Pol ígonos regulares
S¡ = ( n - 2 ) . 180° S e = 360° 360°
ANGULOS NUMA CIRCUNFERENCIA a) Ângu lo inscr i to
P
b) Ângu lo de segmento
I TEOREMA DE TALES Por exemplo:
E \ y
c c í \ D '
/
AB = A 'B ' CD C D '
.1
r // s // t // u
I TEOREMA DAS BISSETRIZES a) Bissetr iz interna b) Bissetr iz externa
180° AB: diâmetro
Q TRIÂNGULOS SEMELHANTES Propriedade fundamental - Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois ângulos, então eles são semelhantes. Considerando os triângulos ABC e A'B'C' , temos:
POTÊNCIA DE PONTO EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA
1 s C a s o : P é interior à circunferência 2- Caso: P é exterior à circunferência
V
PA • PB = PC • PD
I TRIANGULO RETANGULO Relações métricas fundamentais
A 1 s) b 2 = a . n 2a) c 2 = a . m 3 a ) h 2 = m . n
4 a ) b . c = a . h
5 a ) a 2 = b 2 + c 2
PA • PB = PC • PD = (PT)
TRIÂNGULO QUALQUER 1 9 Teorema dos cossenos
A
D POLIGONOS REGULARES a) TRIÂNGULO EQUILÁTERO
2 9 Teorema dos senos
sen à sen B sen C 2R
1 9) Altura A
2°) Raio da inscrita (apotema) A
r = y h
aVT aVT
Obs.: O raio da circunscrita é: R = j h
b) QUADRADO
1S) Diagonal d
2Q) Raio da circunscrita
d = aV2 \ R W l
ò\ \ R / d = aV2 J
R = aV2
Obs.: O raio da inscrita (apotema) é: r
ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
a) Paralelogramo b) Triângulo Triângulo Equilátero
c) Trapézio
A = B ^ h
d) Retângulo
A = b • h
e) Quadrado
F
A = a 2
f) Losango g) Círculo Comprimento
da circunferência
A = D . d
h) Coroa circular
A = 7 t ( R 2 - r 2 )
EXPRESSÕES DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO
1 a) Dados ib , obter A. A [ c
A = VP (p - a)(p - b)(p - C)
p = a + b + C (semiperimetro)
Fórmula de Herão
3 a ) Dados j e , obter A. la
A = 2 b • c • sen a
f a
2e) Dados | c . obter A
RETAS E PLANOS NO ESPAÇO - POLIEDROS
POSTULADOS (Sem demonstração)
Eucl ides: Por um ponto fora de uma reta existe uma única paralela a essa reta.
Posições relat ivas de duas retas
paralelas reversas concorrentes coincidentes (paralelas)
Intersecção de p lanos
Se dois planos distintos têm um ponto comum • eles têm uma reta comum.
Então: Os planos acima chamam-se secantes
Intersecção de 3 p lanos
Ou os três se encontram numa única reta ou as intersecções são paralelas, ou concorrentes num único ponto.
Reta x Plano
paralelos incidentes pertencentes
Plano x Plano
paralelos secantes coincidentes (paralelos)
Teorema de Tales: Se um feixe de planos paralelos (folhas de 1 livro) é cortado por duas transversais (paralelas ou não), então a razão entre os segmentos de uma é igual à razão entre os correspondentes de outra.
20
Reta paralela a plano
Def in ição: A intersecção é vazia.
Teorema: Uma reta é paralela a um plano se for paralela a uma reta do plano E NÃO ESTIVER NELE CONTIDA.
Por um ponto fora do plano existem infinitas retas paralelas a este plano. Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela ou reversa com qualquer reta do plano.
Planos paralelos (dist intos)
Def in ição: Intersecção vazia.
Teorema: Dois planos são paralelos se um contiver duas retas CONCORRENTES paralelas ao outro.
Dois p lanos sendo paralelos d is t in tos .
Toda reta que fura um plano fura o outro. Todo plano que corta um corta o outro em retas paralelas. Toda reta de um plano é paralela ao outro.
ANGULOS
Para se obter o ângulo entre retas reversas ou não, traça-se por um ponto qualquer paralelas às duas; o ângulo obtido é o ângulo das reversas.
Definição: Uma reta é perpendicular a um plano quando a fura (pé) e é perpendicular a todas do plano que passam pelo pé.
Teorema: Uma reta é perpendicular a um plano quando formar ângulo reto com duas CONCORRENTES do plano.
| DISTANCIA ENTRE CONJUNTOS
É o menor segmento que tem extremidade nos conjuntos.
PLANOS PERPENDICULARES
def a i . P •«—* a contém uma reta perpendicular a (3.
A recíproca é garantida pelo Teorema: se um plano contém uma perpendicular ao outro plano, esse outro contém uma perpendicular ao 1 s .
Teorema: Por uma reta não perpendicular a um plano só existe um plano perpendicular ao plano dado.
Projeção cilíndrica Projeção cilíndrica ortogonal
Diedro: Seção: Qualquer ângulo obtido pela intersecção de um plano com o diedro (deve encontrar a aresta). Seção reta ou ângu lo p lano: se o plano for perpendicular à aresta (fornece a medida do diedro) face
aresta
- face
sólido
Triedro: As faces do triedro são ângulos. O Triedro possui 3 diedros e 3 faces.
aresta
aresta
diedro
Seções paralelas de um ângulo po l iédr ico:
a) são polígonos semelhantes (mesma forma);
b) a razão da semelhança: K = H/h;
c) a razão entre as áreas é:
K 2 = ^ = 7r h 2 a
d) a razão entre os volumes é: K - h 3 v
• Num ângulo poliédrico, qualquer face é menor que a soma das demais.
- A soma das faces é menor que 360°.
Superfície poliédrica convexa aberta
V - A + F = 1
Poliedro convexo V - A + F = 2
Soma dos Ângulos das faces de um poliedro euleriano
S = (V - 2 ) . 360°
Platão Po l ied ros Regu la res
Faces Vértices Faces Vértices Euleriano com P com q Convexos regulares regulares
lados arestas côngruas côngruos
T H O D 1 T H O D 1 - regulares
THODI: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.
GEOMETRIA METRICA ESPACIAL
U PRISMAS
1.1. Paralelepípedo reto-retângulo
1) Cálculo da diagonal (d) d = Va2 + b 2 + c 2
2) Cálculo da superficie total (A t)
3) Cálculo do volume (V)
A,= 2(ab + ac + be)
V = a . b . c
1.2. Cubo
1) Diagonal
2) Area total
3) Volume
d = aV3~ A,= 6a 2
V= a 3
1.3. Prisma regular 1) Área lateral A, = n . A,
n: número de faces
Af : área de urna face
2) Area total A, + 2 . B B: área da base
3) Volume V = B . h
Q PIRÂMIDES
2.1. Pirâmide regular
1 ) Área lateral
2) Aro.-i total
3) Volume
A, = n . A,
At = A, + B
n: número de faces
A f : área de urna face
B: área da base
V - i . B . h
Re l ; i ( , . i< i I l . i m e n U I m ' = h 2 + a 7
m: apotema da pirâmide a: apotema da base h: altura da pirâmide
23
a VIF
2.2. Tetraedro regular
1 ) Área lateral
2) Área total A T = a2V~3
3) Volume 3V2 12
fcj CILINDRO DE REVOLUÇÃO
B = TCR2 (área da base)
1 ) Área lateral
Nota - Cilindro Equilátero: 2R = h
CONE DE REVOLUÇÃO
1 ) Relação fundamental: g 2 = r2 + h 2
2) Área lateral: A, = nRg
3) Área total: A, = A, + B
4) Volume: V = t B h
5) Ângulo central: g = 2 j l R rad
B = itR 2 (área da base)
Nota - Cone equilátero: 2 R - g
24
Q E S F E R A 1) Área da superfície esférica: A = 4TIR 2
2) Volume da esfera:
Um FUSO ESFERICO
a em graus
360° 4nR ;
u° A ( u s o
a em radíanos 2n rad 47iR' a rad A f u s o
Af Lis 0
a°nR2
90°
2 a R 2
CUNHA ESFERICA
a em radíanos
2n rad
a° rad
a 2 R 3
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