Função de TransferênciaModelos Entrada-Saída
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Roteiro
1 Função de Transferência de Processos SISO2 Função de Transferência de Processos MISO3 Função de Transferência de Processos MIMO
Sem InteraçãoCom Interação
4 Pólos e Zeros de Função de TransferênciaModelo Ganho-Zero-Pólo
5 ExemplosTanque de NívelTanque de MisturaTanque de Mistura TérmicaTanques de Nível Sem InteraçãoTanques de Nível Com InteraçãoReator Bioquímico
6 Atividades Complementares
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Função de Transferência de Processos SISO
A Função de Transferência relaciona a Transformada de Laplace deuma variável resposta (saída ou efeito) com a Transformada de Laplacede uma variável de entrada (perturbação ou manipulada ou carga oucausa). Ela é obtida a partir do modelo linear do processo, esquemati-zado como
P r o c e s s oS I S O
e n t r a d au ( t )
s a í d ay ( t )
e a seguinte equação diferencial da forma geral
andnydtn + an−1
dn−1ydtn−1 + · · ·+ a1
dydt
+ a0y = bu
onde y (i)(0) = y (i)(t = 0) = 0.
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Função de Transferência de Processos SISOcontinuação
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equaçãodiferencial
ansnY (s) + an−1sn−1Y (s) + · · ·+ a1sY (s) + a0Y (s) = bU(s)
(ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0)Y (s) = bU(s)
Y (s)U(s) = G(s) = b
ansn+an−1sn−1+···+a1s+a0→ função de transferência
G ( s )e n t r a d aU ( s )
s a í d aY ( s )
a n s n + a n - 1 s n - 1 + . . . + a 1 s + a 0bU ( s ) Y ( s )
D i a g r a m a d e B l o c o s
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Função de Transferência de Processos MISO
Para um processo MISO, o modelo linear é esquematizado pelo dia-grama
P r o c e s s oM I S Ou 2 ( t )
y ( t )u 1 ( t )
com a seguinte equação diferencial da forma geral, que agora apre-senta duas entradas, u1(t) e u2(t),
andnydtn + an−1
dn−1ydtn−1 + · · ·+ a1
dydt
+ a0y = b1u1 + b2u2
onde y (i)(0) = y (i)(t = 0) = 0.
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Função de Transferência de Processos MISOcontinuação
Após aplicar Transformada de Laplace em ambos os lados da equaçãodiferencial, e rearranjando
Y (s) =b1
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0︸ ︷︷ ︸G1(s)
U1(s) +
b2
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0︸ ︷︷ ︸G2(s)
U2(s)
Y (s) = G1(s)U1(s) + G2(s)U2(s)
Y (s) =[G1(s) G2(s)
] [U1(s)U2(s)
]onde G1(s) e G2(s) são as 1×2 funções de transferências do processo
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Função de Transferência de Processos MISOcontinuação
G 1 ( s )U 1 ( s )
D i a g r a m a d e B l o c o s
G 2 ( s )U 2 ( s )
Y ( s )++
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Função de Transferência de Processos MIMOsem interação
Para um processo MIMO, o modelo linear é esquematizado pelo dia-grama
P r o c e s s oM I M Ou 2 ( t )
y 1 ( t )u 1 ( t )y 2 ( t )
que agora apresenta duas saídas, y1(t) e y2(t), e duas entradas, u1(t)e u2(t).
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Função de Transferência de Processos MIMOsem interação (continuação)
As seguintes equações diferenciais da forma geral são consideradas:
a1ndny1
dtn + a1(n−1)dn−1y1
dtn−1 + · · ·+ a11dy1
dt+ a10y1 =
b11u1 + b12u2
a2ndny2
dtn + a2(n−1)dn−1y2
dtn−1 + · · ·+ a21dy2
dt+ a20y2 =
b21u1 + b22u2
onde y (i)j (0) = y (i)
j (t = 0) = 0.
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Função de Transferência de Processos MIMOsem interação (continuação)
Após aplicar Transformada de Laplace em ambos os lados das equa-ções diferenciais, e rearranjando
Y1(s) =b11
a1nsn + a1(n−1)sn−1 + · · ·+ a11s + a10︸ ︷︷ ︸G11(s)
U1(s) +
b12
a1nsn + a1(n−1)sn−1 + · · ·+ a11s + a10︸ ︷︷ ︸G12(s)
U2(s)
Y2(s) =b21
a2nsn + a2(n−1)sn−1 + · · ·+ a21s + a20︸ ︷︷ ︸G21(s)
U1(s) +
b22
a2nsn + a2(n−1)sn−1 + · · ·+ a21s + a20︸ ︷︷ ︸G22(s)
U2(s)
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Função de Transferência de Processos MIMOcom interação
As seguintes equações diferenciais simplificadas são consideradas:
dy1
dt+ a11y1 + a12y2 = b11u1 + b12u2
dy2
dt+ a21y1 + a22y2 = b21u1 + b22u2
onde y1(0) = y2(0) = y1(t = 0) = y2(t = 0) = 0.
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Função de Transferência de Processos MIMOcom interação (continuação)
Após aplicar Transformada de Laplace em ambos os lados das equa-ções diferenciais, e rearranjando
sY1(s) + a11Y1(s) + a12Y2(s) = b11U1(s) + b12U2(s)
sY2(s) + a21Y1(s) + a22Y2(s) = b21U1(s) + b22U2(s)
(s + a11)Y1(s) + a12Y2(s) = b11U1(s) + b12U2(s)
a21Y1(s) + (s + a22)Y2(s) = b21U1(s) + b22U2(s)
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Função de Transferência de Processos MIMOcom interação (continuação)
Na forma matricial[(s + a11) a12
a21 (s + a22)
] [Y1(s)Y2(s)
]=
[b11U1(s) + b12U2(s)b21U1(s) + b22U2(s)
][
Y1(s)Y2(s)
]=
[(s + a11) a12
a21 (s + a22)
]−1 [b11U1(s) + b12U2(s)b21U1(s) + b22U2(s)
]A matriz inversa de[
(s + a11) a12a21 (s + a22)
]−1
=
[(s + a22) −a12−a21 (s + a11)
](s + a11)(s + a22)− a12a21
Portanto,[Y1(s)Y2(s)
]=
[(s + a22) −a12−a21 (s + a11)
](s + a11)(s + a22)− a12a21
[b11U1(s) + b12U2(s)b21U1(s) + b22U2(s)
]
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Função de Transferência de Processos MIMOcom interação (continuação)
onde D(s) = (s + a11)(s + a22) − a12a21 é comum a Y1(s) e Y2(s),sendo chamado de polinômio característico.Assim,
Y1(s) =(s + a22)b11 − a12b21
D(s)︸ ︷︷ ︸G11(s)
U1(s) +(s + a22)b12 − a12b22
D(s)︸ ︷︷ ︸G12(s)
U2(s)
Y2(s) =(s + a11)b21 − a21b11
D(s)︸ ︷︷ ︸G21(s)
U1(s) +(s + a11)b22 − a21b12
D(s)︸ ︷︷ ︸G22(s)
U2(s)
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Função de Transferência de Processos MIMOsem e com interação
Observe que em ambos os casos (sem e com interação) pode-se es-crever
Y1(s) = G11(s)U1(s) + G12(s)U2(s)
Y2(s) = G21(s)U1(s) + G22(s)U2(s)
Na forma matricial,[Y1(s)Y2(s)
]︸ ︷︷ ︸
Y(s)
=
[G11(s) G12(s)G21(s) G22(s)
]︸ ︷︷ ︸
G(s)
[U1(s)U2(s)
]︸ ︷︷ ︸
U(s)
Y(s) = G(s)U(s)
onde G11(s), G12(s), G21(s) e G22(s) são as 2× 2 funções de transfe-rência do processo
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Função de Transferência de Processos MIMOsem e com interação (continuação)
G 1 1 ( s )U 1 ( s )
D i a g r a m a d e B l o c o s
G 2 1 ( s )
U 2 ( s )
Y 1 ( s )++
G 1 2 ( s )
G 2 2 ( s ) Y 2 ( s )+ +
e G(s) é a Matriz de Transferência ou Matriz Função de Transferênciado processo.
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Função de Transferência de Processos MIMOestudo de caso
Tanque de Aquecimento com Agitação
G 1 1 ( s )F i 1 ( s )
G 2 1 ( s )
F s t ( s )
G 1 5 ( s )
G 2 5 ( s ) T ( s )+
T i 2 ( s )
G 1 4 ( s )
G 2 4 ( s )
G 1 2 ( s )T i 1 ( s )
G 2 2 ( s )
h ( s )+
G 1 3 ( s )F i 2 ( s )
G 2 3 ( s )
T s t ( s )
G 1 6 ( s )
G 2 6 ( s )
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Função de Transferência de Processos MIMOestudo de caso: continuação
„h(s)T (s)
«| {z }
Y(s)
=
„G11(s) G12(s) G13(s) G14(s) G15(s) G16(s)G21(s) G22(s) G23(s) G24(s) G25(s) G26(s)
«| {z }
G(s)
0BBBBBB@Fi1(s)Ti1(s)Fi2(s)Ti2(s)Fst(s)Tst(s)
1CCCCCCA| {z }
U(s)
G11(s) =h(s)
Fi1(s)=
1
s + 0, 10
G12(s) =h(s)
Ti1(s)= 0
G13(s) =h(s)
Fi2(s)=
1
s + 0, 10
G14(s) =h(s)
Ti2(s)= 0
G15(s) =h(s)
Fst(s)= 0
G16(s) =h(s)
Tst(s)= 0
G21(s) =T (s)
Fi1(s)=−86, 52
s + 1, 30
G22(s) =T (s)
Ti1(s)=
0, 10
s + 1, 30
G23(s) =T (s)
Fi2(s)=−84, 52
s + 1, 30
G24(s) =T (s)
Ti2(s)=
0, 10
s + 1, 30
G25(s) =T (s)
Fst(s)=
190, 04
s + 1, 30
G26(s) =T (s)
Tst(s)=
1, 10
s + 1, 30
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Pólos e Zeros de Função de Transferência
Uma Função de Transferência é definida como
G(s) =Transformada de Laplace da saída
Transformada de Laplace da entrada=
Y (s)
U(s)
A função de transferência descreve as características dinâmicas do sis-tema. Se U(s) é a transformada da função de entrada (perturbação oumanipulada), a resposta é simplesmente
Y (s) = G(s)U(s)
Diz-se que a função de transferência opera na função de entrada U(s)para produzir uma função de saída Y (s).
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Modelo Ganho-Zero-Pólo
Pode-se representar uma função de transferência, G(s), como a razãoentre dois polinômios em s, N(s) e D(s). Após fatorá-los, é possívelre-escrever G(s) como um Modelo Ganho-Zero-Pólo, tal que
G(s) =N(s)
D(s)=
K (s − z1)(s − z2) · · · (s − zm)
(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)
ondesistemas fisicamente realizáveis: a ordem de D(s) é sempremaior ou igual à ordem de N(s) (n ≥ m)
n ≥ m: função de transferência é dita próprian > m: função de transferência é dita estritamente própria
zeros do sistema ou da função de transferência: são as raízes dopolinômio N(s)
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Modelo Ganho-Zero-Pólocontinuação
pólos do sistema ou da função de transferência: são as raízes dopolinômio D(s)
funções de transferência de fase mínima: não apresentam pólos ouzeros no semi-plano direito do plano sfunções de transferência de fase não mínima: apresentam pólos ouzeros no semi-plano direito do plano s
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Função de Transferência
ExemploObtenha a função de transferência de um tanque de nível de seção retauniforme de área A = 0, 3 m2, ao qual é adaptado uma resistência aofluxo. Suponha que a vazão volumétrica F , através da resistência, serelaciona com a altura de líquido h pela relação F = 8
√h. Uma vazão
volumétrica Fo de líquido e massa específica constante ρ alimenta otanque. Considere, para efeito de análise, os níveis médios de opera-ção de hs = 1 e 3 m de altura de líquido.
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Função de Transferência
Exemplo (continuação)
F o
h( A ) hkF =
Figura: Tanque de nível
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Função de Transferência
Solução
Modelo Linearizado
dhdt
=Fo
A− k
2A√
hsh, h(0) = 0
Função de TransferênciaAplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados daequação e resolvendo a equação resultante no domínio daTransformada:
sH(s)− h(0)︸︷︷︸=0
+k
2A√
hsH(s) =
1A
Fo(s)
(s +
k2A√
hs
)H(s) =
1A
Fo(s) ⇒ H(s) =1A
s + k2A√
hs
Fo(s)
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Função de Transferênciacontinuação
Função de TransferênciaA relação entre a variável de saída, H(s) e a variável de entrada,Fo(s) é chamada de Função de Transferência entre H(s) e Fo(s):
Gp(s) =H(s)
Fo(s)=
1A
s + k2A√
hs
=2√
hsk
2A√
hsk s + 1
=Kp
τps + 1, onde
Kp =2√
hs
ke τp =
2A√
hs
k
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Função de Transferênciacontinuação
Condições estacionárias1 hs = 1 m → Kp = 0, 25 m/(m3/min) e τp = 0, 075 min2 hs = 3 m → Kp = 0, 43 m/(m3/min) e τp = 0, 130 min
Observe que Kp e τp dependem das condições de operaçãoestacionária.Diagrama de Blocos
G p ( s )e n t r a d aF o ( s )
s a í d aH ( s )
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Função de Transferência
ExemploObtenha a função de transferência de um tanque de mistura de vo-lume constante V , do qual uma corrente contendo sal dissolvido escoacom uma vazão volumétrica constante F . Uma corrente de líquido comconcentração de sal Co alimenta o tanque.
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Função de Transferência
Exemplo (continuação)
F
C( V )
C o
FC
Figura: Tanque de mistura
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Função de Transferência
Solução
Modelo Linear
dCdt
=FV
(Co − C), C(0) = 0
Função de TransferênciaAplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados daequação e resolvendo a equação resultante no domínio daTransformada:
sC(s)− C(0)︸ ︷︷ ︸=0
+FV
C(s) =FV
Co(s)
(s +
FV
)C(s) =
FV
Co(s) ⇒ C(s) =FV
s + FV
Co(s)
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Função de Transferênciacontinuação
Função de TransferênciaA relação entre a variável de saída, C(s) e a variável de entrada,Co(s) é chamada de Função de Transferência entre C(s) e Co(s):
Gp(s) =C(s)
Co(s)=
FV
s + FV
=1
VF s + 1
=Kp
τps + 1, onde
Kp = 1 e τp =VF
Diagrama de Blocos
G p ( s )e n t r a d aC o ( s )
s a í d aC ( s )
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Função de Transferência
ExemploObtenha a função de transferência de um tanque de mistura térmicade volume constante V , do qual uma corrente escoa com uma vazãovolumétrica constante F . Uma corrente de líquido com temperatura Toalimenta o tanque.
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Função de Transferência
Exemplo (continuação)
F
T( V )
T o
FT
Figura: Tanque de mistura térmica
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Função de Transferência
Solução
Modelo Linear
dTdt
=FV
(To − T ), T (0) = 0
Função de TransferênciaAplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados daequação e resolvendo a equação resultante no domínio daTransformada:
sT (s)− T (0)︸ ︷︷ ︸=0
+FV
T (s) =FV
To(s)
(s +
FV
)T (s) =
FV
To(s) ⇒ T (s) =FV
s + FV
To(s)
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Função de Transferênciacontinuação
Função de TransferênciaA relação entre a variável de saída, T (s) e a variável de entrada,To(s) é chamada de Função de Transferência entre T (s) e To(s):
Gp(s) =T (s)
To(s)=
FV
s + FV
=1
VF s + 1
=Kp
τps + 1, onde
Kp = 1 e τp =VF
Diagrama de Blocos
G p ( s )e n t r a d aT o ( s )
s a í d aT ( s )
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interação
ExemploDetermine as funções de transferência do sistema representado pordois tanques sem interação, onde F1 = K1
√h1 e F2 = K2
√h2. Desenhe
o diagrama de blocos desse sistema.
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interação
Exemplo (continuação)F i
T a n q u e 1 F 3
h 1
h 2F 2
A 1
A 2
T a n q u e 2
F 1
K 1
K 2
Figura: Tanques de nível sem interação
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interação
Solução
Modelo Linearizado
dh1
dt+
(12
K1
A1h−1/2
1s
)︸ ︷︷ ︸
a11
h1 =
(1
A1
)︸ ︷︷ ︸
b11
Fi , h1(0) = 0
dh2
dt+
(12
K2
A2h−1/2
2s
)︸ ︷︷ ︸
a22
h2 =
(12
K1
A2h−1/2
1s
)︸ ︷︷ ︸
a21
h1 +
(1
A2
)︸ ︷︷ ︸
b22
F3, h2(0) = 0
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interaçãocontinuação
Função de TransferênciaAplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados dasequações e resolvendo as equações resultantes no domínio daTransformada:
sH1(s)− h1(0)︸ ︷︷ ︸=0
+a11H1(s) = b11Fi(s)
sH2(s)− h2(0)︸ ︷︷ ︸=0
+a22H2(s) = a21H1(s) + b22F3(s)
{(s + a11)H1(s) = b11Fi(s)(s + a22)H2(s) = a21H1(s) + b22F3(s){
H1(s) = b11s+a11
Fi(s)
H2(s) = a21s+a22
H1(s) + b22s+a22
F3(s)
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interaçãocontinuação
Função de TransferênciaAs Funções de Transferência são:
Gp1(s) =H1(s)
Fi(s)=
b11
s + a11=
b11a11
1a11
s + 1=
Kp1
τp1s + 1, onde
Kp1 =b11
a11=
2√
h1s
K1e τp1 =
2A1√
h1s
K1
Gp2(s) =H2(s)
H1(s)=
a21
s + a22=
a21a22
1a22
s + 1=
Kp2
τp2s + 1, onde
Kp2 =a21
a22=
K1
K2
rh2s
h1se τp2 =
2A2√
h2s
K2
Gp3(s) =H2(s)
F3(s)=
b22
s + a22=
b22a22
1a22
s + 1=
Kp3
τp3s + 1, onde
Kp3 =b22
a22=
2√
h2s
K2e τp3 =
2A2√
h2s
K2
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interaçãocontinuação
Diagrama de Blocos
G p 1 ( s )F i ( s ) G p 2 ( s )
G p 3 ( s ) H 2 ( s )F 3 ( s )
H 1 ( s )
G p 4 ( s )A Função de Transferência entre H2(s) e Fi(s) é dada por
Gp4(s) =H2(s)
Fi(s)=
H1(s)
Fi(s)· H2(s)
H1(s)= Gp1(s) ·Gp2(s) =
=Kp1
τp1s + 1·
Kp2
τp2s + 1
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Função de Transferência e Sistemas Com Interação
ExemploDetermine as funções de transferência do sistema representado pordois tanques com interação, onde F1 = K1
√h1 − h2 e F2 = K2
√h2.
Desenhe o diagrama de blocos desse sistema.
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Função de Transferência e Sistemas Com Interação
Exemplo (continuação)
F i
T a n q u e 1
F 3
h 1 h 2 F 2A 1 A 2
T a n q u e 2
F 1
K 1 K 2
Figura: Tanques de nível com interação
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Função de Transferência e Sistemas Com Interação
SoluçãoModelo Linearizado
dh1
dt+
[12
K1
A1(h1s − h2s)
−1/2]
︸ ︷︷ ︸a11
h1 +
[−1
2K1
A1(h1s − h2s)
−1/2]
︸ ︷︷ ︸a12
h2 =
(1
A1
)︸ ︷︷ ︸
b11
Fi , h1(0) = 0
dh2
dt+
[−1
2K1
A2(h1s − h2s)
−1/2]
︸ ︷︷ ︸a21
h1 +
[12
K1
A2(h1s − h2s)
−1/2 +12
K2
A2h−1/2
2s
]︸ ︷︷ ︸
a22
h2 =
(1
A2
)︸ ︷︷ ︸
b22
F3, h2(0) = 0
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Função de Transferência e Sistemas Com Interaçãocontinuação
Função de TransferênciaAplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados dasequações:
sH1(s)− h1(0)︸ ︷︷ ︸=0
+a11H1(s) + a12H2(s) = b11Fi(s)
sH2(s)− h2(0)︸ ︷︷ ︸=0
+a21H1(s) + a22H2(s) = b22F3(s)
{(s + a11)H1(s) + a12H2(s) = b11Fi(s)a21H1(s) + (s + a22)H2(s) = b22F3(s)
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Função de Transferência e Sistemas Com Interaçãocontinuação
Função de TransferênciaResolvendo as equações resultantes na forma matricial e nodomínio da Transformada:[
(s + a11) a12a21 (s + a22)
] [H1(s)H2(s)
]=
[b11Fi(s)b22F3(s)
]
[H1(s)H2(s)
]=
[(s + a22) −a12−a21 (s + a11)
](s + a11)(s + a22)− a12a21
[b11Fi(s)b21F3(s)
]onde o polinômio característico é igualD(s) = (s + a11)(s + a22)− a12a21.
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Função de Transferência e Sistemas Com Interaçãocontinuação
Função de TransferênciaAssim, as Funções de Transferência são:
H1(s) =(s + a22)b11
D(s)︸ ︷︷ ︸G11(s)
Fi(s) +−a12b22
D(s)︸ ︷︷ ︸G12(s)
F3(s)
H2(s) =−a21b11
D(s)︸ ︷︷ ︸G21(s)
Fi(s) +(s + a11)b22
D(s)︸ ︷︷ ︸G22(s)
F3(s)
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Função de Transferência e Sistemas Com Interaçãocontinuação
Diagrama de Blocos
G 1 1 ( s )F i ( s )
G 2 1 ( s )
F 3 ( s )
H 1 ( s )++
G 1 2 ( s )
G 2 2 ( s ) H 2 ( s )+ +
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
Exemplo: Reator BioquímicoObtenha a representação em espaço de estados LTI e função de trans-ferência do reator bioquímico tanque-contínuo com mistura perfeita-mente agitada e volume constante
FS f
V F SX
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
Solução
Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado)
dXdt
= (µ− D)X , X (0) = Xs
dSdt
= (Sf − S)D − µXY
, S(0) = Ss
com µ =µmáxS
km + S + k1S2
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado)
x =dxdt
= f(x, u), x0(0) = xs
y = h(x, u)
onde f = [f1 f2]T , x = [X S]T , u = [D Sf ]T , y = [X S]T e
dXdt
= (µ− D)X ⇒ f1 = (µ− D)X
dSdt
= (Sf − S)D − µXY
⇒ f2 = (Sf − S)D − µXY
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
Modelo Linear: LTI
x =dxdt
= Ax + Bu, x0(0) = 0
y = Cx
onde x, u e y são variáveis-desvio e aij = ∂fi∂xj
)s, bij = ∂fi
∂uj
)s
e
cij = ∂hi∂xj
)s.
Assim,A(2×2):
a11 =∂f1∂X
)s
= µs − Ds e a12 =∂f1∂S
)s
=∂µ
∂S
)s
Xs
a21 =∂f2∂X
)s
= −µs
Ye a22 =
∂f2∂S
)s
= −Ds −∂µ∂S
)s
Xs
Y
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
B(2×2):
b11 =∂f1∂D
)s
= −Xs e b12 =∂f1∂Sf
)s
= 0
b21 =∂f2∂D
)s
= Sfs − Ss e b22 =∂f2∂Sf
)s
= Ds
C(2×2): C = I
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
Desta forma,
dXdt
= (µs − Ds)︸ ︷︷ ︸a11
X +
[∂µ
∂S
)s
Xs
]︸ ︷︷ ︸
a12
S + (−Xs)︸ ︷︷ ︸b11
D, X (0) = 0
dSdt
=(−µs
Y
)︸ ︷︷ ︸
a21
X +
−Ds −∂µ∂S
)s
Xs
Y
︸ ︷︷ ︸
a22
S + (Sfs − Ss)︸ ︷︷ ︸b21
D + (Ds)︸︷︷︸b22
Sf ,
S(0) = 0
com∂µ
∂S
)s
=µmáx(km − k1S2
s )
(km + Ss + k1S2s )2
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
Função de TransferênciaAplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados dasequações:
sX (s)− X (0)︸ ︷︷ ︸=0
+a11X (s) + a12S(s) = b11D(s)
sS(s)− S(0)︸︷︷︸=0
+a21X (s) + a22S(s) = b21D(s) + b22Sf (s)
{(s + a11)X (s) + a12S(s) = b11D(s)a21X (s) + (s + a22)S(s) = b21D(s) + b22Sf (s)
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
Função de TransferênciaResolvendo as equações resultantes na forma matricial e nodomínio da Transformada:[
(s + a11) a12a21 (s + a22)
] [X (s)S(s)
]=
[b11D(s)
b21D(s) + b22Sf (s)
]
[X (s)S(s)
]=
[(s + a22) −a12−a21 (s + a11)
](s + a11)(s + a22)− a12a21
[b11D(s)
b21D(s) + b22Sf (s)
]onde o polinômio característico é igualDEN(s) = (s + a11)(s + a22)− a12a21.
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
Função de TransferênciaAssim, as Funções de Transferência são:
X (s) =(s + a22)b11 − a12b21
DEN(s)︸ ︷︷ ︸G11(s)
D(s) +−a12b22
DEN(s)︸ ︷︷ ︸G12(s)
Sf (s)
S(s) =−a21b11 + (s + a11)b21
DEN(s)︸ ︷︷ ︸G21(s)
D(s) +(s + a11)b22
DEN(s)︸ ︷︷ ︸G22(s)
Sf (s)
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
Diagrama de Blocos
G 1 1 ( s )D ( s )
G 2 1 ( s )
S f ( s )
X ( s )++
G 1 2 ( s )
G 2 2 ( s ) S ( s )+ +
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
Estado Estacionário ("Steady-State")
parâmetros:µmáx = 0, 53 h−1
km = 0, 12 g/lk1 = 0, 4545 l/gY = 0, 4
especificações:Ds = 0, 3 h−1
Sfs = 4, 0 g/l
Como resultado do sistema de equações (solução não trivial e estável):Xs = 1, 5302 g/l e Ss = 0, 1745 g/l
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
Modelo LTIObtém-se as seguintes matrizes do sistema
A =
(0 0, 90
−0, 75 −2, 56
)
B =
(−1, 53 03, 82 0, 30
)
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
O modelo LTI fica, então, igual a(XS
)︸ ︷︷ ︸
x
=
(0 0, 90
−0, 75 −2, 56
)︸ ︷︷ ︸
A
(XS
)︸ ︷︷ ︸
x
+
(−1, 53 03, 82 0, 30
)︸ ︷︷ ︸
B
(DSf
)︸ ︷︷ ︸
u
, x0 = 0
(XS
)︸ ︷︷ ︸
y
=
(1 00 1
)︸ ︷︷ ︸
C
(XS
)︸ ︷︷ ︸
x
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
Modelo Função de Transferência
Obtém-se a seguinte Matriz Função de Transferência, G(s), utilizandoas instruções no MATLABsysss=ss(A,B,C,D) % cria modelo em espaço de estado
systf=tf(sysss) % cria modelo em função de transferência
que calculaY(s) = [C(s − A)−1B + D︸ ︷︷ ︸
G(s)
]U(s)
O modelo Função de Transferência fica, então, igual a(X (s)S(s)
)︸ ︷︷ ︸
Y(s)
=
(G11(s) G12(s)G21(s) G22(s)
)︸ ︷︷ ︸
G(s)
(D(s)Sf (s)
)︸ ︷︷ ︸
U(s)
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação
Modelo Função de Transferência
com
G11(s) =X (s)
D(s)=
−1, 53s − 0.46s2 + 2, 56s + 0, 68
G12(s) =X (s)
Sf (s)=
0, 27s2 + 2, 56s + 0, 68
G21(s) =S(s)
D(s)=
3, 82s + 1, 15s2 + 2, 56s + 0, 68
G22(s) =S(s)
Sf (s)=
0, 30ss2 + 2, 56s + 0, 68
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Leitura I
Leitura Complementar
Próxima aula:
apostila do Prof. Wua, capítulos 10 e 11 (volume I).
livro do Stephanopoulosb, capítulos 10 e 11.
livro do Seborg et al.c , capítulo 5.
aKwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB.Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.
bStephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory andPractice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984.
cSeborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1st
Edition, John Wiley, New York, USA, 1989.
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