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Função Quadrática ou Função do 2º grau

• Prof.: Joni Fusinato• [email protected][email protected]

Bhaskara

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2

a: é o coeficiente de x2

b: é o coeficiente de xc: é o termo independente

Exemplos:

f(x) = x2 + 8x – 4, em que a = 1, b = 8 e c = – 4

g(x) = – 2x2 + 3x, em que a = – 2, b = 3 e c = 0

h(x) = x2, em que a = 1, b = 0 e c = 0

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Gráfico da Função Quadrática

Parábola com concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a < 0.

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Algumas Aplicações

4

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Exercitando....

Dadas as funções quadráticas determine os coeficientes a, b e c de cada função.

a) f(x) = x2 - 6x +8 a = ____; b = ____; c = ____

b) y = -3x2 + 4x – 4 a = ____; b = ____; c = ____

c) f(x) = x2 – 6 a = ____; b = ____; c = ____

d) y = -2x2 + 8x a = ____; b = ____; c = ____

e) f(x) = x2 – 1 a = ____; b = ____; c = ____

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ZEROS (OU RAÍZES) DE UMA FUNÇÃO DE 2º GRAU

São os valores de x que anulam a função: f(x) = 0

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Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau

1º caso: b = 0 • Igualar a função a zero• Isolar a variável x

a) f(x) = x2 – 9 b) f(x) = 2x2 – 14 c) f(x) = x2 + 9

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Atividades

Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:

a) f(x) = x2 – 16 b) y = – x2 + 36

c) f(x) = 2x2 – 8 d) y = – 2x2 + 10

e) f(x) = 2x2 – 6 f) y = x2 + 10

a) 4; b) 6; c) 2; d) 5; e) 3; f 10R ):

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Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau

2º caso: c = 0• Igualar a função a zero

• Colocar a variável x em evidência.

x2 – 5x = 0

x(x – 5) = 0

Raízes:x = 0x = 5

x2 + 2x = 0

x(x + 2) = 0

Raízes:x = 0x = – 2

2x2 + 6x = 0

2x(x + 3) = 0

Raízes:x = 0x = – 3

a) f(x) = x2 – 5x b) f(x) = x2 + 2x c) f(x) = 2x2 + 6x

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Atividades

Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:

a) f(x) = x2 + 3x b) y = x2 + 4x

c) f(x) = x2 – 4x d) y = x2 – 5x

e) f(x) = 2x2 – 12x f) y = 2x2 – 2x

R: a) x’= 0 e x’’ = – 3; b) x’= 0 e x’’ = – 4; c) x’= 0 e x’’ = 4;

d) x’= 0 e x’’ = 5; e) x’= 0 e x’’ = 6; f) x’= 0 e x’’ = 1;

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Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau

3º caso: cálculo das raízes da função completa

Soma e Produto (Relação de Girard)

Exemplo 1: y = x2 – 5x + 6

b ( 5)X ' X '' 5a 1

c 6X ' . X '' 6a 1

S = (2, 3)

Exemplo 2: f(x) = x2 + 2x - 3b 2X ' X '' 2

c 3X ' . X ' 31

a 1

'a

S = (– 3, 1)

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Cálculo das Raízes: Fórmula de Bháskara

3º caso: cálculo das raízes da função completa

Fórmula de Bháskara

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Estudo do Gráfico de uma função Quadrática

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Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau

x2 – 7x + 6 = 0 9x2 + 6x + 1 = 0

a) f(x) = x2 – 7x + 6 b) f(x) = 9x2 + 6x + 1 c) f(x) = -2x2 + 3x - 5

2

2( 7b

)4

4.1.649 2425

.a.c

( 7) 25x2.1

7 5x ' 62

7 5x'' 12

2

2

(6) 4.9.136 3

b 4.

0

a c

6

.

6 0x2.96 0 1x '18 36 0 1x ''18 3

2

2

(3) 4.( 2).( 5)9 40

b 4.a.c

31

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Atividades

Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:

a) f(x) = x² + 3x – 10

b) f(x) = 4x² – 4x + 2

c) y = 2x2 – 4x + 5

d) y = – x² – 6x + 5

e) y = – x² + 6x + 5

f) f(x) = – x2 + 12x + 20

g) f(x) = 2x2 – 3x + 5

f(x) = 5x2 + 10x + 5

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Cálculo do Vértice de uma ParábolaValor Máximo ou Mínimo da Função Quadrática

Valor Máximo

Valor Mínimo

v

v

bx2a

y4a

a > 0 a < 0

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Exemplos

1) Calcule o vértice da parábola y = x2 – 2x + 5.

2) Considere o gráfico a seguir, que representa a função definida por y = 2x2 – 5x + 2. As coordenadas do vértice V da parábola são:

V = (1 , 4)

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3) Determine as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f(x) = x2 – 2x – 3 e diga se é um ponto de máximo ou de mínimo da função.

a) V (1, – 4); ponto de mínimob) V (2, 4); ponto de máximoc) V (– 1, – 4); ponto de máximod) V (2, – 4); ponto de mínimo

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Atividades

Para cada função encontre o vértice e classifique-o como um ponto de máximo ou de mínimo.

a) f(x) = x2 + 8x + 9 b) f(x) = – x2 + 4x + 4

c) f(x) = 4x2 + 8x – 3 d) f(x) = – x2 + 2x – 1

e) f(x) = – x2 + 9 f) f(x) = – x2 – 9x

Gabarito:a) (– 4, – 7), ponto de mínimo, b) (2, 8), ponto de máximoc) (– 1, – 7), ponto de mínimo, d) (1, 2), ponto de máximoe) (0, 9), ponto de máximo, f) (0, – 9), ponto de máximo

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Exemplo 1:

O lucro de uma fábrica na venda de um produto é dado pela função L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine:

a) Quantos produtos devem ser vendidos para se obter o lucro máximo?

b) Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos?

Aplicações

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Exemplo 2: O custo de produção de um equipamento hospitalar é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:

a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades

Exemplo 3: Um corpo lançado do solo verticalmente para cima temposição em função do tempo dada pela função h(t) = 40 t – 5t2 onde aaltura h(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos.Calcule:

a) O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima.a) A altura máxima atingida pelo objeto.

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Exercícios: Máximo e Mínimo(Enem) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinadarapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número depessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcionaltambém ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras,sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoasque conhecem o boato, tem-se:R(x) = k.x.(P – x), onde k é uma constante positiva característica do boato.

Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boatofor conhecido por um número de pessoas igual a:

a) 11.000.b) 22.000.c) 33.000.d) 38.000.e) 44.000.

vb 44.000kx 22.0002a 2k

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vb ( 0,6)x 50 km / h2a 2.0,006

2. A modelagem matemática que relaciona o consumo de gasolina de um carro para percorrer 100 km com velocidade de x km/h é dado por C(x) = 0,006x2 – 0,6x + 25. Para qual velocidade este consumo é mínimo?

a) 46 km/hb) 47 km/hc) 48 km/hd) 49 km/he) 50 km/h

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a) 2 sb) 8 m

3. Uma bola, ao ser chutada por um goleiro, teve sua trajetóriadescrita pela equação h(t) = – 2t2 + 8t, onde t é o tempo medido emsegundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Calcule:

a) O instante (tempo) em que a bola atinge a altura máxima;b) A altura máxima atingida pela bola.

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4. Durante o processo de tratamento, uma peça de metal sofre uma variação de temperatura descrita pela função: f(t) = 2 + 4t – t2. Em que instante t a temperatura atinge seu valor máximo?

a) 1,0 s d) 2,5 sb) 1,5 s e) 3,0 sc) 2,0 s

Letra C

5. Uma indústria que fabrica recipientes plásticos tem sua produção diária P, em recipientes, variando com o número de operadores em serviço n, de acordo com a função P(n) = n2 + 50n + 6.000. Calcule:a) A produção se o número de operadores for 4.b) A produção máxima diária sem a contratação de novos operadores.

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https://www.youtube.com/watch?v=Z5aVW_Zgifk – Conceitos iniciais

https://www.youtube.com/watch?v=LhgksPaYQ5w – Vértice da Parábola

https://www.youtube.com/watch?v=x3FH88dfMPo – Máximos e mínimos

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Referências Bibliográficas

BALESTRI, Rodrigo Dias. Matemática: Interação e tecnologia, volume 1, 2ª edição. São Paulo: LeYa, 2016.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações: Ensino médio: volume único. São Paulo: Ática, 2009.

GIOVANNI, José Rui, BONJORNO, José Roberto, GIOVANNI, José Rui Jr. Matemática Fundamental: uma nova abordagem: ensino médio. Volume único. São Paulo: FTD, 2011.