Somente passamos a nos conhecer mais profundamente quando somos postos à prova. 1

Resolução da AV2 Modelo B 2015-2

Questão 1  __________________________________________________________________________________________________________(2,0)  

Quantos divisores naturais ímpares tem o número N  = 63 x 105?

A decomposição em fatores primos será N = 63   105 = 23   33   25    5 5  = 28   33   5 5 .

Esse número só admite divisores ímpares da forma d = 20  3k    5 t  , com k   {0, 1, 2, 3}

e t   {0, 1, 2, 3, 4, 5} em quantidade igual a (0 + 1)  (3 + 1)   (5 + 1) = 1   4   6 = 24.

Questão 2 _________________________________________________________________________________________________________ (0,5)Dia 21 de julho de 2008 caiu numa segunda-feira. Três mil dias após essa data, cairá em um(a):

a) quarta-feira.

b) quinta-feira.

c) sexta-feira.

d) sábado.

e) domingo.

Questão 3 _________________________________________________________________________________________________________(0,5)  Considerando dois números inteiros, a e b, consecutivos e positivos, qual d as expressões abaixo correspondenecessariamente a um

número par?

a) a + b 

b) 1 + a.b 

c) 2 + a + b 

d) 2a + b 

e) 1 + a + b 

Questão 4 _________________________________________________________________________________________________________(1,5)

Uma regra para saber se um número é divisível por 7 é:

Retira-se o último algarismo do número, em seguida subtrai-se do número que

restou o dobro do algarismo retirado. Se esta diferença for um múltiplo de 7, o

número analisado é divisível por 7.

Aplicando sucessivamente a regra acima, verifique se o número 20152014 é divisível por 7.

20152014 2015193

201513

20145

2004

192

1 ã é  í  7. 

 

Questão 5 _________________________________________________________________________________________________________(0,5)  

Sabendo-se que um determinado número naturaln é um múltiplo de 3 e que a metade desse número é um

número inteiro par. Pode-se, então, garantir que n2 é um múltiplo de:

a)  5

b)  7

c)  9

d) 11

e)  13

Questão 6 _________________________________________________________________________________________________________(1,5)  No almoço de confraternização de uma empresa estavam presentes 300 homens, 250 mulheres e 350

crianças. Em uma brincadeira foram formadas equipes compostas apenas de crianças, equipes apenas de

mulheres e equipes somente de homens. Todas as equipes tinham o mesmo número de pessoas e foi feito de

maneira que fosse o maior número po ssível.

Determine o número de pessoas em cada equipe.Se todas as equipes tinham o mesmo número de pessoas, este deve ser um divisor

comum de 250, 300 e 350. O maior possível será o MDC (250, 300, 350) = 50 pessoas.

3000 7

4 428

 Efetuando-se a divisão de 3000 por 7, o resto será 4. Logo, o dia

 procurado será o quarto após uma segunda-feira, isto é, uma sexta-feira. 

Sendo n = 3k, com k natural, então teremos n 2 = (3k)2 = 9k 2. Ou

 seja, um múltiplo de 9.

 Independente de ser ele um múltiplo de 4, já que sua metade é par.

Sem perda de generalidade, supondo b > a, tem-se b = a + 1. Daí,a soma a + b = a + a + 1 = 2a + 1, que é ímpar. Para ser par,basta acrescentar uma unidade.

 Então, 1+ a + b = 2a + + 1 = 2(a + 1) que é par.

Somente passamos a nos conhecer mais profundamente quando somos postos à prova. 2

Questão 7 _________________________________________________________________________________________________________(1,5)  Dois sinais luminosos acendem juntos num determinado instante. Um deles permanece aceso 1 minuto e

apagado 40 segundos, enquanto o outro permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segundos. A partir desse

instante qual o número mínimo de minutos necessários para que os dois sinais voltem a acender juntos

outra vez?

Cada sinal completa seu ciclo, respectivamente, em: 1 min + 40 s = 100 s e 1 min + 30 s = 90 s.Daí, os sinais luminosos voltarão a acender juntos quando o tempo decorrido for um múltiplo

comum de 90 e 80. O menor tempo para que isso ocorra é o MMC(100, 90) = 900 segundos, o

que corresponde a 15 minutos.

Questão 8 _________________________________________________________________________________________________________(2,0)  Observe as definições: 

NÚMEROS DE MERSENNE - São números inteiros da forma M p = 2 p -1. Se M p é um númeroprimo, o número  p também é. Só são conhecidos 33 números de Mersenne. O últimodescoberto corresponde a  p = 859 433, cujo número de Mersenne é o 2 859433 - 1.

Primos gêmeos- São dois inteiros posi tivos ímpares consecutivos que são ambos primos.Exemplos: 3 e 5 ; 5 e 7; 17 e 19; 29 e 31.

Justificando cada caso, verifique se (27 – 1) e (25 – 1) são:

a)  Números de Mersenne;

Sendo 27  – 1 = 127 e 25  – 1 = 31 dois números primos da forma 2 p -1, logo são números de Mersenne.

b)  primos gêmeos.

Como 27  – 1 = 127 e 25  – 1 = 31 não são ímpares consecutivos, eles não são primos gêmeos 

QUESTÃO EXTRA – ENADE 2014Esta questão pode acrescentar até 1,0 (um) ponto na nota desta prova, caso aresolução apresentada esteja

correta. Portanto, não será considerada simplesmente a escolha de uma das opções, mas odesenvolvimento ,

de acordo com o enunciado.

 Justificativa: 64 7

1 9 Efetuando-se a divisão de 64 por 7, o resto será 1. Logo, a pessoa escolhida será a 1ª depois de 9

ciclos completos, ou seja, ANA.