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COLÉGIO GERAÇÃO 2001 – DA ED. INFANTIL AO VESTIBULAR.
Geometria Espacial – Sólidos Inscritos e Circunscritos
Prof. Wagner - Matemática 3º ano EM - 2010
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. (Unicamp 92) Dado um cubo de aresta l , qual é ovolume do octaedro cujos vértices são os centros das
faces do cubo?
2. (Uerj 2001) O modelo astronômico heliocêntrico de
Kepler, de natureza geométrica, foi construído a partir dos
cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas
concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo:
A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do
diâmetro da esfera a ele circunscrita, é:a) Ë3
b) (Ë3)/2
c) (Ë3)/3
d) (Ë3)/4
3. (Unicamp 94) Em uma pirâmide de base quadrada, as
faces laterais são triângulos eqüiláteros e todas as oito
arestas são iguais a 1.
a) Calcule a altura e o volume da pirâmide.
b) Mostre que a esfera centrada no centro da base dapirâmide, e que tangencia as arestas da base, também
tangencia as arestas laterais.
c) Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com cada
face lateral da pirâmide.
4. (Fuvest 95) Na figura a seguir, X e Y são,
respectivamente, os pontos médios das arestas AB e CDdo cubo. A razão entre o volume do prisma AXFEDYGH e
o do cubo é:
a) 3/8.
b) 1/2.
c) 2/3.
d) 3/4.
e) 5/6.
5. (Ita 95) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da
base 5cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, emcm:
a) 10/3
b) 7/4
c) 12/5
d) 3
e) 2
6. (Unicamp 95) Uma pirâmide regular, de base quadrada,
tem altura igual a 20cm. Sobre a base dessa pirâmide
constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base docubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual a
5cm. Faça uma figura representativa dessa situação e
calcule o volume do cubo.
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7. (Ita 96) Numa pirâmide triangular regular, a área da
base é igual ao quadrado da altura H. Seja R o raio daesfera inscrita nesta pirâmide. Deste modo, a razão H/R é
igual a:
a) 13
b) 13
c) 1331
d) 1331
e) 13
8. (Ufmg 94) Observe a figura.
Nessa figura, um cone reto e um cilindro de bases comuns
estão inscritos em uma esfera. O volume do cilindro é igual
ao volume do cone.
A distância do centro da esfera à base comum, em função
da altura H do cone, é
a) H/2
b) H/3
c) H/4
d) H/5
e) H/6
9. (Ufmg 95) Dois cones circulares retos de mesma base
estão inscritos numa mesma esfera de volume 36™. A
razão entre os volumes desses cones é 2.
A medida do raio da base comum dos cones é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 2
e) 22
10. (Mackenzie 96) Num cone reto de altura 12 inscreve-seum cilindro de área lateral máxima. Então a altura do
cilindro é:
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
11. (Ufba 96) O apótema da base de um prisma reto
hexagonal regular P mede cm36 , e a altura de P mede
cm38 . Nesse prisma inscreve-se um cone reto, e a
esse mesmo prisma circunscreve-se um cilindro reto; o
cone e o cilindro têm a mesma altura de P. A área total do
cilindro é2
3238 cm x , a área lateral do cone é2
90 cm y , e o volume do prisma é3
648 cm z .
Determine a medida do volume de um paralelepípedo
retângulo cujas dimensões são, em cm, x, y e z, indicando,
de modo completo, toda a resolução do problema.
12. (Udesc 96) Um cubo de lado h é inscrito num cilindro
de mesma altura. A área lateral desse cilindro é:
a)
4 / .2
h
b) 4 / 2.2
h
c) 2 / 2.2
h
d) 2.2h
e)2
.2 h
13. (Fuvest 97) Um cubo de aresta m está inscrito em uma
semi-esfera de raio R de tal modo que os vértices de umadas faces pertencem ao plano equatorial da semi-esfera e
os demais vértices pertencem à superfície da semi-esfera.
Então, m é igual a
a) R 3 / 2
b) R 2 / 2
c) R 3 / 3
d) R
e) R 2 / 3
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14. (Mackenzie 96) Seja 36™ o volume de uma esfera
circunscrita a um cubo. Então a razão entre o volume daesfera e o volume do cubo é:
a) 2 / 3
b) 3 / 8
c) 3 / 2
d) 4 / 3
e) 3
15. (Mackenzie 96) A razão entre os volumes dos cilindros
inscrito e circunscrito num prisma triangular regular é:
a) 1/2b) 1/4
c) 1/8
d) 1/3
e) 2/3
16. (Puccamp 97) Uma pirâmide reta, cuja base é um
quadrado de lado Ø e cuja altura é h, está inscrita num
cilindro reto com raio da base r e altura H. Nessas
condições, é verdade que
a) r l
b) r l 2
c) r l 2
d) 2H = h
e) H = 2h
17. (Fuvest 98) Numa caixa em forma de paralelepípedo
reto-retângulo, de dimensões 26cm, 17cm e 8cm, que
deve ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela
couber. O maior número de esferas iguais a essa que
cabem juntas na caixa é
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
18. (Mackenzie 97) A área da superfície lateral de um cone
eqüilátero inscrito numa esfera de raio R é:
a) 2 / 3.2
r
b) 3 / 3.
2r
c) 4 / .3
2r
d) 2 / .32r
e)2
.3 r
19. (Ufrrj 99) Determine o volume da região compreendida
por uma esfera de raio 3
4 / 3 e por um cubocircunscrito à esfera.
20. (Ufsm 2000) Bolas de tênis são vendidas,
normalmente, em embalagens cilíndricas contendo 3
unidades.
Supondo-se que as bolas têm raio a em centímetros e
tangenciam as paredes internas da embalagem, o espaço
interno dessa embalagem que NÃO é ocupado pelas bolas
é, em cm¤
a)3
2 a
b) 3 / 43
a
c) 3 / 3a
d)3
a
e) 3 / 23a
21. (Ufsc 2000) O volume, em3
cm , de um cubo
circunscrito a uma esfera de2
16 cm de superfície é:
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22. (Ufrs 2001) A figura abaixo representa um cilindro
circunscrito a uma esfera.
Se V• é o volume da esfera e V‚ é o volume do cilindro,
então a razão V• / V‚ - V• é
a) 1/3.
b) 1/2.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
23. (Ufrs 2001) Um octaedro tem seus vértices localizadosnos centros das faces de um cubo de aresta 2.
O volume do octaedro é
a) 2/3.
b) 4/3.
c) 2.
d) 8/3.
e) 10/3.)
24. (Ufrj 2002) Considere uma esfera E• , inscrita, e outra
esfera E‚ circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm.
Calcule a razão entre o volume de E‚ e o volume de E • .
25. (Uerj 2001) Observe a figura abaixo, que representa
um cilindro circular reto inscrito em uma semi-esfera, cujoraio OA forma um ângulo š com a base do cilindro.
Se š varia no intervalo 2 / ,0 e o raio da semi-esfera
mede r, calcule a área lateral máxima deste cilindro.
26. (Ufpe 2003) Um cubo está inscrito em um cone circular
reto, como ilustrado a seguir (uma base do cubo está
contida na base do cone e os vértices da base oposta
estão na superfície do cone). Se o cone tem raio da base
medindo 4 e altura 8, assinale o inteiro mais próximo da
medida do volume do cubo.
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27. (Fatec 2003) A intersecção de um plano ‘ com uma
esfera de raio R é a base comum de dois cones circularesretos, como mostra a região sombreada da figura abaixo.
Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do
outro, a distância do plano ‘ ao centro O é igual a
a) R/5
b) R/4
c) R/3
d) 2R/5
e) 2R/3
28. (Uel 2003) Seja g a geratriz de um cone circular reto
inscrito num cilindro circular reto de mesma area lateral,
base e altura. O volume V desse cone é:
a) 24 / 3gV
b) 8 / 3gV
c) 12 / 3gV
d) 3 / 23
gV
e) 2 / 33
gV
29. (Ufrn 2004) Um artista esculpiu a metade de uma
esfera de pedra-sabão, transformando-a num cone,ilustrado na figura abaixo.
Supondo que a esfera tem raio R e a altura do cone
esculpido também é R, calcule:
a) o volume do cone esculpido;
b) o volume do material retirado da metade da esfera para
formar o cone.
30. (Ufg 2005) Considere um cone circular reto de altura xh
e raio r, h > r, inscrito em uma esfera de raio R. Determinea altura do cone quando r = 3/5 R.
31. (Ufrrj 2005) Em uma caixa d'água cúbica vazia de lado
2m, é colocada, cheia de água, uma esfera inscrita, com
espessura da parede desprezível. Estoura-se a esfera e
retiram-se seus resíduos. Qual a altura de água que
permanecerá dentro da caixa?
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32. (Unifesp 2005) A figura representa um lápis novo e sua
parte apontada, sendo que D, o diâmetro do lápis, mede10 mm; d, o diâmetro da grafite, mede 2 mm e h, a altura
do cilindro reto que representa a parte apontada, mede 15
mm. A altura do cone reto, representando a parte da grafite
que foi apontada, mede s mm.
a) Calcule o volume do material (madeira e grafite) retirado
do lápis.
b) Calcule o volume da grafite retirada.
33. (Pucpr 2005) A área total de um octaedro regular
inscrito numa esfera de àrea 36™ cm£ é:
a)2
318 cm
b)2
324 cm
c)2
336 cm
d)2
348 cm
e)2
354 cm
34. (Fuvest 2006) Um cone circular reto está inscrito emum paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como
mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do
paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é .
Então, o comprimento g da geratriz do cone é
a) 5
b) 6
c) 7
d) 10
e) 11
35. (Uel 2006) Um joalheiro resolveu presentear uma
amiga com uma jóia exclusiva. Para isto, imaginou um
pingente, com o formato de um octaedro regular, contendo
uma pérola inscrita, com o formato de uma esfera de raio r,
conforme representado na figura a seguir.
Se a aresta do octaedro regular tem 2cm de comprimento,
o volume da pérola, em cm¤, e:
a) 3 / 2
b) 3 / 8
c) 9 / 28
d) 9 / 24
e) 27 / 68
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GABARITO
1. V = 6 / 3l
2. [C]
3. a) h = 2 / 2 , v = 6 / 2
b) Sendo r o raio da esfera de centro O, que tangencia as
arestas da base e r' o raio da esfera de centro O, que
tangencia as arestas laterais da pirâmide, tem-se:
1Ž) r é o apótema de um quadrado de lado 1.
Assim: 2r = 1 ë r = 1/2 (I)
2Ž) r' é a altura relativa à hipotenusa do triângulo
retângulo, cujos catetos são a altura da pirâmide e metade
da diagonal da base e a hipotenusa e a aresta lateral da
pirâmide. Assim:
hip. OH = cat . cat
1 . r' = 2 / 2 . 2 / 2 r' = 1/2 (II)
De (I) e (II) conclui-se que a esfera centrada em O, que
tangencia as arestas da base da pirâmide, também
tangencia as arestas laterais dessa pirâmide.
c) 6 / 3
4. [D]
5. [A]
6. O volume do cubo é de 10003
cm
7. [C]
8. [E]
9. [E]
10. [C]
11. 1923
cm
12. [D]
13. [A]
14. [A]
15. [B]
16. [B]
17. [D]
18. [D]
19. V = 6 - ™
20. [A]
21. 64
22. [D]
23. [B]
24. 33
25.2
r
26. 36
27. [C]
28. [B]
29. a) 3 / 3
R
b) 3 / 3
R
30. h = (9/5) R.
31. h = 3 / m
32. a)3
250 mm
b) 32 mm 2™ mm¤
33. [C]
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34. [D]
35. [E]
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