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• Corrente de Deslocamento
• Lei de Ampère para campos variáveis no tempo
Eletromagnetismo II – Campos Variáveis no Tempo
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2
Lei de Ampère e Corrente de Deslocamento (Capítulo 9 – Páginas 284 a 288)
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Eletromagnetismo II – Campos Variáveis no Tempo
S
C
C
S
!H
Lei de Ampère (campos variáveis no tempo) • A L.A. tal como vimos na magnetostática ainda é
válida para campos variáveis no tempo. !H ⋅d!l =
!J ⋅d!S
S∫∫
C"∫ = Ienv
• Na prática isso significa que H, ao longo do caminho C vai ter a mesma dependência temporal que I.
• Exemplo: se a corrente total que atravessa ‘S’ for:
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Ienv (t) = I0sen ωt( )• O campo H em um ponto ao longo do caminho C
será: !H (x, y, z, t) =
!H x, y, z( )sen ωt( )
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S
C
C
S
!H
Lei de Ampère (campos variáveis no tempo)
• Em outras palavras, instantaneamente, a circulação de H ao longo de C é igual à corrente envolvida.
• Se I aumenta de t0 até t, a circulação de H (e portanto H) aumentará proporcionalmente.
• A corrente J é uma corrente de condução e está associada ao movimento de cargas livres.
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• Maxwell introduziu um termo adicional à L.A.
• Este termo é necessário para que a L.A. esteja de
acordo com a Eq. da Continuidade de carga.
(ver pag 284-285 do Hayt)
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Lei de Ampère (campos variáveis no tempo)
• O termo introduzido por Maxwell é a corrente de Deslocamento ID:
• Onde é a densidade de corrente de deslocamento.
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• A Lei de Ampère na sua forma completa ou final fica:
• Para entender porque este termo adicional é necessário, vamos considerar o exemplo de um capacitor ligado a uma fonte de corrente alternada.
ID =!JD
S∫∫ ⋅d
!S = ∂
!D∂tS
∫∫ ⋅d!S
!JD =
∂!D∂t
!H ⋅d!l =
!J ⋅d!S
S∫∫
C"∫ +
∂!D∂tS
∫∫ ⋅d!SJD
ID
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I I
• Na magnetostática, a L.A. é satisfeita para qualquer superfície envolvida por um caminho amperiano.
• Isto também deve ser válido para correntes variáveis no tempo.
• Se escolhermos a superfície S1, a L.A. (convencional) é válida:
S1 S2
C !H (t) ⋅d
!l
C"∫ = I(t)
• No entanto não passa corrente de condução I através de S2.
• Por outro lado, há E(t), e portanto D(t), entre as placas do capacitor. Portanto em S2 é válido: !
H (t) ⋅d!l =
C"∫
∂!D(t)∂tS2
∫∫ ⋅d!S
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• A Lei de Ampère na forma diferencial para o caso da eletrodinâmica fica:
• Nesta versão da L.A., pode haver circulação de H mesmo na ausência de correntes.
• A corrente de deslocamento, associada a um campo elétrico variável no tempo, gera circulação de H.
∇×!H =!J + ∂
!D∂t
JD
!H ⋅d!l =
C"∫
∂!D∂tS
∫∫ ⋅d!S
• Nesta forma, a L.A. é dual com relação à Lei de Faraday.
• Ao contrário da Lei de Faraday, não há sinal negativo (associado à Lei de Lenz) do lado direito da L.A.
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• Consideremos um caminho amperiano C envolvendo uma superfície S.
• A ausência do sinal negativo significa que.: D
H
C
H
• Se o fluxo de D aumenta no tempo => a circulação de H é no sentido anti-horário.
• Se o fluxo de D diminui no tempo => a circulação de H é no sentido horário.
!H ⋅d!l =
C"∫
∂!D∂t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
S∫∫ ⋅d
!S
• A variação de um campo no tempo, gera o outro!
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• A L.A. na sua forma original não é compatível com a continuidade de carga. Para ver isso usamos:
• E aplicamos o divergente em ambos os lados:
• Mas o div do rot de qualquer vetor é zero. Por outro lado, pela Eq. da Continuidade:
• Assim, segundo a L.A. sem JD, o divergente de J é zero o que não é verdade se tivermos densidades de carga variando no tempo em um ponto.
∇×!H =!J
∇⋅ ∇×!H( ) =∇⋅
!J
∇⋅!J = −∂ρv
∂t
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• Subsituindo a Lei de Gauss na forma diferencial:
• Na Eq. da Continuidade (e invertendo a ordem do divergente com a derivada no tempo):
• Portanto a L.A. com a dens. de corrente de deslocamento satisfaz a Eq. Da Continuidade, para ver isso partimos de:
ρv =∇⋅!D,
∇⋅!J = −∇⋅ ∂
!D∂t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟= −∇⋅
!JD
∇×!H =!J + ∂
!D∂t
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• E tomamos o divergente dos dois lados da L.A. com JD:
• Invertendo a ordem do divergente com a derivada no tempo:
• Usando a Lei de Gauss novamente:
∇⋅ ∇×!H( ) = 0 =∇⋅
!J +∇⋅ ∂
!D∂t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0 =∇⋅!J +
∂ ∇⋅!D( )
∂t
0 =∇⋅!J + ∂ρv
∂t• O que nos leva de volta à Eq. da Continuidade:
∇⋅!J = −∂ρv
∂t
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Exemplo
Uma fonte de tensão AC com amplitude igual a 5V e frequência f = 300kHz é conectada a um capacitor de placas paralelas. Se o capacitor tem área A = 50 cm2, distância entre as placas d = 0,1 mm e permissividade relativa εr = 2,2: (a) Verifique que a corrente de deslocamento no capacitor é igual à corrente de condução no fio. (b) Determine a intensidade do campo magnético a uma distância de 1mm do fio.
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