II Encontro Nacional deprodutores e usuários de
informações sociais, econômicas e territoriais
Reinaldo Castro Souza, IEPUC, PUC-Rio
Co-autores:
Sheila C Zani & Eduardo A B da Silva
Rio de Janeiro, 21 de Agosto de 2006
OUTLINE
1) PRELIMINARES2) ALGORITIMO BASE DO X-113) FILTRO DE HENDERSON4) FILTRO PROPOSTO5) COMPARAÇÃO FHxFP & CONCLUSÕES
Princípios FundamentaisPrincípios Fundamentais
tttt ITSY Aditiva:
Principais relações entre a série original e seus componentes
tttt ITSY Multiplicativa:
Componentes independentes
Componentes dependentes
11
Métodos automáticos Métodos automáticos recomendadosrecomendados
Família X11 – USA/Canadá
TRAMO-SEATS – Banco da Espanha
11
X11 Criado nos anos 60/EUA
X11-ARIMA Anos 80/Canadá
X12-ARIMA Segunda metade dos
anos 90/EUA
Família X11Família X11
Três programas integram a família X11
11
(Ferramenta básica do modelo)
Esta ferramenta não implica a utilização a priori de conceitos ou de modelos sofisticados!
• para estimar a TENDÊNCIA e a SAZONALIDADE.
Família X11Família X11
Os três programas que integram a família X11 utilizam interativamente
Médias Móveis
11
X12 Reg_ARIMA.X12 Reg_ARIMA.
• X12-ARIMA
Baseado no mesmo princípio, mas possui um módulo chamado de Reg-ARIMA.
ARIMAModelo
ttt ZXY
regressão da variáveis deVetor
parâmetros deVetor
'
11
X12 Reg_ARIMA.X12 Reg_ARIMA.11
Algoritmo de baseAlgoritmo de base
Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel. tX YMTt 122'
Estimação da componente sazonal-irregular. '''tttTYIS t
Estimação da série corrigida de variações sazonais.'' ~tt SYA
t
Estimação da componente sazonal com uma média móvel (3X3) sobre cada mês. '33
'ttX ISMS
t '
122''~
tttSMSS X
22
Algoritmo de baseAlgoritmo de base
Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel de Henderson de 13 termos. '
13''
ttAHT
Estimação da componente sazonal-irregular. ''''tTYIS ttt
Estimação da componente sazonal com uma média móvel 3X5 sobre cada mês. ''
53''
ttX ISMSt
''122''''~
tttSMSS X
Estimação da série corrigida de variações sazonais. '''' ~tt SYA
t
22
Uma das dificuldades deste algoritmo é selecionar as médias móveis utilizadas nas etapas 1 e 3.
Basicamente, o algoritmo X11, corresponde a um duplo uso consecutivo do algoritmo apresentado trocando cada vez as médias móveis utilizadas.
O método X11 executa este algoritmo simples, utilizando médias móveis cuidadosamente escolhidas e refinando, pouco a pouco, as estimação das componentes através de iterações deste algoritmo.
Algoritmo de baseAlgoritmo de base22
Filtro de HendersonFiltro de Henderson
f
t k t kk p
M X X
O valor no instante t da série bruta é substituído por uma média ponderada dos p valores passados da série, o valor atual e os f valores futuros da série. A ordem desta média móvel é p+f+1. Quando p=f , se utilizam tantos valores passados como futuros e diz-se que a média móvel é centrada. k k Além disto, quando para todo k,diz-se que a média móvel é simétrica.
o Chama-se de média móvel de coeficientes
koperador designado por:
)( tXM
33
O problema consiste em:
Determinar os pesos destas médias móveis.
Resolver o problema da perda de pontos no
início e no fim da série ocasionada pelo uso damédia móvel.
Se diz então que as médias móveis são filtros lineares, filtros que permitem eliminar ou atenuar as oscilações associadas a algumas freqüências.
Filtro de HendersonFiltro de Henderson33
Para que um média móvel conserve um polinômio de grau d é necessário que seus coeficientes satisfaçam a:
Neste contexto, é óbvio que as condições de ordem ímpar são sempre satisfeitas se os filtros forem simétricos.
Em conseqüência, se uma média móvel conservar uma tendência polinomial de grau 2p, ela conservará, também, uma tendência polinomial de grau 2p+1.
1f
kk p
0f
jk
k p
k
1, ,j d
Filtro de HendersonFiltro de Henderson33
Empregada na série já corrigida das
variações sazonais.
2ª estimação da tendência
Médias Móveis de Henderson
A idéia de Henderson foi a de construir filtros simétricos que conservassem a tendência cúbica. Para isto, basta que o filtro conserve a tendência quadrática. Há vários pesos que satisfazem isto.
Filtro de HendersonFiltro de Henderson33
Filtro de HendersonFiltro de Henderson
Como:
Os filtros simétricos que conservam a tendência cúbica devem satisfazer as condições:
i) Pesos simétricos:
ii) Tendência Cúbica e
m
t k t kk m
Z X
k k
1k 2 0kk
33
Filtro de HendersonFiltro de Henderson
Há dois modos equivalentes de caracterizar os filtros de Henderson:
i) simétricos,
ii) preservando tendências cúbicas e
iii) com mínima variância da diferença terceira da série depois de aplicada a média móvel;
ou, o que é equivalente:
i) e ii) como descrito acima e,
iii') com mínima soma dos quadrados da terceira diferença dos coeficientes da média móvel.
A idéia de Henderson ... 33
Filtro de HendersonFiltro de Henderson
Logo, precisa-se:
minimizar
sujeito às restrições:
e ,
com
23m
kk m
1m
kk m
2 0m
kk m
k
k k
Esses dois critérios são equivalentes.
33
Os coeficientes que minimizarão a variância da terceira diferença de Zt são aqueles que minimizam a soma dos quadrados da terceira diferença dos próprios coeficientes.
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( 1) ( 1) 16 3 11315
8 ( 1)(4 1)(4 9)(4 25)k
k p k p k p p k
p p p p p
2mp
Sendo:
Filtro de HendersonFiltro de Henderson33
k 23 13 9 7 5
- 11 -0,004278258
- 10 -0,010918114
- 9 -0,015686946
- 8 -0,014527476
- 7 -0,004947898
- 6 0,013430010 -0,019349845
- 5 0,038932891 -0,027863777
- 4 0,068303317 0,000000000 -0,040723982
- 3 0,097395471 0,065491784 -0,009872480 -0,058741259
- 2 0,121948951 0,147356513 0,118469766 0,058741259 -0,073426573
- 1 0,138317938 0,214336747 0,266556972 0,293706294 0,293706294
0 0,144060228 0,240057156 0,331139449 0,412587413 0,559440559
1 0,138317938 0,214336747 0,266556972 0,293706294 0,293706294
2 0,121948951 0,147356513 0,118469766 0,058741259 -0,073426573
3 0,097395471 0,065491784 -0,009872480 -0,058741259
4 0,068303317 0,000000000 -0,040723982
5 0,038932891 -0,027863777
6 0,013430010 -0,019349845
7 -0,004947898
8 -0,014527476
9 -0,015686946
10 -0,010918114
11 -0,004278258
CC
OO
EE
FF
II
CC
II
EE
NN
TT
EE
SSFiltro de HendersonFiltro de Henderson
Fator de redução da Fator de redução da variância:variância:
33
A escolha do tamanho dos filtros A escolha do tamanho dos filtros de Henderson no X11 :de Henderson no X11 :
A escolha do tamanho dessa média móvel é baseada no grau de irregularidade da série a ser amortecida. No caso da série mensal, usa-se uma média móvel de Henderson de 9, 13 ou 23 termos.
A escolha automática depende da razão .TI
n
t t
t
T
T
nT
2 11
1
1
n
t t
t
I
I
nI
2 11
1
1
Se Escolhe-se uma média móvel de Henderson de 9 termos;
se , escolhe-se uma média móvel de Henderson de 13 termos;
Nos demais casos; escolhe-se uma média móvel de Henderson de 23 termos.
1TI
49,31 TI
33
Médias móveis assimétricas:
É o calcanhar de Aquiles do método.
A idéia de Musgrave...
Problema parcialmente resolvido quando estendemos a série (modelos ARIMA).
Filtro de HendersonFiltro de Henderson33
Problemas :Problemas :
23m
kk m
m
mkk2i) Minimizar é de minimizar
ii) Serve para no máximo t=3
iii) Os filtros assimétricos associados aos filtros simétricos de Henderson foram construídos em um contexto completamente diferente da concepção dos filtros de Henderson.
iv) Antes de utilizar o filtro de Henderson a série passa necessariamente por duas filtragens:
M2x12 e M3x3, por exemplo.
33
Filtro PropostoFiltro PropostoUm filtro de comprimento N, ,
que conserve uma tendência de ordem deve ser tal que:
1 pNnp
t
1
)(pN
pn
k knfn tk , ,1 ,0
Definindo a transformada Z de f(n) como:
0k 0,
0k ,1ksendo:
1
)()()(pN
pn
n
n
n znfznfzF
(1)
44
As condições da equação (1) são equivalentes a:
11 F
01
zk
k
z
Ft., ,1 k
Uma função que satisfaz as equações acima é:
)(zF
)(11)(11 zGzzF
t
44 Filtro PropostoFiltro Proposto
12
1,,),()(min
pN
pnpNpnnfnf
),()(1
knfnpN
pn
k
dweF jw
pLpnng
2
1,,),()(min
zGzzFt 1111
tk , ,1 ,0 sujeito a
ou
dado que
44 Filtro PropostoFiltro Proposto
g
)1()1(
1
1
pLg
pg
pg
zzzzG pLpp
Definindo-se:
zGzzFt 1111
bAg 1
g 11 )1()1(11 pLpptzzzzzF
44 Filtro PropostoFiltro Proposto
Particularizando para o caso em que o filtro deve preservar a tendência cúbica, isto é, , temos que:
3t
4382281567023, klklklklklpA kl
221242623, pkpkpkpb kl
44 Filtro PropostoFiltro Proposto
2702562282820000
256270256228282000
22825627025622828200
282282562702562282820
228228256270256228282
022822825627025622828
00228228256270256228
000228228256270256
0000228228256270
A
0
0
2
24
26
24
2
0
0
b
077,0
308,0
706,0
175,1
469,1
175,1
706,0
308,0
077,0
g
0,0769-
0 0,000
0,0629
0,1119
0,1469
0,1678
0,1748
0,1678
0,1469
0,1119
0,0629
0,0000
0,0769-
Z
T=3; N=13
44 Filtro PropostoFiltro Proposto
CC
OO
EE
FF
II
CC
II
EE
NN
TT
EE
SS
55 Comparação FHxFPComparação FHxFP
SimulaçãoSimulação
• 200 observações• Série com tendência cúbica• Somada a uma componente aleatória
gerada de uma normal com média 0 e desvio padrão 1.
• Essa série tem as condições ideais para a utilização dos filtros, pois nenhuma componente sazonal está embutida na sua construção.
SimulaçãoSimulação
SimulaçãoSimulação
• Aplicaram-se os dois filtros, o proposto e o de Henderson, de tamanho 13
• Espera-se que, quando aplicados os filtros, as séries resultantes sejam o mais próximo possível da série limpa do ruído aleatório.
• Para testar o poder dos filtros, subtraíram-se da série simulada com ruído as séries filtradas pelos dois processos. Essas séries deveriam estar muito próximas do ruído gerado (com distribuição Normal (0,1)).
SimulaçãoSimulação
SimulaçãoSimulação
ConclusõesConclusões55
(i) O ajuste sazonal nos países são realizados, em sua maioria, pelos produtos da família X12 e TRAMO-SEATS
(ii) Método X12 está também disponível em alguns softwares comerciais de previsão, por exemplo, no FPW-XE (um dos mais difundidos e usados no mundo)
(iii) O ajuste sazonal na família X12 para a tendência e a sazonalidade é realizada por usos exaustivos de MM, atuando como suavizadores
ConclusõesConclusões55
(iv) Filtro de Média Móvel de Henderson usado na extração final da tendência tem seus pesos obtidos pela minimização de uma função que não é a variância!!!
(v) Filtro Proposto, cujos coeficientes são obtidos pela minimização da variância, é mais geral, pois não requer simetria e preservam a tendência de qualquer ordem. Resultados ligeiramente superiores ao FH!!
OBRIGADO