UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
ALAM FÉLIX CALADO PEREIRA
LUÍS HENRIQUE ROCHA DA SILVA
INFLUÊNCIA DA PROJEÇÃO EM PLANTA NO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO SOB A AÇÃO DE SISMOS
CURITIBA
2015
ALAM FÉLIX CALADO PEREIRA
LUÍS HENRIQUE ROCHA DA SILVA
INFLUÊNCIA DA PROJEÇÃO EM PLANTA NO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO SOB A AÇÃO DE SISMOS
Trabalho Final de Curso apresentado como requisito parcial à conclusão do curso de graduação em Engenharia Civil do Setor de Tecnologia da Universidade Federal do Paraná. Orientador: Prof. Dr. Marcos Arndt.
CURITIBA
2015
TERMO DE APROVAÇÃO
ALAM FÉLIX CALADO PEREIRA
LUÍS HENRIQUE ROCHA DA SILVA
INFLUÊNCIA DA PROJEÇÃO EM PLANTA NO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO SOB A AÇÃO DE SISMOS
Trabalho Final de Curso apresentado como requisito parcial à conclusão do curso de
graduação em Engenharia Civil do Setor de Tecnologia da Universidade Federal do
Paraná, pela seguinte banca examinadora:
____________________________________________
Prof. Dr. Marcos Arndt
Orientador – Departamento de Construção Civil, UFPR
____________________________________________
Prof. Dr. Roberto Dalledone Machado
Departamento de Construção Civil, UFPR
____________________________________________
Prof. Dr. Lia Yamamoto
Departamento de Construção Civil, UFPR
Curitiba, 25 de Junho de 2015
AGRADECIMENTOS
Nossos sinceros agradecimentos aos nossos pais por absolutamente tudo o
que fizeram até o dia de hoje, por nos educarem, nos guardarem, nos corrigirem e,
principalmente, por se dedicarem as nossas vidas. Aos nossos amigos e familiares
pelos momentos compartilhados. Agradecemos especialmente ao professor Marcos
Arndt por aceitar ser nosso orientador, pelo apoio fornecido e conhecimento que foi
generosamente compartilhado conosco. Aos professores Roberto Dalledone
Machado e Lia Yamamoto por participarem de nossa banca de avaliação e pelas
críticas construtivas. Agradecemos também aos professores que nos
acompanharam ao longo do curso proporcionando todo o nosso aprendizado.
Agradecemos, acima de tudo, a Deus, por ter nos proporcionado boas
oportunidades e por ter nos sustentado desde sempre para que trabalhemos em prol
de seus objetivos.
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo realizar um estudo da influência da projeção
em planta de edifícios de concreto armado no seu comportamento estrutural sob a
ação de sismos. Inicialmente é feito uma revisão bibliográfica sobre sismologia com
uma breve caracterização da sismicidade brasileira. Na sequência contempla-se
uma revisão sobre análise dinâmica das estruturas. Depois, é apresentada a
normalização brasileira com prescrições de procedimentos para projetos de
estruturas resistentes a sismos (NBR 15421/2006). Também apresenta-se a
metodologia e exemplos de cálculo utilizados para realizar o estudo deste trabalho.
Para o desenvolvimento dessa atividade, foram analisadas três estruturas de 15
pavimentos com diferentes geometrias, de modo com que o peso das estruturas não
tivesse grandes variações. Para todas as análises, consideram-se estruturas com
vigas, lajes e pilares com mesmas dimensões e módulo de elasticidade.
Primeiramente diversos parâmetros de projeto foram estabelecidos de acordo com a
norma, tais como, definição de zoneamento sísmico brasileiro, classe do terreno,
categorias de utilização, categoria sísmica, aceleração sísmica de projeto, etc.
Aplicam-se o Método das Forças Horizontais Equivalentes com auxílio do programa
estrutural ANSYS 14.5 como ferramenta de cálculo. Na sequência, comparam-se os
esforços cortantes, momentos fletores, esforços normais e deslocamentos
horizontais nos pilares mais afastados do eixo das estruturas. Também é feita uma
comparação adotando hipóteses de diferentes rigidezes de lajes para analisar os
deslocamentos no contorno frontal. Ao final do trabalho, foram obtidas conclusões,
recomendações e algumas possibilidades de estudos mais aprofundados.
Palavras-chave: Análise dinâmica das estruturas, análise estática,
regularidade em planta, Norma NBR 15421 (ABNT, 2006).
ABSTRACT
The present research takes up as an object of study the influence of the
projection in plan of concrete buildings in its structural behavior under seismic action.
Initially it presents a literature review on seismology with a brief characterization of
the Brazilian seismicity. Further it contemplates a review on dynamic analysis of
structures. Then it is displayed the Brazilian Code with prescriptions procedures for
project earthquake resistant structures (NBR 15421/2006). It also shows the method
and examples of calculation used to perform the studies of this work. For the
development of this activity, three structures were analyzed with 15 floors with
different geometries, so that the weight of the structures had no major variations. For
all analyzes, were considered the structures with beams, slabs and columns with the
same dimensions and modulus of elasticity. First various design parameters were
established according to the Brazilian Code, such as Brazilian seismic zoning
definition, land class, use categories, seismic category, seismic acceleration of
project, etc. The Method of Equivalent Horizontal Forces was applied with the aid of
structural program ANSYS 14.5 as the calculation tool. As a result, the shear forces,
bending moments, axial forces and horizontal displacements in the outer frames of
the shaft were compared. It is also made a comparison of the chances of adopting
different stiffnesses slabs to analyze shifts in front of the three contour structures. At
the end of this work arose some conclusions, recommendations and some
possibilities for further research.
Keywords: Dynamic analysis of structures, static analysis , regularity in plan,
Brazilian Code NBR 15421 (ABNT, 2006).
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 2.1 – ESTRUTURA INTERNA DA TERRA ................................................. 15
FIGURA 2.2 – ONDAS “P” E “S” ............................................................................... 18
FIGURA 2.3 – ONDAS “L” E “R” ............................................................................... 19
FIGURA 2.4 – EVENTO SÍSMICO EM UM SISMOGRAMA...................................... 24
FIGURA 2.5 – MAPA DAS PLACAS TECTÔNICAS NA AMÉRICA DO SUL ............ 25
FIGURA 2.6 – SISMICIDADE NA AMÉRICA DO SUL .............................................. 26
FIGURA 2.7 – MAPA DA OCORRÊNCIA DE SISMO NO TERRITÓRIO BRASILEIRO
........................................................................................................... 26
FIGURA 2.8 – MAPA DAS PRICIPAIS FALHAS BRASILEIRAS .............................. 28
FIGURA 3.1 – TIPOS DE CARGA DINÂMICA .......................................................... 30
FIGURA 3.2 – SISTEMA MASSA, MOLA E AMORTECEDOR ................................. 30
FIGURA 3.3 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ........................................................ 31
FIGURA 3.4 – PÓRTICO PLANO COM TRÊS ANDARES ....................................... 32
FIGURA 3.5 – MOVIMENTAÇÃO DA BASE ............................................................. 39
FIGURA 3.6 – ESPECTROS NÃO AMORTECIDOS ................................................ 42
FIGURA 4.1 – ZONEAMENTO SÍSMICO DO BRASIL ............................................. 47
FIGURA 4.2 – ESPECTRO DE RESPOSTA DE PROJETO EM FUNÇÃO DO
PERÍODO........................................................................................... 52
FIGURA 5.1 – PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 01 ................................................ 60
FIGURA 5.2 – PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 02 ................................................ 61
FIGURA 5.3 – PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 03 ................................................ 61
FIGURA 5.4 – MODELO TRIDIMENSIONAL DA ESTRUTURA 3 ............................ 72
FIGURA 5.5 – PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 3 .................................................. 72
FIGURA 5.6 – DESLOCAMENTOS DOS PILARES .................................................. 73
FIGURA 5.7 – DESLOCAMENTO DOS PILARES - EXTRAÍDOS DO ANSYS ......... 74
FIGURA 5.8 – ESTRUTURA COM DIAFRAGMA FLEXÍVEL .................................... 75
FIGURA 5.9 – EXEMPLO DE DESLOCAMENTO COM DIAFRAGMA FLEXÍVEL ... 75
FIGURA 5.10 – ESTRUTURA COM DIAFRAGMA RÍGIDO ...................................... 76
FIGURA 5.11 – EXEMPLO DE DESLOCAMENTO COM DIAFRAGMA RÍGIDO ..... 76
FIGURA 5.12 – ESFORÇO CORTANTE .................................................................. 77
FIGURA 5.13 – ESFORÇO NORMAL ....................................................................... 78
FIGURA 5.14 – MOMENTO FLETOR ....................................................................... 79
FIGURA 5.15 – VARIAÇÃO DO ESFORÇO CORTANTE NA ESTRUTURA 1 ......... 79
LISTA DE TABELAS
TABELA 2.1 – VARIAÇÃO DA ENERGIA CONFORME A MAGNITUDE DO SISMO
........................................................................................................... 21
TABELA 2.2 – ESCALA DE INTENSIDADE MODIFICADA DE MERCALLI ............. 22
TABELA 4.1 – DEFINIÇÃO DA CLASSE DO TERRENO ......................................... 49
TABELA 4.2 – DEFINIÇÃO DOS FATORES aC E vC DE AMPLIFICAÇÃO SÍSMICA
NO SOLO ........................................................................................... 51
TABELA 4.3 – COEFICIENTES DE PROJETO PARA ALGUNS DOS SISTEMAS
BÁSICOS SISMO-RESISTENTES ..................................................... 53
TABELA 4.4 – CÁLCULO APROXIMADO DO PERÍODO FUNDAMENTAL DA
ESTRUTURA ..................................................................................... 54
TABELA 4.5 – COEFICIENTE DE LIMITAÇÃO DO PERÍODO ................................. 54
TABELA 4.6 – LIMITAÇÃO PARA DESLOCAMENTOS RELATIVOS DE
PAVIMENTO ( x∆ ) .............................................................................. 59
TABELA 5.1 – PRIMEIROS MODOS DE VIBRAÇÃO DAS ESTRUTURAS ............. 63
TABELA 5.2 – PERÍODO DAS ESTRUTURAS ......................................................... 63
TABELA 5.3 – PESO DOS ELEMENTOS DE UM ÚNICO PAVIMENTO DA
ESTRUTURA 1 .................................................................................. 65
TABELA 5.4 – PESO DOS ELEMENTOS DE UM ÚNICO PAVIMENTO DA
ESTRUTURA 2 .................................................................................. 65
TABELA 5.5 – PESO DOS ELEMENTOS DE UM ÚNICO PAVIMENTO DA
ESTRUTURA 3 .................................................................................. 66
TABELA 5.6 – PESO DA ESTRUTURA .................................................................... 66
TABELA 5.7 – DISTRIBUIÇÃO DA FORÇA VERTICAL - ESTRUTURA 1 ............... 69
TABELA 5.8 – DISTRIBUIÇÃO DA FORÇA VERTICAL - ESTRUTURA 2 ............... 70
TABELA 5.9 – DISTRIBUIÇÃO DA FORÇA VERTICAL - ESTRUTURA 3 ............... 71
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 11
1.1 JUSTIFICATIVA .................................................................................................. 12
1.2 OBJETIVOS ........................................................................................................ 12
2 REVISÃO DE SISMOLOGIA ............................. ................................................... 14
2.1 ESTRUTURA INTERNA DA TERRA ................................................................... 14
2.2 ONDAS SÍSMICAS ............................................................................................. 17
2.2.1 Ondas P ............................................................................................................ 17
2.2.2 Ondas S ............................................................................................................ 17
2.2.3 Ondas de Rayleigh (R) ..................................................................................... 18
2.2.4 Ondas de Love (L) ............................................................................................ 18
2.3 PARÂMETROS SÍSMICOS ................................................................................. 19
2.3.1 Magnitude sísmica ............................................................................................ 20
2.3.2 Intensidade sísmica .......................................................................................... 21
2.3.3 Profundidades ................................................................................................... 23
2.3.4 Medição sísmica ............................................................................................... 23
2.3.5 Sismograma ...................................................................................................... 23
2.4 SISMICIDADE BRASILEIRA ............................................................................... 25
2.5 FALHAS GEOLÓGICAS BRASILEIRAS ............................................................. 27
3 REVISÃO DE ANÁLISE DINÂMICA DAS ESTRUTURAS ........ .......................... 29
3.1 SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE (SGL) ................................................ 30
3.2 SISTEMAS DE MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE ....................................... 31
3.2.1 Equação de equilíbrio dinâmico ........................................................................ 31
3.2.2 Sistema não amortecido ................................................................................... 33
3.2.3 Vibração livre .................................................................................................... 34
3.2.4 Movimentação da base ..................................................................................... 38
3.3 ESPECTROS DE RESPOSTA ............................................................................ 40
3.3.1 Espectros de resposta para forças ................................................................... 40
3.3.2 Espectros de resposta para aceleração da base .............................................. 42
4 PROJETO DE ESTRUTURAS RESISTENTES A SISMOS CONFORME NORMA
BRASILEIRA NBR 15421(2006) ........................ .................................................. 46
4.1 DEFINIÇÃO DAS FORÇAS SÍSMICAS DE PROJETO ....................................... 46
4.2 ZONEAMENTO SÍSMICO BRASILEIRO ............................................................. 46
4.3 DEFINIÇÃO DA CLASSE DO TERRENO ........................................................... 48
4.4 DEFINIÇÃO DAS CATEGORIAS DE UTILIZAÇÃO ............................................ 50
4.5 DEFINIÇÃO DOS ESPECTROS DE RESPOSTA DE PROJETO ........................ 50
4.6 MÉTODO DAS FORÇAS HORIZONTAIS EQUIVALENTES ............................... 52
4.6.1 Distribuição vertical das forças sísmicas .......................................................... 55
4.7 MÉTODOS DINÂMICOS ..................................................................................... 55
4.7.1 Análise por espectro de resposta ...................................................................... 55
4.7.2 Análise com históricos de acelerações ............................................................. 57
4.8 CONSIDERAÇÃO DA TORÇÃO ......................................................................... 58
4.9 LIMITAÇÕES DE DESLOCAMENTOS ............................................................... 59
5 ESTUDO DE CASO .............................................................................................. 60
5.1 DETERMINAÇÃO DO PERÍODO ........................................................................ 62
5.2 DETERMINAÇÃO DO PESO TOTAL DA ESTRUTURA...................................... 63
5.3 CÁLCULO DA FORÇA HORIZONTAL TOTAL NA BASE .................................... 66
5.4 DISTRIBUIÇÃO VERTICAL DA FORÇA HORIZONTAL TOTAL ......................... 67
5.5 DESLOCAMENTOS ........................................................................................... 73
5.5.1 Deslocamento dos pilares A1, A2 e A3 ............................................................... 73
5.5.2 Deslocamento de linha ..................................................................................... 74
5.6 ESFORÇO CORTANTE DOS PILARES A1, A2 E A3 ........................................... 77
5.7 ESFORÇO NORMAL DOS PILARES A1, A2 E A3 ............................................. 77
5.8 MOMENTO FLETOR DOS PILARES A1, A2 E A3 ............................................. 78
5.9 ESFORÇOS CORTANTES DOS PILARES A1, B, C E D .................................... 79
6 CONCLUSÃO ......................................... .............................................................. 80
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 82
APÊNDICES ............................................................................................................. 84
11
1 INTRODUÇÃO
Atualmente é muito comum se deparar com notícias de estruturas, como
edificações e obras de arte especiais, que apresentam determinado grau de
vibração. Algumas vibrações de grandes intensidades que podem fazer com que as
estruturas cheguem ao colapso.
As vibrações nas estruturas podem ser causadas por fenômenos naturais ou
esforços mecânicos. Como exemplo de causas naturais, pode-se citar o efeito do
vento nas estruturas, tendo em vista inúmeros relatos de pontes e edificações que
começaram a oscilar após receberem intensas rajadas de vento. Entre as causas
naturais estão também os abalos sísmicos, fenômenos estes, que ocorrem em
certas regiões do planeta e cuja análise é imprescindível no projeto estrutural.
Já as ações mecânicas são geradas pela movimentação de pessoas,
automóveis, etc. Tanto as causas mecânicas quanto os naturais devem ser levadas
em consideração para o cálculo estrutural.
Embora, por um longo período, se acreditasse que o Brasil não estava
sujeito aos abalos sísmicos, por se encontrar bem no centro da placa sul-americana,
considerada passiva, com o avanço da tecnologia percebeu-se que não é bem
assim. Dentro do território brasileiro ocorrem diversas falhas geológicas geradas por
fatores diversos, como reflexos de tremores ocorridos em outros países da América
Latina, podendo estar associadas ou não, à atividade sísmica brasileira, ou até
mesmo pelo desgaste das placas tectônicas. Essas falhas são encontradas em todo
o país, tendo o maior número de ocorrências na região nordeste, segundo a NBR
15421:2006
No Brasil, até muito recente não se dispunha de normalização específica
para sismos em estruturas. Considerando que já foram registrados abalos sísmicos
em algumas regiões, um conjunto de estudos incentivou a elaboração de uma norma
brasileira, a NBR 15421:2006. Esta norma tem como principal objetivo, estabelecer
requisitos exigíveis para garantia de segurança em estruturas da construção civil,
relacionadas às ações de atividades sísmicas.
Recentemente, alguns sismos foram registrados em cidades brasileiras de
acordo com OBSIS (2015), destacando-se o sismo no Acre, ocorrido em 07 de Abril
de 2014, com epicentro localizado a 89km da cidade de Tarauacá, com seu
12
hipocentro localizado a 559km de profundidade, atingindo 5.1 na escala Richter, não
havendo dano. Outro evento importante ocorrido recentemente foi no Amazonas,
com magnitude de 7.1, com epicentro localizado na Colômbia, a 38km de Sucre e a
1082km de São Gabriel da Cachoeira, a 140km de profundidade. Destaca-se
também o sismo ocorrido em Minas Gerais em 2007, com magnitude de 4.9 na
escala Richter, onde uma criança de 5 anos morreu, sendo a primeira fatalidade em
sismo no Brasil. Vários outros eventos caracterizados como micro ou pequenos já
foram registrados em território brasileiro.
1.1 JUSTIFICATIVA
Mesmo possuindo certa atividade sísmica no país, existem poucos estudos
sobre a influência desses sismos sobre as estruturas de concreto armado. Nesse
contexto, considerando a existência dos sismos, juntamente com a tendência de se
construir edificações cada vez mais esbeltas, mais suscetíveis aos efeitos
dinâmicos, a consideração desses efeitos torna-se mais importante em relação ao
projeto estrutural de edifícios.
1.2 OBJETIVOS
A experiência obtida em sismos passados demonstra que a vulnerabilidade
sísmica dos edifícios está intimamente relacionada com as características dos
sistemas estruturais e tipologias adotadas. Um dos aspectos básicos para a
obtenção de uma estrutura com comportamento previsível é a sua simetria e , na
prática, uma estrutura simples é essencial para se conseguir tal requisito
(Eurocódigo n°8, 1988). Por exemplo, Guerreiro (2007) recomenda que estruturas
com forma retangular em planta não tenham comprimento maior do que três vezes a
largura e Santos (2010) afirma que estruturas que apresentam em planta uma forma
alongada apresentam problemas de flexão, que podem induzir efeitos de torção no
comportamento da estrutura.
Este trabalho consiste num estudo paramétrico realizado através do
programa computacional ANSYS entre três estruturas hipotéticas. Elas possuem
forma retangular em planta, com lados 30x30m, 20x40m, 15x60m e 15 pavimentos
cada, geradas de modo que a massa e a rigidez ficassem aproximadas. O objetivo
13
do trabalho então se resume a analisar, através do método das forças horizontais
equivalentes, a influência da forma em planta das estruturas apresentadas no seu
comportamento estrutural quando estão submetidas aos efeitos das cargas sísmicas
definidas pela Norma ABNT NBR 15421:2006.
14
2 REVISÃO DE SISMOLOGIA
Quando se faz a análise dinâmica de uma estrutura supondo o
conhecimento por completo dos históricos das excitações e características
mecânicas do sistema, sua resposta pode ser obtida de forma determinística.
Entretanto excitações como as decorrentes do vento, ondas marítimas, sismos, entre
outros, não são passíveis de descrição, a menos no sentido elástico, ou seja, por
meio de valores médios, desvios destes valores e distribuição de probabilidades.
A argumentação a favor dessa análise não determinística do comportamento
dinâmico de estruturas é irrefutável.
Os carregamentos de vento, ondas do mar e sismos, são naturalmente
aleatórios. Uma análise espectral pode ser mais precisa para determinar as “ondas
de projeto” com diferentes períodos de recorrência, frequência e intensidade
diferentes.
Para melhor compreensão da ocorrência de terremotos, deve-se,
inicialmente entender a estrutura da Terra, ou seja, entender como se originam os
sismos.
O planeta Terra, desde sua formação vem passando por transformações em
sua geomorfologia e a teoria tectônica de placas facilita a compreensão das
geociências, desde o estudo de fósseis, até a sismologia, estudo de sismos. A partir
dessa teoria foi possível determinar que a superfície terrestre encontra-se
fragmentada em várias placas tectônicas e estas deslocam-se sobre a astenosfera,
camada que se situa logo abaixo da litosfera. Esta teoria surgiu com base em dois
fenômenos distintos. A deriva continental e a expansão dos fundos oceânicos.
(USGS, 2015).
2.1 ESTRUTURA INTERNA DA TERRA
A terra é constituída por materiais sólidos, líquidos e gasosos, que se
concentram em camadas concêntricas. Essas camadas, apresentadas na FIGURA
2.1, variam a sua composição química e física, são: o núcleo, o manto e a crosta. A
FIGURA 2.1 obtida de Antunes (2010) foi descrita de acordo com Pena (2015).
15
FIGURA 2.1 – ESTRUTURA INTERNA DA TERRA FONTE – ANTUNES (2010)
a) Núcleo: a parte mais interna do planeta, pode ser dividido em núcleo
interno e núcleo externo. A parte interna do núcleo é sólida, com raio de
até 1220 km, chegando a atingir temperaturas de 5000°C. A parte
externa, ou núcleo líquido, envolve o primeiro, com raio de 2250 km,
também atinge elevadas temperaturas e ambos são compostos por ferro
e níquel.
b) Manto: trata-se de uma camada intermediária com abrangência de cerca
de 30 km – 2900 km de profundidade. É principalmente composto por
substâncias ricas de ferro e magnésio.
c) Crosta: é a camada que forma a maior parte da litosfera, podendo chegar
a 90 km de profundidade. A parte superficial, a primeira camada, é
formada principalmente por granito nos continentes e basaltos nos
oceanos. É a camada aonde se desenvolve a vida na terra.
As placas tectônicas são rígidas, são pequenas porções da litosfera, limitada
por zonas de convergência e divergência. O atrito entre elas gera um acúmulo de
energia, acumulando também tensões na crosta terrestre. As falhas geológicas, por
serem zonas frágeis, funcionam como uma válvula de escape dessas tensões
A movimentação das placas tectônicas ocorre devido à fraqueza relativa da
astenosfera. Como a temperatura da astenosfera é mais elevada, possui menor
rigidez sofrendo deformação quando sujeita a esforços. Os movimentos das placas
16
são devidos às “correntes de convecção”. Essas correntes são decorrentes de
movimentos ascendentes de material mais quente no manto (magma) em direção a
litosfera, que, ao atingir essa camada, tende a se movimentar de forma lateral.
Nas regiões de choque dessas placas, é onde os sismos ocorrem com maior
frequência e intensidade. O contato entre as placas pode ocorrer de três maneiras
distintas: convergentes, divergentes ou transformantes. O primeiro ocorre quando
duas placas se movem uma em direção à outra (ocorre a formação de cadeias
montanhosas). O segundo ocorre quando duas placas se afastam uma da outra. A
terceira acontece quando as placas deslizam ou encostam uma na outra.
Há também casos onde o contato entre as placas não se enquadra bem em
nenhum desses casos, sendo comumente designadas de fronteiras complexas. Um
exemplo desse tipo de contato se verifica na região mediterrâneo-alpina,
correspondente à fronteira entre as placas euroasiática e africana.
Qualquer material terrestre submetido a uma tensão que supere o seu limite
elástico de deformação, entra em um regime plástico de deformação, ou seja,
deformação permanente do material, podendo chegar a ruptura. Essa ruptura pode
acontecer de maneira dúctil ou frágil. Na primeira ocorre liberação gradativa da
energia, enquanto na segunda toda energia acumulada durante a deformação
elástica é liberada, em consequência dessa grande liberação de energia ocorrem os
sismos. (USGS, 2015).
Os regulamentos nacionais separam o território em regiões chamadas de
zonas sísmicas, e para cada uma delas, são fornecidas as informações necessárias
para a determinação da carga sísmica a ser utilizada.
No Brasil, até muito recentemente, não se tinha uma normalização
específica para projetos anti-sísmicos das estruturas. A primeira norma a ser
publicada foi a NBR 15421:2006 – Norma Brasileira de Estruturas Resistentes a
Sismos.
As solicitações sísmicas a serem consideradas no projeto de uma
construção são função de alguns fatores. A importância da estrutura, a intensidade
usual de sismos na região da obra, as características do subsolo em que se faz a
fundação, as características da resistência, de ductilidade da estrutura e o período
de vibração da estrutura.
17
2.2 ONDAS SÍSMICAS
As ondas sísmicas são movimentos vibratórios de partículas de rochas que
se transmitem segundo superfícies concêntricas devido à libertação de energia no
foco sísmico.
Os sismos se manifestam na superfície terrestre por meio da propagação
dessas ondas em todas as direções, a partir do foco, e são essas que levam a
vibração do solo. As ondas sísmicas são classificadas em dois grupos principais: as
ondas volumétricas e as ondas superficiais.
As ondas volumétricas se propagam no interior da terra. Apresentam
trajetórias radial devido as variações de densidade e composições no interior da
terra. Tratam-se de ondas que se propagam num espaço tridimensional, a partir de
uma fonte pontual, onde sua amplitude decresce de maneira inversamente
proporcional à distância da fonte. Existem dois tipos de ondas de volume: ondas S e
ondas P. (OBSIS, 2015).
2.2.1 Ondas P
Ondas P ou primárias são as ondas mais rápidas, e consequentemente
chegam primeiro a superfície do solo, propagam-se em todos os estados da matéria
(sólido, líquido e gasoso), havendo variação na velocidade de propagação da onda,
quando esta passa de um meio para outro. São ondas longitudinais, que fazem com
que a rocha vibre paralelamente à direção da onda, como ilustrado na FIGURA 2.2.
(OBSIS, 2015).
2.2.2 Ondas S
Ondas S ou secundárias, são ondas transversais ou de cisalhamento, nas
quais as partículas que transmitem a onda oscilam perpendicularmente à direção de
propagação. As ondas S propagam-se apenas em meios sólidos, uma vez que os
fluidos (líquidos e gases) não suportam forças de cisalhamento. Sua velocidade de
propagação é inferior à das ondas P. (OBSIS, 2015).
18
FIGURA 2.2 – ONDAS “P” E “S” FONTE – OBSIS (2015)
As ondas superficiais podem ser oriundas das ondas volumétricas que
alcançam a superfície. Estas são geralmente responsáveis pela maior destruição
causada. Basicamente estas ondas são geradas por uma perturbação exercida em
uma superfície livre e que se propaga por ela. São classificadas em dois tipos de
ondas: ondas de Rayleigh e ondas de Love. (OBSIS, 2015).
2.2.3 Ondas de Rayleigh (R)
As ondas de Rayleigh, ou ondas R, são ondas formadas em um plano
vertical, podendo ser resultados da interferência de ondas P e S. Essas ondas
provocam vibrações no sentido contrário à propagação da onda, ou seja, em um
movimento de rolamento (descrevem uma órbita elíptica), e sua amplitude diminui
rapidamente com a profundidade. (OBSIS, 2015).
2.2.4 Ondas de Love (L)
19
São ondas de superfície que produzem cisalhamento horizontal, geram um
movimento processado apenas no plano horizontal, em um ângulo reto,
perpendicular à direção de propagação da onda. São ondas de torção. Na FIGURA
2.3 é possível observar o movimento das ondas “L” e “R”. (OBSIS, 2015).
FIGURA 2.3 – ONDAS “L” E “R” FONTE – OBSIS (2015)
2.3 PARÂMETROS SÍSMICOS
Outros conceitos referentes à sismologia são os de magnitude e intensidade.
Ambos determinam o tamanho do sismo, porém representam conceitos distintos,
segundo a Sociedade Portuguesa de Engenharia Sísmica. A intensidade é uma
grandeza qualitativa e está relacionada com o modo em que se sente a vibração do
solo e os danos produzidos pelo sismo, enquanto que a magnitude é uma grandeza
quantitativa e está relacionada com o tamanho da fonte e a energia liberada durante
o sismo. A magnitude é a mesma, quer nos encontremos perto ou distantes do
epicentro. (BRASIL e SILVA, 2013).
20
2.3.1 Magnitude sísmica
De acordo com Brasil e Silva (2013), a magnitude sísmica é baseada na
análise de sismogramas, em medições precisas de ondas sísmicas. Indica a
quantidade de energia liberada por um evento sísmico. Existem diferentes maneiras
de determinar a magnitude dos terremotos.
Os sismos são medidos, de forma absoluta, pela quantidade de energia que
liberam. Esta medida é chamada de magnitude. Charles F. Richter apresentou em
1935 a Escala Richter de Magnitude, calculada como o logaritmo decimal da
amplitude máxima do registro sísmico, em mícron (10-6m), registrada por sismógrafo
do tipo Wood-Anderson, a uma distância de 100 Km do epicentro do sismo. Como,
em geral, não se tem sismógrafos distante do epicentro naquela distância, é
necessário se fazer uma correção, quando então se tem para a magnitude:
01010 loglog AAM −= (2.1)
sendo: A a amplitude máxima do registro sísmico e 0A é um fator de correção que
corresponde a uma leitura do sismógrafo produzida por um sismo padrão ou de
calibração, geralmente adotado como 0,001 mm. A energia E liberada, em Joules,
por um sismo de magnitude M na escala Richter é avaliada empiricamente como:
ME 5,14,11log10 += (2.2)
Sismos com magnitude menor do que cinco geralmente provocam danos de
pouca monta. Já os de magnitude superior a cinco são potencialmente muito
destrutivos. A profundidade do hipocentro, local no interior da terra onde se inicia a
ruptura do material rochoso ocorrendo a libertação de energia sob forma de ondas
sísmicas, é um fator que também afeta os efeitos destrutivos de um sismo. Um
sismo com hipocentro muito profundo pode ter efeito destrutivo menor do que outro
de igual magnitude, em que o hipocentro esteja mais próximo da superfície. Na
TABELA 2.1 encontram-se listados a magnitude dos terremotos e a quantidade de
energia liberada.
21
Embora a magnitude quantifique a energia liberada por um sismo, não
fornece indicação dos danos por ele causados, que são diferentes nos diversos
locais afetados. A intensidade é uma medida destes danos.
TABELA 2.1 – VARIAÇÃO DA ENERGIA CONFORME A MAGNITUDE DO SISMO
Magnitude Energia (ergs)
1 2,0x1013
2 6,3x1014
3 2,0x1016
4 6,3x1017
5 2,0x1019
6 6,3x1020
7 2,0x1022
8 6,3x1023
FONTE: BRASIL e SILVA (2013).
2.3.2 Intensidade sísmica
Para cada sismo existe um valor único de magnitude, porém seus efeitos
podem variar em função de fatores como, por exemplo, a qualidade das
construções, a distância da zona epicentral, características geológicas locais, entre
outros fatores. A intensidade sísmica é uma medida desses danos. Entende-se que
um mesmo sismo irá receber classificações diferentes de intensidades em diferentes
locais, sendo seus efeitos mais severos nas zonas mais próximas aos epicentros.
A primeira escala de intensidades foi desenvolvida em 1833 por Rossi e
Forel. Em 1902 Mercalli e em 1904 Cancani apresentaram suas escalas. Entretanto,
em 1931, Newman e Wood apresentaram a Escala Modificada de Mercalli (MMI) de
uso muito difundido, e que apresenta 12 graduações de intensidade, apresentadas
na TABELA 2.2: (LIMA; SANTOS, 2008).
22
TABELA 2.2 – ESCALA DE INTENSIDADE MODIFICADA DE MERCALLI
Intensidade Descrição
I Imperceptível para as pessoas. Corresponde aos efeitos secundários e de componentes de período longo de grandes terremotos.
II Sentido por pessoas em repouso, em andares altos ou em locais muito favoráveis para isto.
III Sentido no interior de edificações. Objetos suspensos balançam. Vibração similar ao tráfego de caminhões leves. A duração pode ser estimada. Pode ser reconhecido como um terremoto.
IV
Objetos suspensos balançam. Vibração similar ao tráfego de caminhões pesados, ou sensação de impacto similar à de uma bola pesada batendo nas paredes. Carros parados balançam. Janelas, pratos e portas vibram. Vidros estalam. Louças se entrechocam. Na faixa superior da intensidade IV, paredes de madeira e pórticos fissuram.
V
Sentido nas ruas; a direção pode ser estimada. Pessoas acordam. Líquidos são perturbados, alguns são derramados. Pequenos objetos instáveis são deslocados ou derrubados. Portas oscilam, fecham e abrem. Venezianas e quadros movem-se. Relógios de pêndulo param, voltam a funcionar ou alteram o seu ritmo.
VI
Sentido por todos. Muitos se assustam e correm para as ruas. As pessoas andam de forma instável. Janelas, pratos e objetos de vidro são quebrados. Pequenos objetos, livros, etc. caem das estantes. Quadros caem das paredes. A mobília é deslocada ou tombada. Reboco e alvenaria fracos apresentam rachaduras. Pequenos sinos (de igrejas e escolas) tocam. Árvores e arbustos movem-se visivelmente.
VII
Difícil manter-se de pé. Notado pelos motoristas. Objetos suspensos oscilam fortemente. A mobília quebra-se. Danos e rachaduras em alvenaria fraca. Queda de reboco; tijolos, pedras, telhas, cornijas, parapeitos não contraventados e ornamentos arquitetônicos soltam-se. Algumas rachaduras em alvenaria normal. Ondas em reservatórios e água turva com lama. Pequenos escorregamentos e formação de cavidades em taludes de areia ou pedregulho. Sinos grandes tocam. Canais de irrigação de concreto danificados.
VIII
Condução de veículos afetada. Danos e colapso parcial em alvenaria comum. Algum dano em alvenaria sólida e nenhum em alvenaria reforçada. Queda de estuque e de algumas paredes de alvenaria. Torção e queda de chaminés, inclusive as de fábricas, monumentos, torres e tanques elevados. Casas em pórtico movem-se em suas fundações, quando não arrancadas do solo. Pilhas de destroços derrubadas. Galhos quebram-se nas árvores. Mudanças na vazão ou temperatura de fontes. Rachaduras em chão úmido ou taludes íngremes.
IX
Pânico geral. Alvenaria fraca destruída; alvenaria comum fortemente danificada, as vezes com colapso total. Alvenaria sólida seriamente danificada. Danos gerais em fundações. Estruturas em Pórtico, quando não arrancadas, deslocadas em suas fundações. Pórticos rachados. Rachaduras significativas no solo. Em áreas de aluvião, areia e lama arrastadas; criam-se minas d’água e crateras na areia.
Continua
23
TABELA 2.2 – ESCALA DE INTENSIDADE MODIFICADA DE MERCALLI
Continuação
Intensidade Descrição
X
A maioria das alvenarias e estruturas em pórtico destruídas com suas fundações. Algumas estruturas de madeira bem construídas e pontes destruídas. Danos sérios em barragens, diques e taludes. Grandes deslizamentos de terra. Água lançada nas margens de canais, rios, lagos, etc. e Lama lançada horizontalmente em praias e terrenos planos. Trilhos ligeiramente entortados.
XI Trilhos bastantes entortados. Tubulações subterrâneas completamente fora de serviço.
XII Destruição praticamente total. Grandes massas de rocha deslocadas. Linhas de visão e nível distorcidas. Objetos lançados no ar.
FONTE: LIMA E SANTOS (2008, p. 127).
2.3.3 Profundidades
Quanto a profundidade, os sismos podem ser classificados de três formas:
superficiais, intermediários e profundos.
Os superficiais, com profundidade focal inferior a 70km, são responsáveis
por 85% da energia anual liberada pelos sismos. Os intermediários, com
profundidade focal entre 70 e 300km, são responsáveis por cerca de 12% dos
sismos produzidos no globo. E, finalmente, os profundos, com hipocentros
localizados em profundidades superiores a 300km, representam cerca de 3% da
energia sísmica global. (OBSIS, 2015).
2.3.4 Medição sísmica
O sismógrafo é um aparelho que permite converter os movimentos de
vibração do solo em um registro possível de visualização. Este aparelho consiste
num sensor que detecta e mede as ondas sísmicas naturais ou induzidas e permite
determinar, a posição exata do foco (hipocentro) dessas ondas e do ponto de
chegada na superfície terrestre (epicentro).
2.3.5 Sismograma
24
O sismograma é uma representação visual dos movimentos do solo,
produzidos pela conversão do sinal do sismógrafo para um registro temporal do
evento sísmico.
O sismograma de um evento sísmico recebe inúmeros sinais de ondas
sísmicas que percorrem vários percursos diferentes através da Terra, desde a fonte
até o receptor. A FIGURA 2.4 mostra um exemplo de um evento sísmico expresso
em sismograma.
FIGURA 2.4 – EVENTO SÍSMICO EM UM SISMOGRAMA FONTE – Universidade do Algarve (2015)
Como as ondas P são as mais rápidas, elas são as primeiras a chegar,
correspondendo então, à primeira fase do sismograma. A próxima fase é relacionada
com as ondas S, que normalmente tem uma amplitude superior à das ondas P. Na
sequência, chegam as perturbações associadas com as ondas superficiais (ondas
com comprimentos de ondas muito elevados), também caracterizadas por possuírem
uma amplitude mais elevada que a das ondas volumétricas. Dentre as ondas
superficiais, as ondas Love deslocam-se com praticamente a mesma velocidade das
ondas S, chegando mais rapidamente que as ondas Rayleigh.
Uma estação sismográfica deve ser composta por três sismógrafos
diferentes: um sensível às vibrações Norte-Sul, outro às Leste-Oeste e um terceiro
para as vibrações verticais. Com a utilização conjunta desses equipamentos, é
possível determinar a direção e distância do epicentro, a magnitude e o tipo de falha
que gerou o sismo. Atualmente as redes sismográficas interligam várias estações, o
que permite determinar com maior precisão a localização do hipocentro e do
25
epicentro, assim como produzir melhores estimativas de outros parâmetros. (OBSIS,
2015).
2.4 SISMICIDADE BRASILEIRA
O Brasil, por se situar no interior da placa tectônica da América do Sul, uma
região continental mais estável, como mostra a FIGURA 2.5, apresenta uma
sismicidade bem inferior quando comparada com países mais próximos às regiões
de encontro das placas tectônicas, como ocorre com o Chile por exemplo, situado na
zona de contato entre as placas Nazca e Sul-americana, apresentando sismos mais
frequentes e de maiores magnitudes.
FIGURA 2.5 – MAPA DAS PLACAS TECTÔNICAS NA AMÉRICA DO SUL FONTE – USGS (2015)
A sismicidade na América do Sul, de acordo com o instituto de pesquisa U.S.
Geological Survey, apresenta as características reproduzidas na FIGURA 2.6 a
seguir.
26
FIGURA 2.6 – SISMICIDADE NA AMÉRICA DO SUL FONTE – USGS (2006)
FIGURA 2.7 – MAPA DA OCORRÊNCIA DE SISMO NO TERRITÓRIO BRASILEIRO FONTE – OBSIS (2015)
No mapa acima (FIGURA 2.7), nota-se a ausência de sismicidade em
algumas áreas, principalmente nas regiões Sul, Norte e Centro-Oeste, o que não
significa necessariamente que estão ausentes de sismos, podendo inclusive, ter
27
interferência nos resultados devido a instalações tardias de estações sismográficas.
A região Nordeste é a mais afetada e onde se registra a maior atividade sísmica.
Como se pode observar, os sismos de grande magnitude não são frequentes
no Brasil. Isso é bom, contudo, como é pouco frequente, usualmente o efeito dos
sismos não são considerados na hora de se projetar. Assim, caso ocorram eventos
significativos, principalmente em cidades mais populosas, com grande número de
construções, as consequências podem ser desastrosas.
2.5 FALHAS GEOLÓGICAS BRASILEIRAS
Um estudo realizado em 2002, coordenado pelo professor Allaoua Saadi,
ligado à Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), gerou o primeiro Mapa
neotectônico do Brasil. Neste estudo, identificaram-se 48 falhas geológicas mestras
em todo território nacional (FIGURA 2.8), locais onde “nascem” os terremotos. “Hoje,
poderíamos acrescentar algumas outras a esse total, sem falar nas falhas
secundárias”, afirmam Saadi et. al. (2005).
28
FIGURA 2.8 – MAPA DAS PRICIPAIS FALHAS BRASILEIRAS FONTE: APOLO 11 (2011)
29
3 REVISÃO DE ANÁLISE DINÂMICA DAS ESTRUTURAS
Carga dinâmica é aquela que apresenta variação no tempo, seja em sua
magnitude, direção ou posição. Esta variação introduz na estrutura acelerações e
velocidades, além de deslocamentos, gerando como consequência forças de inércia
e de amortecimento. A grande maioria das cargas possíveis de serem consideradas
em estruturas de obras civis tem natureza dinâmica (LIMA; SANTOS, 2008).
Segundo Brasil e Silva (2013) se a aplicação dos esforços apresentam
pequena variação no tempo, é usual não levar em conta o aparecimento de forças
de inércia e por simplificação serem tratadas como estáticas. Caso contrário, deve-
se considerar a necessidade de análise dinâmica em estruturas que, por exemplo,
suportem máquinas e equipamentos, tráfego de veículos, estejam sobre efeito de
vento, sismos, entre outros.
Considerando a forma da variação no tempo, uma carga pode ser
classificada como harmônica, periódica, transiente ou impulsiva. A carga é dita
harmônica quando sua variação no tempo pode ser representada pela função seno
(ou cosseno). Este tipo de carga é característico de máquinas rotativas que
apresentam massa desequilibrada, como turbinas, geradores e bombas centrífugas.
Carga periódica é aquela que apresenta repetições a um intervalo regular de tempo,
chamado periódico. Uma carga que represente as forças geradas por uma máquina
rotativa em operação é também essencialmente periódica. Carga transiente é a que
apresenta variação arbitrária no tempo, sem periodicidade. Vento e terremoto são
exemplos deste tipo de carga. Carga impulsiva é também uma carga transiente, com
a característica de ter uma duração muito curta (LIMA; SANTOS, 2008). Na FIGURA
3.1 é apresentada os tipos característicos de gráficos de cargas dinâmicas
harmônica (item a), periódica (item b), impulsiva (item c) e transiente (item d).
30
FIGURA 3.1 – TIPOS DE CARGA DINÂMICA FONTE – CLOUGH E PENZIEN (2003)
3.1 SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE (SGL)
FIGURA 3.2 – SISTEMA MASSA, MOLA E AMORTECEDOR FONTE – LIMA E SANTOS (2008)
Seja o sistema mostrado na FIGURA 3.2, a massa m está concentrada no
bloco de corpo rígido que é limitada por rodas, de modo que o movimento ocorre
somente por translação simples. Assim o único sistema de coordenada x(t) define a
31
sua posição. A resistência elástica do deslocamento é proporcionada por uma mola
elástica de rigidez k enquanto que a perda de energia do mecanismo é representado
pelo amortecedor de constante c (CLOUGH; PENZIEN, 2003).
Segundo Lima e Santos (2008) a equação do movimento de um sistema de
um grau de liberdade pode ser estabelecido pelo Princípio de d’Alembert
adicionando-se às forças externas aplicadas, uma força fictícia chamada de força de
inércia, proporcional à aceleração e com sentido contrário ao do movimento, sendo a
constante de proporcionalidade igual à massa do sistema. Considerando o diagrama
de corpo livre (DCL) mostrado na FIGURA 3.3, temos que:
)()()()( tFtkxtxctxm =++ &&& (3.1)
FIGURA 3.3 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE FONTE – LIMA E SANTOS (2008)
3.2 SISTEMAS DE MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE
3.2.1 Equação de equilíbrio dinâmico
Neste item é introduzido um estudo apresentado por Lima e Santos (2008)
de um pórtico de três andares sujeitos às forças f1(t), f2(t) e f3(t) aplicadas
(externamente) ao nível dos andares, conforme mostrado na FIGURA 3.4(a).
Considera-se as vigas e pilares sem deformação axial, as vigas apresentam inércia
à flexão infinita e a massa da estrutura é aplicada ao nível dos andares, têm-se um
total três graus de liberdade, que apresentam variações dos deslocamentos no
32
tempo chamadas, respectivamente, de d1(t), d2(t) e d3(t). Por simplificação no que
se segue, os deslocamentos e suas derivadas primeira e segunda em relação à
variável tempo, para a coordenada j são representadas por jd , jd& e jd&& ,
respectivamente. As rigidezes dos andares são denominadas por k1, k2 e k3 e os
coeficientes de amortecimento por c1, c2 e c3. Na EQUAÇÃO (3.4)(b) encontram-se
o DCL da massa 1m , Aplicando a equação de equilíbrio dinâmica da referida massa
tem-se:
)()()( 1221212212111 tfdkdkkdcdccdm =−++−++ &&&& (3.2)
A equação do movimento (EQUAÇÃO (3.2)) é meramente uma expressão
de equilíbrio de forças dada por (CLOUGH; PENZIEN, 2003):
)(tffff jKjDjIj =++ (3.3)
onde, Ijf , Djf , Kjf e jf representam as forças de inércia, de amortecimento, elástica e
externa, respectivamente.
FIGURA 3.4 – PÓRTICO PLANO COM TRÊS ANDARES FONTE – LIMA E SANTOS (2008)
33
Com equação de equilíbrio dinâmico para o pórtico apresentado na FIGURA
3.4, obtém-se o seguinte sistema de equações:
=
−−+−
−+
+
−−+−
−++
)(
)(
)(
0
0
0
0
00
00
00
3
2
1
33
3322
221
33
3322
221
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
tf
tf
tf
d
d
d
kk
kkkk
kkk
d
d
d
cc
cccc
ccc
d
d
d
m
m
m
&
&
&
&&
&&
&&
(3.4)
Ou pode-se demonstrar as matrizes da EQUAÇÃO (3.4) de forma compacta
(LIMA; SANTOS, 2008):
)(~~~~~~~
tfdKdCdM =++ &&& (3.5)
onde ~
M , ~C e
~K são, respectivamente, as matrizes de massa, de amortecimento e
de rigidez e ~d ,
~d& ,
~d&& e )(
~tf os vetores de deslocamentos, velocidades, acelerações
e forças aplicadas, respectivamente. As matrizes ~
M , ~
C e ~K são de ordem n, sendo
n o número de graus de liberdade.
O termo genérico ij
K~
da matriz de rigidez, chamado de coeficiente de rigidez,
representa a força que aparece na direção do grau de liberdade i quando é imposto
um deslocamento unitário na direção do grau de liberdade j, mantendo todos os
demais deslocamentos nulos. O termo genérico ij
M~
da matriz de massa representa
a força na direção do grau de liberdade i quando é imposta uma aceleração unitária
na direção do grau de liberdade j. Já o termo ij
C~
da matriz de amortecimento
representa a força que aparece na direção do grau de liberdade i quando é imposta
uma velocidade unitária na direção do grau de liberdade j.
3.2.2 Sistema não amortecido
34
Particularizando a EQUAÇÃO (3.5) para a situação de um sistema sem
amortecimento, tem-se:
)(~~~~~
tfdKdM =+&& (3.6)
3.2.3 Vibração livre
3.2.3.1 Frequência e modo de vibração natural
Desprezando-se o amortecimento e adotando carregamento nulo, os únicos
movimentos possíveis se devem às condições iniciais de deslocamento (BRASIL;
SILVA, 2013). Deste modo a EQUAÇÃO (3.6) se particulariza para:
0~~~~
=+ dKdM && (3.7)
A solução que representa a vibração livre de um sistema segundo um de
seus modos de vibração, é dada por (LIMA; SANTOS, 2008):
)(~~
tqd jj
φ= (3.8)
onde: j~
φ é um vetor constante que fisicamente representa uma deformada; )(tq j é
uma função harmônica na forma:
)sin()cos()( tBtAtq njjnjjj ωω += (3.9)
sendo:
m
kn =ω (3.10)
35
nω é uma propriedade dinâmica do sistema chamada de frequência circular
expressa em radianos por segundos;
jA e jB representam as constantes de integração determinadas a partir das
condições iniciais do movimento.
Substituindo-se a EQUAÇÃO (3.9) na EQUAÇÃO (3.8) tem-se:
[ ])sin()cos(~~
tBtAd njjnjjj
ωωφ += (3.11)
Substituindo-se a EQUAÇÃO (3.11) na EQUAÇÃO (3.7), obtêm-se:
~~~~~
2 0)( =
+− tqKM jjj
njφϕω (3.12)
A igualdade expressa pela EQUAÇÃO (3.12) pode ser atendida com
0)( =tq j significando a não existência de movimento, não tendo esta solução
interesse para a dinâmica. Outra forma da igualdade a ser atendida é o termo entre
parênteses ser nulo, o que implica na determinação de valores para nj
ω e j~
φ que
satisfaçam à condição da EQUAÇÃO (3.13) (LIMA; SANTOS, 2008):
jjKM
nj~~~~
2 φφω = (3.13)
Ou reescrevendo, tem-se a EQUAÇÃO (3.14):
( )~~~
2
~0=−
jMK
njφω (3.14)
Para que seja possível soluções não triviais, o determinante da matriz entre
colchetes deve ser nulo (BRASIL; SILVA, 2013):
( ) 0det~
2
~=− MK
njω (3.15)
36
O desenvolvimento de EQUAÇÃO (3.15) leva a um polinômio de ordem N,
sendo N o número de graus de liberdade, em relação a 2nj
ω dito polinômio
característico. As N raízes deste polinômio, chamadas de autovalores ou valores
característicos, fornecem as N frequências circulares nj
ω , que podem ser
ordenadas na forma crescente, sendo 1n
ω , a menor delas, conhecida como
frequência circular fundamental e as demais como harmônicos superiores (LIMA;
SANTOS, 2008).
Substituindo-se na EQUAÇÃO (3.14), os valores calculados para as
frequências, por exemplo, nj
ω , calcula-se um vetor j~
φ chamado de auto-vetor ou
modo de vibração natural. Entretanto, não é possível a determinação dos valores
absolutos para as componentes de j~
φ , o que é explicado pelo fato de a condição
imposta pela EQUAÇÃO (3.15) implicar em que o sistema de equações seja
indeterminado (LIMA; SANTOS, 2008).
Para poder calcular os modos correspondentes a cada frequência é
necessário arbitrar uma das componentes. Uma possível forma de fazer isso é fazer
a primeira coordenada de cada modo unitária. Com esse valor admitido, as outras
coordenadas poderão ser determinadas univocamente. Assim , pode-se determinar
os N modos de vibração e colecioná-los numa matriz modal n x n, cujas colunas são
os N modos de vibração livre, não amortecidos, normalizados (BRASIL; SILVA,
2013).
Lima e Santos (2013) apresentam um caso particularmente interessante e
muito utilizado para normalizar os autovetores, definido pela EQUAÇÃO (3.16):
j
T
j
j Mj ~~~
~
~ φφ
φφ = (3.16)
onde: j~
φ representa o autovetor antes da normalização;
T significa transposição.
37
Podem-se determinar os N modos de vibração e colecioná-los numa matriz
modal n x n, cujas colunas são os N modos de vibração livre, não amortecidos,
normalizados (BRASIL; SILVA, 2013).
:
=Φ
NNN
N
,1,
,11,1
~
...
.....
.....
.....
...
φφ
φφ
(3.17)
Os N autovalores podem ser colocados em uma matriz diagonal chamada de
matriz espectral, como (LIMA; SANTOS, 2008):
=
=
2
2
21
~
...0
.....
....
.....
0...
...0
.....
....
.....
0...1
nN
nj
n
N
j
ω
ω
ω
λ
λ
λ
λ (3.18)
Com esta representação a EQUAÇÃO (3.13) pode ser reescrita como:
~~~~~Φ=Φ KM λ (3.19)
3.2.3.2 Ortogonalidade dos modos de vibração
Os modos de vibração livre não amortecidos possuem a propriedade de
serem ortogonais com relação às matrizes de rigidez e de massa (BRASIL; SILVA,
2013). A condição de ortogonalidade, estabelecida para condições de frequências
distintas, isto é njni
ωω ≠ , e sendo I a matriz identidade, é definida pelas seguintes
equações (LIMA; SANTOS, 2008):
38
~~~~IMT =ΦΦ (3.20)
~~~~λ=ΦΦ KT (3.21)
3.2.4 Movimentação da base
Chopra (1995) define a aceleração do solo durante um terremoto como o
melhor modo de representar o efeito de sismos nas estruturas. Através do modelo
de pórtico de três andares, apresentado por Lima e Santos (2008) define-se um
movimento caracterizado por )(tdb , )(tdb& e )(tdb
&& , respectivamente deslocamento,
velocidade e aceleração atuantes na base.
Na determinação das forças elásticas e de amortecimento interessam os
deslocamentos relativos entre andares. Os deslocamentos dos andares em relação
ao da base podem ser escritos como (LIMA; SANTOS, 2008):
{ } bddu 1~~−= (3.22)
onde ~u é o vetor de deslocamento relativos à base e { }1 é um vetor de ordem N com
todos os termos iguais a um. Na EQUAÇÃO (3.22), por simplicidade, foi omitida a
indicação do tempo. Ainda considerando a EQUAÇÃO (3.22), escreve-se:
{ } bddu &&& 1~~
−= (3.23)
{ } bddu &&&&&& 1~~
−= (3.24)
39
FIGURA 3.5 – MOVIMENTAÇÃO DA BASE FONTE – LIMA E SANTOS (2008)
Com o DCL mostrado na FIGURA 3.5 obtém-se as equações de equilíbrio
dinâmico:
0)()()( 111111 =−++−+++ ++++++ iiiiiiiiiibii ukukkucuccdum &&&&&& (3.25)
Generalizando para todas as massas e considerando, a princípio, o sistema
sem amortecimento, esta equação pode ser escrita do seguinte modo:
{ } bdMdKuM &&&& 1~~~~~
−=+ (3.26)
O deslocamento da base pode ser estudado como sendo uma vibração
forçada provocada por forças fictícias, também chamadas de forças efetivas, dadas
por (LIMA; SANTOS, 2008):
{ } bEFET
dMf &&1~~
−= (3.27)
40
As soluções para o problema são, neste caso, obtidas em termos dos
deslocamentos relativos à base, ~u.
Em particular, é de interesse para o engenheiro o máximo deslocamento a
partir do qual se pode calcular a máxima força elástica, obtido de um Espectro de
Projeto ou de Resposta Elástica (BRASIL; SILVA, 2013).
3.3 ESPECTROS DE RESPOSTA
Um gráfico que mostre a resposta máxima, seja em termos de
deslocamentos, velocidades, acelerações ou qualquer outra grandeza, em função do
período natural ou da frequência natural para um SGL, considerando uma
determinada excitação é chamado de espectro de resposta. O período natural,
expresso em segundos, é dado por (LIMA; SANTOS, 2008):
nnT
ωπ2= (3.28)
O inverso do período natural fornece a frequência natural. nω é uma
propriedade dinâmica do sistema chamada de frequência circular expressa em
radianos por segundos.
Conhecido o espectro de resposta de uma dada excitação, a resposta
máxima para um SGL é facilmente determinada desde que conhecido o seu período
natural nT . Entretanto, a informação sobre o instante no tempo onde ocorre a
resposta máxima não fica disponível.
3.3.1 Espectros de resposta para forças
Seja um SGL sujeito a uma força qualquer atuando por um tempo ft . Para
instantes t menores ou iguais ao tempo de aplicação de uma carga ft o movimento
é de vibração forçada e a resposta do sistema pode ser obtida pela integral de
Duhamel a seguir:
41
[ ] ττωτω
τξω dtseneFm
txt
nt
n
n∫ −= −−
0
)( )()(1
)( (3.29)
sendo:
ξ o fator de amortecimento, dado por (BRASIL; SILVA, 2013):
ωξ
mc
2= (3.30)
m = massa;
c= constante de amortecimento;
)(τF é a força impulsiva no instante τ .
Para instantes ftt > o movimento é de vibração livre, para as condições
iniciais tfxx =)0( e tfxx && =)0( a equação é dada por:
)()cos()( tsenx
txtx nn
tnt
f
fω
ωω
&
+=
(3.31)
Para a obtenção do espectro a resposta é calculada, utilizando-se, por
exemplo, a integral de Duhamel, para uma faixa de frequências de interesse, sendo
retida para cada uma daquelas frequências o valor máximo obtido.
Na FIGURA 3.6, como exemplo, reúnem-se os espectros não amortecidos,
em termos do fator de amplificação dinâmica máxima ( maxDA ), para forças com
função retangular (curva a), triangular decrescente (curva b) e parabólica (curva c).
Brasil e Silva (2013) definem a amplificação dinâmica máxima como sendo a
razão entre o deslocamento dinâmico máximo e o deslocamento obtido pela
aplicação estática da amplitude máxima. A EQUAÇÃO (3.32 obtida de Lima e
Santos (2008) exprime esta relação:
2,12
1
ξξ −=MÁXDA (3.32)
42
FIGURA 3.6 – ESPECTROS NÃO AMORTECIDOS FONTE – LIMA E SANTOS (2008)
3.3.2 Espectros de resposta para aceleração da base
Espectros de resposta para aceleração da base são de grande importância
na análise sísmica. A forma mais direta para se obter o espectro de resposta relativo
a um determinado registro sísmico consiste na utilização de um equipamento capaz
de medir a resposta dinâmica ao longo do tempo (por exemplo, a aceleração
absoluta) de um conjunto de osciladores lineares de SGL, caracterizados por um
mesmo valor de amortecimento e diferentes valores de frequência circular de
interesse.
Seja um SGL sujeito ao deslocamento harmônico de sua base. A equação
diferencial do movimento relativo, devido à aceleração da base é dada pela seguinte
equação:
)()()(2)( 2 txtututu bnn&&&&& −=++ ωξω
sendo )(txb&& a aceleração absoluta da base.
(3.33)
Conhecida a aceleração da base e definindo o amortecimento, a EQUAÇÃO
(3.33) pode ser resolvida para vários valores de nω , utilizando qualquer método de
solução para a equação diferencial. Utilizando-se a integral de Duhamel obtém-se:
43
[ ]∫ −= −−t
Dt
bD
dtsenetxtu n
0
)( )()(1
)( ττωω
τξω&& (3.34)
[ ] [ ]∫ −+−−= −−t
DDDnt
bD
ttsenetxtu n
0
)( )(cos)({)(1
)( τωωτωξωω
τξω&&&
(3.35)
sendo Dω a frequência circular amortecida.
Calculados os deslocamentos e velocidades, as acelerações absolutas são
obtidas com o auxílio da EQUAÇÃO (3.33) resultando em:
)()(2)( 2 tututx nn ωξω −−= &&& (3.36)
A parcela )(2 tunω é chamada de pseudo-aceleração e para sistemas
levemente amortecidos é uma boa aproximação da aceleração absoluta, podendo-
se neste caso escrever:
)()( 2 tutx nω−=&& (3.37)
Os valores máximos dos deslocamentos relativos e acelerações absolutas,
respectivamente máxu e máxx&& , são chamados de deslocamentos e acelerações
espectrais, dS e aS . A variação destas grandezas, em função do período natural de
um SGL, constitui-se nos espectros de deslocamentos e aceleração. Considerando a
EQUAÇÂO (3.37) escreve-se a relação:
dna SS 2ω= (3.38)
A pseudo-velocidade espectral é uma velocidade fictícia, que para sistemas
levemente amortecidos e períodos naturais também pequenos, fornece uma boa
aproximação para a velocidade relativa da massa, sendo dada por:
dnv SS ω= (3.39)
44
As forças elásticas máximas podem ser obtidas a partir do deslocamento
espectral ou da aceleração espectral:
adndmáx mSmSkSfs === 2ω (3.40)
Os espectros de resposta de projeto são determinados por meio da
suavização, média ou envoltória de espectros de resposta de terremotos reais,
definidos a partir de uma análise de registros de terremotos significativos ocorridos
na região. Assim, pode-se realizar a aplicação ou extrapolação de um espectro
padronizado para análises de estruturas futuras. Contudo, para cada região pode ser
necessário ajustar o acelerograma. Desta forma, a partir do gráfico de espectro de
projeto, podem-se avaliar os valores máximos de resposta da estrutura a uma gama
de possíveis carregamentos sísmicos para posterior dimensionamento. (PARISENTI,
2011).
A análise por espectro de resposta consiste em se considerar isoladamente
a resposta de cada modo de vibração da estrutura, obtendo-se os valores máximos
de cada modo. Para se obter os valores máximos de resposta da estrutura pode-se
aplicar 3 procedimentos distintos de combinação modal, conforme é apresentado por
CLOUGH e PENZIEN (1995):
• Soma dos valores absolutos das contribuições de cada modo (ABSSUM
– “Absolute Summation”)
• Raiz quadrada da soma dos valores máximos ao quadrado de todos os
modos (SRSS - “Square Root of Sum of Squares”)
• Combinação quadrática completa (CQC – “Complete Quadratic
Combination”)
A soma dos valores absolutos das contribuições de cada modo é um
processo conservador, mas fornece bons resultados para as estruturas em que a
resposta do primeiro modo predomina sobre as demais (PARISENTI, 2011). A
equação é dada por:
∑=
≤N
jNmáx jmáx
EE1
, (3.41)
45
A regra de combinação modal SRSS fornece excelentes estimativas da
resposta para estruturas com frequências naturais bem separadas. Deve-se ter
cuidado na aplicação dessa regra em edifícios com planta assimétrica, pois estas
estruturas podem apresentar frequências naturais muito próximas (PARISENTI,
2011). Conforme apresentado por Lima e Santos (2008), a equação é dada por:
2/1
1
2
,
≅ ∑
=
N
jNmáx imáx
EE (3.42)
A regra de combinação modal CQC é aplicável a uma vasta classe de
estruturas e ultrapassa as limitações da regra SRSS. A estimativa de resposta obtida
pela regra CQC pode ser superior ou inferior à estimativa fornecida pela regra SRSS
(PARISENTI, 2011). Conforme apresentado por Lima e Santos (2008), a equação é
dada por:
2/1
11,,
≅ ∑∑
==
N
jNNij
N
imáx jmáximáx
EEE ρ (3.43)
sendo ijρ o coeficiente de correlação entre os modos i e j. Existem mais de uma
expressão para a sua avaliação. A mais utilizada é atribuída a A. Der Kiureghian
(1981) citada por Lima e Santos (2008):
2222
2/32
)1(4)1(
)1(8
ijijij
ijij rrr
rrij
++−+
=ξ
ξρ (3.44)
onde ξ é o fator constante de amortecimento e nj
niijr
ωω= a relação entre as
frequências circulares naturais dos modos i e j.
46
4 PROJETO DE ESTRUTURAS RESISTENTES A SISMOS CONFOR ME
NORMA BRASILEIRA NBR 15421(2006)
A primeira normalização brasileira com prescrições de procedimentos para
projetos de estruturas resistentes a sismos, a NBR15421, vigora desde Outubro de
2006, complementando as demais normas brasileiras de projeto estrutural.
4.1 DEFINIÇÃO DAS FORÇAS SÍSMICAS DE PROJETO
Para estabelecer os procedimentos a serem adotados na análise sísmica de
uma estrutura, inclusive cargas sísmicas de projeto, a Norma NBR 15421 (2006)
considera a zona sísmica onde a estrutura se localiza, as características do terreno
de fundação, o tipo de ocupação, o sistema estrutural adotado, a regularidade e
ductilidade da estrutura e outros aspectos que serão a seguir comentados.
De acordo com a NBR 8681 (2003), as ações sísmicas devem ser
consideradas como ações excepcionais. As verificações exigidas nos estados limites
de serviço de deformações excessivas, tem o objetivo principal de limitação dos
dados causados pelos sismos às edificações. Defini-se também, os seguintes
coeficientes de ponderação a considerar para efeito de combinações últimas para
ações sísmicas:
• Permanente desfavoráveis: 2,1=gγ
• Variáveis desfavoráveis: 0,1=gγ
• Excepcionais: 0,1=gγ
4.2 ZONEAMENTO SÍSMICO BRASILEIRO
Os valores definidos como característicos para as ações sísmicas, são
aqueles que tem 10% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido
desfavorável, durante um período de 50 anos, o que corresponde a um período de
retorno de 475 anos.
47
Cinco zonas sísmicas são definidas no território brasileiro. No mapa de
zoneamento, consta os valores da aceleração característica de projeto para cada
zona. Para estruturas localizadas nas zonas sísmicas 1 a 3, os valores a serem
considerados para ga podem ser definidos por interpolação nas curvas da FIGURA
4.1.
FIGURA 4.1 – ZONEAMENTO SÍSMICO DO BRASIL FONTE – ABNT NBR 15421:2006
Conforme a NBR 15421:2006, estruturas projetadas nas zonas sísmicas 0 e
1 classificam-se como categoria sísmica “A”, edificações localizadas na zona 2 são
classificadas como categoria sísmica “B”, e nas zonas sísmicas 3 e 4 como categoria
“C”.
Para efeito de análise de estruturas, quando a edificação estiver localizada
na zona 0, nenhum requisito de resistência anti-sísmica é exigido. Estruturas
localizadas na zona 1 devem apresentar sistemas estruturas resistentes às forças
48
sísmicas horizontais e mecanismos de resistência de torção para um valor de força
sísmica igual a:
XX WF ⋅= 01,0 (4.1)
XW é o peso total da estrutura correspondente ao piso x, incluindo cargas
operacionais fixas e reservatórios de água e, em casos de áreas de armazenamento
e estacionamento, 25% desse valor deve ser considerado.
Estruturas classificadas nas categorias sísmicas B ou C podem ser
analisadas por um dos seguintes métodos prescritos na NBR 15421 (2006).
• Forças horizontais equivalentes;
• Resposta espectral;
• Análise dinâmica no domínio do tempo com aceleração ao longo do
tempo de sismos aplicada nos apoios da estrutura.
4.3 DEFINIÇÃO DA CLASSE DO TERRENO
Quando da ocorrência de um sismo, é constatado que seus efeitos locais
dependem das características de rigidez e amortecimento das camadas superficiais
do terreno. Terrenos mais fracos tendem a amplificar as ondas sísmicas. A Norma
NBR 15421 (2006) leva em conta estes efeitos de forma aproximada, através de
fatores que são aplicados a um espectro de projeto básico, de forma a considerar as
especificidades dos terrenos de fundação.
Os terrenos de fundação podem ser categorizados em seis Classes,
associados aos valores numéricos de parâmetros médios de resistência avaliados
nos 30m superiores do terreno, conforme a TABELA 4.1 a seguir.
A velocidade média de propagação da onda de cisalhamento sV no terreno
é o parâmetro preferencial nesta classificação. Quando esta velocidade não for
conhecida, será permitida a classificação do terreno a partir do número médio de
golpes N no ensaio SPT.
49
As classes de rocha A e B, não podem ser consideradas se houver uma
camada superficial de solo superior a 3m. Neste caso, devem ser categorizados de
acordo com as propriedades desta camada superficial.
TABELA 4.1 – DEFINIÇÃO DA CLASSE DO TERRENO
Classe do
terreno
Designação da classe do terreno
Propriedades médias para os 30m superiores do terreno
sV N
A Rocha sã smVs /1500≥ (não aplicável)
B Rocha smVsm s /760/1500 ≥≥ (não aplicável)
C Rocha alterada ou solo muito
rígido smVsm s /370/760 ≥≥ 50≥N
D Solo rígido smVsm s /180/370 ≥≥ 1550 ≥≥ N
E Solo mole smVs /180≤ 15≤N
- Qualquer perfil, incluindo camada com mais de 3m de argila mole
F -
Solo exigindo avaliação específica, como:
1. solos vulneráveis à ação sísmica, como solos liquefazíveis, argilas muito sensíveis e solos colapsíveis fracamente cimentados;
2. turfa ou argilas muito orgânicas;
3. argilas muito plásticas;
4. estratos muito espessos (≥35m) de argila mole ou média.
FONTE: ABNT NBR 15421:2006
Para solos estratificados, os valores médios sV e N são obtidos em função
destes mesmos valores siV e iN nas diversas camadas i, através das EQUAÇÕES
(4.2) e (4.3), em que id é a espessura de cada uma das camadas do subsolo:
∑
∑
=
== n
i si
i
n
ii
s
vd
dV
1
1 (4.2)
50
∑
∑
=
== n
i i
i
n
ii
Nd
dN
1
1 (4.3)
4.4 DEFINIÇÃO DAS CATEGORIAS DE UTILIZAÇÃO
Para o efeito da classificação da edificação quanto a sua utilização, com o
objetivo de proteger as estruturas cujas funcionalidades são essenciais para a
preservação da vida humana, ou que afetem um grande contingente de pessoas, a
norma definiu três categorias e os respectivos valores de fator de importância para
garantir a proteção dessas edificações.
• Categoria III: fator I = 1,5 para estruturas essenciais (instituições de
saúde, bombeiros, centros de coordenação, instalações de gerações de
energia, estações de tratamento...);
• Categoria II: fator I = 1,25 para estruturas de importância substancial
para a preservação da vida humana no caso de ruptura, locais com
grandes ocupações (escolas, postos de saúde, penitenciária, estruturas
com mais de 5000 ocupantes, instalações contendo substâncias
químicas);
• Categoria I: fator I = 1,0 para todas as estruturas não classificadas como
de categoria II ou III.
4.5 DEFINIÇÃO DOS ESPECTROS DE RESPOSTA DE PROJETO
As solicitações sísmicas básicas são definidas a partir dos espectros de
projeto. O espectro de resposta de projeto, )(TSa , segundo a Norma NBR 15421
(2006), para acelerações horizontais, corresponde a resposta elástica de um sistema
de um grau de liberdade com uma fração de amortecimento crítico igual a 5%. O
espectro é constituído a partir das acelerações espectrais 0gsa e 1gsa , definidas a
seguir para os períodos de 0,0s e 1,0s, respectivamente, a partir da aceleração
51
sísmica de projeto ga e da classe do terreno, de acordo com as EQUAÇÕES (4.4) e
(4.5):
gags aCa .0 = (4.4)
gvgs aCa .1 = (4.5)
onde aC e vC são fatores de amplificação sísmica no solo, para os períodos de 0,0s
e 1,0s, respectivamente, definidos na TABELA 4.2 em função da aceleração básica
de projeto ga e da classe do terreno. T é o período próprio (em s), associado a cada
um dos modos de vibração da estrutura. O espectro de resposta de projeto é
considerado como aplicado à base da estrutura.
TABELA 4.2 – DEFINIÇÃO DOS FATORES aC E vC DE AMPLIFICAÇÃO SÍSMICA NO SOLO
Classe do terreno
aC vC
gag 10,0≤
gag 15,0=
gag 10,0≤
gag 15,0=
A 0,8 0,8 0,8 0,8
B 1,0 1,0 1,0 1,0
C 1,2 1,2 1,7 1,7
D 1,6 1,5 2,4 2,2
E 2,5 2,1 3,5 3,4
FONTE: LIMA E SANTOS (2008)
Para valores de 0,01g a 0,15g de ga , os valores de aC e vC podem ser
obtidos por interpolação linear. Para a classe do terreno F, um estudo específico de
amplificação no solo deverá ser elaborado.
O espectro de resposta de projeto, )(TSa , é expresso graficamente na
FIGURA 4.2.
FIGURA 4.2 – ESPECTRO DE RESPOSTA DE PROJETO EM FUNÇÃO DO PERÍODOFONTE – ABNT NBR 15421:2006
4.6 MÉTODO DAS FORÇAS HORIZONTAIS EQUIVALENTES
No método das forças horizontais
representada por um conjunto de forças estáticas proporcionais às cargas
gravitacionais atuantes na estrutura.
A força cortante total na base da estrutura, em uma dada direção, é
determinada de acordo com a expressão:
WCH s=
onde W é o peso total da estrutura, considerando todas as cargas permanentes,
incluindo o peso operacional de equipamentos fixados na estrutura e dos
reservatórios de água. Em áreas de armazenamento e estacionamento 25% de
carga acidental deve ser incluída.
como:
ESPECTRO DE RESPOSTA DE PROJETO EM FUNÇÃO DO PERÍODOABNT NBR 15421:2006
MÉTODO DAS FORÇAS HORIZONTAIS EQUIVALENTES
No método das forças horizontais equivalentes, a ação sísmica é
representada por um conjunto de forças estáticas proporcionais às cargas
gravitacionais atuantes na estrutura.
A força cortante total na base da estrutura, em uma dada direção, é
determinada de acordo com a expressão:
é o peso total da estrutura, considerando todas as cargas permanentes,
incluindo o peso operacional de equipamentos fixados na estrutura e dos
reservatórios de água. Em áreas de armazenamento e estacionamento 25% de
carga acidental deve ser incluída. sC é o coeficiente de resposta sísmica, definido
52
ESPECTRO DE RESPOSTA DE PROJETO EM FUNÇÃO DO PERÍODO
equivalentes, a ação sísmica é
representada por um conjunto de forças estáticas proporcionais às cargas
A força cortante total na base da estrutura, em uma dada direção, é
(4.6)
é o peso total da estrutura, considerando todas as cargas permanentes,
incluindo o peso operacional de equipamentos fixados na estrutura e dos
reservatórios de água. Em áreas de armazenamento e estacionamento 25% de
é o coeficiente de resposta sísmica, definido
53
( )( )IR
gaC gs
s /
/5,2 0= (4.7)
O fator de importância de utilização I é definido conforme o item 4.5. A
norma reconhece diversos tipos de sistemas estruturais padronizados, alguns dos
quais estão listados na TABELA 4.3. Também estão definidos nesta tabela os
coeficientes de modificação de resposta R e os coeficientes de amplificação de
deslocamentos dC que será utilizado na EQUAÇÂO (4.15) do item 4.9.
TABELA 4.3 – COEFICIENTES DE PROJETO PARA ALGUNS DOS SISTEMAS BÁSICOS SISMO-RESISTENTES
Sistema básico sismo-resistente
Coeficientes
R dC
Pilares-parede de concreto com detalhamento usual 4 4
Pórticos de concreto com detalhamento usual 3 2,5
Pórticos de aço momento-resistente com detalhamento usual 3,5 3
Pórticos de aço contraventados em treliças, com detalhamento usual 3,25 3,25
Sistema dual, composto de pórticos com detalhamento usual e pilares-parede de concreto com detalhamento usual
4,5 4
Estruturas do tipo pêndulo invertido e sistemas de colunas em balanço 2,5 2,5
FONTE: ADAPTADO DE LIMA E SANTOS (2008)
O coeficiente de resposta sísmica deve ficar compreendido entre os valores
abaixo:
máximoss CC ,01,0 ≤≤ (4.8)
( )( )IRT
gaC gs
máximos /
/1, = (4.9)
O período natural da estrutura T pode ser avaliado pela expressão abaixo:
54
upa CTT ×≤ (4.10)
sendo: xnTa hCT ×= (4.11)
onde aT é o período natural aproximado da estrutura, que leva em conta as
características mecânicas e de massa; TC (coeficiente de período da estrutura) e x
são definidos na TABELA 4.4; upC é o coeficiente de limitação do período, função da
zona sísmica à qual a estrutura em questão pertence, definido na TABELA 4.5; nh é
a altura em metros da estrutura acima da base.
TABELA 4.4 – CÁLCULO APROXIMADO DO PERÍODO FUNDAMENTAL DA ESTRUTURA
0724,0=TC e
8,0=x
para estruturas em que as forças sísmicas horizontais são 100% resistidas por pórticos de aço momentos-resistentes, não sendo estes ligados a sistemas mais rígidos que impeçam sua livre deformação quando submetidos à ação sísmica;
0466,0=TC e
9,0=x
para estruturas em que as forças sísmicas horizontais são 100% resistidas por pórticos de concreto, não sendo estes ligados a sistemas mais rígidos que impeçam sua livre deformação quando submetidos à ação sísmica;
0731,0=TC e
75,0=x
para estruturas em que as forças sísmicas horizontais são resistidas em parte por pórticos de aço contraventados com treliças;
0488,0=TC e
75,0=x
para todas as outras estruturas.
FONTE: NBR 15421:2006
TABELA 4.5 – COEFICIENTE DE LIMITAÇÃO DO PERÍODO
ZONA SÍSMICA COEFICIENTE DE LIMITAÇÃO DO PERÍODO ( upC )
ZONA 2 1,7
ZONA 3 1,6
ZONA 4 1,5
FONTE: NBR 15421:2006
55
4.6.1 Distribuição vertical das forças sísmicas
A força horizontal total na base (H) deve ser distribuída verticalmente entre
as várias elevações da estrutura, de forma que, em cada elevação x, seja aplicada
uma força xF definida de acordo com a expressão:
HCF vxx = (4.12)
sendo:
∑=
= n
i
kii
kxx
vx
hW
hWC
1
(4.13)
onde:
vxC : é o coeficiente de distribuição vertical;
iW ou xW : parcelas do peso efetivo total;
ih ou xh : altura entre a base e as elevações;
n : é o número total de andares da edificação;
k : expoente de distribuição, relacionado ao período natural da estrutura T:
• Para estruturas com período inferior a 0,5s, k=1;
• Para estruturas com períodos entre 0,5s e 2,5s, k=(T+1,5)/2;
• Para estruturas com período superior a 2,5s, k=2.
4.7 MÉTODOS DINÂMICOS
Os métodos dinâmicos podem ser aplicados seguindo dois procedimentos:
análise por espectro de resposta e análise com histórico no tempo.
4.7.1 Análise por espectro de resposta
56
O item 4.5 define os espectros de resposta de acordo com a Norma NBR
15421 (2006). A FIGURA 4.2 expressa graficamente esta definição.
Na análise espectral, todos os modos que tenham contribuição significativa
na resposta da estrutura devem ser considerados na determinação desta resposta.
Para tanto, a norma exige que o número de modos usado para cálculo da resposta
seja suficiente para capturar ao menos 90% da massa total em cada uma das
direções ortogonais consideradas na análise.
4.7.1.1 Combinação das respostas modais
Os espectros de projeto devem ser aplicados nas direções ortogonais
analisadas. Quando os espectros forem aplicados na direção vertical suas
ordenadas deverão corresponder a 50% das correspondentes na direção horizontal.
Todas as respostas modais em termos de forças, momentos de reações de
apoio devem ser multiplicadas pelo fator RI / , de forma a considerar estes dois
fatores.
Todas as respostas obtidas em termos de deslocamentos absolutos e
relativos devem ser corrigidas, multiplicando-as pelo fator RCd / .
As respostas elásticas finais poderão ser combinadas pelas regras definidas
no item 3.3.2. O critério da combinação quadrática completa (CQC) deve ter
preferência, por fornecer as respostas mais precisas.
Com relação às respostas elásticas devidas aos sismos aplicados em
diferentes direções ortogonais, as respostas finais deverão ser combinadas através
da soma dos quadrados das respostas obtidas em cada uma das direções.
4.7.1.2 Verificação das forças obtidas
A Norma exige uma verificação das forças obtidas pelo processo espectral,
por comparação com as mesmas forças obtidas pelo método das forças horizontais
equivalentes.
A força horizontal total na base da estrutura H deverá ser determinada em
cada uma das duas direções horizontais, pelo método das forças horizontais
equivalentes, conforme descrito no item 4.6. Caso a força horizontal total na base tH
57
determinada pelo processo espectral em uma direção, for inferior a H85,0 , todas as
forças elásticas obtidas nesta direção devem ser multiplicadas por tHH /85,0 . Esta
correção não precisará ser aplicada no cálculo dos deslocamentos.
4.7.2 Análise com históricos de acelerações
A análise com históricos de acelerações no tempo deverá consistir da
análise dinâmica de um modelo estrutural, submetido a históricos de acelerações no
tempo (acelerogramas) aplicados à sua base, conforme detalhado no item 3.2.4. Os
históricos de acelerações deverão ser compatíveis com os espectros de projeto
definidos para a estrutura.
4.7.2.1 Requisitos para os acelerogramas
As análises consistirão na aplicação simultânea de um conjunto de
acelerogramas, independentes entre si, nas direções ortogonais relevantes para
cada estrutura.
Os acelerogramas poderão ser registros de eventos reais, compatíveis com
as características sismológicas do local da estrutura, ou poderão ser acelerogramas
gerados artificialmente. Os acelerogramas a serem aplicados deverão ser afetados
de um fator de escala, de forma que os espectros de resposta na direção
considerada, para o amortecimento de 5%, tenham valores médios não inferiores
aos do espectro de projeto para uma faixa entre 0,2T e 1,5T, sendo T o período
fundamental da estrutura nesta direção. Ao menos três conjuntos de acelerogramas
deverão ser considerados na análise.
4.7.2.2 Definição dos efeitos finais da análise
Para cada acelerograma analisado, as respostas obtidas em termos de
forças, momentos e reações de apoio devem ser multiplicadas pelo fator RI / .
Nenhuma correção é necessária para os deslocamentos obtidos.
58
A Norma exige uma verificação das forças obtidas pelo processo de análise
com históricos de aceleração no tempo, por comparação com as mesmas forças
obtidas pelo método das forças horizontais equivalentes. A força horizontal total na
base da estrutura H deverá ser determinada pelo método das forças horizontais
equivalentes, conforme descrito no item 4.6 mas usando o valor de 01,0=sC . Caso
a força horizontal máxima na base tH , obtida com um determinado acelerograma,
for inferior a H , todas as forças elásticas nesta direção, com este acelerograma,
devem ser multiplicadas por tHH / .
Os efeitos estruturais finais obtidos na análise corresponderão à envoltória
dos efeitos estruturais máximos obtidos com cada um dos conjuntos de
acelerogramas considerados.
4.8 CONSIDERAÇÃO DA TORÇÃO
O projeto deverá incluir um momento de torção nos pisos causado pela
excentricidade dos centros de massa relativamente aos centros de rigidez ( tM -
momento de torção inerente), acrescido de um momento torsional acidental ( taM ).
Este será determinado considerando-se um deslocamento de centro de massa, em
cada direção, igual a 5% da dimensão da estrutura paralela ao eixo perpendicular à
direção de aplicação das forças horizontais. Quando houver aplicação simultânea de
forças horizontais nas duas direções, bastará considerar o momento acidental na
direção mais crítica.
Nos casos das estruturas de categoria sísmica C, onde exista irregularidade
estrutural no plano do Tipo 1 (Irregularidade de torção, definida quando em uma
elevação, o deslocamento relativo de pavimento em uma extremidade da estrutura,
avaliado incluindo a torção acidental, medido transversalmente a um eixo, é maior do
que 1,2 vezes a média dos deslocamentos relativos de pavimento nas duas
extremidades da estrutura, ao longo do eixo considerado. Os requisitos associados à
irregularidade de torção não se aplicam no caso em que o diafragma é classificado
como flexível) o deslocamento, os momentos torsionais acidentais taM , em cada
elevação, devem ser multiplicados pelo fator de amplificação de torção ( xA ), definido
pela EQUAÇÃO (4.14), a seguir.
59
0,32,1
2
max ≤
⋅=
avgxA
δδ
(4.14)
onde máxδ é o deslocamento horizontal máximo em uma direção, na elevação x em
questão; avgδ é a média dos deslocamentos na mesma direção.
4.9 LIMITAÇÕES DE DESLOCAMENTOS
Os deslocamentos absolutos xδ em uma elevação x, avaliadas em seu
centro de massa, devem ser determinadas pela seguinte expressão:
I
C xedx
δδ .= (4.15)
onde dC é o coeficiente de amplificação de deslocamentos, definido na TABELA 4.3;
xeδ é o deslocamento determinado em uma análise estática utilizando as forças
sísmicas (EQUAÇÃO (4.12)) e I é o fator de importância de utilização definido no
item 4.4.
Os deslocamentos relativos dos pavimentos x∆ podem ser determinados
como a diferença entre os deslocamentos absolutos nos centros de massa xδ nas
elevações acima e abaixo do pavimento em questão, sendo limitados ao valores
máximos definidos na TABELA 4.6. A variável sxh é a distância entre as elevações
imediatamente acima e abaixo do pavimento em questão.
TABELA 4.6 – LIMITAÇÃO PARA DESLOCAMENTOS RELATIVOS DE PAVIMENTO ( x∆ )
Categoria de utilização
I II III
sxh×020,0 sxh×015,0 sxh×010,0
FONTE: LIMA E SANTOS (2008)
60
5 ESTUDO DE CASO
O estudo deste trabalho consiste na análise de três edifícios residenciais
hipotéticos com geometrias diferentes (LxL, 2LxL e 4LxL) localizados na cidade de
Rio Branco, no estado do Acre. Cada edifício contém quinze pavimentos. Para
análise dos esforços sísmicos nas estruturas, foi utilizado o Método de Forças
Horizontais Equivalentes.
Todas as estruturas foram avaliadas considerando-se pilares com seção
transversal quadrada típica de 0,4m de lado; vigas com seção transversal retangular
de 0,2m por 0,5m; lajes quadradas com 5,0x5,0x0,1m; pé direito de 3,0m e todos os
vãos entre pilares iguais a 5,0m, de modo com que o peso total das estruturas não
apresentassem grandes variações.
O concreto armado utilizado em todas as estruturas possui módulo de
elasticidade igual a 2,76x10^7 kN/m² e massa específica igual a 25 kN/m³. Não foi
considerado elementos de vedação e revestimento.
A estrutura 01, representada pela FIGURA 5.1, corresponde a um edifício
simétrico com dimensões de 30x30m, composto por 49 pilares por pavimento.
FIGURA 5.1 – PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 01 FONTE – O AUTOR
61
A estrutura 02, representada pela FIGURA 5.2, corresponde a um edifício
com dimensões de 40x20m, composto por 45 pilares por pavimento.
FIGURA 5.2 – PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 02 FONTE – O AUTOR
A estrutura 03, representada pela FIGURA 5.3, corresponde a um edifício
com dimensões de 60x15m, composto por 52 pilares por pavimento.
FIGURA 5.3 – PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 03 FONTE – O AUTOR
O Zoneamento sísmico brasileiro foi definido utilizando-se a FIGURA 4.1:
Zona 4, gag 15,0= ;
Classe do terreno E (TABELA 4.1);
Categoria de utilização I→ , com respectivo Fator igual a 1,0 (item 4.4.);
62
Fatores de amplificação sísmica 1,2=aC e 4,3=vC definidos na tabela
TABELA 4.2 , para Classe do terreno E e gag 15,0= ;
Coeficiente de modificação de resposta 0,3=R e coeficiente de amplificação
de deslocamentos 5,2=dC definidos na TABELA 4.3, para pórticos de concreto com
detalhamento usual;
5.1 DETERMINAÇÃO DO PERÍODO
O cálculo do período natural aproximado ( aT ) é dado pela EQUAÇÃO (4.11);
TC e X são definidos na TABELA 4.4; nh é a altura em metros da estrutura acima da
base; upC é definido na TABELA 4.5; A extração dos primeiros modos de vibração foi
realizada através do programa ANSYS, como mostra a TABELA 5.1, obtendo-se o
período natural máximo (T), correspondente ao primeiro modo de vibração.
Conforme a EQUAÇÂO (4.10), T não deve ser maior que upa CT × .
Exemplo de cálculo para a estrutura 3:
xnTa hCT ×= (4.11)
sTa 433,1450466,0 9,0 =×=
upa CTT ×≤ (4.10)
sCT upa 15,21495,25,1433,1 ≈=×=×
15,6=T s (obtido por extração modal pelo programa ANSYS)
sTADOTADO 15,215,215,6 =→>
63
Os primeiros modos de vibração extraídos no programa ANSYS e os
respectivos períodos adotados para as Estruturas 1, 2 e 3 são apresentadas na
tabela a seguir:
TABELA 5.1 – PRIMEIROS MODOS DE VIBRAÇÃO DAS ESTRUTURAS
ESTRUTURA 1 2 3
MODOS FREQ. (Hertz)
PERÍODO (s)
FREQ. (Hertz)
PERÍODO (s)
FREQ. (Hertz)
PERÍODO (s)
1 0,17038 5,87 0,16656 6,00 0,16265 6,15
2 0,17038 5,87 0,17548 5,70 0,18039 5,54
3 0,5165 1,94 0,50606 1,98 0,49558 2,02
4 0,5165 1,94 0,5308 1,88 0,54568 1,83
5 0,88398 1,13 0,87215 1,15 0,86003 1,16
6 0,88398 1,13 0,90513 1,10 0,92737 1,08
7 12.649 0,00 12.507 0,00 12.356 0,00
FONTE: O AUTOR
Os valores adotados e os resultados dos cálculos para o período das
Estruturas 1, 2 e 3 estão apresentados na TABELA 5.2.
TABELA 5.2 – PERÍODO DAS ESTRUTURAS
ESTRUTURA
X T
1 45 0,0466 0,9 5,87 1,43 1,5 2,15 2,15
2 45 0,0466 0,9 6,00 1,43 1,5 2,15 2,15
3 45 0,0466 0,9 6,15 1,43 1,5 2,15 2,15
FONTE: O AUTOR
5.2 DETERMINAÇÃO DO PESO TOTAL DA ESTRUTURA
nh TC aT upC upa CT × ADOTADOT
64
Para obter o peso total da estrutura calculou-se primeiramente o volume de
concreto de cada elemento (pilar, viga e laje):
CLhV ××=
sendo:
h: altura da seção transversal
L: largura da seção transversal
C: comprimento
Multiplica-se o volume de cada elemento pelo peso específico do concreto
armado ²/25 mkNconc =γ .
O Peso total de um único pavimento ( )Σ é igual ao somatório do peso total
de todos os elemento do pavimento.
³464,09,24,04,0 mVpilar =××=
kNPilarDoPeso 6,1125464,0 =×=
³5,21,00,50,5 mVlaje =××=
kNLajeDaPeso 5,62255,2 =×=
³46,06,45,02,0 mVviga =××=
kNVigaDaPeso 5,112546,0 =×=
Exemplo de cálculo para a estrutura 3:
kNWpavimentodototaldoPeso x 7,3853875,11365,62526,11)( =×+×+×=
65
O peso da estrutura (W ) é igual ao peso total dos elementos de um único
pavimento vezes o número de pavimentos:
kNpavimentosWW x 5,5780515 =×=
Os valores adotados e os resultados dos cálculos do peso de um único
pavimento para as estruturas 1, 2 e 3 estão apresentados nas TABELAS 5.3, 5.4 e
5.5 respectivamente.
TABELA 5.3 – PESO DOS ELEMENTOS DE UM ÚNICO PAVIMENTO DA ESTRUTURA 1
h (m) L (m) C (m) V (m³) Peso (kN) Quantidade Peso Total
(kN)
Pilar 0,4 0,4 2,9 0,464 11,6 49 568,4
Viga 0,5 0,2 4,6 0,46 62,5 36 2250
Laje 0,1 5 5 2,5 11,5 84 966
xW 3784,4
FONTE: O AUTOR
TABELA 5.4 – PESO DOS ELEMENTOS DE UM ÚNICO PAVIMENTO DA ESTRUTURA 2
h (m) L (m) C (m) V (m³) Peso (kN) Quantidade Peso Total
(kN)
Pilar 0,4 0,4 2,9 0,464 11,6 45 522
Viga 0,5 0,2 4,6 0,46 62,5 32 2000
Laje 0,1 5 5 2,5 11,5 76 874
xW 3396
FONTE: O AUTOR
66
TABELA 5.5 – PESO DOS ELEMENTOS DE UM ÚNICO PAVIMENTO DA ESTRUTURA 3
h (m) L (m) C (m) V (m³) Peso (kN) Quantidade Peso Total
(kN)
Pilar 0,4 0,4 2,9 0,464 11,6 52 603,2
Viga 0,5 0,2 4,6 0,46 62,5 36 2250
Laje 0,1 5 5 2,5 11,5 87 1000,5
xW 3853,7
FONTE: O AUTOR
Na TABELA 5.6 estão apresentados os resultados do peso total (W ) para as
estruturas 1, 2 e 3.
TABELA 5.6 – PESO DA ESTRUTURA
ESTRUTURA 1 2 3
xW (kN) 3784,4 3396 3853,7
W (kN) 56766 50940 57805,5
FONTE: O AUTOR
5.3 CÁLCULO DA FORÇA HORIZONTAL TOTAL NA BASE
A força horizontal total na base da estrutura, calculado pelo método das
forças horizontais equivalentes é dada por:
gags aCa .0 = (4.4)
ggags 315,015,01,20 =×=
( )( ) 2625,0
/
/5,2 0 ==IR
gaC gs
s (4.7)
67
( )( ) 2625,0
0,1/0,3/315,05,2 == gg
Cs
gvgs aCa .1 = (4.5)
ggags 51,015,0.4,31 ==
( )( )IRT
gaC gs
máximos /
/1, = (4.9)
T neste caso refere-se a ADOTADOT obtido no item 5.1.
( )( ) 0,07908
0,1/0,315,2/51,0
, == ggC máximos
máximoss CC ,01,0 ≤≤ (4.8)
0,079080,262501,0 ><
0,07908; =ADOTADOSC
WCH s= (4.6)
kNH 4,45715,578050,079083 =×=
5.4 DISTRIBUIÇÃO VERTICAL DA FORÇA HORIZONTAL TOTAL
A força horizontal total na base (H) deve ser distribuída entre as várias
elevações de acordo com as EQUAÇÕES (4.12) e (4.13). Também deve-se
considerar um momento de torção nos pisos causados pela excentricidade dos
centros de massa relativamente aos centros de rigidez ( taM ), assumindo um
deslocamento de centro de massa igual a 5% na direção considerada. Ainda,
68
segundo a Norma NBR 15421 (2006), a direção de aplicação das forças sísmicas na
estrutura deve ser a que produz o efeito mais crítico. Para isto foi aplicado um
binário nos pórticos extremos, com forças de sinais contrários e de valor numérico
igual a Fx/20, correspondente ao momento causado pelas forças vezes o
deslocamento de centro de massa assumido de 5%.
Exemplo de cálculo de xF e taM para o primeiro pavimento da estrutura 3:
∑=
= n
i
kii
kxx
vx
hW
hWC
1
(4.13)
xW é igual a 3853,7 kN, calculado no 5.2;
xh é a altura entre a base e as elevações. A distância da base da estrutura
para a o primeiro pavimento é igual a 3,0 m;
No item 0 definiu-se [ ]2/)5,1( += Tk . T , neste caso, refere-se a
sTADOTADO 15,2= (calculado no item 5.1)
83,12
)5,115,2( =+=k
mhkx 46675,73 83,1 ==
mkNhW kxx .63,287740,37,3853 83,1 =×=
Para calcular vxC do primeiro pavimento é necessário obter o somatório de
kxxhW para cada elevação. Na TABELA 5.9, ∑
=
n
i
kiihW
1
é igual a 23739335,07 kN.m.
00121,0 723739335,0
37,3853 15,1
=×=vxC
=H 4022,13 obtido conforme o exemplo do item 5.3.
69
kNHCF vxx 54,54,457100121,0 =×==
kNF
M xta 28,0
2054,5
20===
Nas TABELAS 5.7, 5.8 e 5.9, são apresentados os valores de xF e 20/xF
para cada pavimento das estruturas 1, 2 e 3.
TABELA 5.7 – DISTRIBUIÇÃO DA FORÇA VERTICAL - ESTRUTURA 1
PAVIMENTO xW
(KN)
xh
(m) k
kxh (m)
kxxhW
(kN.m) vxC Fx
(KN) Fx/20 (KN)
1 3784,40 3,00 1,83 7,47 28257,19 0,001 5,44 0,27
2 3784,40 6,00 1,83 26,55 100464,78 0,004 19,35 0,97
3 3784,40 9,00 1,83 55,75 210989,49 0,009 40,63 2,03
4 3784,40 12,00 1,83 94,38 357189,52 0,015 68,78 3,44
5 3784,40 15,00 1,83 141,99 537333,65 0,023 103,47 5,17
6 3784,40 18,00 1,83 198,22 750145,86 0,032 144,45 7,22
7 3784,40 21,00 1,83 262,82 994622,65 0,043 191,53 9,58
8 3784,40 24,00 1,83 335,57 1269941,18 0,054 244,55 12,23
9 3784,40 27,00 1,83 416,29 1575406,82 0,068 303,37 15,17
10 3784,40 30,00 1,83 504,81 1910420,33 0,082 367,88 18,39
11 3784,40 33,00 1,83 601,01 2274456,02 0,098 437,98 21,90
12 3784,40 36,00 1,83 704,75 2667046,64 0,114 513,58 25,68
13 3784,40 39,00 1,83 815,92 3087772,28 0,132 594,60 29,73
14 3784,40 42,00 1,83 934,43 3536252,24 0,152 680,96 34,05
15 3784,40 45,00 1,83 1060,18 4012138,66 0,172 772,60 38,63
∑=
=n
i
kiihW
1
23312437,3 ==∑=
HFn
ix
1
4489,2
FONTE: O AUTOR
70
TABELA 5.8 – DISTRIBUIÇÃO DA FORÇA VERTICAL - ESTRUTURA 2
PAVIMENTO xW
(KN)
xh
(m) k
kxh (m)
kxxhW
(kN.m) vxC Fx (KN) Fx/20 (KN)
1 3396,00 3,00 1,83 7,47 25357,10 0,001 4,88 0,24
2 3396,00 6,00 1,83 26,55 90153,89 0,004 17,36 0,87
3 3396,00 9,00 1,83 55,75 189335,25 0,009 36,46 1,82
4 3396,00 12,00 1,83 94,38 320530,50 0,015 61,72 3,09
5 3396,00 15,00 1,83 141,99 482186,10 0,023 92,85 4,64
6 3396,00 18,00 1,83 198,22 673157,00 0,032 129,63 6,48
7 3396,00 21,00 1,83 262,82 892542,68 0,043 171,87 8,59
8 3396,00 24,00 1,83 335,57 1139604,76 0,054 219,45 10,97
9 3396,00 27,00 1,83 416,29 1413719,90 0,068 272,24 13,61
10 3396,00 30,00 1,83 504,81 1714350,34 0,082 330,13 16,51
11 3396,00 33,00 1,83 601,01 2041024,38 0,098 393,03 19,65
12 3396,00 36,00 1,83 704,75 2393322,69 0,114 460,87 23,04
13 3396,00 39,00 1,83 815,92 2770868,48 0,132 533,58 26,68
14 3396,00 42,00 1,83 934,43 3173320,10 0,152 611,08 30,55
15 3396,00 45,00 1,83 1060,18 3600365,42 0,172 693,31 34,67
∑=
=n
i
kiihW
1
20919838,57 ==∑=
HFn
ix
1
4028,46
FONTE: O AUTOR
71
TABELA 5.9 – DISTRIBUIÇÃO DA FORÇA VERTICAL - ESTRUTURA 3
PAVIMENTO xW
(KN)
xh
(m) k
kxh (m)
kxxhW
(kN.m) vxC Fx
(KN) Fx/20 (KN)
1 3853,70 3,00 1,83 7,4668 28774,63 0,00121 5,54 0,28
2 3853,70 6,00 1,83 26,55 102304,49 0,00431 19,70 0,99
3 3853,70 9,00 1,83 55,75 214853,14 0,00905 41,37 2,07
4 3853,70 12,00 1,83 94,38 363730,39 0,01532 70,04 3,50
5 3853,70 15,00 1,83 141,99 547173,31 0,02305 105,37 5,27
6 3853,70 18,00 1,83 198,22 763882,55 0,03218 147,10 7,35
7 3853,70 21,00 1,83 262,82 1012836,19 0,04266 195,04 9,75
8 3853,70 24,00 1,83 335,57 1293196,37 0,05447 249,03 12,45
9 3853,70 27,00 1,83 416,29 1604255,70 0,06758 308,93 15,45
10 3853,70 30,00 1,83 504,81 1945403,98 0,08195 374,62 18,73
11 3853,70 33,00 1,83 601,01 2316105,90 0,09756 446,00 22,30
12 3853,70 36,00 1,83 704,75 2715885,64 0,11440 522,99 26,15
13 3853,70 39,00 1,83 815,92 3144315,63 0,13245 605,49 30,27
14 3853,70 42,00 1,83 934,43 3601008,15 0,15169 693,43 34,67
15 3853,70 45,00 1,83 1060,18 4085609,02 0,17210 786,75 39,34
∑=
=n
i
kiihW
1
23739335,07 ==∑=
HFn
ix
1
4571,4
FONTE: O AUTOR
Na FIGURA 5.4 e na FIGURA 5.5 são apresentados como exemplo o
modelo de aplicação de xF e o binário de 20
xF , sendo que a primeira está
representada por um modelo tridimensional com nós e a segunda por uma
visualização em planta de linhas de elementos de vigas. As forças de torção são
aplicadas nos pilares da extremidade enquanto que a força horizontal é aplicada no
pilar central das estruturas conforme foi comentado no início do item deste capítulo.
72
FIGURA 5.4 – MODELO TRIDIMENSIONAL DA ESTRUTURA 3 FONTE – O AUTOR
FIGURA 5.5 – PLANTA BAIXA DA ESTRUTURA 3 FONTE – O AUTOR
73
5.5 DESLOCAMENTOS
5.5.1 Deslocamento dos pilares A1, A2 e A3
Na FIGURA 5.6 é possível observar as diferenças do deslocamento absoluto
em y (global) dos pilares A1, A2 e A3 das estruturas 1, 2 e 3, respectivamente,
conforme indicado nas FIGURA 5.1, FIGURA 5.2 e FIGURA 5.3. Nos APÊNDICES
1, 2 e 3 É apresentado o resultado dos deslocamentos em formato de tabela, os
cálculos foram efetuados conforme o item 4.9.
FIGURA 5.6 – DESLOCAMENTOS DOS PILARES FONTE – O AUTOR
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0
ALT
UR
A (
m)
DESLOCAMENTO ABSOLUTO - Y (cm)
PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3
74
Como exemplo, na FIGURA 5.7 apresentam-se os deslocamentos dos
pilares da estrutura 3, extraídos do programa ANSYS. Na imagem observa-se as
cores dos elementos indicando deslocamentos menores em tons de azul, na base,
até os deslocamentos maiores, no topo da estrutura, em vermelho.
FIGURA 5.7 – DESLOCAMENTO DOS PILARES - EXTRAÍDOS DO ANSYS FONTE – O AUTOR
5.5.2 Deslocamento de linha
O deslocamento de linha é representado pelos nós do ultimo pavimento
distantes do eixo das estruturas 1, 2 e 3 conforme indicado nas FIGURA 5.1,
FIGURA 5.2 e FIGURA 5.3 por círculos. Além de apresentar os deslocamentos das
estruturas como definido no estudo de caso, em que foi considerado um modelo de
diafragma rígido de lajes (FIGURA 5.10), incluem-se os o gráfico dos deslocamentos
para o caso das estruturas com diafragma flexível (FIGURA 5.8). Nos APÊNDICES
75
4, 5 e 6 é apresentado o resultado dos deslocamentos em formato de tabela,
efetuado conforme o item 4.9.
FIGURA 5.8 – ESTRUTURA COM DIAFRAGMA FLEXÍVEL FONTE – O AUTOR
Para efeito de visualização, na FIGURA 5.9 apresenta-se como exemplo da
figura acima os deslocamento dos pilares da estrutura 3 extraída do programa
ANSYS.
FIGURA 5.9 – EXEMPLO DE DESLOCAMENTO COM DIAFRAGMA FLEXÍVEL FONTE – O AUTOR
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 30
DES
LOC
AM
ENTO
AB
SOLU
TO -
Y (
cm)
DISTÂNCIA DO EIXO (m)
ESTRUTURA 1 ESTRUTURA 2 ESTRUTURA 3
76
FIGURA 5.10 – ESTRUTURA COM DIAFRAGMA RÍGIDO FONTE – O AUTOR
Para efeito de visualização, na FIGURA 5.11 apresenta-se como exemplo
da figura acima os deslocamentos dos pilares da estrutura 3 extraídos do programa
ANSYS.
FIGURA 5.11 – EXEMPLO DE DESLOCAMENTO COM DIAFRAGMA RÍGIDO FONTE – O AUTOR
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 30
DES
LOC
AM
ENTO
AB
SOLU
TO -
Y (
cm)
DISTÂNCIA DO EIXO (m)
ESTRUTURA 1 ESTRUTURA 2 ESTRUTURA 3
5.6 ESFORÇO CORTANTE
Na FIGURA 5
cortantes em função da altura
respectivamente, conforme indicado nas
No APÊNDICE 7 é apresentado os valores
tabela.
FIGURA 5.12 – ESFORÇO CORTANTEFONTE – O AUTOR
5.7 ESFORÇO NORMAL
Na FIGURA 5
normais em função da altura
respectivamente, conforme indicado nas
No APÊNDICE 8 é apresentado os valores dos esforços normais em formato de
tabela.
-100 -80
Alt
ura
(m)
ESFORÇO CORTANTE DOS PILARES A1, A2 E A3
5.12 é apresentada a representação gráfica dos
em função da altura dos pilares A1, A2 e A3 das estruturas 1, 2 e 3
conforme indicado nas FIGURA 5.1, FIGURA
No APÊNDICE 7 é apresentado os valores dos esforços cortantes
ESFORÇO CORTANTE
ESFORÇO NORMAL DOS PILARES A1, A2 E A3
5.13 é apresentada a representação gráfica dos esforços
em função da altura dos pilares A1, A2 e A3 das estruturas 1, 2 e 3,
respectivamente, conforme indicado nas FIGURA 5.1, FIGURA
No APÊNDICE 8 é apresentado os valores dos esforços normais em formato de
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
-60 -40 -20 0
KN
PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3
77
a representação gráfica dos esforços
das estruturas 1, 2 e 3,
FIGURA 5.2 e FIGURA 5.3.
cortantes em formato de
a representação gráfica dos esforços
das estruturas 1, 2 e 3,
FIGURA 5.2 e FIGURA 5.3.
No APÊNDICE 8 é apresentado os valores dos esforços normais em formato de
20 40
FIGURA 5.13 – ESFORÇO NORMALFONTE – O AUTOR
5.8 MOMENTO FLETOR
Na FIGURA 5.
fletors em função da altura
respectivamente, conforme indicado nas
No APÊNDICE 9 é apresentado os valores dos momentos fletores em formato de
tabela.
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
0 1000
Alt
ura
(m)
ESFORÇO NORMAL
MOMENTO FLETOR DOS PILARES A1, A2 E A3
.14 é apresentada a representação gráfica dos
em função da altura dos pilares A1, A2 e A3 das estruturas 1, 2 e 3,
respectivamente, conforme indicado nas FIGURA 5.1, FIGURA
No APÊNDICE 9 é apresentado os valores dos momentos fletores em formato de
2000 3000 4000 5000 6000
KN
Esforço normal
PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3
78
a representação gráfica dos momentos
das estruturas 1, 2 e 3,
FIGURA 5.2 e FIGURA 5.3.
No APÊNDICE 9 é apresentado os valores dos momentos fletores em formato de
7000 8000
FIGURA 5.14 – MOMENTO FONTE – O AUTOR
5.9 ESFORÇOS CORTANTES
Apresenta-se na
mostrando a variação dos esforços
FIGURA 5.15 – VARIAÇÃO DO ESFORÇO CORTANTEFONTE – O AUTOR
-120 -100 -80 -60
Alt
ura
(m)
-120 -100 -80 -
Alt
ura
(m)
MOMENTO FLETOR
ESFORÇOS CORTANTES DOS PILARES A1, B, C E D
se na FIGURA 5.15 os cortantes dos pilares
mostrando a variação dos esforços dos elementos nos pavimentos
VARIAÇÃO DO ESFORÇO CORTANTE NA ESTRUTURA 1
0369
121518212427303336394245
60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
kN/m
PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3
0369
121518212427303336394245
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120
kN
PILAR A1 PILAR B PILAR C PILAR D
79
dos pilares A1, B, C E D,
nos pavimentos da estrutura 1.
NA ESTRUTURA 1
120 140 160
120 140 160
PILAR D
80
6 CONCLUSÃO
O deslocamento absoluto na direção “y” (global) dos pilares A1, A2 e A3
aumenta em função da altura (ver FIGURA 5.6). O maior deslocamento encontrado
foi no pilar A3 (igual a 34,5 cm), que é 4,5 cm maior do que o deslocamento do pilar
A2 (igual a 30 cm) e 6,1 cm maior do que do pilar A1 (igual a 28,4 cm).
Observa-se no gráfico da FIGURA 5.8 que o deslocamento da estrutura
flexível é maior próximo das aplicações das forças, enquanto que na estrutura de
diafragma rígido os deslocamentos se apresentam muito próximos de uma
constante, pois o pavimento trabalha em conjunto (ver FIGURA 5.10). As lajes têm
grande importância na resistência das estruturas aos sismos: o deslocamento
máximo observado na estrutura flexível (igual a 94,7 cm) é aproximadamente
174,5% maior que o deslocamento máximo observado na estrutura rígida (igual a
34,5 cm). Conclui-se que travar o deslocamento do plano horizontal dos nós é o
mais apropriado para representar o modelo, uma vez que as lajes de fato possuem
grande rigidez no sentido horizontal.
O esforço cortante, normal e o momento fletor de cada estrutura,
apresentaram valores próximos no topo dos pilares e diferenciaram-se
consideravelmente na base, onde o comportamento do pilar A3 se distingue dos
pilares A1 e A2 por apresentar esforço cortante negativo e momento fletor invertido.
Também é possível notar que a estrutura 03 apresenta valores mais críticos ao
longo da variação da altura da estrutura para todos os esforços analisados.
O último gráfico deste trabalho (FIGURA 5.15) mostra que existe diferença
de esforço cortante nos diferentes pilares de um pavimento. No caso dos pilares
analisados, destacam-se as diferenças de comportamento dos pilares A1 e B em
relação a C e D.
Conclui-se que a projeção em planta das estruturas influenciaram no
comportamento estrutural, provocando acréscimos de deslocamento e solicitações
conforme o alongamento da estrutura. Indo de encontro com a conclusão de Santos
(2010), quando afirma que estruturas que apresentam em planta uma forma
alongada apresentam problemas de flexão, que podem induzir efeitos de torção no
comportamento da estrutura. Além disso, os acréscimos não foram meramente
lineares, aumentaram consideravelmente com o alongamento das estruturas.
81
Possivelmente seja por este motivo que Guerreiro (2007) recomenda que estruturas
com forma retangular em planta não tenham comprimento maior do que três vezes a
largura.
Este trabalho permitiu melhor entendimento do comportamento estrutural
dos edifícios quando submetidos aos esforços causados por sismos segundo os
critérios da NBR 15421 (2006) , além disso conseguiu sustentar as afirmações de
outros autores de que estruturas alongadas são desfavoráveis no dimensionamento
quando comparadas à estruturas que possuem simetria em planta relativamente às
duas direções ortogonais.
Sugere-se para trabalhos futuros avaliar a influência da variação do número
de pavimentos; inserir caixa de elevador e escadas para avaliar a importância
desses elementos; realizar análise transiente das estruturas e compará-las com o
Método das Forças Horizontais Equivalentes; analisar outras configurações de
projeções em planta, entre outras possibilidades.
82
REFERÊNCIAS
ANTUNES, C. Geografia e Didática. Petrópolis: Vozes, 2010.
APOLO 11. Mapa dos Principais Lineamentos e Falhas Brasileiros com Indícios de Movimentação Quartenária: 1a aproximação. Disponível em: http://www.apolo11.com/display.php?imagem=imagens/etc/mapa_falhas_geologicas_brasil_grande.jpg. Acesso em: 12 de junho de 2015.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 15421:2006 Projetos de estruturas resistentes a sismos – Procedimento. Rio de Janeiro, 2006.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8681:2003 Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro, 2003.
BRASIL, REYOLANDO M. L. R. F. e SILVA, MARCELO ARAUJO. Introdução à dinâmica das estruturas para engenharia civil. Editora Blucher. 2013.
CLOUGH, RAY W., PENZIEN, JOSEPH – Dinamics of structures, Berkeley. Computers & Structures, 1995.
COMISSÃO DAS COMUNIDADES EUROPÉIAS. Eurocódigo N° 8 – Estruturas em regiões sísmicas – projecto, 1988.
GUERREIRO, LUIS; Dinâmica e engenharia sísmica. Instituto Superior Técnico: Lisboa. 2007.
LIMA, SILVIO S. e SANTOS, SERGIO HAMPSHIRE C.; Análise dinâmica das estruturas. Editora Ciência Moderna Ltda. 2008.
OBSERVATÓRIO SISMOLÓGICO (OBSIS). Ondas Sísmicas. Disponível em: http://www.obsis.unb.br/sismologia/o-que-e-um-terremoto/ondas-sismicas. Acesso em: 10 de junho de 2015.
OBSERVATÓRIO SISMOLÓGICO (OBSIS). Sismologia Brasileira. Disponível em: http://www.obsis.unb.br/index.php?option=com_content&view=article&id=59&Itemid=70&lang=pt-br. Acesso em: 12 de junho de 2015.
83
PARISENTI, RONALDO; Estudo de análise dinâmica e métodos da nbr 15421 para projeto de edifícios submetidos a sismos; Florianópolis. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) - Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2011.
SAADI, A.; BEZERRA, F. H. R.; COSTA, R. D. ; FRANZINELLI, E. ; IGREJA, A.. Neotectônica da Plataforma Brasileira. 1 ed. Ribeirão Preto-SP: Holos, 2005.
SANTOS, RITA A. C.; Aplicação de conceitos de risco sísmico a construções no campus da FCT; Lisboa. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de Ciências e tecnologia da Universidade Nova Lisboa, Lisboa, 2010.
UNITED STATES GEOLOGICAL SURVEY (USGS). Moving slabs. Disponível em: http://pubs.usgs.gov/gip/dynamic/slabs.html. Acesso em: 10 de junho de 2015.
UNITED STATES GEOLOGICAL SURVEY (USGS). Seismic Hazard Map of South America. Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAABX3cAI/impacto-sismos. Acesso em: 13 de junho de 2015.GLOSSÁRIO
UNIVERSIDADE DO ALGARVE. Geologia Ambiental. Disponível em: http://w3.ualg.pt/~jdias/GEOLAMB/GA5_Sismos/52_Sismologia/5205_Sismografos.html. Acesso em 10 de junho de 2015.
84
APÊNDICES
85
APÊNDICE 1 – DESLOCAMNTO DO PILAR A1
ALTURA (m)
Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm) δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx
(cm)
0 0,0 0,0 0 0,000 0,0 0,00 0
3 5,4 4489,2 300 0,007 1,7 0,00 6
6 19,3 4489,2 300 0,017 4,2 0,00 6
9 40,6 4489,2 300 0,027 6,9 0,00 6
12 68,8 4489,2 300 0,038 9,5 0,01 6
15 103,5 4489,2 300 0,048 12,0 0,01 6
18 144,5 4489,2 300 0,058 14,5 0,01 6
21 191,5 4489,2 300 0,067 16,9 0,01 6
24 244,5 4489,2 300 0,076 19,1 0,02 6
27 303,4 4489,2 300 0,085 21,1 0,02 6
30 367,9 4489,2 300 0,092 23,0 0,03 6
33 438,0 4489,2 300 0,099 24,6 0,03 6
36 513,6 4489,2 300 0,104 26,0 0,04 6
39 594,6 4489,2 300 0,109 27,1 0,04 6
42 681,0 4489,2 300 0,112 27,9 0,05 6
45 772,6 4489,2 300 0,114 28,4 0,06 6
FONTE: O AUTOR
APÊNDICE 2 – DESLOCAMNTO DO PILAR A2
ALTURA (m)
Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm) δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx
(cm)
0 0,0 0,0 0 0,000 0,0 0,00 0
3 4,9 4028,5 300 0,007 1,7 0,00 6
6 17,4 4028,5 300 0,017 4,3 0,00 6
9 36,5 4028,5 300 0,028 7,1 0,00 6
12 61,7 4028,5 300 0,039 9,8 0,00 6
continua
86
APÊNDICE 2 – DESLOCAMNTO DO PILAR A2
continuação
ALTURA (m)
Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm) δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx (cm)
15 92,9 4028,5 300 0,050 12,5 0,01 6
18 129,6 4028,5 300 0,060 15,1 0,01 6
21 171,9 4028,5 300 0,070 17,6 0,01 6
24 219,4 4028,5 300 0,080 19,9 0,02 6
27 272,2 4028,5 300 0,088 22,1 0,02 6
30 330,1 4028,5 300 0,096 24,0 0,02 6
33 393,0 4028,5 300 0,103 25,8 0,03 6
36 460,9 4028,5 300 0,109 27,3 0,03 6
39 533,6 4028,5 300 0,114 28,5 0,04 6
42 611,1 4028,5 300 0,118 29,4 0,04 6
45 693,3 4028,5 300 0,120 30,0 0,05 6
FONTE: O AUTOR
APÊNDICE 3 – DESLOCAMNTO DO PILAR A3
ALTURA (m)
Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm) δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx
(cm)
0 0,0 0,0 0 0,000 0,0 0,00 0
3 5,5 4571,4 300 0,007 1,7 0,00 6
6 19,7 4571,4 300 0,018 4,5 0,00 6
9 41,4 4571,4 300 0,029 7,4 0,00 6
12 70,0 4571,4 300 0,041 10,3 0,01 6
15 105,4 4571,4 300 0,053 13,2 0,01 6
18 147,1 4571,4 300 0,065 16,1 0,01 6
21 195,0 4571,4 300 0,076 19,0 0,01 6
24 249,0 4571,4 300 0,087 21,7 0,02 6
continua
87
APÊNDICE 3 – DESLOCAMNTO DO PILAR A3
continuação
ALTURA (m)
Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm) δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx (cm)
27 308,9 4571,4 300 0,097 24,3 0,02 6
30 374,6 4571,4 300 0,107 26,7 0,03 6
33 446,0 4571,4 300 0,116 28,9 0,03 6
36 523,0 4571,4 300 0,123 30,8 0,04 6
39 605,5 4571,4 300 0,130 32,4 0,04 6
42 693,4 4571,4 300 0,135 33,7 0,05 6
45 786,8 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
FONTE: O AUTOR
APÊNDICE 4 – DESLOCAMNTO DE LINHA – ESTRUTURA 1
DIST. DO EIXO
Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm)
δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx
(cm)
15 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6
10 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6
5 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6
0 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6
5 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6
10 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6
15 772,6 4489,2 300 0,11378 28,4 0,06 6
FONTE: O AUTOR
88
APÊNDICE 5 – DESLOCAMNTO DE LINHA – ESTRUTURA 2
DIST. DO EIXO
Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm)
δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx
(cm)
20 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6
15 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6
10 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6
5 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6
0 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6
5 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6
10 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6
15 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6
20 693,31 4028,5 300 0,12006 30,0 0,05 6
FONTE: O AUTOR
APÊNDICE 6 – DESLOCAMNTO DE LINHA – ESTRUTURA 3
DIST. DO EIXO Fx (kN) Hx (kN) hsx (cm) δxe - Y (m) δx - Y (cm) ∆x (cm) 0,020.hsx (cm)
30 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
25 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
20 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
15 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
10 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
5 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
0 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
5 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
10 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
15 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
20 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
25 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
30 786,75 4571,4 300 0,138 34,5 0,06 6
FONTE: O AUTOR
89
APÊNDICE 7 – ESFORÇO CORTANTE (kN)
ALTURA (m) PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3
0 27,47 12,75 -10,95
3 27,47 12,75 -10,95
3 8,34 -3,15 -22,61
6 8,34 -3,15 -22,61
6 2,39 -8,48 -27,13
9 2,39 -8,48 -27,13
9 -3,93 -14,29 -32,16
12 -3,93 -14,29 -32,16
12 -9,87 -19,69 -36,69
15 -9,87 -19,69 -36,69
15 -15,67 -24,87 -40,84
18 -15,67 -24,87 -40,84
18 -21,32 -29,81 -44,62
21 -21,32 -29,81 -44,62
21 -26,81 -34,51 -48,00
24 -26,81 -34,51 -48,00
24 -32,13 -38,97 -51,00
27 -32,13 -38,97 -51,00
27 -37,28 -43,17 -53,59
30 -37,28 -43,17 -53,59
30 -42,23 -47,07 -55,76
33 -42,23 -47,07 -55,76
33 -46,91 -50,65 -57,47
36 -46,91 -50,65 -57,47
36 -51,39 -53,92 -58,86
continua
90
APÊNDICE 7 – ESFORÇO CORTANTE (kN)
continuação
ALTURA (m) PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3
39 -51,39 -53,92 -58,86
39 -55,00 -55,46 -57,55
42 -55,00 -55,46 -57,55
42 -75,12 -76,94 -78,19
45 -75,12 -76,94 -78,19
FONTE: O AUTOR
APÊNDICE 8 – ESFORÇO NORMAL (kN)
ALTURA (m) PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3
0 6550 6664 6872
3 6432 6546 6754
3 6185 6287 6474
6 6067 6169 6357
6 5810 5899 6064
9 5692 5782 5947
9 5422 5499 5642
12 5304 5381 5525
12 5022 5087 5209
15 4904 4969 5092
15 4609 4664 4766
18 4492 4546 4648
18 4186 4230 4313
21 4068 4112 4195
21 3751 3786 3852
24 3634 3668 3734
Continua
91
APÊNDICE 8 – ESFORÇO NORMAL (kN)
continuação
ALTURA (m) PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3
24 3307 3333 3383
27 3189 3215 3265
27 2853 2871 2908
30 2735 2754 2790
30 2390 2402 2426
33 2272 2285 2309
33 1918 1926 1940
36 1801 1809 1823
36 1440 1444 1450
39 1322 1326 1333
39 953 955 957
42 836 837 840
42 460 461 461
45 343 343 343
FONTE: O AUTOR
APÊNDICE 9 – MOMENTO FLETOR (kN.m)
ALTURA (m) PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3
0 74,35 42,53 -9,33
3 -8,05 4,28 23,54
3 16,18 -1,91 -33,05
6 -8,86 7,55 34,80
6 5,04 -11,19 -39,35
9 -2,12 14,25 42,04
9 -5,04 -20,68 -47,23
continua
92
APÊNDICE 9 – MOMENTO FLETOR (kN.m)
continuação
ALTURA (m) PILAR A1 PILAR A2 PILAR A3
12 6,39 22,20 49,26
12 -14,81 -29,17 -54,18
15 14,79 29,89 55,87
15 -24,00 -37,31 -60,58
18 23,03 37,30 61,95
18 -32,89 -45,05 -66,38
21 31,06 44,39 67,46
21 -41,53 -52,41 -71,57
24 38,89 51,13 72,43
24 -49,89 -59,37 -76,15
27 46,52 57,55 76,83
27 -57,93 -65,88 -80,10
30 53,91 63,61 80,66
30 -65,63 -71,93 -83,39
33 61,06 69,29 83,88
33 -72,9 -77,45 -85,96
36 67,83 74,51 86,45
36 -79,82 -82,39 -87,83
39 74,35 79,36 88,75
39 -86,38 -86,59 -88,12
42 78,64 79,79 84,52
42 -95,71 -98,29 -99,37
45 129,00 132,52 135,22
FONTE: O AUTOR
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