7/25/2019 Integrais Imprprios
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INTEGRAIS IMPRPRIOS
DEFINIO: Integral imprprio um integral imprprio se a seu intervalo de integrao no
finito (integral imprprio de 1 espcie) ou se a funo a integrar no contnua (no limitada) no intervalo de integrao (integral imprprio de 2 espcie).
Integral imprprio de 1 espcie
DEFINIO: Sejam e f(x)uma funo definida no intervalo [, +[. Supondo que f(x)integrvel em qualquer intervalo [, ]com >.() Ento chama-se integral imprprio de 1 espcie a:
lim () = () .O mesmo poder ser observado tambm para:
lim () = () Se o integral tem limite finito quando , diz-se que() integrvel ou que o integralimprprio existe, tem sentido ou convergente.
Se o integral no tem limite finito quando diz-se que()no integrvel ou que ointegral imprprio no existe, no tem sentido ou divergente.
EXEMPLOS:
I) = lim[ln()] = limln(t)= +
Logo o integral divergente
II)
= lim
[
]
= lim
(
+ 1)
= 1
Logo o integral convergente
III) = lim . () = lim ()
=
2 lim () ()= 2( 1)=Logo o integral divergente
IV) = lim = lim =
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= lim1
2
2 = lim 122(0)=
=1
2()(0)= 1
2
2 0=
4
Logo o integral convergente
NOTA:
() = ()+ () , o integral imprprio inicial ser convergente seambos os integrais parciais convergirem (e ser divergente se um, ou ambos, dos integrais
divergir).
EXEMPLO:
I) ()
= (1 + ) + (1 + ) =
= lim (1 + ) + lim (1 + ) =
= lim 12(1 + )
+ lim 12(1 + )
= lim + ()+ lim ()+= += 0(convergente)(Nota: este integral pode resolver-se usando a substituio = 1 + )
II) () = lim() 11 + + lim() 11 + =
= lim (
)
2
+ lim (
)
2
=
= lim(0)2 ()2 + lim ()2 (0)2 == 0 + 0 = 0 (convergente)
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Integral imprprio de 2 espcie
DEFINIO: Sejaf(x) uma funo contnua e integrvel no intervalo ]
,
],
,
, o integral
imprprio def(x) nesse intervalo dado por:
() = lim()
Sef(x) for e integrvel no intervalo [, [, ento o integral imprprio vem:() = lim()
Em ambos os casos o integral imprprio ser convergente se tiver limite finito.
NOTA: Sejaf(x) uma funo definida em [, ]e contnua e integrvel em todos os pontosdesse intervalo exceto em c, [,]. Ento:() = lim()
+ lim()
O integral imprprio inicial ser convergente se ambos os integrais parciais convergirem (e
ser divergente se um, ou ambos, dos integrais divergir).
EXEMPLO:
I) = 0 = 0, a funo contnua em \{0} 1 = lim 1
= lim
= lim
12
=
= 2 lim 1 = 2. (1 0)= 2Logo o integral convergente
II) = lim = lim [(1 )] =
= lim (1 ) (1 0)=( 1)=Logo o integral divergente
III) 1 = 0 = 1 =1, a funo contnua em \{1,1}
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4 1 = lim 4 1 + lim 4
1 == lim[| 1|]+ lim[| 1|] == lim(| 1| 1)+ lim(|2 1| | 1|)==((0) ln 1)+ (63) (0)= + ln(63)+
Logo o integral divergente
3
ln(
)
=
3
ln(
)
=
ln(
)
3
=
=0 13 ( ln()3=3 13 ln()==3 13 ln()1=
1
3 13 =
1
3+ 3 =
=
p.p.p.
LHopital
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