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Introdução ao Eletromagnetismo

Aula 02

Germano Maioli Penello

17/10/2012

Site do cursowww.if.ufrj.br/~germano/IntroEletro_2012-2.html

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Interação eletromagnética

• Luz! (ondas de rádio, visível, IR, UV, Raios-x, etc...)• Eletricidade• Princípio de funcionamento de uma TV de raios catódicos• ...

Eletromagnetismo no dia-a-dia

• Uma das quatro interações fundamentais da Natureza. Junto com gravitacional, nuclear forte e nuclear fraca.

• Ordem de intensidade Nuclear forte > eletromagnética > nuclear fraca > gravitacional

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Resultados observados experimentalmente

• Carga elétrica• Forças elétricas podem ser positivas ou negativas (cargas positivas e cargas negativas)

• Eletrização por atrito• Não cria cargas! Apenas transfere as cargas de um

corpo ao outro. (Benjamin Franklin)Conservação da carga elétrica!

• Cargas de mesmo sinal se repelem. Cargas de sinais opostos se atraem. (Du Fay)

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Condutores e isolantes

• Condutores – Transmitem cargas elétricas• Isolantes – Retêm cargas elétricas

• Descoberta em 1729

• Hoje em dia esta explicação sobre isolantes e condutores já é bem mais detalhada. (Se achar interessante, procure sobre semicondutores e supercondutores no google.)

Eletroscópio• Por que é difícil realizar esta experiência no Rio de

Janeiro?

http://www.youtube.com/watch?v=mS4KN58DLt0

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Lei de Coulomb• Eletrostática – Cargas em repouso. Nada varia com o

tempo.

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Lei de Coulomb• Eletrostática – Cargas em repouso. Nada varia com o

tempo.

• Carga puntiforme – Conceito análogo ao de massa puntiforme. Comparação entre as dimensões dos objetos e das distâncias relativas entre eles. (Olhando para uma estrela daqui da terra, ela é vista como um ponto luminoso; mas a estrela é realmente um ponto?)

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Lei de Coulomb• Eletrostática – Cargas em repouso. Nada varia com o

tempo.

• Carga puntiforme – Conceito análogo ao de massa puntiforme. Comparação entre as dimensões dos objetos e das distâncias relativas entre eles. (Olhando para uma estrela daqui da terra, ela é vista como um ponto luminoso; mas a estrela é realmente um ponto?)

• Utilizando uma balança de torção, Coulomb mediu a força entre duas partículas carregadas e chegou à forma matemática que relaciona esta força eletrostática com a distância entre as duas partículas.

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Lei de Coulomb• Resultado obtido por Coulomb:

Atenção! Aqui estou representando a força elétrica em módulo! Ainda não estou utilizando notação vetorial.

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Lei de Coulomb• Resultado obtido por Coulomb:

No S.I.

Onde,

Permissividade do vácuo

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Lei de Coulomb

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Princípio da superposição (cargas pontuais)

q1

q2

q0

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Força que q0 sente pela presença de q1

q1

q2

q0

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q1

q2

q0

Força que q0 sente pela presença de q1

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q1

q2

q0

Força que q0 sente pela presença de q1

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q1

q2

q0

Força que q0 sente pela presença de q2

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q1

q2

q0

Força que q0 sente pela presença de q2

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q1

q2

q0

Força que q0 sente pela presença de q2

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Qual a força total sentida por q0?

q1

q2

q0

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Princípio da superposição

q1

q2

q0

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Princípio da superposição

q1

q2

q0

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Princípio da superposição

Em uma notação mais formal:

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Princípio da superposição

q1

q2

Como resolver um problema se existirem mais de três cargas?E se tiverem 4 cargas, por exemplo?

q3

q0

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Princípio da superposição

Como resolver um problema se existirem mais de três cargas?E se tiverem 4 cargas?40 cargas?

q0

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Como resolver um problema se existirem mais de três cargas?E se tiverem 4 cargas?40 cargas?Um contínuo de infinitas cargas?

q0

Princípio da superposição

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Coordenadas polares

x

y

r

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Coordenadas polares

x

y

r

Como calcular o comprimento de uma circunferência?

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Coordenadas polares

x

y

r

dL

d

Elemento de linha

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Coordenadas polares

x

y

r

dL

d

Elemento de linha

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Coordenadas polares

x

y

r

dL

d

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

Qual é a força elétrica atuando na carga q0 considerando que uma quantidade de carga Q está uniformemente distribuída no anel de raio R e a distância entre o anel e a carga é igual a z?

q0

Q

z

y

zx

^

^ ^

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

Qual é a força elétrica atuando na carga q0 considerando que uma quantidade de carga Q está uniformemente distribuída no anel de raio R e a distância entre o anel e a carga é igual a z?

http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/electrostatics/RingField/RingField.htm

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

Q

1o passo:Dividir o anel em pequenos pedaços com uma pequena quantidade de carga dQ em cada pequeno elemento de comprimento dLdQ

dQ

dL

dL

z

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

Q

1o passo:Dividir o anel em pequenos pedaços com uma pequena quantidade de carga dQ em cada pequeno elemento de comprimento dL

A carga está uniformemente distribuída! Portanto, ela terá uma densidade de carga uniforme. No caso 1D, chamaremos esta densidade de densidade linear ().

Q / L L - Comprimento total do anel

dQ

dQ

dL

dL

z

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

Q

Q / L

L - Comprimento total do anel = 2R

Q / 2R

dQ

dQ

dL

dL

z

1o passo:Dividir o anel em pequenos pedaços com uma pequena quantidade de carga dQ em cada pequeno elemento de comprimento dL

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

Q

dQ

dQ

Q / L = dQ/dL

L - Comprimento total do anel = 2R

Q / 2R

Esta é a definição formal de densidade linear!

dL

dL

z

1o passo:Dividir o anel em pequenos pedaços com uma pequena quantidade de carga dQ em cada pequeno elemento de comprimento dL

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

Q

dQ

dQ

Q / L = dQ/dL

L - Comprimento total do anel = 2R

Q / 2R

dL

dL

z

dQ = dL = Rd

1o passo:Dividir o anel em pequenos pedaços com uma pequena quantidade de carga dQ em cada pequeno elemento de comprimento dL

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

2o passo:Qual a força que cada pedaço faz na carga q0?

dQ

dQ dL

dL

z

Vamos começar analisando dois pedaços diametralmente opostos. (simetria!)

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

2o passo:Qual a força que cada pedaço faz na carga q0?

z

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

2o passo:Qual a força que cada pedaço faz na carga q0?

z

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

2o passo:Qual a força que cada pedaço faz na carga q0?

z

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

2o passo:Qual a força que cada pedaço faz na carga q0?

z

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

2o passo:Qual a força que cada pedaço faz na carga q0?

z

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

Q

dQ

dQ

Percebendo o seguinte:

z

3o passo:Utilizar o princípio de

superposição e somar (integrar) todas as pequenas

forças

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

z

3o passo:Utilizar o princípio de

superposição e somar (integrar) todas as pequenas

forças

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

z

3o passo:Utilizar o princípio de

superposição e somar (integrar) todas as pequenas

forças

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

z

3o passo:Utilizar o princípio de

superposição e somar (integrar) todas as pequenas

forças

Antes de fazer as contas, vamos perceber as simetrias do problema. Qual a força resultante no plano perpendicular ao eixo z? Qual a força resultante no eixo z?

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas) 3o passo:

Utilizar o princípio de superposição e somar

(integrar) todas as pequenas forças

http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/ele

ctrostatics/RingIntegration/RingIntegration.htm

Antes de fazer as contas, vamos perceber as simetrias do problema. Qual a força resultante no plano perpendicular ao eixo z? Qual a força resultante no eixo z?

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

z

Força resultante apenas no eixo z! Os pequenos elementos diametralmente opostos geram forças com mesma direção e mesma intensidade, mas com sentidos opostos!

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

z

Pela simetria, apenas calcularemos a componente da força resultante no eixo z. As componentes da força resultante nos eixos x e y serão nulas.

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

z

Componente da força resultante no eixo z:

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

z

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q0

Q

dQ

dQ

dL

dL

zdQ = dL = Rd

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Rearrumando os termos:

q0

z

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Rearrumando os termos:

q0

z

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Rearrumando os termos:

Só tem força na direção do eixo z. Faz sentido?!?

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Princípio da superposição (distribuição uniforme de cargas)

q0

Q

z

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Importância da notação vetorial correta!

q0

Q

z

Fizemos as contas sem nos preocuparmos com o sinal das cargas.Se o anel e a carga q0 tiverem o mesmo sinal, a força será repulsiva (F terá o mesmo sentido de z). Se o anel e a carga tiverem sinais opostos, a força será atrativa (F terá o sentido oposto de z).

^^

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Distribuição uniforme?

• A carga elementar (e = 1,6x10-19 C) é quantizada! (experiência realizada por Milikan)

• Como poderíamos então considerar uma distribuição uniforme?

• Em comparação com experiências do cotidiano, o valor da carga fundamental é extremamente pequeno. Por isso, podemos, sim, utilizar o conceito de distribuição uniforme.