Introdução à Teoria Quântica do Espalhamento:do Espalhamento por um Potencial ao Problema
de Muitos Corpos
Márcio H. F. Bettega
Departamento de Física
Universidade Federal do Paraná
Minicurso sobre Espalhamento - Aula 2/3
Semana Acadêmica de Física 2017
Estrutura do minicurso
I Aula 2/3 (60 min):
X O método das ondas parciais: espalhamento por um potencial que apresentasimetria esférica; deslocamento de fase; amplitude de espalhamento; expressõespara as seções de choque diferencial, integral e de transferência de momentum emtermos do deslocamento de fase.
X Solução (exata) para o poço esférico de potencial: ressonância de forma, estadovirtual e mínimo de Ramsauer-Townsend.
O Método das Ondas Parciais
I Vamos considerar o espalhamento de uma partícula de massa m por um potencialcentral V (r) (real), que satisfaz limr→∞ r
2V (r) = 0, de tal forma que podemosdefinir um alcance r = a a partir do qual V (r) ∼ 0. Iremos adotar coordenadasesféricas (r, θ, φ) onde
x = r sin θ cosφ; y = r sin θ sinφ; z = r cos θ
Neste sistema o Hamiltoniano
H = H0 + V (r) = − ~2
2m∇2
r + V (r)
fica
H = − ~2
2m
1
r2∂
∂r
(r2∂
∂r
)+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)+
1
r2 sin2 θ
∂2
∂φ2
+ V (r)
e L2 fica
L2 = −~2
1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)+
1
sin2 θ
∂2
∂φ2
O Método das Ondas Parciais
I Desta forma podemos escrever H como
H = − ~2
2m
1
r2∂
∂r
(r2∂
∂r
)− L2
~2r2
+ V (r)
e a equação de Schrödinger para Ψ(+)ki
(r) pode ser escrita na forma
− ~2
2m
1
r2∂
∂r
(r2∂
∂r
)− L2
~2r2
Ψ
(+)ki
(r) + V (r)Ψ(+)ki
(r) = EΨ(+)ki
(r)
Como [H,L2] = [H,Lz] = 0 e [L2, Lz] = 0, podemos expandir Ψ(+)ki
(r) na baseR`,m(k, r)Y m` (θ, φ) (ondas parciais `,m), comum a estes operadores
Ψ(+)ki
(r) =
∞∑`=0
+∑m=−`
c`m(k)R`,m(k, r)Y m` (θ, φ)
O Método das Ondas Parciais
I Levando em conta que
L2Y m` (θ, φ) = `(`+ 1)~2Y m` (θ, φ), LzYm` (θ, φ) = m~Y m` (θ, φ)
obtemos uma equação para a função radial R`(k, r) dada por (não depende donúmero quântico m)
− ~2
2m
[1
r2d
dr
(r2d
dr
)− `(`+ 1)
r2
]+ V (r)
R`(k, r) = ER`(k, r)
Definimos agora uma função auxiliar u`(k, r) = rR`(k, r) e o potencial reduzidoU(r) = 2mV (r)/~2. Obtemos assim uma equação radial para a função auxiliaru`(k, r) dada por
d2
dr2+ k2 − `(`+ 1)
r2− U(r)
u`(k, r) = 0
onde
E =~2k2
2m→ k =
√2mE
~
O Método das Ondas Parciais
I Antes de discutirmos as condições de contorno satisfeitas pelas funções u`(k, r) eR`(k, r), vamos considerar o problema de uma partícula livre do ponto de vista deum problema de campo central com V (r) = 0. A equação radial fica
d2
dr2+ k2 − `(`+ 1)
r2
y`(k, r) = 0
Mudando a variável para ρ = kr e fazendo f`(ρ) = y`(ρ)/ρ temosd2
dρ2+
2
ρ
d
dρ+
[1− `(`+ 1)
ρ2
]f`(ρ) = 0
que é a equação diferencial de Bessel esférica, cujas soluções são as funções j`(ρ)
(Bessel esféricas), n`(ρ) (Neumann esféricas) e as funções h(1)` (ρ) e h(2)
` (ρ)(Hankel).
O Método das Ondas Parciais
I Para j`(ρ) e n`(ρ) temos
j0(ρ) =sin ρ
ρ, j1(ρ) =
sin ρ
ρ2− cos ρ
ρ, j2(ρ) =
(3
ρ3− 1
ρ
)sin ρ− 3
ρ2cos ρ
j`(ρ) ∼ρ→0ρ`
(2`+ 1)!!, j`(ρ) −−−→
ρ→∞
1
ρsin
(ρ− `π
2
)
n0(ρ) = −cos ρ
ρ, n1(ρ) = −cos ρ
ρ2− sin ρ
ρ, n2(ρ) = −
(3
ρ3− 1
ρ
)cos ρ− 3
ρ2sin ρ
n`(ρ) ∼ρ→0(2`+ 1)!!
ρ`+1, n`(ρ) −−−→
ρ→∞−1
ρcos
(ρ− `π
2
)Notamos que a função j`(ρ) é regular na origem, enquanto que n`(ρ) diverge. Comisto, a base composta por autofunções de H0,L
2, Lz para a partícula livre éj`(kr)Y m` (θ, φ).
O Método das Ondas Parciais
I Outra base possível é composta por autofunções de H0 e de pi (comE = ~2k2/2m, pi = ~ki, |ki| = k), que são ondas planas exp(iki · r). A relaçãoentre as bases é (para o eixo z na direção de ki)
eiki·r = eikz =∞∑`=0
(2`+ 1)i`j`(kr)P`(cos θ)
que, para qualquer escolha do eixo z, pode ser também escrita na forma
eiki·r = 4π∞∑`=0
+∑m=−`
i`j`(kr)Ym ∗` (ki)Y
m` (r)
onde utilizamos
P`(cos θ) =
(4π
2`+ 1
)1/2
Y 0` (θ); P`(cos θ) =
(4π
2`+ 1
) +∑m=−`
Y m ∗` (ki)Ym` (r)
O Método das Ondas Parciais
I A condição de contorno para u`(k, r) é
u`(k, r) −−−→r→∞
krC
(1)` (k)j`(kr) + C
(2)` (k)n`(kr)
Utilizando
j`(kr) −−−→r→∞
1
krsin
(kr − `π
2
); n`(kr) −−−→
r→∞− 1
krcos
(kr − `π
2
)a condição acima pode ser escrita como
u`(k, r) −−−→r→∞
A`(k) sin
kr − `π
2+ δ`(k)
onde
A`(k) =
√[C
(1)` (k)]2 + [C
(1)` (k)]2; tan δ`(k) = −
C(2)` (k)
C(1)` (k)
O Método das Ondas Parciais
I Podemos ainda escrever condição assintótica para u`(k, r) em termos de ondas dotipo exp(±ikr) na forma
u`(k, r) −−−→r→∞
A`(k)
2i(−i)`e−iδ`(k)
−(−1)`e−ikr + S`(k)eikr
onde S`(k) = exp[2iδ`(k)], é o elemento da matriz de espalhamento S.
I A quantidade δ`(k), conhecida como deslocamento de fase (“phase shift”), carregatoda a informação sobre o espalhamento. No caso em que V (r) = 0 temos queδ`(k) = 0.
I Ainda falta discutirmos a condição contorno na origem. Analisando a equaçãoradial no limite r → 0, chegamos a (solução regular na origem)
u(k, 0) = 0 com u`(k, r) ∼r→0 r`+1
O Método das Ondas Parciais
I Vamos agora obter uma expressão para a amplitude de espalhamento em termosde δ`(k), olhando para
Ψ(+)ki
(r) −−−→r→∞
1
(2π)32
eiki.r +
eikr
rfk(θ, φ)
Usando
eiki·r = eikz =
∞∑`=0
(2`+ 1)i`j`(kr)P`(cos θ); j`(kr) −−−→r→∞
1
krsin
(kr − `π
2
)obtemos
Ψ(+)ki
(r) −−−→r→∞
1
(2π)32
∞∑`=0
(2`+ 1)i`sin(kr − `π
2
)kr
P`(cos θ) + fk(θ, φ)eikr
r
ou, escrevendo de outra forma temos
Ψ(+)ki
(r) −−−→r→∞
1
(2π)32
∞∑`=0
(2`+ 1)i`ei(kr−`π/2) − e−i(kr−`π/2)
2ikrP`(cos θ) + fk(θ, φ)
eikr
r
O Método das Ondas Parciais
I Considerando agora a expansão de Ψ(+)ki
(r)
Ψ(+)ki
(r) =
∞∑`=0
+∑m=−`
c`m(k)R`(k, r)Ym` (θ, φ)
e olhando o comportamento quando r →∞ temos (lembrando queR`(k, r) = u`(k, r)/r e que u`(k, r) −−−→
r→∞A`(k) sin kr − `π/2 + δ`(k))
Ψ(+)ki
(r) −−−→r→∞
∞∑`=0
+∑m=−`
c`m(k)A`(k)×
×ei[kr−`π/2+δ`(k)] − e−i[kr−`π/2+δ`(k)]
2ir
Y m` (θ, φ)
Comparando as soluções obtemos para c`m(k) (os termos com exp(−ikr)) aseguinte expressão
c`m(k) =1
(2π)32
1
kA`(k)
√4π(2`+ 1)i`eiδ`(k)δm0
O Método das Ondas Parciais
I Temos então
Ψ(+)ki
(r) −−−→r→∞
1
(2π)32
∞∑`=0
(2`+ 1)i`ei(kr−`π/2)e2iδ`(k) − e−i(kr−`π/2)
2ikrP`(cos θ) =
=1
(2π)32
∞∑`=0
(2`+ 1)i`ei(kr−`π/2)[1 + 2ieiδ`(k) sin δ`(k)]− e−i(kr−`π/2)
2ikrP`(cos θ) =
=1
(2π)32
∞∑`=0
(2`+ 1)i`ei(kr−`π/2) − e−i(kr−`π/2)
2ikrP`(cos θ) +
+1
(2π)32
1
k
∞∑`=0
(2`+ 1)eiδ`(k) sin δ`(k)P`(cos θ)
eikr
r
de onde obtemos a seguinte expressão para a amplitude de espalhamento emtermos de δ`(k)
fk(θ) =1
k
∞∑`=0
(2`+ 1)eiδ`(k) sin δ`(k)P`(cos θ)
O Método das Ondas Parciais
I Uma forma altenativa é
fk(θ) =∞∑`=0
(2`+ 1)f`(k)P`(cos θ)
onde
f`(k) =e2iδ`(k) − 1
2ik=S`(k)− 1
2ik
Com isto a seção de choque diferencial é dada por
dσ
dΩ(k; θ) = |fk(θ)|2 =
1
k2
∑`
∑`′
(2`+ 1)(2`′ + 1)ei[δ`(k)−δ`′ (k)] ×
× sin δ`(k) sin δ`′(k)P`(cos θ)P`′(cos θ)
e a seção de choque total fica
σtot(k) =
∫dΩ|fk(θ)|2 =
4π
k2
∞∑`=0
(2`+ 1) sin2 δ`(k)
O Método das Ondas Parciais
I Definindo a seção de choque para cada onda parcial ` temos
σtot(k) =∞∑`=0
σ`(k); σ`(k) =4π
k2(2`+ 1) sin2 δ`(k)
onde
σmax` (k) =4π
k2(2`+ 1); δ`(k) =
(n+
1
2
)π, n = 0,±1,±2, . . .
eσ`(k) = 0, δ`(k) = nπ, n = 0,±1,±2, . . .
não havendo portanto contribuição da onda parcial ` para o espalhamento naenergia E = ~2k2/2m. A seção de choque de transferência de momentum é dadapor
σmt(k) =4π
k2
∞∑`=0
(`+ 1) sin2[δ`+1(k)− δ`(k)]
X As somas acima podem ser truncadas, levando em conta o parâmetro deimpacto b: b = |L|/|p| =
√`(`+ 1)/k. Para b ∼ a temos que ka ∼ `, e portanto∑∞
`=0 →∑`max∼ka`=0
O Método das Ondas Parciais
O Método das Ondas Parciais
Differential cross sections for (a) isopropanol,
(b) isobutane, (c) isobutanol, (d) n-propanol,
(e) n-butane and (f) n-butanol at 6, 7, 8, 9,
and 10 eV.
X M. H. F. Bettega, C. Winstead, V. McKoy,
A. Jo, A. Gauf, J. Tanner, L. R. Hargreaves,
M. A. Khakoo, Phys. Rev. A 84, 042702
(2011)
0 60 120 1801
10
100
Cro
ss S
ecti
on
(10
-16cm
2/s
r)
(a)
0 60 120 180Scattering Angle (degrees)
1
10
100
(b)
6 eV7 eV8 eV9 eV10 eV
0 60 120 1801
10
100
(c)
0 60 120 1801
10
100
Cro
ss S
ecti
on
(10
-16cm
2/s
r)
(d)
0 60 120 180Scattering Angle (degrees)
1
10
100
(e)
6 eV7 eV8 eV9 eV10 eV
0 60 120 1801
10
100
(f)
O Método das Ondas Parciais
I Podemos olhar agora como fica o teorema ótico
fk(θ = 0) =1
k
∞∑`=0
(2`+ 1)eiδ`(k) sin δ`(k)
onde P`(1) = 1. Com isto
Imfk(θ = 0) =1
k
∞∑`=0
(2`+ 1) sin2 δ`(k) =k
4πσtot(k)
ou
σtot(k) =4π
kImfk(θ = 0)
O Método das Ondas Parciais
I Para obtermos σtot(k), precisamos determinar δ`(k). Antes disso, vamos discutirrepidamente sobre a “normalização” da função de onda de espalhamento. Aexpansão de Ψ
(+)ki
(r) em ondas parciais fica
Ψ(+)ki
(r) =1
(2π)32
∞∑`=0
(2`+ 1)
A`(k)i`eiδ`(k)
u`(k, r)
krP`(cos θ)
O coeficiente A`(k) não tem influência sobre o espalhamento e apenas determina a“normalização” de u`(k, r), escolhida como sendo
u`(k, r) −−−→r→∞
1
k
sin
(kr − `π
2
)+ cos
(kr − `π
2
)tan δ`(k)
e
R`(k, r) −−−→r→∞
j`(kr)− tan δ`(k)n`(kr)
O Método das Ondas Parciais
I Para chegar a uma expressão para δ`(k), vamos considerar o espalhamento pordois potenciais U(r) e U(r), de onde obtemos
tan δ`(k)− tan δ`(k) = −k∫ ∞0
u`(k, r)[U(r)− U(r)
]u`(k, r)dr
Fazendo U(r) = 0, u`(k, r) = rj`(kr) e u`(k, r) = rR`(k, r) temos
tan δ`(k) = −k∫ ∞0
j`(kr)U(r)R`(kr)r2dr
A integral acima precisa ser calculada na região do alcance de V . Podemostambém estabelecer que
U(r) > 0(repulsivo)→ δ`(k) < 0; U(r) < 0(atrativo)→ δ`(k) > 0
Os zeros das funções j`(kr) e u`(k, r) ficam localizados em
r =1
k
[nπ +
`π
2
]e r =
1
k
[nπ +
`π
2− δ`(k)
]Ou seja, quando U(r) é repulsivo, a onda espalhada "atrasa"em relação à ondalivre de |δ`(k)|/k, e no caso de U(r) ser atrativo, a onda espalhada adianta emrelação à onda livre de |δ`(k)|/k.
O Método das Ondas Parciais
I Podemos também determinar δ`(k) impondo a continuidade da função e de suaderivada em r = a, ponto que define o alcance de V (r) (V (r) = 0 se r > a). Nestecaso
tan δ`(k) =k[j′`(ka)− γ`(k)j`(ka)]
n′`(ka)− γ`(k)n`(ka)
onde
γ`(k) =
d[lnR`(k, r)]
dr
r=a
=
1
R`(k, r)
dR`(k, r)
dr
r=a
I Como exemplo de aplicação do método, vamos considerar o espalhamento de umapartícula por um poço esférico de potencial, o qual admite solução exata. Vamosdiscutir alguns fenômenos apresentados pelo deslocamento de fase e pelas seçõesde choque deste sistema simples, os quais são de extrema importância noespalhamento de elétrons e pósitrons por moléculas.
O Método das Ondas Parciais
I Vamos considerar V (r) dado por
V (r) =
−V0, r < a
0, r > a
a
−V
r
0
E1
V(r)
E2
O Método das Ondas Parciais
I A equação de Schrödinger fica:d2
dr2+ κ2 − `(`+ 1)
r2
u`(r) = 0, r < a
e d2
dr2+ k2 − `(`+ 1)
r2
u`(r) = 0, r > a
onde κ2 = k2 + U0, U0 = 2V0 e k2 = 2E (estamos usando unidades atômicas onde~ = m = 1). Em termos de R`(r) temos
R`(r) = c`j`(κr), r < a
e
R`(r) = j`(kr)− tan δ`(k)n`(kr), r > a
O Método das Ondas Parciais
I Neste caso γ`(k) fica
γ`(k) = γ`(κa) =κj′`(κa)
j`(κa)
e δ`(k) é dado por
tan δ`(k) =k[j′`(ka)− γ`(κa)j`(ka)]
n′`(ka)− γ`(κa)n`(ka)
I Para ` = 0
tan δ0(k) =k tanκa− κ tan ka
κ+ k tan ka tanκa
ou
δ0(k) = −ka+ arctan
k
κtanκa
O Método das Ondas Parciais
I Para ka 1
δ0(k) ∼ ka
1
κatanκa− 1
Vamos definir o comprimento de espalhamento α como
α = − limk→0
tan δ0(k)
k
ou (lembrando que δ0(k)→ 0 quando k → 0)
α = a
1− tanλ0a
λ0a
onde λ0 =
√U0, e para λ0a 1, α < 0(α ∼ −aλ2
0a2). Podemos mostrar ainda
que
σtot −−−→k→0
4πα2
O Método das Ondas Parciais
I Permanecendo no limite de baixas energias, podemos obter a condição para que opotencial suporte n estados ligados para ` = 0. Para isso, vamos considerar asolução da equação de Schrödinger para E = E0 < 0
u0(r) = sinκ0r, r < 0;u0(r) = Ne−k0r, r > a
onde k20 = 2E0 e κ0 =√U0 − k20 . Impondo a condição de continuidade da função e
de sua derivada em r = a obtemos
ξ0 cot ξ0 = −η0onde ξ0 = κ0a e η0 = k0a. Para k0 = 0 temos
λ0a = (n+ 1/2)π → U0a2 = (n+ 1/2)2π2
O valor crítico é λ0a = π/2→ U0a2 = π2/4 = 2, 467401, o que corresponde a
δ0(k = 0) = π/2, α = −∞ e σtot =∞. Neste caso temos um estado virtual.Aumentando U0, mais estados ligados aparecem no poço, de tal forma que
limk→0
δ0(k) = nπ
O Método das Ondas Parciais
Retirado de C. J. Joachain, Quantum Collision Theory, North-Holland, Terceira Edição(1983).
O Método das Ondas Parciais
X Propriedades analíticas da amplitude de espalhamento.
O Método das Ondas Parciais
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
k(u.a.)
1
10
100
1000
se
ca
o d
e c
ho
qu
e(u
.a.)
totall=0
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
k(u.a.)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
deslo
cam
en
to d
e f
ase(r
ad
ian
os)
Seção de choque e deslocamento de fase para a = 1 u.a. e U0 = 2, 467401 u.a.,mostrando a presença do estado virtual. Podemos notar que para baixas energias aonda-s representa a seção de choque total, ou seja σtot(k) = σ0(k), como discutidoanteriormente.
O Método das Ondas Parciais
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
k(u.a.)
0
10
20
30
40
50
60
secao
de c
ho
qu
e (
u.a
.)
totall=0
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
k(u.a.)
0
1
2
3
4
deslo
cam
en
to d
e f
ase(r
ad
ian
os)
Seção de choque e deslocamento de fase para a = 1 u.a. e U0 = 3 u.a., mostrando apresença do primeiro estado ligado para ` = 0. Podemos notar que para baixasenergias σtot(k) = σ0(k), como discutido anteriormente.
O Método das Ondas Parciais
I O Teorema de Levinson afirma que
limk→0
δ`(k) = n`π
onde n` é o número de estados ligados para a onda parcial `.
I É possível que para baixas energias (onde apenas a onda parcial ` = 0 contribuipara a seção de choque) δ0 passe por π, para um dado valor de k. Portantoσtot(k) = σ0(k) = 0 para a energia k. Neste caso temos um mínimo deRamsauer-Townsend (como no caso dos gases nobres).
I Para ` 6= 0 existe a barreira de momentum angular. Neste caso, o potencial efetivoV (r) + `(`+ 1)/r2 pode acomodar, dependendo da energia incidente, estadosligados temporários. Neste caso, δ`(k) vai a π, passando por π/2 na energia k eσ`(k) assume seu máximo valor. Este fenômeno é conhecido como ressonância deforma.
O Método das Ondas Parciais
0 0,1 0,2 0,3 0,4
k(u.a.)
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
se
ca
o d
e c
ho
qu
e(u
.a.)
totall=0l=1l=2
0 0,1 0,2 0,3 0,4
k(u.a.)
3,12
3,14
3,16
de
slo
ca
me
nto
de
fa
se
(ra
dia
no
s)
l=0
0 0,1 0,2 0,3 0,4
k(u.a.)
0
1
2
3
4
de
slo
ca
me
nto
de
fa
se
(ra
dia
no
s) l=2
Seção de choque e deslocamento de fase para a = 2 u.a. e U0 = 5.02 u.a., mostrando apresença do mínimo de Ramsauer-Townsend para ` = 0 e de uma ressonância deforma para ` = 2.
O Método das Ondas Parciais
Estrutura do propano.
O Método das Ondas Parciais
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1energy (eV)
0
2
4
6
8
10
cro
ss s
ecti
on
(10
-16cm
2)
A1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5energy (eV)
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
s-w
ave e
igen
ph
ase (
rad
)
Seção de choque integral elástica para espalhamento de elétrons por C3H8 para asimetria A1 e a fase para ` = 0, mostrando o mínimo de Ramsauer-Townsend.X M. H. F. Bettega, R. F. da Costa e M. A. P. Lima, Phys. Rev. A 77, 052706 (2008).
O Método das Ondas Parciais
I Aprendemos no espalhamento por um potencial que:
σ(k) =
∞∑`=0
σ`(k); σ`(k) =4π
k2(2`+ 1) sin2 δ`(k)
X V atrativo: δl > 0; V repulsivo: δl < 0Para baixas energias (k → 0) o potencial pode ser atrativo o suficiente de tal formaque:
δ0(k) passa porπ; δ` 6=0 ≈ 0
Para elétrons, o potencial é
V = Vestático + Vtroca + Vpolarização
e para pósitrons é
V = Vestático + Vpolarização
O potencial resultante portanto passa de atrativo para repulsivo. Comoconsequência, δ0 muda se sinal, passando por 0, da mesma forma que V . Nestecaso não há espalhamento ("Ramsauer-Townsend minimum").
O Método das Ondas Parciais
0,1 1
k(u.a.)
0,001
0,01
0,1
1
10
100
se
ca
o d
e c
ho
qu
e(u
.a.)
l=0l=1l=2l=3l=4l=5Soma
0 1 2 3 4 5 6k(u.a.)
0
1
2
3
4
de
slo
ca
me
nto
de
fa
se
(ra
dia
no
s)
Seção de choque e deslocamento de fase para a = 1 u.a. e U0 = 9.5 u.a., mostrando apresença do primeiro estado ligado para ` = 0 e de uma ressonância de forma para` = 1.
O Método das Ondas Parciais
0,1 1
k(u.a.)
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
se
ca
o d
e c
ho
qu
e(u
.a.)
l=0l=1l=2l=3l=4l=5Soma
0 1 2 3 4 5 6k(u.a.)
0
1
2
3
4
de
slo
ca
me
nto
de
fa
se
(ra
dia
no
s)
Seção de choque e deslocamento de fase para a = 1 u.a. e U0 = 9.8 u.a., mostrando apresença do primeiro estado ligado para ` = 0 e de uma ressonância de forma para` = 1 (mais fina e em uma energia mais baixa do que para U0 = 9.5u.a.).
O Método das Ondas Parciais
0,1 1
k(u.a.)
0,001
0,01
0,1
1
10
100
se
ca
o d
e c
ho
qu
e(u
.a.)
l=0l=1l=2l=3l=4l=5Soma
0 1 2 3 4 5 6k(u.a.)
0
1
2
3
4
deslo
cam
en
to d
e f
ase(r
ad
ian
os)
Seção de choque e deslocamento de fase para a = 1 u.a. e U0 = 10 u.a., mostrando apresença do primeiro estado ligado para ` = 0 e para ` = 1 ( a ressonância associada a` = 1 passou a ser um estado ligado do poço).
Dímeros e complexo
(a) Formic acid dimer (FAD), (b) formamide dimer (FD), and (c) formic acid-formamidecomplex (FAFC)
O Método das Ondas Parciais
1 2 3 4 5 6energy (eV)
0
30
60
90
120
cro
ss
se
cti
on
(u
nit
s o
f a
0
2)
HCOOH...HCOOH
Bg (SE)
Bg (SEP)
Au (SE)
Au (SEP)
Au (Gianturco et al. [20])
Bg (Gianturco et al. [20])
1 2 3 4 5 6energy (eV)
0
20
40
60
80
100
cro
ss
se
cti
on
(u
nit
s o
f a
0
2)
HCONH2...HCONH
2
Bg (SE)
Bg (SEP)
Au (SE)
Au (SEP)
1 2 3 4 5 6energy (eV)
0
30
60
90
120
cro
ss
se
cti
on
(u
nit
s o
f a
0
2)
A" (SE)
A" (SEP)
HCOOH (SEP)
HCONH2 (SEP)
HCOOH...HCONH2
Seções de choque integrais elásticas para espalhamento de elétrons por dímeros deácido fórmico e de formamida e pelo complexo ácido fórmico-formamida, mostrandoressonâncias de forma.X T. C. Freitas, S. d’A. Sanchez, M. T. do N. Varella, e M. H. F. Bettega, Phys. Rev. A 84, 062714 (2011).
Referências
X C. J. Joachain, Quantum Collision Theory, North-Holland, Terceira Edição (1983).
X P. G. Burke e C. J. Joachain, Theory of Electron-Atom Collisions - Part 1 PotentialScattering, Plenum Press (1995).
X Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics, Prentice Hall (1990).
X R. C. Greenhow, Am. J. Phys. 61, 23 (1993).
Agradecimentos
e ao Prof. Carlos de Carvalho pelo suporte computacional no DFis-UFPR e noLCPAD-UFPR.
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