LEI NORMAL: a rainha das leis do acaso
Carlos TenreiroDepartamento de MatemáticaUniversidade de Coimbra
Lição Delfos, 14 de Abril de 2007
Plano da exposição
Lei normal: fotografia e assinatura Lei normal ou lei dos erros A lei dos grandes números O teorema central do limite de de
Moivre-Laplace Aplicação aos estudos de opinião O teorema central do limite de Laplace Aplicação ao controlo de qualidade
Observações que seguem a lei normal
Média a desvio-padrão de uma amostra
Observações
Observações que seguem a lei normal
Observações que seguem a lei normal
N(8.7,3.3)
Observações que seguem a lei normal
Observações que seguem a lei normal
N(1000.2,9.6)
Observações que seguem a lei normal
Área =~
Proporção de pacotes com peso entre 995 e 1005 gramas
Observações que seguem a lei normal
Observações que seguem a lei normal
N(1010.1,20.0)
Observações que seguem a lei normal
Área =~
Proporção de pacotes com peso entre 995 e 1005 gramas
A lei normal: fotografia e assinatura
média
desvio-padrão
A lei normal: fotografia e assinatura
A lei normal: fotografia e assinatura
Regra 68-95-99.7
Lei normal ou lei dos erros
O matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) tem o seu nome ligado à lei normal.
Lei normal ou lei dos erros
Grandeza observada
= Grandeza verdadeira + Erro
Erro = Grandeza observada
- Grandeza verdadeira
Lei normal ou lei dos erros
Erro = Peso observado -1000
Lei normal ou lei dos erros
Antes de Gauss era assumido que a distribuição do erro era: 1) Simétrica relativamente à origem; 2) Unimodais; 3) Suporte finito
Lei normal ou lei dos erros
As distribuições de erro habitualmente consideradas não permitiam justificar teoricamente a prática corrente de tomar a média das observações como estimativa do verdadeiro valor da grandeza desconhecida.
Lei normal ou lei dos erros
Em 1809 Gauss determina a forma que deve ter a distribuição dos erros de modo que a média das observações seja o estimador teórico da grandeza desconhecida:
Lei dos grandes números de Jacques Bernoulli (1645-1705)
Para uma qualquer experiência aleatória, quando o número de repetições desta é elevado, a proporção de ocorrências desse acontecimento aproxima-se, tanto quanto queiramos, da probabilidade desse acontecimento (1713). dado1.xls dado2.xls
Distribuição da proporção amostral
Teorema central do limite de de Moivre (1667-1754) – Laplace (1749-1827)
Quando o tamanho da amostra é grande, a proporção amostral é aproximadamente normal:
onde é a probabilidade do acontecimento em causa (1733, 1812).
Quando p=1/3 e n=10:
Teorema central do limite de de Moivre (1667-1754) – Laplace (1749-1827)
Quando p=1/3 e n=40:
Teorema central do limite de de Moivre (1667-1754) – Laplace (1749-1827)
Uma aplicação aos estudos de opinião
+
Uma aplicação aos estudos de opinião
Uma aplicação aos estudos de opinião
Para aproximadamente 95% das amostras:
Para a amostra anterior:
Uma aplicação aos estudos de opinião
Margem de erro:
No caso do PS temos:
+
+
Uma aplicação aos estudos de opinião
Intervalo de confiança a 95%:
Distribuição da média amostral
A proporção amostral é uma média:
com
Será a aproximação normal válida para uma qualquer média?
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Distribuição da média amostral
Se é calculada a partir de observações independentes com média e desvio-padrão , então
Teorema central do limite de Laplace (1749-1827)
para grande (1812).
Aplicação ao controlo de qualidade
Um processo de empacotamento de açúcar está conforme se o peso médio dos pacotes for de 1000 gramas com uma variabilidade de 7 gramas:
Aplicação ao controlo de qualidade
Para obtemos
Aplicação ao controlo de qualidade
Para aproximadamente 99,7% das amostras
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Carta de controlo
Modelo de Galton
Movimento Browniano
BOM TRABALHO DURANTE O FIM-DE-
SEMANA.
DIVIRTAM-SE.
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