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Aula 5 _ Função Polinomial do 1º Grau

Professor Luciano Nóbrega

Maria Auxiliadora

ÁLGEBRA

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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

Uma função polinomial do 1º grau (ou simplesmente, função do 1º grau) é uma relação entre a variável dependente “y” e a variável independente “x”.

EXEMPLOS:f(x) = 3x + 2; f(x) = (–½).x f(x) = 5 – 2x f(x) = 7

Podemos observar que a forma algébrica é do tipo f(x) = ax + b, onde “a” e “b” são números reais, “x” é a variável independente e

“y” é a variável dependente de “x”. OBS: f(x) = yEXEMPLO:Encontre os valores de “a” e “b” nos exemplos acima.

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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

DEFINIÇÂOUma função f: R ⟶ R é do 1º grau (ou afim) quando a todo valor

de “x” está associado um único valor y = f(x) = ax + b, com “a” e “b” sendo números reais e a ≠ 0

EXEMPLO:f(x) = 2x + 1; a = 2 e b = 1OBS: Toda função do 1o grau corta o eixo y no termo independente de x, ou seja, corta o eixo y na “altura” b.

Função Linear Uma função recebe o nome de função linear quando a cada elemento x associa o elemento ax. Isto é: y = f(x) = ax, ou seja, b = 0.OBS: O gráfico da função linear f(x) = ax, passa sempre pela origem do plano cartesiano.

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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

Outras importantes funções do 1º grauFunção Constante Uma função recebe o nome de função constante quando a cada elemento x associa sempre o mesmo elemento “c”. Isto é, f(x) = c

Função identidade Uma função recebe o nome de função identidade quando a cada elemento x associa o próprio elemento x. Isto é, f(x) = x.OBS: O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1º e do 3º quadrante.

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Coordenadas cartesianas

Todo ponto possui uma coordenada dada por um par ordenado (x, y);

1º Quadrante2º Quadrante

3º Quadrante 4º Quadrante

P(+x, +y)Q(-x, +y)

R(-x, -y)S(+x, -y)

x → Eixo das abscissas

y → Eixo das ordenadasPLANO CARTESIANO

Coeficiente Angular e linear

A inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o coeficiente angular de uma reta é dado por:

x

y

x1 x2

y1

y2

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xx

yytg

Passando o denominador para o outro lado e fazendo tg Θ = m, temos: y2 – y1 = m.(x2 – x1)

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OBS: Na função do 1º grau f(x) = ax + b, o coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, tem-se que tg Θ = a, e portanto “a” determina o grau de inclinação da reta.

OBS: O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear, ele determina o ponto em que a reta corta o eixo “y”.

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EXEMPLO: Em um mesmo plano cartesiano, construa os gráficos das funções f(x) = 2x + 1, g(x) = 2x – 1 e h(x) = 2x.

Responda:a) Os gráficos tem algum

ponto em comum?b) As retas são paralelas

entre si?c) Quais os coeficientes

angulares das funções?d) Quais os coeficientes

lineares?

Coeficiente Angular e linear

x

y

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Raiz da função do 1º grau

É todo número x que possui imagem nula. Isto é, f(x) = 0.

Determinando o zero da função do 1º grauf(x) = ax + b, fazendo f(x) = 0, temos:

f(x) = ax + b = 0 ax = – b x = – b/a

EXEMPLO:f(x) = 2x – 1 2x – 1 = 0 2x = 1 x = ½

OUTROS EXEMPLOS:Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações: a) f(x) = 2x+5 b) f(x) = -x+2 c) f(x) = (1/3)x+3 d) f(x) = 1-5x e) f(x) = 4x

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Função Crescente ou Decrescente

CRESCENTEA função é crescente se o coeficiente angular for positivo. Ex: y = 2x +1 a = 2 ⇒ a > 0 ⇒ FUNÇÃO CRESCENTE

DECRESCENTEA função é decrescente se o coeficiente angular for negativo. Ex: y = –x + 3a = –3 ⇒ a < 0 ⇒ FUNÇÃO DECRESCENTE

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Estudo do Sinal da Função do 1º Grau

Estudar o sinal de uma função significa avaliar para quais valores de x temos f(x) < 0, f(x) = 0 ou f(x) > 0.

EXEMPLO:Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico está ao lado representado.

SOLUÇÃO:Dizemos que nos pontos em que o gráfico se encontra no eixo x, y = 0. Ou seja, f(x) = 0 quando x = –1 ou x = 2 ou x = 4 ou x = 7.

Na região do gráfico acima do eixo x, a função é positiva.Na região do gráfico abaixo do eixo x, a função é negativa.

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Estudo do Sinal da Função do 1º Grau

Para analisarmos o sinal da função do 1º grau precisamos observar primeiro se o coeficiente angular é positivo ou negativo.

1º CASO a > 0

FUNÇÃO CRESCENTE

2º CASO a < 0

FUNÇÃO DECRESCENTE

OBS: De uma forma geral podemos dizer que a direita da raiz possui o mesmo sinal de a .

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Inequação do 1º Grau

DEFINIÇÃOEm sua definição mais simples e compreensível, uma inequaçãodo 1º grau pode ser definida como uma função do 1º grau que apresenta um sinal de desigualdade.Assim:ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0

EXEMPLO:Determine todos os possíveis números inteiros positivospara os quais satisfaça a inequação 3x + 5 < 17

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Inequação do 1º Grau

EXEMPLO:Resolva em R a seguinte inequação 6 – 2x ≥ 0.

2x ≤ 6 x ≤ 3 S = ] – ∞, 3]

Multiplicando-se ou dividido-se os dois membros da inequação por um número negativo, devemos inverter o sinal da inequação.

EXEMPLO:Resolva em R a seguinte inequação 3x + 2 < –x + 3 ≤ x + 4 .

e –x + 3 ≤ x + 4

–2x ≤ 12x ≥ –1

x ≥ –½

A interseção desses dois conjuntos éS = [ –½ ; ¼ [

– 2 + 3 –

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Inequação Produto e Quociente

São inequações do tipo:PRODUTOf(x).g(x) > 0 f(x).g(x) < 0 f(x).g(x) ≥ 0 f(x).g(x) ≤ 0QUOCIENTEf(x)/g(x) > 0 f(x)/g(x) < 0 f(x)/g(x) ≥ 0 f(x)/g(x) ≤ 0

EXEMPLO: Resolva em R a inequação (x – 3).(–2x + 4) > 0

SOLUÇÃO: 1º) Devemos determinar os zeros das funções:x – 3 = 0 ⟶ x = 3 e –2x + 4 = 0 ⟶ x = 2

2º) Devemos estudar o sinal das funções:

3 +–

+ 2

–3º) Verificamos a interseção:

– – 3 ++ 2 – –

>

Solução: S = ] 2, 3 [

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Inequação Produto e Quociente

EXEMPLOS:

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

1 – Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra

de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00o lucro final será dado em função das x unidades vendidas.Responda.a) Qual a lei dessa função?b) Para que valores de x temos f (x < 0)? Como pode serinterpretado este caso.c) Para que valor de x haverá um lucro de R$ 315,00?d) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00?e) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$180,00?

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

2 –Certo dia de janeiro, a temperatura em São Leopoldo, situada no interior do Rio Grande do Sul, subiu uniformemente desde 23 °C, às 10 h, até 38 °C, às 15 h. Fazendo-se um gráfico cartesiano que representa tal situação térmica, no qual se marca os tempos (em horas) nas abscissas e as temperaturas (em graus centígrados) nas ordenadas, obtem-se o segmento de reta AB, como mostra a figura.a) Encontre uma função que indique a temperatura em SãoLeopoldo em função do tempo verificada no intervalo [10,15].b) A partir de que horas a temperatura ultrapassa 32º?

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

3 – Uma locadora de veículos apresenta, para aluguel de certotipo de carro a seguinte tabela:

Em uma diária, com percurso não superior a 100 km, para que a2ª opção seja menor em reais, é necessário que o número dequilômetros percorridos pelo locatário pertença ao intervalo:a) [60, 100] c) ]60, 100] e) [0, 60[b) ]60, 100[ d) [0, 60]

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

Resolva os exercícios do livro:P.124 _ 1P.128 _ 9, 10 e 11P.129 _ 14, 15, 16 e 18P.130 _ 21 e 22P.135 _ 24 e 25P.145 _ 27, 28, 30 e 31P.146 _ 38 e 40P.147 _ 43P.149 _ 48P.150 _ 51P.152 _ 54 e 55OBS: Foram selecionados 23 exercícios de um total de 58 exercícios do referente capítulo do livro.

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