¿Qué es conocer? Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Espacios vectoriales Aplicaciones lineales

Álgebra Lineal.¿Qué significa aprender una idea

matemática?

Felipe Guevara MoralesWilliam Campillay Llanos

Profesores de MatemáticaUDA-UCT.

Otoño 2015, Temuco-Copiapo

¿Qué es conocer? Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Espacios vectoriales Aplicaciones lineales

Contenido

1 ¿Qué es conocer?La demostración en Matemática

2 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

3 Espacios vectoriales

4 Aplicaciones lineales

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Para comenzar

¿Están las ciencias sociales,

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Para comenzar

¿Están las ciencias sociales, en particular la economía, lasciencias políticas y las ciencias de la educación,

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Para comenzar

¿Están las ciencias sociales, en particular la economía, lasciencias políticas y las ciencias de la educación, LA

EDUCACIÓN MATEMÁTICA,

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Para comenzar

¿Están las ciencias sociales, en particular la economía, lasciencias políticas y las ciencias de la educación, LA

EDUCACIÓN MATEMÁTICA, LA DIDÁCTICA, fundadas en unaadecuada compresión de la naturaleza del proceso de

aprendizaje humano, de lo que determina la diversidad de lasconductas humanas? (Él árbol del conocimiento)

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La demostración en Matemática

La demostración

Las mesas ¿Tienen el mismo ancho y largo? ¿Que haría ustedpara comprobar su afirmación?

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La demostración en Matemática

La demostración

La concepción de la demostración desde los años de la Greciaantigua no ha tenido grandes modificaciones hasta nuestrosdías, ha conservado su característica fundamental, que es lade entender la demostración como un encadenamiento dededucciones. Para realizar un estudio sintético de lademostración durante la historia nos hemos basado en unapublicación de Evelyn Barbin (IREM du Mans, Francia), quiendivide la historia de la demostración en tres etapas:

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La demostración en Matemática

Primera Etapa de la Demostración en Matemática

La primera corresponde a los tiempos de la cultura en Grecia,donde la demostración buscaba convencer en medio deldebate. Como cultura chilena debemos considerar el granaporte de este pueblo a nuestros pensamientos, y como nomencionar personajes como Sócrates, Platón, Aristóteles,Euclides, Pitágoras, entre otros, quienes han contribuido, consu aporte intelectual a la formación de nuestros ciudadanos.

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La demostración en Matemática

Segunda Etapa de la Demostración en Matemática

La segunda etapa correspondiente, se sitúa en el siglo XVII, enaquellos tiempos se buscaba que las demostraciones aclararánmás que convencieran, donde los métodos de descubrimientosdesempeñaban un papel fundamental. Siglo en cuál seconforma una nueva visión de pensamiento, esta nueva formade mirar el mundo, de una perspectiva más racional quedaperfectamente reflejada en el pensamiento de un personajefrancés llamado René Descartes (1596-1650), es importantedestacar su aporte para el desarrollo de la humanidad, en sugran obra El discurso del método comienza escribiendo losiguiente:

Le bon sens est la chose du monde du mieux portagée

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La demostración en Matemática

Tercera Etapa de la Demostración en Matemática

Y la tercera comienza en el siglo XIX, donde se regresa alrigor, que permitió hacer frente a nuevas concepciones de losobjetos matemáticos, lo cual trajo consigo problemas defundamentos de la Matemática y la aceptación de teoríasantiintuitivas o no evidentes.

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La demostración en Matemática

Generalidades de la Lógica Matemática

1 Implicación.2 Vocabulario. Notaciones.3 Como demostrar una impliación.4 Equivalencias.5 Dos métodos muy útiles.6 Noción de Contra-ejemplo.7 Razonamiento por el absurdo.8 Inducción Matemática.

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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Es posible observar en las ideas de Liu Hui (Matemático Chino)cuando resolvía sistemas líneas de ecuaciones, las primerastécnicas utilizando una tabla de coeficientes. Es quizás laprimera idea que convierte interesante las tablas de números.El estudio de sistemas lineales en el siglo XVIII conduce aldesarrollo de cálculo de determinantes. Las complejas técnicasde cálculo fascinan a los matemáticos durante este siglo.

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Notación Matricial

La notación matricial como tabla rectangular o un cuadro denúmeros, aparece en el siglos XIX: Gauss la utiliza cuandosustituye combinaciones lineales en términos de otrosobteniendo un fórmula del producto de dos matrices cuadradasde orden 3, e indica que su resultado se extiende adimensiones cualesquiera, sin precisar.

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Determinantes

El desarrollo de cálculo con determinantes conduce también ala noción de matriz. Es James Sylvester (1814-1897) quieninventa la palabra en 1850 (en inglés: Matrix) para designar latabla de números, y es Arthur Cayley (1812-1895) que publica,en 1858, un artículo considerado como fundador. Lasnotaciones de Cayley en esta época son muy próximas a lasactuales.

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Nuevo Lenguaje

Algunos años más tarde, en 1867, Edmond Laguerre(1834-1886) expone las mismas ideas con una visión máspróxima a las nuestra. Pero el cálculo matricial todavía erapoco conocido por los No matemáticos en el año 1920, porejemplo el físico Werner Heisenberg (1901-1976). Quién se veen la necesidad mezclra la física con la Matemática ya quepara fundar la mecánica cuántica es importante comprender(en algún sentido) que esta teoría se expresa mejor entérminos de matrices.

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Espacios vectoriales: Idea de Estructura

A finales del siglo XIX, la idea de estructura en matemática esuna idea reciente, que no es todavía impuesta. Evariste Galois(1811-1832) ha sido sin duda el primero en evidenciar estanoción para los cuerpos y grupos, en su trabajo sobre laresolución de ecuaciones algebraicas.

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Primeras ideas

En lo que concierne a los espacios vectoriales, es HermannGrassmann (1809-1877), un autodidacta alumbra a lacomunidad matemática de su tiempo, que va hacer el primeroen tener una aproximación formal a los problemas degeometría. Su tratado de 1844, muy oscuro, mezcla diferentesproblemas geométricos, no fue muy comprendido. Grassmannredactará su trabajo en una forma más acabada en 1862, perosin más que eso.

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Una nueva mirada

Es Giuseppe Peano (1858-1932), que relee a Grasmann, yaprecia la noción de espacio vectorial, que llamada sistemalineari. Su definición es menos precisa de la que daremos en elcurso pero contiene las mismas ideas. Peano expone algunosresultados sobre espacios vectoriales y de aplicacioneslineales. Después algunos matemáticos de la escuela italianacomienzan a explorar en esta dirección, como SalvatorePincherle (1853-1936), sin que sus ideas tuvieran muchainfluencia.

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Lo que sigue...

Trataremos de percibir estos aspectos del álgebra Lineal através del curso, pero es imposible da todavía idea deproblemas de Análisis Funcional que han contribuido a laelaboración de todos los conceptos del álgebra lineal. Losestudiantes deben estar pacientes.

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Aplicaciones lineales

En un artículo de Giuseppe Peano escrito en 1888, en el cualdefine los espacio vectoriales y las aplicaciones lineales entreespacio vectoriales: que son aplicaciones con la propiedad deconservar la suma de vectores y el producto por un escalar.Definimos igualmente las compuesta de dos aplicacioneslineales y la inversa de una aplicación lineal.

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Análisis Funcional

Después de 30 años esta definición ha sido considerada paraformalizar los problemas que se sitúan en otros campos de lamatemática como el análisis funcional que desarrollará StefanBanach.

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Un poco de historia...

Ciertamente la idea de linealidad es más antigua ymatemáticos como Jean Bernoulli o Euler han utilizado laspropiedades para hablar de la derivación, de diferencias finitaso incluso de cambio de coordenadas. Pero ellos no aplican lalinealidad en los objetos sobre los cuales ellos trabajan.

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Más ideas...

Para hablar de aplicación Lineal, hay que tratar conaplicaciones lineales, no solamente sobre los objetos sobre loscuales se trabajan, sino también sobre todos los objetos delmismo tipo, es decir, pensar el espacio vectorial generado porestos objetos o un mismo espacio todavía más grande.