Lógica Matemática 1
Semanas 13 e 14
Professor Luiz Claudio Pereira
Departamento Acadêmico de Matemática
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Material Previsto para quatro dias
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 136
Método Dedutivo
1 Propriedades
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 2 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Revisão de Conteúdo
porque Recordar é Viver.
Falsos ← Enunciados↓
Não justicados ← Verdadeiros → Justicados↓ ↓
Axiomas, Denição na Proposições,postulados, formal normal lemas,princípios. (atribuição, teoremas,
deniendum) corolários.deniens)
Seja a ∈ N. Diz-se que a é par se ∃k ∈ N | a = 2k .atribuição deniendum deniens
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 136
PropriedadesIdempotente
Idempotente
Mostre que:1 p∧p⇔ p.2 p∨p⇔ p.
Solução
p p∧p p∨pV
F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 136
PropriedadesIdempotente
Idempotente
Mostre que:1 p∧p⇔ p.2 p∨p⇔ p.
Solução
p p∧p p∨pV
F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 136
PropriedadesIdempotente
Idempotente
Mostre que:1 p∧p⇔ p.2 p∨p⇔ p.
Solução
p p∧p p∨pV V V
F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 5 / 136
PropriedadesIdempotente
Idempotente
Mostre que a condicional e abicondicional não gozam dapropriedade idempotente.
Solução 1
p p→ p p↔ p
V
F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 136
PropriedadesIdempotente
Idempotente
Mostre que a condicional e abicondicional não gozam dapropriedade idempotente.
Solução 1
p p→ p p↔ p
V
F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 136
PropriedadesIdempotente
Idempotente
Mostre que a condicional e abicondicional não gozam dapropriedade idempotente.
Solução 1
p p→ p p↔ p
V V V
F V V
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 7 / 136
PropriedadesIdempotente
Idempotente
Mostre que a condicional e abicondicional não gozam dapropriedade idempotente.
Solução 1
p p→ p p↔ p
V V V
F V V
Solução 2
Tomando V (p) = F , tem-seV (p→ p) = V e V (p↔ p) = V .Portanto, não ocorrem p⇔ p→ p ep⇔ p↔ p.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 136
PropriedadesIdentidade
Identidade
Mostre que:1 p∧ τ ⇔ p e
p∨ τ ⇔ τ , sendo τ
uma tautologia.2 p∧χ ⇔ χ e
p∨χ ⇔ p, sendo χ
uma contradição.
Solução
p∨χ p∨ τ p τ χ p∧ τ p∧χ
V V F
F V F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 136
PropriedadesIdentidade
Identidade
Mostre que:1 p∧ τ ⇔ p e
p∨ τ ⇔ τ , sendo τ
uma tautologia.2 p∧χ ⇔ χ e
p∨χ ⇔ p, sendo χ
uma contradição.
Solução
p∨χ p∨ τ p τ χ p∧ τ p∧χ
V V F
F V F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 136
PropriedadesIdentidade
Identidade
Mostre que:1 p∧ τ ⇔ p e
p∨ τ ⇔ τ , sendo τ
uma tautologia.2 p∧χ ⇔ χ e
p∨χ ⇔ p, sendo χ
uma contradição.
Solução
p∨χ p∨ τ p τ χ p∧ τ p∧χ
V V V V F V F
F V F V F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que:1 p∧q⇔ q∧p.2 p∨q⇔ q∨p.3 p↔ q⇔ q↔ p.
Solução
q∧p p q p∧qV V
V F
F V
F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que:1 p∧q⇔ q∧p.2 p∨q⇔ q∨p.3 p↔ q⇔ q↔ p.
Solução
q∧p p q p∧qV V
V F
F V
F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que:1 p∧q⇔ q∧p.2 p∨q⇔ q∨p.3 p↔ q⇔ q↔ p.
Solução
q∧p p q p∧qV V V V
F V F F
F F V F
F F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 12 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que:1 p∧q⇔ q∧p.2 p∨q⇔ q∨p.3 p↔ q⇔ q↔ p.
Solução
q∨p p q p∨qV V
V F
F V
F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que:1 p∧q⇔ q∧p.2 p∨q⇔ q∨p.3 p↔ q⇔ q↔ p.
Solução
q∨p p q p∨qV V
V F
F V
F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que:1 p∧q⇔ q∧p.2 p∨q⇔ q∨p.3 p↔ q⇔ q↔ p.
Solução
q∨p p q p∨qV V V V
V V F V
V F V V
F F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 14 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que:1 p∧q⇔ q∧p.2 p∨q⇔ q∨p.3 p↔ q⇔ q↔ p.
Solução
q↔ p p q p↔ q
V V
V F
F V
F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 15 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que:1 p∧q⇔ q∧p.2 p∨q⇔ q∨p.3 p↔ q⇔ q↔ p.
Solução
q↔ p p q p↔ q
V V
V F
F V
F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 15 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que:1 p∧q⇔ q∧p.2 p∨q⇔ q∨p.3 p↔ q⇔ q↔ p.
Solução
q↔ p p q p↔ q
V V V V
F V F F
F F V F
V F F V
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que a condicional nãogoza da propriedadecomutativa.
Solução 1
q→ p p q p→ q
V V
V F
F V
F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que a condicional nãogoza da propriedadecomutativa.
Solução 1
q→ p p q p→ q
V V
V F
F V
F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que a condicional nãogoza da propriedadecomutativa.
Solução 1
q→ p p q p→ q
V V V V
V V F F
F F V V
V F F V
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 136
PropriedadesComutativa
Comutativa
Mostre que a condicional nãogoza da propriedadecomutativa.
Solução 1
q→ p p q p→ q
V V V V
V V F F
F F V V
V F F V
Solução 2
Tomando V (p) = V e V (q) = F ,tem-se V (q→ p) = V eV (p→ q) = F . Portanto, não ocorrep↔ q⇔ q↔ p.
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PropriedadesAssociativa
Mostre que:1 (p∧q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r).2 (p∨q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r).3 (p↔ q)↔ r ⇔ p↔ (q↔ r).
p∧ (q∧ r) q∧ r p q r p∧q (p∧q)∧ rV V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 20 / 136
PropriedadesAssociativa
Mostre que:1 (p∧q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r).2 (p∨q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r).3 (p↔ q)↔ r ⇔ p↔ (q↔ r).
p∧ (q∧ r) q∧ r p q r p∧q (p∧q)∧ rV V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 20 / 136
PropriedadesAssociativa
Mostre que:1 (p∧q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r).2 (p∨q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r).3 (p↔ q)↔ r ⇔ p↔ (q↔ r).
p∧ (q∧ r) q∧ r p q r p∧q (p∧q)∧ rV V V V V V V
F F V V F V F
F F V F V F F
F F V F F F F
F V F V V F F
F F F V F F F
F F F F V F F
F F F F F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 21 / 136
PropriedadesAssociativa
Mostre que:1 (p∧q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r).2 (p∨q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r).3 (p↔ q)↔ r ⇔ p↔ (q↔ r).
p∨ (q∨ r) q∨ r p q r p∨q (p∨q)∨ rV V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 136
PropriedadesAssociativa
Mostre que:1 (p∧q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r).2 (p∨q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r).3 (p↔ q)↔ r ⇔ p↔ (q↔ r).
p∨ (q∨ r) q∨ r p q r p∨q (p∨q)∨ rV V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 136
PropriedadesAssociativa
Mostre que:1 (p∧q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r).2 (p∨q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r).3 (p↔ q)↔ r ⇔ p↔ (q↔ r).
p∨ (q∨ r) q∨ r p q r p∨q (p∨q)∨ rV V V V V V V
V V V V F V V
V V V F V V V
V F V F F V V
V V F V V V V
V V F V F V V
V V F F V F V
F F F F F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 23 / 136
PropriedadesAssociativa
Mostre que:1 (p∧q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r).2 (p∨q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r).3 (p↔ q)↔ r ⇔ p↔ (q↔ r).
p↔ (q↔ r) q↔ r p q r p↔ q (p↔ q)↔ r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 24 / 136
PropriedadesAssociativa
Mostre que:1 (p∧q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r).2 (p∨q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r).3 (p↔ q)↔ r ⇔ p↔ (q↔ r).
p↔ (q↔ r) q↔ r p q r p↔ q (p↔ q)↔ r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 24 / 136
PropriedadesAssociativa
Mostre que:1 (p∧q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r).2 (p∨q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r).3 (p↔ q)↔ r ⇔ p↔ (q↔ r).
p↔ (q↔ r) q↔ r p q r p↔ q (p↔ q)↔ r
V V V V V V V
F F V V F V F
F F V F V F F
V V V F F F V
F V F V V F F
V F F V F F V
V F F F V V V
F V F F F V F
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 25 / 136
PropriedadesAssociativa
Associativa
Mostre que a condicional nãogoza da propriedadeassociativa.
Solução
Tente resolver sem usar
tabela-verdade.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 26 / 136
PropriedadesAssociativa
Associativa
Mostre que a condicional nãogoza da propriedadeassociativa.
Solução
Tente resolver sem usar
tabela-verdade.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 26 / 136
PropriedadesAssociativa
Associativa
Mostre que a condicional nãogoza da propriedadeassociativa.
Solução
Tomando V (p) = F , V (q) = V e
V (r) = F , segue que V (p→ q) = V ,
V (q→ r) = F , V ((p→ q)→ r) = F
e V (p→ (q→ r)) = V . Portanto,
não ocorre
(p→ q)→ r)⇔ p→ (q→ r).
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.
Solução Q1
Precisamos vericar que χ → p é uma tautologia.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 28 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.
Solução Q1
Precisamos vericar que χ → p é uma tautologia.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 28 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações.1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.
Solução Q1
χ → p ⇔ ¬χ ∨p
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 29 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.
Solução Q1
χ → p ⇔ ¬χ ∨p⇔ τ ∨p
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 30 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.
Solução Q1
χ → p ⇔ ¬χ ∨p⇔ τ ∨p⇔ τ
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações.1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.
Solução Q2
p→ τ ⇔ ¬p∨ τ
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 32 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.
Solução Q2
p→ τ ⇔ ¬p∨ τ
⇔ ¬(p∧χ)
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 33 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.
Solução Q2
p→ τ ⇔ ¬p∨ τ
⇔ ¬(p∧χ)⇔ ¬χ
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 34 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.
Solução Q2
p→ τ ⇔ ¬p∨ τ
⇔ ¬(p∧χ)⇔ ¬χ
⇔ τ
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 35 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q1
(p→ q)∧p ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 36 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q1
(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 37 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q1
(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND⇔ (¬p∧p)∨ (q∧p) , DIST
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 38 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q1
(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND⇔ (¬p∧p)∨ (q∧p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧p) , CONT
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 39 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q1
(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND⇔ (¬p∧p)∨ (q∧p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧p) , CONT⇔ q∧p , IDEN
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 40 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q1
(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND⇔ (¬p∧p)∨ (q∧p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧p) , CONT⇔ q∧p , IDEN⇒ q , SIMP
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 41 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q2
(p→ q)∧¬q ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 42 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q2
(p→ q)∧¬q ⇔ (¬p∨q)∧¬q , COND
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 43 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q2
(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND⇔ (¬p∧p)∨ (q∧p) , DIST
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 44 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q2
(p→ q)∧¬q ⇔ (¬p∨q)∧¬q , COND⇔ (¬p∧¬q)∨ (q∧¬q) , DIST⇔ (¬p∧¬q)∨χ , CONT
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 45 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q2
(p→ q)∧¬q ⇔ (¬p∨q)∧¬q , COND⇔ (¬p∧¬q)∨ (q∧¬q) , DIST⇔ (¬p∧¬q)∨χ , CONT⇔ ¬p∧¬q , IDEN
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 46 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q2
(p→ q)∧¬q ⇔ (¬p∨q)∧¬q , COND⇔ (¬p∧¬q)∨ (q∧¬q) , DIST⇔ (¬p∧¬q)∨χ , CONT⇔ ¬p∧¬q , IDEN⇒ ¬p , SIMP
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 47 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q3
(p∨q)∧¬p ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 48 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q3
(p∨q)∧¬p ⇔ (p∧¬p)∨ (q∧¬p) , DIST
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 49 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q3
(p∨q)∧¬p ⇔ (p∧¬p)∨ (q∧¬p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧¬p) , CONT
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 50 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q3
(p∨q)∧¬p ⇔ (p∧¬p)∨ (q∧¬p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧¬p) , CONT⇔ q∧¬p , IDEN
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 51 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.
Solução Q3
(p∨q)∧¬p ⇔ (p∧¬p)∨ (q∧¬p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧¬p) , CONT⇔ q∧¬p , IDEN⇔ q , SIMP
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 52 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p⇒ q.
Solução Q3
(p∨q)∧¬p ⇔ (p∧¬p)∨ (q∧¬p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧¬p) , CONT⇔ q∧¬p , IDEN⇔ q , SIMP⇒ q , SIME
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 53 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (Exportação-Importação) p∧q→ r ⇔ p→ (q→ r).2 (Redução a absurdo) p→ q⇔ p∧¬q→ χ .
Solução Q1
(p∧q)→ r ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 54 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as equivalências:1 (Exportação-Importação) p∧q→ r ⇔ p→ (q→ r).2 (Redução a absurdo) p→ q⇔ p∧¬q→ χ .
Solução Q1
(p∧q)→ r ⇔ ¬(p∧q)∨ r , COND⇔ (¬p∨¬q)∨ r , De Morgan⇔ ¬p∨ (¬q∨ r) , ASSO⇔ p→ (¬q∨ r) , COND⇔ p→ (q→ r) , COND
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 55 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (Exportação-Importação) p∧q→ r ⇔ p→ (q→ r).2 (Redução a absurdo) p→ q⇔ p∧¬q→ χ .
Solução Q2
p→ q ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 56 / 136
Regras de inferência e argumentosPropriedades
Demonstre as implicações:1 (Exportação-Importação) p∧q→ r ⇔ p→ (q→ r).2 (Redução a absurdo) p→ q⇔ p∧¬q→ χ .
Solução Q2
p→ q ⇔ ¬p∨q , COND⇔ ¬(p∧¬q) , De Morgan⇔ ¬(p∧¬q)∨χ , IDEN⇔ (p∧¬q)→ χ , COND
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 57 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento
Denição
Chama-se argumento toda a armação de que uma dada sequência nita
P1, P2, ..., Pn (n ≥ 1) de proposições tem como consequência ou acarreta
uma proposição nal Q.
Simbolicamente
Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q indica-se por
P1, P2, ..., Pn ` Q
o qual se lê:
P1, P2, ..., Pn acarretam Q .
Q decorre (se deduz, se infere) de P1, P2, ..., Pn .
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 58 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento
Denição
Chama-se argumento toda a armação de que uma dada sequência nita
P1, P2, ..., Pn (n ≥ 1) de proposições tem como consequência ou acarreta
uma proposição nal Q.
Simbolicamente
Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q indica-se por
P1, P2, ..., Pn ` Q
o qual se lê:
P1, P2, ..., Pn acarretam Q .
Q decorre (se deduz, se infere) de P1, P2, ..., Pn .
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 58 / 136
Regras de inferência e argumentosSilogismo, argumento válido e sosma
Denição
Um argumento formado por duas premissas e uma conclusão é chamado
silogismo.
P1, P2 ` Q
Denição
Um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q
é dito válido - correto, legítimo - se, e somente se, a conclusão Q é
verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, ..., Pn são verdadeiras.
Um argumento que não é válido é dito inválido ou ilegítimo ou, ainda,sosma.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 59 / 136
Regras de inferência e argumentosSilogismo, argumento válido e sosma
Denição
Um argumento formado por duas premissas e uma conclusão é chamado
silogismo.
P1, P2 ` Q
Denição
Um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q
é dito válido - correto, legítimo - se, e somente se, a conclusão Q é
verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, ..., Pn são verdadeiras.
Um argumento que não é válido é dito inválido ou ilegítimo ou, ainda,sosma.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 59 / 136
Regras de inferência e argumentosA lógica se ocupa com a validade dos argumentos
Comentário
A validade de um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q
depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e aconclusão. Portanto, dizer que um argumento é válido signica armar queas premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que a partirda veracidade daquelas inescapavelmente obtém-se a veracidade desta.
Por conseguinte, a validade ou não-validade de um argumento dependeapenas da sua forma e não de seu conteúdo ou da verdade e falsidade dasproposições que o integram.
Argumentos diversos podem ter a mesma forma e é a forma que determinaa validade.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 136
Regras de inferência e argumentosA lógica se ocupa com a validade dos argumentos
Comentário
A validade de um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q
depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e aconclusão. Portanto, dizer que um argumento é válido signica armar queas premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que a partirda veracidade daquelas inescapavelmente obtém-se a veracidade desta.
Por conseguinte, a validade ou não-validade de um argumento dependeapenas da sua forma e não de seu conteúdo ou da verdade e falsidade dasproposições que o integram.
Argumentos diversos podem ter a mesma forma e é a forma que determinaa validade.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 136
Regras de inferência e argumentosInconsistência
Denição
Duas ou mais proposições que não podem ser simultâneamente verdadeirassão ditas inconsistentes; caso contrário, chamam-se consistentes. Diz-seque um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q
é (in)consistente quando suas premissas P1, P2, ..., Pn são (in)consistentes.
Exemplo
O argumento p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` p∧¬r é consistente.
Com efeito, tomando V (r) = F , V (q) = F e V (p) = F , segue queV (¬r) = V , V (p→ q) = V , V (q→ r) = V , V (r → p) = V ,V (p→¬r) = V e, por conseguinte,V ((p→ q)∧ (q→ r)∧ (r → p)∧ (p→¬r)) = V como requerido.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 136
Regras de inferência e argumentosInconsistência
Denição
Duas ou mais proposições que não podem ser simultâneamente verdadeirassão ditas inconsistentes; caso contrário, chamam-se consistentes. Diz-seque um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q
é (in)consistente quando suas premissas P1, P2, ..., Pn são (in)consistentes.
Exemplo
O argumento p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` p∧¬r é consistente.
Com efeito, tomando V (r) = F , V (q) = F e V (p) = F , segue queV (¬r) = V , V (p→ q) = V , V (q→ r) = V , V (r → p) = V ,V (p→¬r) = V e, por conseguinte,V ((p→ q)∧ (q→ r)∧ (r → p)∧ (p→¬r)) = V como requerido.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 136
Regras de inferência e argumentosInconsistência
Denição
Duas ou mais proposições que não podem ser simultâneamente verdadeirassão ditas inconsistentes; caso contrário, chamam-se consistentes. Diz-seque um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q
é (in)consistente quando suas premissas P1, P2, ..., Pn são (in)consistentes.
Exemplo
O argumento p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` p∧¬r é consistente.
Com efeito, tomando V (r) = F , V (q) = F e V (p) = F , segue queV (¬r) = V , V (p→ q) = V , V (q→ r) = V , V (r → p) = V ,V (p→¬r) = V e, por conseguinte,V ((p→ q)∧ (q→ r)∧ (r → p)∧ (p→¬r)) = V como requerido.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento consistente e inválido
Denição
Um argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q
é dito válido - correto, legítimo - se, e somente se, a conclusão Q éverdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, ..., Pn são verdadeiras.
Exemplo
O argumento p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` p∧¬r é inválido.
Com efeito, tomando V (r) = F , V (q) = F e V (p) = F , segue queV (p→ q) = V , V (q→ r) = V , V (r → p) = V , V (p→¬r) = V , masV (p∧¬r) = F .
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 62 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento consistente e inválido
Denição
Um argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q
é dito válido - correto, legítimo - se, e somente se, a conclusão Q éverdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, ..., Pn são verdadeiras.
Exemplo
O argumento p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` p∧¬r é inválido.
Com efeito, tomando V (r) = F , V (q) = F e V (p) = F , segue queV (p→ q) = V , V (q→ r) = V , V (r → p) = V , V (p→¬r) = V , masV (p∧¬r) = F .
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 62 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento inconsistente
Exemplo
O argumento¬p∨¬q, p∧ s, ¬s ∨ r , r → r ∧q ` Γ
é inconsistente.
Com efeito, para que se tenha V (p∧ s) = V , deve-se ter V (p) = V ,V (s) = V . Ademais, V (¬s) = F e para que se tenha V (¬s ∨ r) = V ,deve-se ter V (r) = V . Como V (¬p) = F para ocorrer V (¬p∨¬q) = V ,obrigatoriamente V (q) = F . Mas, neste caso, V (r → r ∧q) = F .
Portanto, não há como tornar as premissas simultanemente verdadeiras.Noutras palavras, a conjunção das premissas é uma contradição.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 63 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento inconsistente
Exemplo
O argumento¬p∨¬q, p∧ s, ¬s ∨ r , r → r ∧q ` Γ
é inconsistente.
Com efeito, para que se tenha V (p∧ s) = V , deve-se ter V (p) = V ,V (s) = V . Ademais, V (¬s) = F e para que se tenha V (¬s ∨ r) = V ,deve-se ter V (r) = V . Como V (¬p) = F para ocorrer V (¬p∨¬q) = V ,obrigatoriamente V (q) = F . Mas, neste caso, V (r → r ∧q) = F .
Portanto, não há como tornar as premissas simultanemente verdadeiras.Noutras palavras, a conjunção das premissas é uma contradição.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 63 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento inconsistente
Exemplo
O argumento¬p∨¬q, p∧ s, ¬s ∨ r , r → r ∧q ` Γ
é inconsistente.
Com efeito, para que se tenha V (p∧ s) = V , deve-se ter V (p) = V ,V (s) = V . Ademais, V (¬s) = F e para que se tenha V (¬s ∨ r) = V ,deve-se ter V (r) = V . Como V (¬p) = F para ocorrer V (¬p∨¬q) = V ,obrigatoriamente V (q) = F . Mas, neste caso, V (r → r ∧q) = F .
Portanto, não há como tornar as premissas simultanemente verdadeiras.Noutras palavras, a conjunção das premissas é uma contradição.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 63 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento (associado) e condicional associada
Denição
A cada argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q
corresponde a proposição
P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q
denominada condicional associada ao argumento, cujo antecedente é aconjunção das premissas e cujo consequente é a conclusão do argumentodado.
Reciprocamente, a cada condicional corresponde um argumento associadocujas premissas são as proposições do antecedente ligadas por conjunção ecuja conclusão é o consequente.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 64 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento (associado) e condicional associada
Denição
A cada argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q
corresponde a proposição
P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q
denominada condicional associada ao argumento, cujo antecedente é aconjunção das premissas e cujo consequente é a conclusão do argumentodado.
Reciprocamente, a cada condicional corresponde um argumento associadocujas premissas são as proposições do antecedente ligadas por conjunção ecuja conclusão é o consequente.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 64 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento válido, condicional
Teorema
Um argumento P1, P2, ..., Pn ` Q é válido se, e somente se, a condicionalassociada
P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q (1)
é uma tautologia.
Prova
As premissas P1, P2, . . ., Pn são todas verdadeiras se, e só se, a proposiçãoP1∧P2∧ ...∧Pn é verdadeira. Logo, o argumento dado é válido se, e só se,a conclusão Q é verdadeira sempre que P1∧P2∧ ...∧Pn é verdadeira, ouseja, se, e somente se, a proposição P1∧P2∧ ...∧Pn implica logicamenteQ, o que é equivalente a dizer que a condicional (1) é tautológica.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 65 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento válido, condicional
Teorema
Um argumento P1, P2, ..., Pn ` Q é válido se, e somente se, a condicionalassociada
P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q (1)
é uma tautologia.
Prova
As premissas P1, P2, . . ., Pn são todas verdadeiras se, e só se, a proposiçãoP1∧P2∧ ...∧Pn é verdadeira. Logo, o argumento dado é válido se, e só se,a conclusão Q é verdadeira sempre que P1∧P2∧ ...∧Pn é verdadeira, ouseja, se, e somente se, a proposição P1∧P2∧ ...∧Pn implica logicamenteQ, o que é equivalente a dizer que a condicional (1) é tautológica.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 65 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento válido, condicional
Teorema
Um argumento P1, P2, ..., Pn ` Q é válido se, e somente se, a condicionalassociada P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q é uma tautologia.
Corolário 1 - princípio de substituição
Se o argumento
P1(r ,s,u, ...), P2(r ,s,u, ...), ..., Pn(r ,s,u, ...) ` Q(r ,s,u, ...)
é válido, então o argumento
P1(Γ,Φ,Ω, ...), P2(Γ,Φ,Ω, ...), ..., Pn(Γ,Φ,Ω, ...) ` Q(Γ,Φ,Ω, ...)
também válido, quaisquer que sejam as proposições Γ, Φ, Ω, ...
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 66 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento válido, condicional
Teorema
Um argumento P1, P2, ..., Pn ` Q é válido se, e somente se, a condicionalassociada P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q é uma tautologia.
Corolário 1 - princípio de substituição
Se o argumento
P1(r ,s,u, ...), P2(r ,s,u, ...), ..., Pn(r ,s,u, ...) ` Q(r ,s,u, ...)
é válido, então o argumento
P1(Γ,Φ,Ω, ...), P2(Γ,Φ,Ω, ...), ..., Pn(Γ,Φ,Ω, ...) ` Q(Γ,Φ,Ω, ...)
também válido, quaisquer que sejam as proposições Γ, Φ, Ω, ...
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 66 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento válido, condicional
Teorema
Um argumento P1, P2, ..., Pn ` Q é válido se, e somente se, a condicionalassociada P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q é uma tautologia.
Corolário 2
O argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q
é válido se, e somente se,
P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q
é uma tautologia; o que ocorre se, e somente se,
P1∧P2∧ ...∧Pn⇒ Q .
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 67 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento inconsistente é válido
Corolário 3
Todo argumento inconsistente P1, P2, ..., Pn ` Q é válido.
Prova
Com efeito, como o argumento é inconsistente
V (P1∧P2∧ ...∧Pn) = F .
Desta forma, independentemente do valor lógico de Q, tem-se
V (P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q) = V .
Pelo teorema, conclui-se que o argumento é válido.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 68 / 136
Regras de inferência e argumentosArgumento inconsistente é válido
Corolário 3
Todo argumento inconsistente P1, P2, ..., Pn ` Q é válido.
Prova
Com efeito, como o argumento é inconsistente
V (P1∧P2∧ ...∧Pn) = F .
Desta forma, independentemente do valor lógico de Q, tem-se
V (P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q) = V .
Pelo teorema, conclui-se que o argumento é válido.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 68 / 136
Regras de inferência e argumentosDedução natural
Dedução natural
Devido ao corolário 2, ao investigar a validade de um argumento, podemosusar uma tabela-verdade ou alguma forma de raciocínio que utilize osvalores lógicos das proposições (simples) constituintes das premissas e daconclusão. Outro método possível é a dedução natural. Este métodoconsiste em aplicar resultados estabelecidos - implicações ou equivalênciaslógicas conhecidas - ao conjunto de premissas, gerando conclusõesintermediárias às quais aplicam-se novamente as regras, até atingir-se aconclusão nal desejada.
A esse processo chamamos deduzir, provar, demonstrar a conclusão (nal)a partir do conjunto das premissas, e a seu resultado, uma dedução ouprova ou demonstração.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 69 / 136
Regras de inferência e argumentosDedução natural
Dedução natural
Devido ao corolário 2, ao investigar a validade de um argumento, podemosusar uma tabela-verdade ou alguma forma de raciocínio que utilize osvalores lógicos das proposições (simples) constituintes das premissas e daconclusão. Outro método possível é a dedução natural. Este métodoconsiste em aplicar resultados estabelecidos - implicações ou equivalênciaslógicas conhecidas - ao conjunto de premissas, gerando conclusõesintermediárias às quais aplicam-se novamente as regras, até atingir-se aconclusão nal desejada.
A esse processo chamamos deduzir, provar, demonstrar a conclusão (nal)a partir do conjunto das premissas, e a seu resultado, uma dedução ouprova ou demonstração.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 69 / 136
PropriedadesAssociativa
Denição
Dado um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q
chama-se demonstração ou dedução de Q,a partir das premissas P1, P2, . . ., Pn atoda sequência nita Γ1, Γ2, ..., Γk tais quecada Γi ou é uma premissa ou resulta deproposições anteriores da sequência pelouso de uma Regra de Inferência (ou umaEquivalência Notável) e de tal que modoque a última proposição Γk da sequênciaseja a conclusão Q do argumento dado.
Dispositivo prático
P1 (1)...
...Pn (n)
Γ1 RI ou ENΓ2 RI ou EN...
...Γk−1 RI ou ENΓk = Q conclusão
nal
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 70 / 136
PropriedadesAssociativa
Denição
Dado um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q
chama-se demonstração ou dedução de Q,a partir das premissas P1, P2, . . ., Pn atoda sequência nita Γ1, Γ2, ..., Γk tais quecada Γi ou é uma premissa ou resulta deproposições anteriores da sequência pelouso de uma Regra de Inferência (ou umaEquivalência Notável) e de tal que modoque a última proposição Γk da sequênciaseja a conclusão Q do argumento dado.
Dispositivo prático
P1 (1)...
...Pn (n)
Γ1 RI ou ENΓ2 RI ou EN...
...Γk−1 RI ou ENΓk = Q conclusão
nal
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 70 / 136
Implicação lógicae a arte da argumentação
Dilema Construtivo, Dilema Destrutivo
Exemplo
Vimos que valem as seguintes implicações:
(DC) (p→ q)∧ (r → s)∧ (p∨ r)⇒ q∨ s(DD) (p→ q)∧ (r → s)∧ (¬q∨¬s)⇒¬p∨¬r
Dispositivoprático
(DC) p→ q
r → s
p∨ rq∨ s
(DD) p→ q
r → s
¬q∨¬s¬p∨¬r
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 71 / 136
Regras de inferência e argumentosDedução natural
Exemplos
Vimos que valem as seguintes implicações:
(DC) (p→ q)∧ (r → s)∧ (p∨ r)⇒ q∨ s(DD) (p→ q)∧ (r → s)∧ (¬q∨¬s)⇒¬p∨¬r
Disso decorre que são tautológicas as condicionais
(p→ q)∧ (r → s)∧ (p∨ r)→ q∨ s(p→ q)∧ (r → s)∧ (¬q∨¬s)→¬p∨¬r
Além disso, são válidos os argumentos
p→ q, r → s, p∨ r ` q∨ sp→ q, r → s, ¬q∨¬s ` ¬p∨¬r
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 72 / 136
Regras de inferência e argumentosDedução natural
Exemplos
Vimos que valem as seguintes implicações:
(DC) (p→ q)∧ (r → s)∧ (p∨ r)⇒ q∨ s(DD) (p→ q)∧ (r → s)∧ (¬q∨¬s)⇒¬p∨¬r
Disso decorre que são tautológicas as condicionais
(p→ q)∧ (r → s)∧ (p∨ r)→ q∨ s(p→ q)∧ (r → s)∧ (¬q∨¬s)→¬p∨¬r
Além disso, são válidos os argumentos
p→ q, r → s, p∨ r ` q∨ sp→ q, r → s, ¬q∨¬s ` ¬p∨¬r
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 72 / 136
Regras de inferência e argumentosDedução natural
Exemplos
Vimos que valem as seguintes implicações:
(DC) (p→ q)∧ (r → s)∧ (p∨ r)⇒ q∨ s(DD) (p→ q)∧ (r → s)∧ (¬q∨¬s)⇒¬p∨¬r
Disso decorre que são tautológicas as condicionais
(p→ q)∧ (r → s)∧ (p∨ r)→ q∨ s(p→ q)∧ (r → s)∧ (¬q∨¬s)→¬p∨¬r
Além disso, são válidos os argumentos
p→ q, r → s, p∨ r ` q∨ sp→ q, r → s, ¬q∨¬s ` ¬p∨¬r
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 72 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
Qual é mesmo a Equivalência Notável indicada por DEXC ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
Qual é mesmo a Equivalência Notável indicada por DEXC ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
Qual é mesmo a Equivalência Notável indicada por DEXC ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
Qual é mesmo a Equivalência Notável indicada por DEXC ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
Qual é mesmo a Equivalência Notável indicada por DEXC ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
Qual é mesmo a Equivalência Notável indicada por DEXC ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
Qual é mesmo a Equivalência Notável indicada por DEXC ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
Qual é mesmo a Equivalência Notável indicada por DEXC ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
(DEXC) α Yδ ⇔ (α ∨δ )∧¬(α ∧δ )
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 74 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
(IDEN) p∧ τ ⇔ p e p∧χ ⇔ χ
p∨ τ ⇔ τ e p∨χ ⇔ p
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 75 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
(ABS) p∧ (p∨q)⇔ p e p∨ (p∧q)⇔ p
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 76 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
(CP) p→ q⇔¬q→¬p
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 77 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
(EI) p∧q→ r ⇔ p→ (q→ r)
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 78 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),
identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e
regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).
Estude os capítulos 6, 7 e 12 e, se considerar conveniente, elabore umformulário com essas Equivalências Notáveis.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 79 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 80 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND⇔ (¬p∨p)∧ (¬p∨q) , DIST
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 81 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND⇔ (¬p∨p)∧ (¬p∨q) , DIST⇔ τ ∧ (¬p∨q) , DEF
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 82 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND⇔ (¬p∨p)∧ (¬p∨q) , DIST⇔ τ ∧ (¬p∨q) , DEF⇔ ¬p∨q , IDEN
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 83 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND⇔ (¬p∨p)∧ (¬p∨q) , DIST⇔ τ ∧ (¬p∨q) , DEF⇔ ¬p∨q , IDEN⇔ p→ q , COND
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 84 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND⇔ (¬p∨p)∧ (¬p∨q) , DIST⇔ τ ∧ (¬p∨q) , DEF⇔ ¬p∨q , IDEN⇔ p→ q , COND
Em particular, pode-se armar que
p→ q⇒ p→ (p∧q) .
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 85 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente):1 Adição (AD), simplicação (SIMP), conjunção (CONJ).2 Modus ponens (MP), modus tollens (MT).3 Absorção (ABS).4 Silogismo disjuntivo (SD), silogismo hipotético (SH).5 Dilema construtiva (DC), dilema destrutivo (DD).
Qual é mesmo o argumento válido fundamental indicado por ABS ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 86 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente):1 Adição (AD), simplicação (SIMP), conjunção (CONJ).2 Modus ponens (MP), modus tollens (MT).3 Absorção (ABS).4 Silogismo disjuntivo (SD), silogismo hipotético (SH).5 Dilema construtiva (DC), dilema destrutivo (DD).
Qual é mesmo o argumento válido fundamental indicado por ABS ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 86 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente):1 Adição (AD), simplicação (SIMP), conjunção (CONJ).2 Modus ponens (MP), modus tollens (MT).3 Absorção (ABS).4 Silogismo disjuntivo (SD), silogismo hipotético (SH).5 Dilema construtiva (DC), dilema destrutivo (DD).
Qual é mesmo o argumento válido fundamental indicado por ABS ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 86 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente):1 Adição (AD), simplicação (SIMP), conjunção (CONJ).2 Modus ponens (MP), modus tollens (MT).3 Absorção (ABS).4 Silogismo disjuntivo (SD), silogismo hipotético (SH).5 Dilema construtiva (DC), dilema destrutivo (DD).
Qual é mesmo o argumento válido fundamental indicado por ABS ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 86 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente):1 Adição (AD), simplicação (SIMP), conjunção (CONJ).2 Modus ponens (MP), modus tollens (MT).3 Absorção (ABS).4 Silogismo disjuntivo (SD), silogismo hipotético (SH).5 Dilema construtiva (DC), dilema destrutivo (DD).
Qual é mesmo o argumento válido fundamental indicado por ABS ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 86 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente):1 Adição (AD), simplicação (SIMP), conjunção (CONJ).2 Modus ponens (MP), modus tollens (MT).3 Absorção (ABS).4 Silogismo disjuntivo (SD), silogismo hipotético (SH).5 Dilema construtiva (DC), dilema destrutivo (DD).
Qual é mesmo o argumento válido fundamental indicado por ABS ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 86 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente):1 Adição (AD), simplicação (SIMP), conjunção (CONJ).2 Modus ponens (MP), modus tollens (MT).3 Absorção (ABS).4 Silogismo disjuntivo (SD), silogismo hipotético (SH).5 Dilema construtiva (DC), dilema destrutivo (DD).
Qual é mesmo o argumento válido fundamental indicado por ABS ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 86 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente):1 Adição (AD), simplicação (SIMP), conjunção (CONJ).2 Modus ponens (MP), modus tollens (MT).3 Absorção (ABS).4 Silogismo disjuntivo (SD), silogismo hipotético (SH).5 Dilema construtiva (DC), dilema destrutivo (DD).
(ABS) p→ q ` p→ (p∧q)
pois, conforme visto acima, vale a implicação p→ q⇒ p→ (p∧q).
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 87 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Propriedades
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente):1 Adição (AD), simplicação (SIMP), conjunção (CONJ).2 Modus ponens (MP), modus tollens (MT).3 Absorção (ABS).4 Silogismo disjuntivo (SD), silogismo hipotético (SH).5 Dilema construtiva (DC), dilema destrutivo (DD).
Estude os capítulos 8 e 9 e, se considerar conveniente, elabore umformulário com essas Regras de Inferência (argumentos fundamentaisválidos)
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 88 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Demonstre que é válido o argumento
q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p
Solução - usando um dispositivo prático
(1) q∨ (r → t)(2) q→ s
(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 89 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Demonstre que é válido o argumento
q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p
Solução - usando um dispositivo prático
(1) q∨ (r → t)(2) q→ s
(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 89 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Demonstre que é válido o argumento
q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p
Solução - usando um dispositivo prático
(1) q∨ (r → t)(2) q→ s
(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) ? 3,4 - MP
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 90 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Demonstre que é válido o argumento
q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p
Solução - usando um dispositivo prático
(1) q∨ (r → t)(2) q→ s
(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 91 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Demonstre que é válido o argumento
q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p
Solução - usando um dispositivo prático
(1) q∨ (r → t)(2) q→ s
(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ? 2,4 - MT
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 92 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Demonstre que é válido o argumento
q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p
Solução - usando um dispositivo prático
(1) q∨ (r → t)(2) q→ s
(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ¬q 2,4 - MT(7) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 93 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Demonstre que é válido o argumento
q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p
Solução - usando um dispositivo prático
(1) q∨ (r → t)(2) q→ s
(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ¬q 2,4 - MT(7) ? 6,1 - SD
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 94 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Demonstre que é válido o argumento
q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p
Solução - usando um dispositivo prático
(1) q∨ (r → t)(2) q→ s
(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ¬q 2,4 - MT(7) r → t 6,1 - SD(8 ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 95 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Demonstre que é válido o argumento
q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p
Solução - usando um dispositivo prático
(1) q∨ (r → t)(2) q→ s
(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ¬q 2,4 - MT(7) r → t 6,1 - SD(8) ? 5,7 - SH
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 96 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Demonstre que é válido o argumento
q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p
Solução - usando um dispositivo prático
(1) q∨ (r → t)(2) q→ s
(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ¬q 2,4 - MT(7) r → t 6,1 - SD(8) r → p 5,7 - SH
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 97 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s
(4) ¬(r ∧ s)(5) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 98 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s
(4) ¬(r ∧ s)(5) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 98 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s
(4) ¬(r ∧ s)(5) ? 3 - BICOND
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 99 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s
(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 100 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s
(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ? 5 - SIMP
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 101 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s
(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ¬r ∧¬s 5 - SIMP(7) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 102 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s
(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ¬r ∧¬s 5 - SIMP(7) ¬(r ∨ s) 6 - DM
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 103 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s
(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ¬r ∧¬s 5 - SIMP(7) ¬(r ∨ s) 6 - DM(8) p→ (p→ r ∨ s) 1,2 - SH
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 104 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s
(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ¬r ∧¬s 5 - SIMP(7) ¬(r ∨ s) 6 - DM(8) p→ (p→ r ∨ s) 1,2 - SH(9) (p∧p)→ (r ∨ s) 8 - EI
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 105 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s
(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ¬r ∧¬s 5 - SIMP(7) ¬(r ∨ s) 6 - DM(8) p→ (p→ r ∨ s) 1,2 - SH(9) (p∧p)→ (r ∨ s) 8 - EI
(10) p→ r ∨ s 9 - ID
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 106 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s
(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ¬r ∧¬s 5 - SIMP(7) ¬(r ∨ s) 6 - DM(8) p→ (p→ r ∨ s) 1,2 - SH(9) (p∧p)→ (r ∨ s) 8 - EI
(10) p→ r ∨ s 9 - ID(11) ¬p 7,10 - MT
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 107 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ r
(3) r → p
(4) p→¬r
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 108 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ r
(3) r → p
(4) p→¬r
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 108 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ r
(3) r → p
(4) p→¬r(5) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 109 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ r
(3) r → p
(4) p→¬r(5) ? 1,2 - SH
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 110 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ r
(3) r → p
(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 111 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ r
(3) r → p
(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) (p→ r)∧ (r → p) 3,5 - AD
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 112 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ r
(3) r → p
(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) (p→ r)∧ (r → p) 3,5 - AD(7) p↔ r 6 - BICOND
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 113 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ r
(3) r → p
(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) (p→ r)∧ (r → p) 3,5 - AD(7) p↔ r 6 - BICOND(8) (p∧ r)∨ (¬p∧¬r) 7 - BICOND
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 114 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ r
(3) r → p
(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) (p→ r)∧ (r → p) 3,5 - AD(7) p↔ r 6 - BICOND(8) (p∧ r)∨ (¬p∧¬r) 7 - BICOND(9) ¬p∨¬r 4 - COND
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 115 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ r
(3) r → p
(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) (p→ r)∧ (r → p) 3,5 - AD(7) p↔ r 6 - BICOND(8) (p∧ r)∨ (¬p∧¬r) 7 - BICOND(9) ¬p∨¬r 4 - COND
(10) ¬(p∧ r) 9 - DM
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 116 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p→ q
(2) q→ r
(3) r → p
(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) (p→ r)∧ (r → p) 3,5 - AD(7) p↔ r 6 - BICOND(8) (p∧ r)∨ (¬p∧¬r) 7 - BICOND(9) ¬p∨¬r 4 - COND
(10) ¬(p∧ r) 9 - DM(11) ¬p∧¬r 8,10 - SD
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 117 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Demonstre que é válido o argumento p∧q→¬r , r ∨ (s ∧ t), p↔ q ` p→ s.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p∧q→¬r(2) r ∨ (s ∧ t)(3) p↔ q
(4) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 118 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Demonstre que é válido o argumento p∧q→¬r , r ∨ (s ∧ t), p↔ q ` p→ s.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p∧q→¬r(2) r ∨ (s ∧ t)(3) p↔ q
(4) ? ??
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 118 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Demonstre que é válido o argumento p∧q→¬r , r ∨ (s ∧ t), p↔ q ` p→ s.
Solução - usando um dispositivo prático
(1) p∧q→¬r(2) r ∨ (s ∧ t)(3) p↔ q
(4) (p→ q)∧ (q→ p) 3 - BICOND(5) p→ q 4 - SIMP(6) p→ p∧q 5 - ABS(7) p→¬r 1,6 - SH(8) (r ∨ s)∧ (r ∨ t) 2 - DIST(9) r ∨ s 8 - SIMP
(10) ¬¬r ∨ s 9 - DN(11) ¬r → s 10 - COND(12) p→ s 7,11 - SH
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 119 / 136
Regras de inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Mostre que é válido o seguinteargumento
(1) 2x + y = 5→ 2x = 2(2) 2x + y = 5∨ y = 3(3) 2x = 2→ x = 1(4) y = 3→ 2x = 2∴ x = 1
Solução
Considerep: 2x + y = 5q: 2x = 2
r : y = 3s: x = 1
Segue que(1) p→ q
(2) p∨ r(3) q→ s
(4) r → q
(5) q∨q 1,2,4 - DC(6) q 5 - ID(7) s 3,6 - MP
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 120 / 136
Regras de inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Mostre que é válido o seguinteargumento
(1) 2x + y = 5→ 2x = 2(2) 2x + y = 5∨ y = 3(3) 2x = 2→ x = 1(4) y = 3→ 2x = 2∴ x = 1
Solução
Considerep: 2x + y = 5q: 2x = 2
r : y = 3s: x = 1
Segue que(1) p→ q
(2) p∨ r(3) q→ s
(4) r → q
(5) q∨q 1,2,4 - DC(6) q 5 - ID(7) s 3,6 - MP
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 120 / 136
Regras de inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Mostre que é válido o seguinteargumento
(1) 2x + y = 5→ 2x = 2(2) 2x + y = 5∨ y = 3(3) 2x = 2→ x = 1(4) y = 3→ 2x = 2∴ x = 1
Solução
Considerep: 2x + y = 5q: 2x = 2
r : y = 3s: x = 1
Segue que(1) p→ q
(2) p∨ r(3) q→ s
(4) r → q
(5) q∨q 1,2,4 - DC(6) q 5 - ID(7) s 3,6 - MP
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 120 / 136
Regras de inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Considere o argumento: Se Londres não ca na Bélgica, então Paris nãoca na França. Mas Paris ca na França. Logo, Londres ca na Bélgica.
(a) Você concorda com aconclusão?(b) O argumento é válido?
Sendo as proposiçõesλ : Londres ca na Bégicap: Paris ca na França
o
argumento assume a formasimbólica ¬λ →¬p, p ` λ .
Segue que(1) ¬λ →¬p(2) p
(3) ¬(¬λ )∨ (¬p) 1 - COND(4) λ ∨ (¬p) 3 - DN(5) ¬(¬p) 2 - DN(6) λ 4,5 - SD
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 121 / 136
Regras de inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Considere o argumento: Se Londres não ca na Bélgica, então Paris nãoca na França. Mas Paris ca na França. Logo, Londres ca na Bélgica.
(a) Você concorda com aconclusão?(b) O argumento é válido?
Sendo as proposiçõesλ : Londres ca na Bégicap: Paris ca na França
o
argumento assume a formasimbólica ¬λ →¬p, p ` λ .
Segue que(1) ¬λ →¬p(2) p
(3) ¬(¬λ )∨ (¬p) 1 - COND(4) λ ∨ (¬p) 3 - DN(5) ¬(¬p) 2 - DN(6) λ 4,5 - SD
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 121 / 136
Regras de inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo
Considere o argumento: Se Londres não ca na Bélgica, então Paris nãoca na França. Mas Paris ca na França. Logo, Londres ca na Bélgica.
(a) Você concorda com aconclusão?(b) O argumento é válido?
Sendo as proposiçõesλ : Londres ca na Bégicap: Paris ca na França
o
argumento assume a formasimbólica ¬λ →¬p, p ` λ .
Segue que(1) ¬λ →¬p(2) p
(3) ¬(¬λ )∨ (¬p) 1 - COND(4) λ ∨ (¬p) 3 - DN(5) ¬(¬p) 2 - DN(6) λ 4,5 - SD
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 121 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo (revisitado)
Prove que é inconsistente ¬p∨¬q, p∧ s, ¬s ∨ r , r → r ∧q ` Ω.
Solução
(1) ¬p∨¬q(2) p∧ s(3) ¬s ∨ r(4) r → r ∧q(5) ? ??...
......
(n) ???
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 122 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo (revisitado)
Prove que é inconsistente ¬p∨¬q, p∧ s, ¬s ∨ r , r → r ∧q ` Ω.
Solução
(1) ¬p∨¬q(2) p∧ s(3) ¬s ∨ r(4) r → r ∧q(5) ? ??...
......
(n) ???
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 122 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo (revisitado)
Prove que é inconsistente ¬p∨¬q, p∧ s, ¬s ∨ r , r → r ∧q ` Ω.
Solução
(1) ¬p∨¬q(2) p∧ s(3) ¬s ∨ r(4) r → r ∧q(5) ? ??...
......
(n) χ
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 123 / 136
Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica
Exemplo (revisitado)
Prove que é inconsistente ¬p∨¬q, p∧ s, ¬s ∨ r , r → r ∧q ` Ω.
Solução
(1) ¬p∨¬q(2) p∧ s(3) ¬s ∨ r(4) r → r ∧q(5) p 2 - SIMP(6) s 2 - SIMP(7) ¬q 1,5 - SD(8) r 3,6 - SD(9) r ∧q 4,8 - MP
(10) q 9 - SIMP(11) q∧¬q 7,10 - CONJ
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 124 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Condicional
Por vezes, a conclusão Q de um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q (2)
é uma condicional Γ→Υ. Neste caso, o argumento é válido se, e só se, acondicional
P1∧P2∧ ...∧Pn→ (Γ→Υ)
é tautológica. Como pela propriedade da exportação-importação (EI),
P1∧P2∧ ...∧Pn→ (Γ→Υ)⇔ P1∧P2∧ ...∧Pn∧Γ→Υ
conclui-se que (2) é válido se, e só se, é tautológica a condicional
P1∧P2∧ ...∧Pn∧Γ→Υ (3)
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 125 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Condicional
Uma demonstração condicional consiste em analisar a validade doargumento
P1, P2, ..., Pn ` Γ→Υ
por meio da condicional
P1∧P2∧ ...∧Pn∧Γ→Υ
É obrigatório utilizar uma demonstração condicional na investigação davalidade de um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q
cuja conclusão Q é uma proposição condicional Γ→Υ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 126 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Condicional
Uma demonstração condicional consiste em analisar a validade doargumento
P1, P2, ..., Pn ` Γ→Υ
por meio da condicional
P1∧P2∧ ...∧Pn∧Γ→Υ
É obrigatório utilizar uma demonstração condicional na investigação davalidade de um argumento
P1, P2, ..., Pn ` Q
cuja conclusão Q é uma proposição condicional Γ→Υ?
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 126 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Condicional
É válido o argumento (p→ q)∧¬(r ∧¬s) , s → δ ∨u, ¬u ` r → δ ?
Solução
Pela Regra DC (Demonstração Condicional), deve-se analisar se(p→ q)∧¬(r ∧¬s) , s → δ ∨u, ¬u, r ` δ
é um argumento válido. Nesse caso, o dispositivo prático assume a forma(1) (p→ q)∧¬(r ∧¬s)(2) s → δ ∨u(3) ¬u(4) r
(5)...
......
......
... δ...
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 127 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Condicional
É válido o argumento (p→ q)∧¬(r ∧¬s) , s → δ ∨u, ¬u ` r → δ ?
Solução
Pela Regra DC (Demonstração Condicional), deve-se analisar se(p→ q)∧¬(r ∧¬s) , s → δ ∨u, ¬u, r ` δ
é um argumento válido. Nesse caso, o dispositivo prático assume a forma(1) (p→ q)∧¬(r ∧¬s)(2) s → δ ∨u(3) ¬u(4) r
(5)...
......
......
... δ...
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 127 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Condicional
É válido o argumento (p→ q)∧¬(r ∧¬s) , s → δ ∨u, ¬u ` r → δ ?
Solução
(1) (p→ q)∧¬(r ∧¬s)(2) s → δ ∨u(3) ¬u(4) r
(5)...
......
......
......
...... δ
...
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 128 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Condicional
É válido o argumento (p→ q)∧¬(r ∧¬s) , s → δ ∨u, ¬u ` r → δ ?
Solução
(1) (p→ q)∧¬(r ∧¬s)(2) s → δ ∨u(3) ¬u(4) r
(5) 1 - SIMP(6) 5 - DM, DN, COND(7) 2,6 - SH(8) 7 - COND(9) 8 - ASSOC
(10) 3,9 - SD(11) δ 4,10 - SD
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 129 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Condicional
É válido o argumento (p→ q)∧¬(r ∧¬s) , s → δ ∨u, ¬u ` r → δ ?
Solução
(1) (p→ q)∧¬(r ∧¬s)(2) s → δ ∨u(3) ¬u(4) r
(5) ¬(r ∧¬s) 1 - SIMP(6) r → s 5 - DM, DN, COND(7) r → δ ∨u 2,6 - SH(8) ¬r ∨ (δ ∨u) 7 - COND(9) (¬r ∨δ )∨u 8 - ASSOC
(10) ¬r ∨δ 3,9 - SD(11) δ 4,10 - SD
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 130 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Indireta
Um argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q (4)
é válido se, e somente se, a condicional P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q étautológica. Pela propriedade da redução ao absurdo,
P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q⇔ P1∧P2∧ ...∧Pn∧ (¬Q)→ χ
Portanto, o argumento (4) é válido se, só se,
P1∧P2∧ ...∧Pn∧ (¬Q)→ χ (5)
é uma tautologia. Uma Demonstração Indireta consiste em analisar avalidade do argumento (4) por meio da condicional (5).
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 131 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Indireta
É válido o argumento ¬p→¬q, ¬p∨ r , r →¬s ` ¬q∨¬s ?
Solução
Pela Regra DI (Demonstração Indireta), deve-se analisar se¬p→¬q, ¬p∨ r , r →¬s, ¬(¬q∨¬s) ` χ
é um argumento válido. Nesse caso, o dispositivo prático assume a forma(1) ¬p→¬q(2) ¬p∨ r(3) r →¬s(4) ¬(¬q∨¬s)
(5)...
......
......
... χ...
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 132 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Indireta
É válido o argumento ¬p→¬q, ¬p∨ r , r →¬s ` ¬q∨¬s ?
Solução
Pela Regra DI (Demonstração Indireta), deve-se analisar se¬p→¬q, ¬p∨ r , r →¬s, ¬(¬q∨¬s) ` χ
é um argumento válido. Nesse caso, o dispositivo prático assume a forma(1) ¬p→¬q(2) ¬p∨ r(3) r →¬s(4) ¬(¬q∨¬s)
(5)...
......
......
... χ...
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 132 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Indireta
É válido o argumento ¬p→¬q, ¬p∨ r , r →¬s ` ¬q∨¬s ?
Solução
(1) ¬p→¬q(2) ¬p∨ r(3) r →¬s(4) ¬(¬q∨¬s)
(5)...
......
......
......
......
......
... χ...
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 133 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Indireta
É válido o argumento ¬p→¬q, ¬p∨ r , r →¬s ` ¬q∨¬s ?
Solução
(1) ¬p→¬q(2) ¬p∨ r(3) r →¬s(4) ¬(¬q∨¬s)(5) 4 - DM, DN(6) 1,2,3 - DC(7) 6 - COND(8) 5 - SIMP(9) 7,8 - MP
(10) 5 - SIMP(11) 9,10 - CONJ
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 134 / 136
Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta
Demonstração Indireta
É válido o argumento ¬p→¬q, ¬p∨ r , r →¬s ` ¬q∨¬s ?
Solução
(1) ¬p→¬q(2) ¬p∨ r(3) r →¬s(4) ¬(¬q∨¬s)(5) q∧ s 4 - DM, DN(6) ¬q∨¬s 1,2,3 - DC(7) q→¬s 6 - COND(8) q 5 - SIMP(9) ¬s 7,8 - MP
(10) s 5 - SIMP(11) s ∧¬s 9,10 - CONJ
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 135 / 136
Resolva os exercícios Idos capítulos 9 até 13 do livro de Edgard de Alencar Filho
Filho, Edgard de Alencar.Iniciação à Lógica Matemática.São Paulo: Nobel, 2002.
Mortari, Cezar A.Introdução à Lógica.São Paulo: editora UNESP, 2001.
Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 136 / 136
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