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Introduo Implicaes e Equivalncias Lgicas Mapas de Karnaugh Lgica de Predicados Argumentao Matemtica Induo Matemtica
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Introduo
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Importncia da lgica: Precisar argumentos matemticos Vericar a sua validade Programao de computadores Vericar a correco de algoritmos Circuitos electrnicos digitais Denio Uma proposio uma armao que pode ser classicada como verdadeira ou falsa.
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Introduo
Exemplos de proposies: Guimares a capital de Portugal. x + y = y + x para quaisquer x, y R. A milionsima casa decimal de 5.(No precisamos de saber o valor para considerarmos se proposio)
4 positivo e 3 negativo. Se hoje Domingo, ento 1 + 1 = 3. Contra exemplos: Vamos almoar? Estejamos atentos! x y =y x(Para que valores de x e y ?)
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Introduo
Clculo Proposicional I
Valores Lgicos: Verdadeiro, representado por V ou 1. Falso, representado por F ou 0. Operadores Lgicos:Negao: Negao de p representado por p (tambm representado por p em expresses lgicas). p verdadeiro se p for falso e falso se p for verdadeiro. Exemplo: p: Hoje Domingo. p: Hoje no Domingo.
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Introduo
Clculo Proposicional II
E(Conjuno): A conjuno de p e q representada por p q (tambm por p.q ou pq). p q verdadeiro se p e q forem ambos verdadeiros. falso se p for falso ou se q for falso (ou ambos). Exemplo: q: Hoje est a chover. p q: Hoje Domingo e est a chover. OU(Disjuno): Disjuno de p ou q representada por p q. p q verdadeiro se p for verdadeiro ou se q for verdadeiro. falso se p e q forem ambos falsos.
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Introduo
Tabelas de verdade I
NEGAO p 0 1 p 1 0
CONJUNO p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 0 0 1
DISJUNO p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 1 1 1
(Tem que explicitar todas as combinaes possveis.)
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Introduo
Tabelas de verdade II
(p q) (r ) p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 pq 0 0 0 0 0 0 1 1 r 1 0 1 0 1 0 1 0 (p q) (r ) 1 0 1 0 1 0 1 1
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Introduo
Outros Operadores Lgicos I
OU EXCLUSIVO: representado por p q. p q verdadeiro quando exactamente uma das proposies p ou q verdadeira. falso quando p e q tiverem o mesmo valor lgico. p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 1 1 0
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Introduo
Outros Operadores Lgicos II
IMPLICAO (material): p implica q representado por p q. p q falso quando p verdadeiro e q falso. verdadeiro em qualquer outro caso. p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 1 1 0 1
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Introduo
Outros Operadores Lgicos III
Podemos ler p q como:p implica q Se p ento q p condio suciente para q q condio necessria para p q sempre que p q se p
Numa implicao p q chamamos:A p a hiptese, o antecedente ou a premissa. A q a concluso, ou consequncia.
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Introduo
Outros Operadores Lgicos IV
EQUIVALNCIA (material): p equivale a q, ou p se e s se q, representado por p q. p q verdadeiro se p e q tiverem os mesmos valores lgicos. falso no outro caso. p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 1 0 0 1
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Introduo
Expresses Lgicas I
Regras de Precedncia: precedncia mais alta ,, nvel de precedncia seguinte , precedncia mais baixa Exemplo: p q p q deve ler-se como: (p (q)) ((p) q) Ateno a expresses ambguas do tipo p q r ou do tipo p q r.
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Introduo
Expresses Lgicas II
Exerccio: Verique que (p q) r tem uma tabela de verdade diferente de p (q r ). Verique que (p q) r tem uma tabela de verdade diferente de p (q r ).
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Implicaes e Equivalncias Lgicas
Implicaes e Equivalncias Lgicas I
Denio Uma expresso lgica que seja sempre verdadeira (quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies que a compem) chamada uma Tautologia.
Denio Uma expresso lgica que seja sempre falsa chamada uma Contradio.
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Implicaes e Equivalncias Lgicas
Implicaes e Equivalncias Lgicas II Exemplo p p uma tautologia. p 0 1 p p uma contradio. p 0 1 p q 0 0 pp 1 1
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Implicaes e Equivalncias Lgicas
Implicaes e Equivalncias Lgicas III
Exerccio Verique que so tautologias as seguintes expresses:1 2
(a b) (a b) (a b) ((a) b)
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Implicaes e Equivalncias Lgicas
Equivalncia Lgica () I
Dizemos que uma expresso lgica f1 logicamente equivalente a outra expresso f2 se e s se os valores lgicos de ambas as expresses forem iguais quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies que as compem. Isto , as ltimas colunas das tabelas de verdade de f1 e f2 so iguais. Conclui-se que: f1 f2 se e s se f1 f2 uma tautologia.
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Implicaes e Equivalncias Lgicas
Equivalncia Lgica () II As equivalncias lgicas so teis para simplicar expresses.
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Implicaes e Equivalncias Lgicas
Equivalncia Lgica () III
Exerccio: Verique as leis de De Morgan: (p q) (p q) (p q) (p q) Verique p q p qFernando Fontes (Universidade do Minho) Lgica 20 / 65
Implicaes e Equivalncias Lgicas
Implicao Lgica () I
Dizemos que uma expresso lgica f1 IMPLICA LOGICAMENTE outra expresso f2 se e s se quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies que compem f1 e que tornam f1 verdadeira, tambm tornam f2 verdadeira. Isto , sempre que na ltima coluna da tabela de verdade de f1 ocorrer um valor verdadeiro, ter que ser tambm verdadeiro o valor correspondente na ltima coluna da tabela de verdade de f2 . Conclui-se que: f1 f2 se e s se f1 f2 uma tautologia.
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Implicaes e Equivalncias Lgicas
Implicao Lgica () IIAs implicaes lgicas so teis na demonstrao de argumentos matemticos.
Exerccio:Verique o seguinte argumento de reduo ao absurdo: Se p implica uma contradio, ento p verdadeiro.Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lgica 22 / 65
Implicaes e Equivalncias Lgicas
Implicao Lgica () III Forma normal disjuntiva: Expresso na forma de disjuno de termos compostos por conjunes e negaes. Exemplo: (p q r ) (p qr ) (p r ) Forma normal conjuntiva: Expresso na forma de conjunes de termos compostos por disjunes e negaes. Exemplo: (p q r ) (p qr ) (p r )
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Implicaes e Equivalncias Lgicas
Obteno da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de verdade. I
Exemplo:
p 0 0 1 11
q 0 1 0 1
pq 0 1 1 0
Considere as linhas da tabela que do resultado verdadeiro. No exemplo 2a e 3a linhas.
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Implicaes e Equivalncias Lgicas
Obteno da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de verdade. II
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Para cada uma dessas linhas conjugue as entradas verdadeiras com a negao das entradas falsas. No exemplo: 2a linha: p q 3a linhas: p q Faa a disjuno das expresses obtidas para cada linha. No exemplo: (p q) (p q)
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Implicaes e Equivalncias Lgicas
Obteno da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de verdade. III
Exerccio: Transforme na forma normal disjuntiva as seguintes expresses:1 2
(p q) r (p q) (r p)
Expresses na forma normal disjuntiva so habitualmente escritas representando a conjuno a b por a b ou ab (com precedncia superior disjuno) e a negao a por a. Assim, (p q r ) (p qr ) poder ser representado como pqr pqr
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Implicaes e Equivalncias Lgicas
Obteno da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de verdade. IV
Uma das simplicaes mais usuais de expresses na forma normal disjuntiva agrupar termos que diferem apenas no valor de uma das variveis. (termos adjacentes) Exemplo: abc abc = ab(c c) = ab 1 = ab Se tivermos expresses mais complexas poder no ser to fcil identicar as possveis simplicaes. Exemplo: abcd abcd abcd abcd abcd =? poderemos recorrer a mtodos grcos para simplicar.
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Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh I Mtodo grco para simplicar expresses lgicas na forma normal disjuntiva que no tenham um nmero muito elevado de variveis (tipicamente at 6 variveis). Mapas de Karnaugh para expresses de 2 variveis a) xy xy b) xy xy c) xy xy xy d) x y
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Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh II
Objectivo: Agrupar clulas adjacentes formando blocos.Blocos com 2 clulas termos com uma varivel Blocos com 1 clula termos com 2 variveis.
Cobrir o mapa com blocos de tamanho o maior possvel.
a) y
b)xy xy
c) x y
d) x y
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Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh III Mapas de Karnaugh para expresses de 3 variveis f = f (x, y , z) Clulas adjacentes diferem apenas numa varivel.
1a clula adjacente 4a coluna!
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Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh IV
Blocos com 1 clula termo com 3 variveis Blocos com 2 clulas termos com 2 variveis. Blocos com 4 clulas termos com 1 varivel. Exemplo xy z xy z yz x
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Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh VObjectivo da simplicao: Cobrir o mapa com blocos (formados por clulas adjacentes) de tamanho o maior possvel (e com o menor nmero possvel de blocos). Questo: Como cobrir o mapa anterior com 3 blocos de 4 elementos. Soluo:
x y z Exerccio: Simplique as seguintes expresses: xy xy z xyz yz xy z xyFernando Fontes (Universidade do Minho) Lgica 32 / 65
Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh VI Mapas de Karnaugh para expresses de 4 variveis
Clulas adjacentes diferem apenas numa varivel 1a coluna adjacente 4a coluna! 1a linha adjacente 4a linha!
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Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh VII Exemplo: f (x, y , w, z) = xywz xy wz xywz xy wz
Um bloco de 4 clulas adjacentes!
f (x, y , w, z) = yzFernando Fontes (Universidade do Minho) Lgica 34 / 65
Lgica de Predicados
Lgica de Predicados
Considere as armaes: P(x): Q(x, y ): R(x, y , z): x >3 x =y +3 x + y z par
Estas armaes no podem ser classicadas como verdadeiras ou falsas enquanto os valores para as variveis no forem especicadas. Mas, P(2) falso Q(6, 3) verdadeiro R(2, 2, 3) falso
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Lgica de Predicados
Quanticadores
Denio: Um predicado ou funo proposicional uma armao envolvendo variveis tal que qualquer substituio de cada varivel por um ponto do seu domnio, torna a armao numa proposio.
Quanticadores Uma alternativa a atribuir valores especcos s variveis de um predicado utilizar quanticadores que tambm transformam os predicados em proposies.
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Lgica de Predicados
Quanticador Universal I
x P(x) Para todo o x P(x) Qualquer que seja x P(x) Para todos os valores de x pertencentes ao universo do discurso, a proposio P(x) verdadeira. O universo poder (e dever) ser especicado quando h ambiguidades Exemplo: xR x 2 0 uma proposio verdadeira. xC x 2 0 uma proposio falsa.Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lgica 37 / 65
Lgica de Predicados
Quanticador Universal II
Quando o universo do discurso nito Exemplo: x {1, 2, 3, 4} A proposio x{1,2,3,4} P(x) pode ser escrita como conjuno P(1) P(2) P(3) P(4) (i.e. P tem que ser verdadeiro para 1, 2, 3 e 4) Exerccio: x P(x, y ) Predicado ou Proposio?
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Quanticador Existencial, I
x
P(x)
Existe um x tal que P(x). Existe pelo menos um x tal que P(x). Para algum x pertencente ao universo do discurso a proposio P(x) verdadeira. Da mesma maneira o universo poder ser especicado xR 2x = 1 verdadeiro xN 2x = 1 falso
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Lgica de Predicados
Quanticador Existencial, II
Quando o universo nito a proposio x{1,2,3,4} P(x) o mesmo que a disjuno P(1) P(2) P(3) P(4). Exerccio: Justique que (x P(x)) (x P(x)).
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Lgica de Predicados
Quanticador Existencial, III
x P(x)Para ser verdadeiro, P(x) tem que ser verdadeiro para todos os valores de x. Para ser falso basta que arranjemos um exemplo para o qual P(x) falso.
Logo, (x P(x)) x (P(x))
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Lgica de Predicados
Quanticador Existencial, IV x P(x)Para ser verdadeiro, basta que encontremos um exemplo de x para o qual P(x) verdadeiro. Para ser falso teremos que mostrar que no h nenhum exemplo de um valor de x para o qual P(x) seja verdadeiro. Por outras palavras, para ser falso, P(x) tem que ser falso para todos os valores de x.
Logo, (x P(x)) x (P(x)) Exerccio: Utilize as Leis de Morgan para vericar as expresses anteriores para um universo nito {1, 2, 3, 4}.
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Lgica de Predicados
Quanticador Existencial, V
Ateno ordem dos quanticadores! Exemplo: Qual o valor lgico das seguintes proposies? P: Q: x{1,2} y {1,2} x = y y {1,2} x{1,2} x = y P verdadeiro! Q falso!
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Lgica de Predicados
Traduo de linguagem natural para expresses lgicas I Exemplo 1: Toda a gente tem um bom amigo. Seja B(x, y ) : y um bom amigo de x. x y B(x, y ). Exemplo 2: H algum que bom amigo de toda a gente. y x B(x, y ). Exemplo 3: Toda a gente tem exactamente um melhor amigo. Seja M(x, y ) : y o melhor amigo de x. x y z (M(x, y ) (z = y )) M(x, y ).Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lgica 44 / 65
Lgica de Predicados
Traduo de linguagem natural para expresses lgicas II
Exemplo 4: O Marco Paulo tem pelo menos 2 amores. Seja A(x): x o amor do Marco Paulo. x y A(x) A(y ) (x = y ). Exemplo 5: O Marco Paulo tem exactamente 2 amores. x y z [A(x) A(y ) (x = y ) (x = z) (y = z)] A(z).
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Argumentao Matemtica
Argumentao Matemtica I
Como vericar se um argumento matemtico est correcto? Como cosntruir argumentos matemticos que permitam mostrar que uma proposio ou teorema so verdadeiros? Um TEOREMA uma armao que se pode mostrar ser verdadeira. Um teorema habitualmente escrito na forma: H1 H2 . . . Hn C em que as proposies: H1 , H2 , . . . , Hn so as HIPTESES C a CONCLUSO. Lemas e Corolrios so casos particulares de teoremas.
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Argumentao Matemtica
Argumentao Matemtica IILemas sem importncia prpria, usados na demonstrao de outros teoremas. Corolrios so casos particulares de um teorema. Uma Demonstrao de um teorema consiste numa sequncia de proposies que termina na concluso (C) e que so Vlidas. Para uma proposio de uma demonstrao ser vlida dever ser: ou uma das hipteses (H1 , H2 , . . .), uma tautologia conhecida, derivar de uma proposio anterior por substituio de variveis livres (ie variveis no associadas a um quanticador), ou derivar de proposies anteriores por Regras de Inferncia.
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Argumentao Matemtica
Regras de Inferncia I P1 P2 . . . Pk Q
l-se: P1 , P2 , , Pk logo Q Signicado: P1 P2 . . . Pk Q
Algumas regras de inferncia mais usuais: Regra p pq pq p Tautologia p (p q) Nome Adio
(p q) p
Simplicao
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Argumentao Matemtica
Regras de Inferncia II Regra p pq q p pq p pq qr pr pq p q Tautologia [p (p q)] q NomeModus Ponens (destacamento)
[q (p q)] p
Modus Tollens
[(p q) (q r )] (p r )
Silogismo de hiptese
[(p q) p] qLgica
Silogismo de Disjuno
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Argumentao Matemtica
Regras de Inferncia III
Exemplo 1 Verique formalmente o seguinte argumento: Est frio. Logo est frio ou est chuva. p: est frio q: est chuva1 2
p por hiptese p q por 1 e adio.
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Argumentao Matemtica
Regras de Inferncia IV
Exemplo 2 Verique o argumento: Se hoje estiver sol vou praia. Hoje est sol. Logo vou praia. p: est sol q: vou praia1 2 3
pq p q
por hiptese
por hiptese por 1,2 e Modus Ponens.
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Argumentao Matemtica
Regras de Inferncia V
Exemplo 3 Verique o seguinte argumento: Se eu estudar ou se eu for um gnio, ento vou passar a MD Se eu passar a MD vou ter umas boas frias. Logo, se eu no tiver umas boas frias no sou um gnio. Uma possvel demonstrao: e: eu estudo g: eu sou um gnio p: vou passar a MD f : vou ter umas boas frias
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Argumentao Matemtica
Regras de Inferncia VI
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e g p por hiptese p f por hiptese g eg g ge gp gf f g adio 3, comutatividade da disjuno
4,1, silogismo da hiptese 5,2, silogismo da hiptese 6, contrapositivo.
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Argumentao Matemtica
Tcnicas de Demonstrao I
Demonstrao Directa H1 H2 . . . Hn C Comeando pelas hiptese e usando as regras de inferncia, tautologias e outras proposies vlidas tentar chegar concluso C. Demonstrao por Contradio (reduo ao absurdo) H1 H2 . . . Hn C contradio Demonstrao do contrapositivo C (H1 H2 . . . Hn )
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Argumentao Matemtica
Tcnicas de Demonstrao II
Demonstrao por enumerao dos casos Usa o facto que H1 H2 . . . Hn C equivalente a (H1 C) (H2 C) . . . (Hn C) Cada um pode ser mostrado separadamente.
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Argumentao Matemtica
Tcnicas de Demonstrao III Exemplo Mostre que se 3n + 2 mpar, ento n tambm mpar i) por contradio ii) por contrapositivo i) Por contradio (3n + 2 mpar) (n par) contradio Por hiptese: 3n + 2 = 2k + 1 para algum k inteiro n = 2l para algum l inteiro Mas 3n + 2 = 3(2l) + 2 = 6l + 2 = 2k + 1Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lgica 56 / 65
Argumentao Matemtica
Tcnicas de Demonstrao IV
Da ltima igualdade k = 6l+1 = 3l + 1 2 2 Como k e l so inteiros, temos uma contradio. ii) Pelo contrapositivo (n par) (3n + 2 par) Por hiptese n = 2k , k inteiro Donde 4n + 2 = 3(2k ) + 2 = 2(3k + 1) par.
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Argumentao Matemtica
Tcnicas de Demonstrao V
Exemplo: Mostre que se n no divisvel por 3 ento a diviso de n2 por 3 d sempre resto 1. (Sugesto: use enumerao de casos) i) Resto 1. n = 3k + 1, k inteiro ii) Resto 2. n = 3k + 2, k inteiro i) n2 = (3k + 1)2 = 9k 2 + 3k + 1 = 3(3k 2 + k ) + 1, resto 1. ii) n2 = (3k + 2)2 = 9k 2 + 6k + 4 = 3(3k 2 + 2k + 1) + 1, resto 1.
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Induo Matemtica
Induo Matemtica Tcnica de demonstrao de teoremas do tipo: P(n) verdadeiro para qualquer inteiro positivo n. Exemplo: Mostre que o somatrio dos n primeiros inteiros igual a qualquer n inteiro positivo n. fcil vericar para os primeirosn(n+1) , 2
para
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Induo Matemtica
1=1 1+2 =3 2 1+3 1+2+3=6=3 2 1+4 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4 2 1+2=2
Mas por enumerao no conseguimos mostrar para todos os inteiros positivos n.
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Induo Matemtica
Induo Matemtica I
1 2
Passo de Base: Mostrar que P(1) verdadeiro. Passo de Induo: Assumindo que P(k ) verdadeiro, mostrar que P(k + 1) tambm verdadeiro, para qualquer k . (i.e. P(k ) P(k + 1), k )
Expressando a Induo Matemtica como uma Regra de Inferncia: P(1) P(k ) P(k + 1), k N P(n), k N Ou como [P(1) (P(k ) P(k + 1), k N)] P(n), nN
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Induo Matemtica
Induo Matemtica II O somatrio dos n primeiros inteiros igual a Demonstrao por induo matemtica1
n(n+1) 2
Passo de base P(1) : 1 =12 2
= 1 verdadeiro
2
Passo de induo (P(k ) P(k + 1)) P(k ) : 1 + 2 + . . . k = k k +1 2 P(k + 1) : 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = (k + 1) P(k ) 1 + 2 + . . . k =k (k +1) 2 (k +1)(k +2) 2 k +2 2
1 + 2 + . . . + k + (k + 1) =Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lgica
+ (k + 1)62 / 65
Induo Matemtica
Induo Matemtica III
1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = P(k + 1) Verdadeiro
k (k +1)+2(k +1) 2 (k +1)(k +2) 2
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Induo Matemtica
Interpretao I
O primeiro domin tomba. Se um qualquer domin tombar, ento o seguinte tomba tambm. todos os domins tombam.
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Induo Matemtica
Interpretao II
Exerccio: Mostre a frmula da soma de uma progresso geomtrica n rn 1 ri = r . r 1n=1
Mostre que 2n < n! para n 4. Se o cardinal de um conjunto A for n, ento o nmero de subconjuntos de A igual a 2n . Mostre por induo.
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