LGICA MATEMTICA
INTRODUO MATEMTICA - MATC 220
LICENCIATURA EM MATEMTICA
12/02/2015
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SUMRIO
1. Alguns Fatos Histricos
2. Proposio e conectivos
3. Frmulas proposicionais e construo de
tabelas-verdade
4. Tautologia e contradio
5. Equivalncia Lgica
6. Mtodo dedutivo e Implicao Lgica.
7. Argumentos
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OBJETIVO
Dar uma introduo Lgica Matemtica
com o estudo das operaes lgicas,
apresentando as frmulas proposicionais e
a construo de tabelas - verdade.
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ALGUNS FATOS
HISTRICOS
Aristteles, filsofo grego (384 - 322 a.C.), foi o fundador
da cincia da lgica.
Sua obra rganon serviu de fundamentao para Lgica simblica.
O emprego da lgica de Aristteles levava a uma linha de
raciocnio lgico baseado em premissas e concluses.
Desde ento, a lgica Ocidental tem sido binria, isto ,
uma declarao falsa ou verdadeira, no podendo ser ao
mesmo tempo parcialmente verdadeira e parcialmente
falsa.
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ALGUNS FATOS HISTRICOS
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ocupa um lugar
especial na histria da lgica. Este filsofo procurou
aplicar lgica o modelo de clculo algbrico da sua
poca.
Prope o uso de smbolos para mecanizar o processo do
raciocnio dedutivo. E sugere que essa linguagem fosse
universal. Criando, assim o ambiente adequado para o
surgimento da Lgica Formal.
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ALGUNS FATOS HISTRICOS
George Boole (1815-1864) considerado
o criador da lgica matemtica.
Na sua obra "Mathematical Analysis
of Logic", publicada em 1847, a lgica foi
pela primeira vez tratada como um
clculo de signos algbricos.
Esta lgebra booleana ser
fundamental para o desenho dos circuitos
nos computadores eletrnicos modernos.
ainda a base da teoria dos conjuntos. 12/02/2015
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A LGICA NA
MATEMTICA
A Lgica tem por objeto o estudo das leis gerais do pensamento e as formas de
aplic-las corretamente na investigao da
verdade.
A Lgica Matemtica ocupa-se da anlise
e relaes entre certas sentenas quase
sempre de contedo matemtico, chamadas
proposies.
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PROPOSIES
Todo o conjunto de palavras ou smbolos que
exprimem um pensamento de sentido completo.
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Sete mais trs igual a dez. Declarao (afirmativa)
Alan professor de Matemtica. Declarao (afirmativa ou negativa)
Maria linda? Interrogativa
Abra a porta. Imperativa
Exemplos e Contra-Exemplos:
I) Princpio da No Contradio - Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
II) Princpio do Terceiro Excludo - Toda
proposio verdadeira ou falsa (isto ,
verifica-se sempre um desses casos e nunca
um terceiro).
Princpios da Lgica
LGICA BIVALENTE 12/02/2015
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VALORES LGICOS
DAS PROPOSIES
Definio
Valor lgico a verdade ou a falsidade de uma proposio.
Assim, o que os princpios da no contradio e o do terceiro excludo afirmam : que:
Toda a proposio tem um, e um s, dos valores V ou F.
Exemplos:
O nmero 17 mpar.
Fortaleza a capital do Maranho.
TIRADENTES morreu afogado.
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(V)
(F)
(F)
PROPOSIO SIMPLES (ATMICA)
Como o prprio nome diz, uma proposio nica, isolada.
Podemos consider-las como frases formadas por apenas uma orao que exprime apenas um fato.
Representaremos as proposies simples por letras latinas minsculas (p, q, r, s)
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EXEMPLOS DE PROP. SIMPLES
Tiradentes foi enforcado (p)
Mrio estudioso (q)
3 + 5 > 12 (r)
O nmero 49 um quadrado perfeito (s)
Jorge Amado no escreveu o livro Mar Morto (w)
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PROPOSIO COMPOSTA
OU MOLECULAR
Uma proposio dita composta quando for
formada por duas ou mais proposies ligadas
entre si por conectivos operacionais.
Podemos consider-las como um perodo
composto de vrias oraes.
Indicaremos as proposies compostas por
letras latinas maisculas. 12/02/2015
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EXEMPLO
Q: Paulo estudioso e Maria arquiteta.
Q a composta das proposies simples:
p: Paulo estudioso
e
q: Maria arquiteta.
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Conectivos Smbolo Denominao
E conjuno
Ou disjuno
se...ento condicional
se e somente se bicondicional
no ~ negao
CONECTIVOS
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So palavras que se usam para formar novas
proposies a partir de outras.
OPERAES LGICAS
SOBRE PROPOSIES
No caso da Lgica no trabalhamos com nmeros, mas com
proposies. J vimos que a partir de proposies simples podemos
combin-las mediante o uso de conectivos para formar novas
proposies. O que queremos saber agora :
Conhecidos os valores lgicos das proposies simples, qual o
valor lgico da proposio resultante obtida com os conectivos?
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposies
compostas, conhecidos os valores das proposies simples que as
compem usaremos tabelas-verdade.
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NEGAO: NO (~ OU )
Q = Joo professor
~Q = Joo no professor
Negao
Q ~Q
Verdadeiro Falso
Falso Verdadeiro
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A negao de uma proposio p escreve-se p e se l: no p ou falso que p , ou no verdade que p .
CONJUNO: E (^)
A proposio (p ^ q)
verdadeira se e somente
se ambas as proposies
p e q so verdadeiras.
Conjuno
p q p ^ q
Verdadeiro Verdadeiro V
Verdadeiro Falso F
Falso Verdadeiro F
Falso Falso F
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DISJUNO: OU (V)
A proposio (p v q)
verdadeira se e somente
se uma das proposies
(ou ambas) p ou q so
verdadeiras.
Disjuno
P Q P v Q
Verdadeiro Verdadeiro V
Verdadeiro Falso V
Falso Verdadeiro V
Falso Falso F
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DISJUNO EXCLUSIVA: OU, .... OU,... ( V)
A proposio (p v q)
verdadeira se e somente
se uma das proposies p
ou q so verdadeiras. No
quando ambas so
verdadeiras ou ambas
falsas.
Disjuno Exclusiva
P Q P v Q
Verdadeiro Verdadeiro F
Verdadeiro Falso V
Falso Verdadeiro V
Falso Falso F
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RESUMINDO: TABELAS VERDADES: , , ~
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p q p q p q ~p
V V
V F
F V
F F
?
?
? F
? V
A Condicional P Q
Dadas duas proposies p, q, definimos a condicional p q
como uma proposio cujo valor lgico s falso quando p
verdadeira e q falsa.
p q falsa apenas quando V(p)=V e V(q)=F
A primeira proposio (p) chamada de antecedente ou hiptese; a segunda (q), de consequente.
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TABELA VERDADE: SE... ENTO...
p q p q
V V
V F
F V
F F
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v
F
V
V
Notemos que, quando o valor lgico da proposio p falso, temos
que a condicional automaticamente verdadeira (no depende do
valor lgico de q ). Isto se justifica pelo fato de que se p falsa,
qualquer concluso pode se tirar da, verdadeira ou falsa.
Exemplo: Se voc o dono da Coca-Cola ento eu sou o rei da Inglaterra.
A condicional P Q
1) Adriana diz para sua prima: Se eu ganhar na loteria ento lhe darei 10.000 reais.
Qual a lgica dessa definio? Veja os exemplos abaixo:
Quando ela estar mentindo ?
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Veja os exemplos...
2) A me diz para a filha: Se voc tirar nota acima de 8,0 ento lhe darei uma viagem a Chapada Diamantina...
3) O poltico diz ao eleitor: Se eu for eleito ento lhe darei um carro
Quando eles estaro mentindo ?
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1) Adriana ganha na loteria e no d os 10.000 reais.
Estaro mentindo quando...
2) A filha tirou acima de 8,0 e a me no deu uma viagem a
Chapada Diamantina.
3) O poltico se elegeu e no deu um carro ao seu eleitor.
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R E S U M I N D O...
Isto nos diz que mentir aquele que promete e no
cumpre (o prometido)
Em todos os casos, o que se afirma que se acontecer p, ento q tambm deve acontecer. Em outras palavras, se p acontecer e q no acontecer, estaremos mentindo.
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PROPOSIES
CONDICIONAIS
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As proposies condicionais so importantes na
matemtica, e tem vrias maneiras diferentes de
enunci-las, por exemplo,
p q podemos entender como uma das seguintes formas:
p implica q .
p condio suficiente para q .
q condio necessria para p .
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
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A bicondicional se e somente se
p q verdadeira quando p , q tm os mesmos valores lgicos
REFERNCIAS
BIBLIOGRFICAS
ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciao Lgica
Matemtica. So Paulo: Editora Nobel.
MACHADO, Nilson Jos & CUNHA, Marisa Ortega.
Lgica e linguagem cotidiana. Coleo Tendncias em
Educao Matemtica. Belo Horizonte: Editora
Autntica.
IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de Matemtica
Elementar, vol 1. So Paulo: Editora Atual.
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