Lógica Matemática

2.1. Sentença, Verdade e Proposição

2. Conceitos Preliminares

Cálculo Proposicional

Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.

CONCEITO DE PROPOSIÇÃOSentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeiraou que seja falsa.· A lua é quadrada.· A neve é branca.· Matemática é uma ciência.

. 3 < 4

. π = 3,14

. 1 é primo

. Zero é par

Sentença e Proposição

• A lógica formal pode representar as afirmações que fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatosou transmitir informações. Uma proposição (oudeclaração) é uma sentença que é falsa ou verdadeira.

• Considere as seguintes sentenças:

(a) Dez é menor do que sete.

(b) Como está você?

(c) Ela é muito talentosa.

(d) Existe vida em outros planetas do universo.

É uma proposição, já que é falsa.

Não pode ser considerada falsa ou verdadeira, não é proposição.

Não é uma proposição. Ela não estáespecificada, não é falsa nem verdadeira.

É proposição.

Não é preciso sermos capazes de decidir qual das alternativas é válida.

Consideração inicial

A lógica analisa os argumentos em vista de sua validade, não de sua veracidade.Ex: Se todo homem dessa sala é candidato à engenheiro

e se todo candidato a engenheiro é bonitoentão todo homem dessa sala é bonito.

Proposição

Exemplo: Foi detectado que alguns prefeitos não moram nos municípios onde trabalham. O governo federal criou então o município de Pizzalândia e nele sópodem morar os prefeitos que não moram em seus municípios. Onde mora o prefeito de Pizzalândia?

Definição de um objeto.

TERMO (Palavra) – Definição:

Paula

Um filme de terror

Triângulo retângulo

Exemplo:

Cálculo Proposicional

Todo o conjunto de termos ou símbolosque exprimem um pensamento

de sentido completo.

Todo homem é mortal.A Lua é um satélite da Terra.

Exemplo:

sen π/2 = cos π/2

PROPOSIÇÃO – Definição

As PROPOSIÇÕEStransmitem pensamentos,

isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos

que formamos a respeito de determinados entes.

PROPOSIÇÃO

PROPOSIÇÃO – Definição

A linguagem NATURAL permite vários tipos de proposições:

DECLARATIVA: Meu carro é azul.

INTERROGATIVA: Está frio?

EXCLAMATIVA: Que lindo!

IMPERATIVA: Cale a boca.

PROPOSIÇÃO – Definição

CÁLCULO PROPOSICIONAL:

Permite apenas as proposições

DECLARATIVAS.

PROPOSIÇÃO – Definição Exercício

• Quais das frases a seguir são proposiçõesdeclarativas?

A lua é feita de queijo verde.Ele é, certamente, um homem alto.Dois é um número primo.O jogo vai acabar logo?Os juros vão subir ano que vem.Os juros vão descer ano que vem.x2 – 4 = 0.

Exercício

• Quais das frases a seguir são proposições?A lua é feita de queijo verde.Ele é, certamente, um homem alto.Dois é um número primo.O jogo vai acabar logo?Os juros vão subir ano que vem.Os juros vão descer ano que vem.x2 – 4 = 0.

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO.

II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO.

A Lógica Matemática adota como regrasfundamentais do pensamento os 2 princípios:

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO:

Uma proposição NÃO pode ser FALSA e VERDADEIRA ao mesmo tempo.

O Brasil é pentacampeão de futebol.

O Brasil possui pena de morte.

Verdade (V)

Falso (F)

II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO:

Toda proposição ou é Verdadeira ou Falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos

e nunca um terceiro.

LÓGICA BIVALENTE

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

O Valor Lógico de uma PROPOSIÇÃO é:

VERDADE se esta for VERDADEIRA;

FALSIDADE se a PROPOSIÇÃO for FALSA.

VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO

Assim, o que os princípios da não contradiçãoe o do terceiro excluido afirmam é que:

Toda proposição tem um, e um só, dos valores V, F.

VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO

Qual é Valor Lógico (V ou F) das proposições a seguir?• O número 17 é primo. ( )• Fortaleza é a capital do Maranhão. ( )• TIRADENTES morreu afogado. ( )• (3 + 5)2 = 32 + 52. ( )• O valor archimediano de π é 22/7. ( )• -1 < -7. ( )• 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( )• As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( )• Todo polígono regular convexo é inscritível. ( )• O hexaedro regular tem 8 arestas. ( )

• O número 17 é primo. ( V• Fortaleza é a capital do Maranhão. ( F• TIRADENTES morreu afogado. ( F• (3 + 5)2 = 32 + 52. ( F• O valor archimediano de π é 22/7. ( V• -1 < -7. ( F• 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( V• As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( F• Todo polígono regular convexo é inscritível. ( V• O hexaedro regular tem 8 arestas. ( F

• A expressão n2 – n + 41 (n∈N) só produz números primos. ( )• Todo número divisível por 5 termina por 5. ( )• O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( )• sen2 30º + sen2 60º = 2. ( )• 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)2 = n2. ( )• As raízes da equação x3 - 1 = 0 são todas reais. ( )• O número 125 é cubo perfeito. ( )• 0, 4 e -4 são raízes da equação x3 - 16x = 0. ( )• O cubo é um poliedro regular. ( )• tg π/4 < tg π/6. ( )

Qual é Valor Lógico (V ou F) das proposições a seguir?

• A expressão n2 – n + 41 (n∈N) só produz números primos. ( F• Todo número divisível por 5 termina por 5. ( F• O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( V• sen2 30º + sen2 60º = 2. ( F• 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)2 = n2. ( V• As raízes da equação x3 - 1 = 0 são todas reais. ( V• O número 125 é cubo perfeito. ( V• 0, 4 e -4 são raízes da equação x3 - 16x = 0. ( V• O cubo é um poliedro regular. ( V• tg π/4 < tg π/6. ( F

Proposição NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante

de si mesmo.

Minha casa é grande.

PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)

Seus olhos são azuis.

Está calor.

PROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICAS

São designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r,s,...,

chamadas letras proposicionais.

p: Minha casa é grande.

q: Seus olhos são azuis.

r: Está calor.

PROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICAS

PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)

Formada pela combinação de 2 ou mais PROPOSIÇÕES.

Minha casa é grande e meu carro é azul.

PROPOSIÇAO COMPOSTA (MOLÉCULAS)

Seus olhos são azuis ou verdes.

Se está calor, então é verão.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES

São designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R,S,...,

chamadas letras proposicionais.

P: Minha casa é grande e meu carro é azul.

Q: Seus olhos são azuis ou verdes.

R: Se está calor, então é verão.

PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULAS)

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES

Também chamadas defórmulas proposicionais ou fórmulas.

PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULAS)

Notação:P(q,r,s) – significa que P

é uma proposição composta das proposições atômicas q,r e s.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARESOs símbolos da Linguagem do Cálculo Proposicional

VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS SIMPLES E COMPOSTASProposições Simples: letras minúsculas p, q, r, s,....Ex: A lua é quadrada: p

A neve é branca: qProposições Compostas: letras maiúsculas P, Q, R, S,....Ex: Carlos é estudante e Pedro é Careca: P

Se André é médico então sabe biologia: Q

• P (p, q, r, ...) indica que a proposição composta P é combinação das proposições simples p, q, r, ...

• O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p) e o de uma proposição composta P por V(P).

Termos usados para formar novas proposições a partir de outras.

E OU NÃO

SE...ENTÃO...

...SE E SOMENTE SE...

Conectivos Lógicos

CONECTIVO – Exemplos:

P: Minha casa é grande e meu carro é azul.

Q: Seus olhos são azuis ou verdes.

R: Se está calor então é verão.

S: Não está chovendo.

T: O triângulo é equilátero se e somente se é equiângulo.

Conectivos Lógicos

Operadores Lógicos

Assim como operamos com números, as proposições também podem ser “operadas”utilizando os operadores lógicos. São eles:Conjunção - E (^)Disjunção - Ou (v)Condicional - Se ... então ( ) Bi-condicional - Se e só se (↔)

Conectivos Lógicos

Exemplos

• A lua é quadrada e a neve é branca.p ∧ q (p e q são chamados conjunctos)

• A lua é quadrada ou a neve é branca.p ∨ q (p e q são chamados disjunctos)

• Se a lua é quadrada então a neve é branca.p → q (p é o antecedente e q o consequente)

• A lua é quadrada se e somente se a neve é branca.: p ↔ q

• A lua não é quadrada.: ~p

Outros Exemplos

• Pedro é estudante e Carlos professor.p ∧ q (p e q são chamados conjunctos)

• O triângulo ABC é retângulo ou isósceles.p ∨ q (p e q são chamados disjunctos)

• Se Roberto é engenheiro então sabe matemática.p → q (p é o antecedente e q o conseqüente)

• O triângulo ABC é equilátero se e somente se tem os três lados iguais.: p ↔ q

• Não tenho carro.: ~p

Símbolos Auxiliares

( ), servem para denotar o "alcance" dos conectivos.

Exemplos: p: a lua é quadrada e q: a neve é branca

· Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua nãoé quadrada.:

((p ∧ q) → ~p)· A lua não é quadrada se e somente se a neve é

branca.:

((~p) ↔ q))

Definição de Fórmula

1. Toda fórmula atômica é uma fórmula.

2. Se A e B são fórmulas então (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B) e (~ A) também são fórmulas.

3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2..

Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos:

~, ∨ , ∧ , →, ↔ .Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita.

Exemplo: a fórmula p ∨ q ∧ ~ r → p → ~ q deve ser entendida como(((p ∨ q) ∧ (~ r)) → ( p → (~ q)))

Negação (~)

Dada uma proposição p, sua negação será denotada por~p (não p).Se p é verdadeira então ~ p será falsa e vice versa.

Ex: p = Bia está usando tênis preto.~p = Bia não está usando tênis preto.

p = Esta frase possui cinco palavras.~p = Esta frase não possui cinco palavras.

Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por não p cujo valor lógico é a verdade (v) se p éfalsa e a falsidade (f) se p é verdadeira. Simbolicamente: ~p.

Algumas observaçõessobre a negação

• A negação de “sempre” é

Algumas observaçõessobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

Algumas observaçõessobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”• A negação de “nunca” é

Algumas observaçõessobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”• A negação de “nunca” é “existe uma vez que”

Algumas observaçõessobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”• A negação de “nunca” é “existe uma vez que”• A negação de “p e q” é

Algumas observaçõessobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”• A negação de “nunca” é “existe uma vez que”• A negação de “p e q” é “~p ou ~q”

Algumas observaçõessobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”• A negação de “nunca” é “existe uma vez que”• A negação de “p e q” é “~p ou ~q”• A negação de “p ou q” é

Algumas observaçõessobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”• A negação de “nunca” é “existe uma vez que”• A negação de “p e q” é “~p ou ~q”• A negação de “p ou q” é “~p e ~q”

1. A resposta 2 é 2 ou 3.1. A resposta é nem 2 nem 3.2. A resposta não é 2 ou não é 3.3. A resposta não é 2 e não é 3.

Quais negações das proposições estão corretas?1. A resposta 2 é 2 ou 3.

1. A resposta é nem 2 nem 3.2. A resposta não é 2 ou não é 3.3. A resposta não é 2 e não é 3.

2. Pepinos são verdes e têm sementes.1. Pepinos não são verdes e não têm sementes.2. Pepinos não são verdes ou não têm sementes.3. Pepinos são verdes e não têm sementes.

2. Pepinos são verdes e têm sementes.1. Pepinos não são verdes e não têm sementes.2. Pepinos não são verdes ou não têm sementes.3. Pepinos são verdes e não têm sementes.

Quais negações das proposições estão corretas?

3. 2 < 7 e 3 é ímpar.1. 2 > 7 e 3 é par.2. 2 ≥ 7 e 3 é par.3. 2 ≥ 7 ou 3 é ímpar.4. 2 ≥ 7 ou 3 é par.

3. 2 < 7 e 3 é ímpar.1. 2 > 7 e 3 é par.2. 2 ≥ 7 e 3 é par.3. 2 ≥ 7 ou 3 é ímpar.4. 2 ≥ 7 ou 3 é par.

1. Se a comida é boa, então o serviço é excelente.

Escreva a negação das afirmações a seguir.

A comida é boa, mas o serviço é ruim.

2. Ou a comida é boa, ou o serviço é excelente.A comida é ruim e o serviço também.

Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:1. p: Está frio e q: Está Chovendo.

a) ~p b) p ^ q c) p v q d) q ↔ p e) p → ~qf) p v ~q g) ~p ^ ~q h) p ↔ ~q i) p ^ ~q → p

2. p: Jorge é rico e q: Carlos é feliz.a) q → p b) p v ~q c) q ↔ ~p d) ~p → q e) ~~pf) ~p ^ q → p

3. p: Claudio fala inglês e q: Claudio fala alemão.a) q v p b) p ^ q c) p ^ ~q d) ~p ^ ~q e) ~~pf) ~(~p ^ ~q)

4. p: João é gaúcho e q: Jaime é paulista.a) ~(~p ^ ~q) b) ~~p c) ~(~p v ~q) d) p → ~q e) ~p → ~qf) ~(~q → p)

Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Marcos é alto e eleganteb) Marcos é alto, mas não é elegantec) Não é verdade que Marcos é baixo ou eleganted) Marcos não é nem alto e nem elegantee) Marcos é alto ou é baixo e elegantef) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante

5. p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante.

Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Suely é pobre, mas felizb) Suely é rica ou infelizc) Suely é pobre e infelizd) Suely é pobre ou rica, mas infeliz

6. p: Suely é rica e q: Suely é feliz.

Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemãob) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão

c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão

d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês

7. p: Carlos fala francês e q: Carlos fala inglêse r: Carlos fala alemão.

Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:

8. a) x = 0 ou x > 0 b) x ≠ 0 ou y ≠ 0

c) x > 1 ou x + y > 0 d) x2 = x . x ou x0 = 1

9. a) (x + y = 0 e z > 0) ou z = 0

b) x = 0 e (y + z > x ou z = 0)

d) x + y = 0 e z > 0) ou z = 0

c) x ≠ 0 ou (x = 0 e y < 0 e z = 0)

Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:

10. a) Se x > 0 então y = 2

b) Se x + y = 2 então z > 0

d) Se z > 5 então x ≠ 1 e x ≠ 2

c) x = 1 ou z = 2 então y > 1

e) Se x ≠ y então x + z > 5 e y + z < 5

f) Se x + y > z e z = 1 então x + y > 1g) Se x < 2 então x = 1 ou x = 0h) Se y = 4 e se x < y então x < 5

Gabarito

1.a) Não está friob) Está frio e está chovendoc) Está frio ou está chovendod) Está chovendo se e somente se está frioe) Se está frio, então não está chovendof) Está frio ou não está chovendog) Não está frio e não está chovendoh) Está frio se e somente se não está chovendoi) Se está frio e não está chovendo, então está frio

2.a) Se Carlos é feliz, então Jorge é ricob) Jorge é rico ou Carlos não é felizc) Carlos é feliz se e somente se Jorge não é ricod) Se Jorge não é rico, então Carlos é felize) Não é verdade que Jorge não é ricof) Se Jorge não é rico, e Carlos é feliz, então Jorge érico

Gabarito

Gabarito

3.a) Cláudio fala alemão ou inglêsb) Cláudio fala inglês e alemãoc) Cláudio fala inglês, mas não alemãod) Não é verdade que Cláudio fala inglês e alemãoe) Não é verdade que Cláudio não fala inglêsf) Não é verdade que Cláudio não fala inglês e nem alemão

Gabarito

4.a) Não é verdade que João não é gaúcho e Jaime não é paulistab) Não é verdade que João não é gaúchoc) Não é verdade que João não é gaúcho ou que Jaime não é paulistad) Se João é gaúcho, então Jaime não é paulistae) Se João não é gaúcho então Jaime não é paulistaf) Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então João é gaúcho

Gabarito

5.a) p ^ q b) p ^ ~q c) ~(~p v q)d) ~p ^ ~q e) p v (~p ^ q) f) ~(~p v ~q)

6.a) ~p ^ q b) p v ~q c) ~p ^ ~q d) (~p v q) ^ ~q

Gabarito

7.a) (p v q) ^ ~r b) (p ^ q) v ~(p ^ r)c) ~(p ^ ~r) d) ~((q v r) ^ ~p)

8. a) x = 0 v x > 0 b) x ≠ 0 v y ≠ 0c) x > 1 v x + y > 0 d) x2 = x . x v x0 = 1

Gabarito

9.a)(x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0b) x = 0 ^ (y + z > x v z = 0) c) x ≠ 0 v (x = 0 ^ y < 0 ^ z = 0)d) (x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0

Gabarito10.a) x > 0 → y = 2b) x + y = 2 → z > 0c) x = 1 v z = 2 → y > 1d) z > 5 → x ≠ 1 ^ x ≠ 2e) x ≠ y → x + z > 5 ^ y + z < 5f) (x + y > z ^ z = 1) → x + y > 1g) x < 2 → x = 1 v x = 0h) y = 4 ^ (x < y → x < 5)