Prof. Dr. Emilio C. Nelli Silva
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Máquinas de Fluxo
Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva
Escola Politécnica da USP
Departamento de Engenharia Mecatrônica e Sistemas
Mecânicos
Prof. Dr. Emilio C. Nelli Silva
2 Máquinas de Fluxo: Resumo
• Máquinas de fluxo: • Motor - energia oferecida pela natureza trabalho
mecânico (ex: turbina)
• Gerador – trabalho mecânico energia a um fluido
transporte (ex: bomba)
• Componentes principais: rotor e sistema diretor
• Classificação:
• Motor e Gerador
• Máquinas de ação e reação
• Máquinas de fluxo radial, axial, misto e tangencial
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• Impossibilidade de caracterizar um sistema e sua massa
uso de grandezas intensivas (divididas pela massa)
trabalhar com volumes de controle ao invés de sistemas
fechados
• Objetivo principal: determinar trabalho máximo recebido
do fluido (turbinas) ou mínimo fornecido ao fluido (bombas)
• Valores teóricos reais – dados empíricos médios =
rendimentos • Dão origem a resultados aproximados
• Incapacidade de determinação com precisão das condições de
dissipação
• Próxima aula
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• Análise Energética: • Introdução
Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
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• Análise Energética: • Energia Específica do escoamento
Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Primeira lei da Termodinâmica aplicada ao escoamento:
gh2
chuEugh
2
cpI
2
u
2
• I: energia específica do escoamento (J/kg)
• p: pressão (Pa ou N/m2)
• c: velocidade média do escoamento (m/s)
• ρ: massa específica (kg/m3)
• g: aceleração da gravidade (m/s2)
• h: carga (m)
• u: energia interna (J/kg)
• E: energia mecânica específica (J/kg)
• hu: entalpia (J/kg)
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• Análise Energética: • Energia Específica do escoamento
Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Outra forma de apresentação: carga H
• Vantagem: dimensão de fácil avaliação:
• Energia mecânica corresponde à equação de Bernoulli, que indica
ser a energia mantida constante ao longo de uma linha de corrente de
um escoamento permanente (não variante com t), incompressível, e
de um fluido ideal.
gh2
cpE
2
hg2
c
g
p
g
EH
2
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• Análise Energética: • Altura de queda ou altura total de elevação, e
potência em máquinas de fluxo
Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
g
YalturaH
QgHQYYmPf
• Q: vazão em volume
• : usada para escoamentos
compressíveis e incompressíveis
• : aplicadas em escoamentos
de fluidos admitidos incompressíveis, apenas
• Altura de queda (turbinas), ou altura de elevação:
• Potência fluida:
YmPf
QgHQYPf
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• Modelo para Máquinas de Fluxo: • Introdução
Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Modelo utilizado normalmente: sistema aberto = volume de controle, com
regime de escoamento permanente e adiabático -> modelo utilizado em
máquinas hidráulicas simples e também em complexas
• Superfícies de controle permeáveis I e II são mantidas com índices fixos
para quaisquer máquinas -> independe do sentido do escoamento
• Modelo:
• I: face de sucção da máq.;
região de menor pressão
• II: face de pressão da
máq.; região de maior
pressão
• máq. adiabática = troca de
calor nula: ∆Q=0
• regime permanente: ctem
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• Modelo para Máquinas de Fluxo: • Trabalho e Potência
Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• O trabalho específico, em função de grandezas nas faces de pressão e
sucção da máquina, pode ser dado pela seguinte equação:
• Define-se, então, com base no trabalho, a potência fluida:
específica energia da variaçãoIIY III
IIIf IImYmP
• Os processos na máquina podem ocorrer com variação da energia
interna, ou seja, variação na temperatura – devido à viscosidade do
fluido
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9 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Modelo para Máquinas de Fluxo: • Trabalho Específico para fluidos admitidos
incompressíveis
• Maioria das aplicações industriais: fluidos podem ser
admitidos incompressíveis -> variação de volume =
desprezível
• Primeira lei da Termodinâmica:
• q: calor
• Fluido incompressível + sistema adiabático => du=0
• Assim:
pdVdqdu
III EEgHY
QgHEEmYmP IIIf
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• Características das máquinas de fluxo • Exemplo: usina de Itaipu
Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Máquinas de fluxo em geral caracterizam-se por elevada potência
específica = grande potência concentrada para cada kg da máquina
• Itaipu: à partir de 2005, 20 turbinas hidráulicas com 300 ton e
potência máxima de 725MW cada turbina, tem potência específica por
turbina igual a:
• A vazão em volume em cada rotor é de 700m3/s. Em massa,
700.000kg/s
• Empreendimento binacional Brasil/Paraguai => 10 turbinas operam a
94,7rpm para viabilizar 60Hz, freqüência de rede elétrica do Brasil, e
10 operam a 92,1rpm, para fornecer os 50Hz referentes à rede do
Paraguai
kg
W2417
kg103
W1025,7
m
PP
5
8
específica
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• Características das máquinas de fluxo • Exemplo:
Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Tabela: comparação entre alguns dados operacionais e de dimensão
Roda d’água de
carregamento superior
(1900), Alemanha
Turbina Francis, usina
Grand Coulee (1976),
EUA
Diâmetro do rotor (m) 10 9,9
Potencia (kW) 18 ~775.000
Vazão em volume (m3/s) 0,22 1.000
Rotação (rpm) 2 86,7
Massa do rotor (ton) 11 450
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• Máquinas de Fluxo associadas à instalação: • Introdução
Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Objetivo: análise do fluxo de energia através de um sistema
contendo máquina de fluxo
• Apesar do fluido variar para máquinas de fluxo diversas, as
interações energéticas são semelhantes => análise de caso genérico
(porém, divide-se a análise em duas, uma para motores e uma para
geradores)
• Casos simples: máquinas operam instalações compostas por
reservatórios superior e inferior, ligados por condutos forçados
(pressão diferente da atmosférica)
• Casos complexos = vários casos simples
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13 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Máquinas de Fluxo associadas à instalação: • Bombas (geradores)
• Objetivo: vencer desnível geométrico e perdas em dutos
• Hipótese: energia cinética nula no interior dos dois reservatórios
10g
atmg10
atm11
HHH
g
pHhH
g
phH
• obtenção de Hg:
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14 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Máquinas de Fluxo associadas à instalação: • Turbinas (motores)
• Hipótese: energia cinética nula no interior dos dois reservatórios
• Novamente:
10g
atmg10
atm11
HHH
g
pHhH
g
phH
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15 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Trabalho específico das Máquinas de Fluxo • Chamada de equação fundamental
• Expressa a relação entre o trabalho específico realizado pelo fluido
ou sobre o mesmo, e grandezas físicas características do escoamento
• Equações obtidas aqui: • equacionamento básico empregado no pré-projeto das máquinas de
fluxo, conduzindo ao dimensionamento
• posterior otimização experimental ou numérica
• Análises no ponto ótimo = máximo rendimento das máquinas
(como no caso do cálculo da rotação específica) • na realidade, admite-se faixa, não ponto
• acima da faixa = sobrecarga
• abaixo = carga parcial)
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16 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Equação do trabalho específico • Triângulos de velocidade de uma máquina de fluxo
• Indicam a velocidade absoluta do fluido em cada ponto do rotor
• Utilizados na obtenção da equação do trabalho • apenas os triângulos nos vértices de entrada e saída das pás)
• triângulos ao longo das pás => usados no projeto das pás
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17 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Equação do trabalho específico • Triângulos de velocidade de uma máquina de fluxo
• Velocidade absoluta do fluido:
mu ccwrwuc
• Equação da continuidade para fluido qualquer em regime permanente
de escoamento:
• vazão em massa:
• vazão em volume (incompressíveis):
• onde V é a velocidade média, perpendicular à seção
transversal de escoamento.
• Assim:
VAm
VAQ
Acm m AcQ m
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18 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Equação do trabalho específico • Equação do momento torçor para turbinas
• Equação do Momento da quantidade de movimento (momento
angular) expressa diretamente o torque nas pás do rotor devido ao
escoamento
• Hipótese: escoamento permanente
SC SCi
ieo mdcrdSnccrM
• : i-ésimo momento externo com relação a O, centro de um
sistema de coordenadas conveniente
• : vetor velocidade
• SC: superfície de controle
• : vetor unitário normal a SC, apontando para fora
ieoM
c
n
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19 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Equação do trabalho específico
• Equação do momento torçor para turbinas
• Considere a figura:
Sistema de
coordenadas
polares
indicado na
figura (r,φ,z)
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20 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Equação do trabalho específico • Equação do momento torçor para turbinas
• Eixo de rotação mostrado: dado pela direção de z, ou pelo versor
• Produto vetorial:
• Torques em resistidos pelos mancais = dimensionamento dos
mancais
• Assim, momento da quantidade de movimento em :
• Assume-se número infinito de pás e b suficientemente pequena
(correção é aplicada posteriormente):
k
krc;zcrc;rzccr umzu
er
k
2SC 1SC
1u11m2u22m
iieo dScrcdScrcM
1u12u2
11u11m122u22m2
iieo
crcrm
AcrcAcrcM
Com a definição de
vazão mássica
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21 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Equação do trabalho específico • Equação do momento torçor para turbinas
• Momentos torçores externos
• Momentos externos: momento nas pás, momentos dados pelas
tensões de cisalhamento nas superfícies permeáveis do volume de
controle, momentos de força gravitacional
• Momento externo significativo: nas pás
• Momento em z:
• Convenção: momento torçor positivo: natural à máquina:
• Momento em todo o rotor = mesma equação, mas a vazão mássica
total
p
iieo MM
p
iieo MM
1u12u2p crcrmM
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22 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Considere
a figura:
• Equação do trabalho específico
• Equação do momento torçor para bombas
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23 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Equação do trabalho específico • Equação do momento torçor para bombas
• Novamente, assume-se número infinito de pás e b suficientemente
pequena. Assim, tem-se, ao redor de :
• Convenção: momento torçor positivo: natural à máquina:
• Mesma equação para turbinas e bombas!!
k
1u12u211u11m122u22m2
iieo crcrmAcrcAcrcM
p
iieo MM
1u12u2p crcrmM
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24 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Equação do trabalho específico • Potência da máquina
• Momento torçor multiplicado pela velocidade
angular do rotor:
• Equação de Euler (1752) ou equação fundamental das
máquinas de fluxo: trabalho específico nas pás
1u12u2
1u12u2pp
cucum
crcrmMP
1u12u2
p
th cucum
PY
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25 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Equacionamento complementar • Equação da continuidade
• Particularização para as superfícies permeáveis para as várias
máquinas
• Fluidos admitidos incompressíveis:
0dVt
dSncSC VC
• Fluidos compressíveis:
0mdt
mdSC VC
• Regime permanente:
ctemoucteQ
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26 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Equacionamento complementar • Equação da continuidade
• Volume de controle: contorno externo do rotor mostrado:
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27 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo
• Equacionamento complementar • Equação da continuidade
• Hipótese: velocidades meridianas nas faces de pressão e sucção =
valores constantes, calculáveis pelas expressões anteriores
• Assim:
• A: área lateral do escoamento na face de pressão, sem as pás
• coeficiente φ2: fator de correção = introduz efeito da presença de pás na seção
de escoamento –
• Hipótese: velocidades constantes na superfície 0 e velocidades iguais
em 1 e 0
• Assim:
• obs.: continuidade aplicada às demais formas construtivas de
máquinas = mesmos procedimentos
2222m22m bDcAcQ
192,0 2
externo10externo1m0m DDecc que note
2
e
2
00m DD4
cQ
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