Função polinomial de 1º grau (Parte 1)

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumário Página

É possível estar em dois lugares ao mesmo tempo? ................................................................... 1

Representação por tabela ..................................................................................................... 2

Representação por diagrama ............................................................................................... 2

Representação por gráfico ................................................................................................... 3

Sistema de coordenadas cartesianas ........................................................................................... 4

A noção de função ...................................................................................................................... 5

Reconhecer através da análise de diagramas se uma relação é uma função .............................. 7

Reconhecer através da análise de gráficos se uma relação é uma função ................................ 10

Domínio e conjunto imagem de uma função ........................................................................... 11

Referências bibliográficas ........................................................................................................ 13

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FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1º GRAU

É possível estar em dois lugares ao mesmo tempo?

Não, não é possível. A idéia de função originou-se exatamente na resposta matemática a esta pergunta e se desenvolveu com os estudos do italiano Galileu Galilei, no final do século XVI, a respeito do movimento dos corpos. Em qualquer movimento seja de uma pedra que cai, de uma nave espacial a de um cavalo no campo, ocorre uma relação especial entre dois conjuntos numéricos: o do tempo e o do espaço. A cada instante do primeiro conjunto vai corresponder uma, e somente uma, posição de um determinado corpo em movimento no segundo. A partir desta idéia, o conceito de função foi sendo aplicado a todos os movimentos numéricos em que essa relação especial acontece.

O conceito de função é um dos mais utilizados em Matemática. Ele se aplica não somente a esta área, mas também à Física, à Química e à Biologia, entre outras. Além disso, está muito presente em nosso cotidiano, ajudando a melhor compreender o mundo que nos cerca.

Freqüentemente você se depara com tabelas e gráficos, em jornais, revistas e empresas que tentam transmitir de forma simples fatos do cotidiano. Fala-se em elevação e queda da Bolsa de Valores, de lucros de empresas, de inflação, e apresenta-se um gráfico. Tudo isso, a partir da leitura de gráficos. Quem não estiver familiarizado com essas interpretações perde muitas das informações fornecidas.

Veja alguns exemplos da aplicação desse conceito:

• o preço de um armário é função da área que ele cobre;

• a dose de um remédio é função do peso da criança que é medicada;

• a altura de uma criança é função de sua idade;

• o desconto do Imposto de Renda é função da faixa salarial;

• o salário de um vendedor é função do volume de vendas;

• a área de um quadrado é função da medida de seus lados;

• o buraco na camada de ozônio é função do nível de poluição.

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Esses são apenas alguns exemplos. O que você precisa para entender o conceito de função é pensar em duas grandezas que variam, sendo que a variação de uma depende da variação da outra.

Representação por tabela

Para representar duas grandezas que dependem uma da outra, podemos utilizar uma tabela. A que segue mostra a variação do preço de um armário embutido por metro quadrado.

Vemos que a área do armário é uma grandeza variável; o preço é uma grandeza variável; e a variação do preço depende da variação da área. Dizemos então que o preço é função da área. Para cada um dos outros exemplos, podemos construir uma tabela como a que acabamos de ver.

Vamos imaginar a bula de um remédio pediátrico que diz:

MODO DE USAR OU POSOLOGIA: 2 gotas a cada kg de peso.

Pela tabela abaixo, podemos ver a variação dessa função:

Representação por diagrama

É também muito comum representarmos a dependência entre duas grandezas que variam (variáveis) utilizando conjuntos e flechas. Observe como ficariam representadas as funções apresentadas nas duas tabelas:

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O conjunto A é o conjunto dos números que expressam a medida da área, e o conjunto P é o conjunto dos preços do armário para cada área.

A cada elemento de A, corresponde um único elemento de P, ou seja, para cada área, temos um único preço.

No caso do remédio, chamaremos K o conjunto dos valores que expressam os pesos e D o conjunto do número de gotas.

Observe que, para cada peso, corresponde uma única dose do remédio. Caso contrário, continuaríamos sem saber que dose administrar e não teríamos uma função.

Representação por gráfico

Outra forma de representar uma função é através de gráfico. Por exemplo, a quantidade de água que sai de uma torneira vai depender do tempo que ela permanecer aberta. Portanto a quantidade de água está em função do tempo. Veja um gráfico para o exemplo da torneira:

Pelo gráfico rapidamente vemos que após 2 segundos vazaram 40 ml de água, após 3 segundos 60 ml, e assim por diante.

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Sistema de coordenadas cartesianas

Em 1637, ao publicar seu livro La Geométrie, o filósofo e matemático francês René Descartes lançou a idéia de que um par de números, disposto numa certa ordem, poderia determinar uma posição no plano.

Usamos o sistema de Descartes, conhecido como sistema de coordenadas cartesianas, para fazer, por exemplo, gráficos, mapas de ruas ou mapas-mundi.

Vamos ver como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas:

• partindo-se de um ponto de referência, são traçadas duas retas perpendiculares e orientadas;

• cada reta orientada é chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo indica o crescente dos números;

• o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x;

• o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y;

• o ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema, e corresponde ao par ordenado (0,0);

• nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números positivos à direita e acima da origem; os números negativos à esquerda e abaixo da origem.

• O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.

Dessa maneira um ponto P (x,y) pode ser representado por um par de números que chamamos de par ordenado. O primeiro número do par indica a abscissa do ponto e o segundo número indica a ordenada. Por exemplo, P (3,4), teria sua representação assim:

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A noção de função

Como já foi dito, com bastante freqüência encontramos situações que envolvem relações entre duas grandezas variáveis.

Consideremos a situação abaixo.

► Uma caneta custa R$ 30,00. Se representarmos por x o número dessas canetas que queremos comprar e por y o preço correspondente a pagar, em reais, podemos organizar a seguinte tabela:

Número de canetas (x) Preço a pagar (y) 1 1 · 30 = 30 2 2 · 30 = 60

3 3 · 30 = 90 4 4 · 30 = 120 ... ...

10 10 · 30 = 300 11 11 · 30 = 330 ... ...

Olhando a tabela você percebe que o preço y a pagar vai depender do número x de canetas que foram compradas. Entre as grandezas y e x existe uma relação expressa pela sentença matemática y = x · 30 ou y = 30x.

Você nota também que:

• o número x de canetas é uma grandeza variável;

• o preço y a pagar é uma grandeza variável;

• a todos os valores de x estão associados valores de y;

• para cada valor de x está associado um único valor de y.

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Nessas condições podemos dizer que:

O preço y a pagar é dado em função do número x de canetas e a sentença y = 30x é chamada lei de formação da função.

Uma vez estabelecida a relação entre as variáveis número de canetas e preço a pagar, podemos responder a questões como:

a) Quanto vou pagar por 50 canetas iguais a essa?

1500

5030

30

=⋅=

=

y

y

xy

Logo, vou pagar R$ 1500,00 por 50 canetas.

b) Se eu tiver R$ 780,00, quantas canetas consigo comprar?

2630780

30780

30

=

=

==

x

x

x

xy

Portanto, vou conseguir comprar 26 canetas.

OBS.: Quando escrevemos a lei de formação de uma função, utilizamos, em geral, as letras x e y para representar as variáveis que estamos relacionando, sendo y dada em função de x. Desse modo, estamos uniformizando a notação de funções.

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Reconhecer através da análise de diagramas se uma relação é uma função

Observe os quadrados abaixo onde estão assinaladas as medidas de seus lados.

Podemos construir uma tabela relacionado as medidas dos lados desses quadrados com as medidas dos seus perímetros.

Medida do lado (cm) 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Perímetro (cm) 2 4 6 8 10 12

Essa tabela também pode ser representada na forma de um diagrama, pelo qual relacionamos dois conjuntos: A, conjunto formado pelas medidas dos lados, e B, conjunto formado pelos perímetros.

As flechas indicam a relação: lado 0,5 cm → perímetro 2 cm

lado 1 cm → perímetro 4 cm E assim por diante.

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Nessa relação você pode notar que:

• todos os elementos do conjunto A estão associados a um valor do conjunto B;

• cada elemento do conjunto A está associado a um único valor do conjunto B.

Nessas condições, dizemos que a relação entre os conjuntos A e B é uma função de A em B. Indicamos:

43421B emA de função

BA:f →

Podemos também escrever a fórmula matemática ou lei de formação dessa função: y = 4x, onde y é o perímetro e x a medida do lado.

► São dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a relação entre

A e B expressa pela fórmula matemática y = x2, com x ∈ A e y ∈ B.

Vamos representar essa relação através de um diagrama:

x ∈ A y ∈ B

x = 0 → y = 02 = 0

x = 1 → y = 12 = 1

x = 2 → y = 22 = 4

Observe que:

• todos os elementos do conjunto A estão associados a um valor no conjunto B;

• cada elemento do conjunto A está associado a um único valor do conjunto B.

Nessas condições, dizemos que a relação entre os conjuntos A e B é uma função de A em B.

Notação: 434212

BA:f xy =

→

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De maneira geral:

Sendo A e B dois conjuntos não-vazios, uma relação entre A e B é chamada função quando a cada elemento x do conjunto A está associado um único

elemento y do conjunto B.

Resumo: Observe os diagramas abaixo que representam relações entre os conjuntos A e B:

É função, pois todo elemento x ∈ A tem correspondente em B, e cada elemento tem um único correspondente em B.

É função, pois todo elemento x ∈ A tem correspondente em B, e cada elemento tem um único correspondente em B.

Não é função, pois há elementos de A que não possuem correspondentes em B

(sendo x = −1, por exemplo, y = 21

∉ B.

Não é função, pois há elementos de A que possuem mais de um

correspondente em B (sendo x = 1, y = ± 1.

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Reconhecer através da análise de gráficos se uma relação é uma função

Dado um gráfico, como posso reconhecer se é ou não o gráfico de uma função?

Já sabemos que para existir uma função é necessário que para qualquer x de um conjunto de valores corresponda a um único y, de outro ou do mesmo conjunto de valores.

Geometricamente, se esses dois conjuntos de valores são os dos números reais, significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x deve interceptar o gráfico, sempre em um único ponto. Assim, se a reta não intersectar o gráfico ou interceptar em mais de um ponto, esse gráfico não é gráfico de uma função.

Examine esses gráficos para esse conceito ficar mais claro.

O gráfico acima é de uma função, pois

qualquer reta perpendicular ao eixo x

intercepta-o em um único ponto. (Todo x real

terá um único y)

Este gráfico não é de uma função, pois

existem retas perpendiculares ao eixo x interceptando-o em mais de um ponto. (Há

valores de x com mais de um correspondente em y)

Considerando x um número real qualquer, este

gráfico não define uma função, pois para x = 5,

por exemplo, não existe y correspondente.

Mas, considerando x real de 1 a 4, este gráfico

indica uma função. (Para todo x real, 1 ≤ x ≤ 4 existe

sempre um único y.

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Domínio e conjunto imagem de uma função

Para introduzir este tópico, vamos desenvolver um exemplo com base no conteúdo já estudado.

Com os conjuntos A = {1, 4, 7} e B = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a função BA:f → definida por f (x) = x + 5 que também pode ser representada por

y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:

• O conjunto de valores que variável x pode assumir chama-se domínio da função. Vamos indicá-lo por “D”.

• O valor da variável y correspondente a um determinado valor de x é chamado imagem do número x pela função. O conjunto formado por todos os valores de y é chamado conjunto imagem da função. Vamos indicá-lo por “Im”.

Vejamos então para o nosso exemplo:

• O domínio da função é D = {1, 4, 7}

• A imagem da função é Im = {6, 9, 12}

OBS.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o primeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o conjunto de todos elementos que as flechas tocam.

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Exemplos:

a) Dados os conjuntos A = {−3, 0, 3, 8} e B = {−2, 0, 15, 18, 27, 40} e a relação

entre A e B expressa pela fórmula matemática y = x2 − 3x, indique o domínio e o conjunto imagem da função.

D = {−3, 0, 3, 8}

Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio para descobrir o conjunto imagem:

Para x = −3 temos 1899)3(3)3( 2 =+=−⋅−−=y

Para x = 0 temos 0000302 =+=⋅−=y

Para x = 3 temos 0993332 =−=⋅−=y

Para x = 8 temos 4024648382 =+=⋅−=y

Então, Im = {0, 18, 40}

b) Considere a função dada pela fórmula x

y1= . Nessa função, a variável x pode

assumir qualquer valor real, menos aqueles que anulem o denominador, uma vez que não definimos fração com denominador zero.

Nesse caso, o domínio da função D = �� ou D = {x ∈ � / x ≠ 0}.

Se x = 10, então 101=y →

101

é a imagem do número 10 pela função.

Se x = −2, então 21−=y →

21− é a imagem do número −2 pela função.

Se x =81

, então 8

811 ==y → 8 é a imagem do número

81

pela função.

Nesse caso, a imagem da função Im = �� ou Im = {y ∈ � / y ≠ 0}.

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c) Quando a um número real associamos o seu triplo aumentado de 2 unidades, temos uma função definida pela fórmula matemática 23 += xy . Nessa função

não há restrições para os valores que x pode assumir. Nesse caso, x pode assumir todos os valores reais. Logo, D = �.

Assim podemos determinar a imagem de qualquer elemento do domínio.

Se x = −10, então 282302)10(3 −=+−=+−⋅=y → −28 é a imagem do

número −10 pela função.

Se x =31− , então 1212

31

3 =+−=+

−⋅=y → 1 é a imagem do número

31− pela função.

Referências bibliográficas

[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora FTD.

[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.

[3] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.

[4] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.

[5] http://www.bibvirt.futuro.usp.br

[6] http://www.brasilescola.com

[7] http://www.ficharionline.com

[8] http://www.klickeducacao.com.br

[9] http://www.tutorbrasil.com.br