matA10 – lógica e teoria de conjuntos

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Proposições

Uma proposição é toda a expressão p suscetível de ser verdadeira ou falsa.

Uma proposição verdadeira tem o valor lógico de V ou 1 (verdade).

Uma proposição falsa tem o valor lógico de F ou 0 (falsidade).

Operações com proposições

Negação

p ~ p

V F

F V

Conjunção

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disjunção

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Implicação

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Equivalência

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Disjunção exclusiva

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Propriedades das operações lógicas

Princípio da não contradição

~ Fp p

Princípio do terceiro excluído

~ Vp p

Comutatividade Associatividade

p q q p

p q q p

p q r p q r

p q r p q r

Elemento neutro Elemento absorvente

Vp p

Fp p

F Fp

V Vp

Distributividade Leis de De Morgan

p q r p q p r

p q r p q p r

~ ~ ~p q p q

~ ~ ~p q p q

Implicação e disjunção

~p q p q

Negação da implicação

~ ~p q p q

Implicação contrarrecíproca

~ ~p q q p

Transitividade da implicação

p q q r p r

Dupla implicação

p q q p p q

Dupla negação

~ ~ p p

Operação lógica e expressões

Operação Expressão Operação Expressão

Negação ~ não

não é verdade que … Implicação se … então …

Conjunção … e … Equivalência

… se e somente se …

… se e só se … Disjunção … ou …

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Expressão proposicional ou condição

Uma expressão proposicional ou condição é uma expressão p x envolvendo a variável x, tal que, substituindo a variável

por um objeto a, obtém-se uma proposição p a .

Quantificadores

Quantificador universal:

Se p x é uma condição universal em U, a expressão ,x U p x é uma proposição verdadeira.

Quantificador existencial:

Se p x é uma condição possível em U, a expressão ,x U p x é uma proposição verdadeira.

Condições

Representação

, , x U p x x x U p x

: : x U p x x x U p x

Propriedades

Se p x é uma condição qualquer, u x é uma condição

universal e i x é uma condição impossível, verifica-se:

Negação de uma condição

A negação de uma condição impossível é uma condição

universal.

A negação de uma condição universal é uma condição

impossível.

~ , : ~ x U p x x U p x

~ : , ~ x U p x x U p x

p x u x u x

p x i x p x

p x u x p x

p x i x i x

Segundas leis de De Morgan

~ , : ~ x p x x p x

~ : , ~ x p x x p x

Negação de uma implicação

~ , : ~ x p x q x x p x q x

Dupla implicação

, , x p x q x q x p x x p x q x

Contrarrecíproco

, , ~ ~ x p x q x x q x p x

Contraexemplo

Para provar que , x U p x é uma proposição falsa, basta apresentar um contraexemplo, isto é, a U , tal que p a é

falsa.

Conjuntos e condições

Condições definidas em U Relações entre conjuntos-solução em U

a x A

b x B

~ a x negação A complementar

a x b x conjunção A B interseção

a x b x disjunção A B reunião (ou união)

a x b x implicação A B inclusão

a x b x equivalência A B igualdade

: A B x x A x B

: A B x x A x B

\ , A B x x A x B

, A B x x A x B

A B B A A B

Se B A , então \ A B B é o complementar de B em A

Condições

Impossíveis

Possíveis

Não universais

Universais