����������
����������� ��
��������� ��
��������������������������
������������� �
����
����
����
��������� ������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� ��
��������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������� ��
��������� ������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��
�������� ����������� ������������!�"#!��� ���������������������������������������������������������� ��
������$�������!��%������������& ������������������������������������������������������������������������� �'
��������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� �'
'����!�&������������������� ������������������������������������������������������������������������������������ �(
)������������������������*��!��+���� ������������������������������������������������������������������ �(
(��������&������������!������� ������������������������������������������������������������������������ �,
��������� ���������������� �������������!����������-��!�� ���������������������������������������������������������������������� ��
��� ���������������������������-��!������������������������������������������������������������������� ��
����������������!����&������������������-��!�� ��������������������������������������������������� ��
���.�/�������!����������-��!�� ���������������������������������������������������������������������������� ��
'��.�/���������������������-��!�� ����������������������������������������������������������������������� ��
��������� ����������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��
���� ����� ���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� � ����������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���� ��������� ����������� ������������������������������������������������������������������������������������������ ���� ���������������� �������� �������������������������������������������������������������������������������������
���-��0!��� �����������1��!����%��2�/%�2�� ����������������������������������������������������������� ��
�����!���������������.�/�� ��������������������������������������������������������������������������������� ��
�������� �������!�"���3������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��
���������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��
���1��!������!�& ��������������������������������������������������������������������������������������������������� ��
���.4&��&������!���������5�! ������������������������������������������������������������������������������� ��
'��6���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �)
)��7�!������������& �������������������������������������������������������������������������������������������� �(
������������� �
(������������������& �������������������������������������������������������������������������������������������� �(
,��7�!�����������������������8�� ������������������������������������������������������������������������ �,
��������# $%�������&����������.��������94����� ����������������������������������������������������������������������������������������������� ��
���� � ������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� ���� � � ����� !������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� ������ ��"��������� ����!������ ���������������������������������������������������������������������������������� ������ # $���$������� ����!������ ������������������������������������������������������������������������������� � ��%� �������� ��� ����� !������� ���������������������������������������������������������������������������������� � ��&� � ����� ������ ��������� ���������������������������������������������������������������������������������� � ��'� ��"���(�$����������)��*� ��������������������������������������������������������������������������������������������� ����+� �������,����)��*� ������������������������������������������������������������������������������������������������� ����-� � ��������"����������� ����������$ ������������������������������������������������������������ �����.� /��������"����������� ����������$ ������������������������������������������������������������� �%����� ����������,������"����������� ����������$ ������������������������������������������������ �&
��������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� �)
���*4%�!����8�����.�!�! ��������������������������������������������������������������������������������������� �,
���*:�!��*#&���&��.�!�! �������������������������������������������������������������������������������������� �,
'��*�.���**.���&��*;������������!�������3��&��� ������������������������������������������������ �,
)��**.���*�.���&��*;��������1����������!�&�<�� ������������������������������������������������� �
(��*�.���&��*;�����������8�������������8�� ������������������������������������������������������������� �
,������������������*�.������**.��������������������������������������������������������������������������� ��
��������' (��������)�������3������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��
����"������������������� ����������������������������������������������������������������������������������� �� ��� 0������� ��� 1$������� ������������������������������������������������������������������������������������������� � � �2��������������� ����1$������� ������������������������������������������������������������������������ � ��� �������� �� 1�$��34��� ������������������������������������������������������������������������������������������� �
��� ��&������������$��� �������������������������������������������������������������������������������������� ��
�� ��&�������3�&���� ������������������������������������������������������������������������������������������� ��
'��.�=�������������� �������������������������������������������������������������������������������������������� ��
)��.�=����>�8���� ���������������������������������������������������������������������������������������������� ��
(��.�=������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������� �''��� ����������,� �� ��5���� �� ������ ����������������������������������������������������������������������� �%'� � � ���� �� 1$������� �� ��5���� �� ������ ���������������������������������������������������������� �%
,��35��&��������.�=���� ��������������������������������������������������������������������������������������� �'
����
����
����
������������� �
��?����������!�.�=���� ����������������������������������������������������������������������������������� �)-��� 2��,� �� ��5����� ������������������������������������������������������������������������������������������������� �&-� � !������*�,� �� ��5����� ���������������������������������������������������������������������������������������� �&-��� ��������� �� ��5����� ������������������������������������������������������������������������������������������� �'-��� ��5���� ���$������� ������������������������������������������������������������������������������������������ �'-�%� ����*���6�� ���7�����6�� �������������������������������������������������������������������������������������� �+
����"#!��������&�!��������>���������3������������.�=���� ������������������������������ �
����.�=�����"�!;����� ���������������������������������������������������������������������������������������� '�
��� ?����������!�3���8�&����!���@�����A �������������������������������������������������������������� '�
��������* +,���-���� 3������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� '�
�� ����&��������!���B���� �������������������������������������������������������������������������������� '�
����B�����������C��� �������������������������������������������������������������������������������������������� ''
�� ���/&�!���������C��� ���������������������������������������������������������������������������������������� ')
'� �B�����������C��� ������������������������������������������������������������������������������������������� ')%��� 8���$��,����9���,��� ����� ���������������������������������������������������������������������������� %'%� � �:���$���;<��=��� ������������������������������������������������������������������������������������������������ %'%������*���,���� ������/�$��6����19���,��� �>��� ���������������������������������������� %+
)����&����������.���������������:��� �������������������������������������������������������������������� '
(������&��������B��������!�*��������D���48�& �������������������������������������������������� )�
,���B������3��������� ������������������������������������������������������������������������������������������� )�
��*��������D���48�& ������������������������������������������������������������������������������������������� )�
+.������������� #
������� ��������
��������� ��������� �������������
��������� ����������� ������������������������� �����������������
������������������������������������������������������������
� �� ������������������������������������������������������������������������
�� �������� ��� ������ ������� � ���� !� ������������������������������������
"����
� � � � ��
�
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ���������������
��������# $ �%�$�&�$�&�$�%�'$�# ���%���&���&���&���&���%���# ()*#��%�()*#�&�()*#�&�()*#�&�()*#�%��'
�#−���� = −���� ⋅
−���� =�
���
��
���
�
� �� ������������ �+���������������������������� ���!�����"����
���%��
��������# ,��%�,
�#��
��
����� =
� �� ������������ ����+�����������������������-������� ������"����
���%��
.���������/� 0���0�%��1����1��%��1��%��
��2�����������34� ��≠ 5 ���%��
��������# ,��%��
�# −���� =�
��
�
� �� ������������ ����� ������+��������������������������������� ��6
/���������7�6������� ���!���������������� �������/�������������������������� ���������������������������
"����
��
�
�
− = ����
�
��������
# �
�
��
�
���
�
������
−= ������ =
�#−������
−=
−������ =
−�
�
��
�
��
��
�# − = −���� =−
−� �
����
��
� �����������8����������9����������� ������
�: ��%�5�����;�5��⇒�����%�5*: ��%�5�����<�5��⇒�������∈��1: ��;�5��⇒�����;�5$: ��<�5���������⇒�����;�5,: ��<�5�����=����⇒�����<�5
��������� �����������
$���"�����/�����
������������
�� �����������>���������������9��������������� �����
�9����������������������7���7��/?�������� �������������������
� �������� � �� ��!���� �� ����� ���������������������������������
��� ����������� ������������������ ������������
���&����%��������
" ��#������
� � � � �
� � � � �� �
�
�
�
�
� �
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
����
���
⋅ =
�� ��� ���
�� ��� ���
������
������
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅� � � � � � � �� �
�� ��� ��� �� �� �������� ������
"������
� � � � � �
� � �
� �
� �
� � � �
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ =
+
+
�� ��� ���� �������
��������# * �&�*��%�* �����%�*�
�# $��&�$�������%�$�������������%�$�
�# 1�&�1��&�1��%�1����������%�1�
� ����$ ����� �� ��!���� �� ��������������/�������������������������
������������������� ���%��� �������������
��
� ��
�
� �= ≠− � �
" ��#������
� � � ��
�
= ⋅ ⋅ ⋅�� �� ��������
������� � � ��
�
= ⋅ ⋅ ⋅�� �� ��������
��& 8�������;�� �����
��
� � � �� � � �
� � � ��
�
�
�
� �
� �=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ =
−
−�� ��� ���
�� ��� ���� �� �
������
������
������� �
��& 8����%�� � ��
� ��
�
� �= = = =−� ��� �
��& 8����<�� � ��
�� � � �
� �
=⋅ ⋅ ⋅
−
=�
�� �� ���
� �������
= ���� =
−−@
��
� �
� �
� � � �
��������
#��
�
��%�*������%�*�
�#����
�%�,�����
�#��
�
�
�
�
+
− = $��������������� ��%�$�
� � � ���� � �� ��!���� �� ����� ��'����������������������������������
�������� ������������� �������������6��������������
���&����%�(��&��#�
" ��#������
��
� � � �
�
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ���
� ��������������� � � � ��
�
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ���������
� � � � � � � � � �� �
� �
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =�� ��� ��� �� ��� ��������� ������
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� �� �� ���
�� ���� ����������
��������� ��������� ��
$���"�����/�����
������������
"��������&����%�(��#�
��������# *��&�A��%�(*�&�A#��%��'�
�# �&� �&�� �%�(�&��&��#
� ����$ ����� �� ��!���� �� ����� ��'���������/�������������������������6
������ ����������� � �����������/������������
��
��
��
�
�
= ���� ≠� �
" ��#������
� � � � ��
�
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ���������
�������� � � � ��
�
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ���������
��
� � � �� � � �
�
�
�
�
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=�
� ��� ���
�� ��� ��
������
������
��
��
��
��
��
�
�
�
= ������������ ⋅ ⋅��
���
� ����� ����������
"�������
��
�
�
�
= ����
��������
#��
��
�
�
�
= ����
�#� ��
� ��
� �
�
�⋅=
⋅������
� ������!��� �� �� ��!���������/�������������������/�
�������� ����������� �������� �������'�����������������
(��#��%�������
" ��#������
� � � ���
� � �
�
� � = ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ��������
� ���
� � �
�
� � = ⇒+ + +�� ��� ��������
(��#��%�������
��������# (* #��%�* �����%�*�
�# � � ���
�� � � ��� ���
�� = =⋅ ⋅
����������"��������������������������������
��������������������������� �� �������
��������# * �&�*���%�* ��������%�*����(��#
�#��
� � ��
�
� � � � �
�−− − += = =� � � ��
�# ,� �&�*� �%�(,�&�*#� �%��5� �(� #
�#��
��
��
���
�
�
� �−
−
−= ���� = ��
�� = �(��#
�# � � � ��
��
��
� � ��
� � � �− ⋅ − −= = = ��� = �(��#
��������� �����������
$���"�����/�����
������������
+.���������������5���>��������/������� �%�$��B�(5 *,#���)�(5 ,#��
��������
����������������� �����
��
��
�
= = = ����
�������������
��
= =
����������������� � ��
��
��
��
= + ���������� − ��
��
− −
������
� � ��
��
� � �� �
� �= + ���� − ��
�� = + −
− −
����� ��!�"�#�⇒ =� ��
5*��8������%�(*�# C��%�����������%���
� ������������������&��&���
�����������$%�&����%�
���������%�
����%�����%
�������'��'�����%��'�%��'�%���%��
������� �%��
51��8�������������������D���
#� �����
� �
�
⋅
�#�� � � �
�� ��
� � �⋅ − ⋅⋅
+� �
�
���������������������(& ()��#������)���
"����������� ()�#�� ��)�� � �� ��� � ���6������������������������� ������
− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −� � � � ��
�
� � � � � � � � � ��� ����� �����������
�
− = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅� � � � ��
�
� ��� ��� ���������
��������# �()*#��%�()*#�&�()*#�&�()*#�&�()*#�%��'�# )*��%�)�(*�&�*�&�*�&�*#�%�)�'�# ()*# �%�()*#�&�()*#�&�()*#�%�)A�# )* �%�)�(*�&�*�&�*#�%�)A
)& � ���
��� � �
"����������� � ���
��� � � ��� ��� ����6
�����������������#����� ������
� � � � ���
� � � �
�
� � � � � � � � � �= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ������ ������
�����
�
� ���
� � �
�
= ⋅ ⋅ ⋅�� �� �������
��������
# ���� � %�(1�#�&�(1�#�&�(1�#�%�1���� �%�1�
�# ����%�1����������%�1�
��������� ��������� ��
$���"�����/�����
������������
��������
�&� �����
� �
�
⋅
������������(���)� %*���)� %#)���)
���7���������
��
���
����
��
�
��
�
��
�
��
��
���
⋅=�� �� ⋅ �� ���� ��
=⋅
=
�� ��
� ����
��
�= =
������� �%*
�&
�� � � ��� ��
�� � � � �
�� �
�� � ��
�
�� ��
��
⋅ − ⋅⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅
⋅=
+
� �
������� �����
5$��8���5��%�'$ ����7�����������/�������@E �
�
���������
������� �#
��������� �����������
$���"�����/�����
������������
�������������������������� �� ����-��6������
� �����-��������������%���� ����-����������������&
�������� �������F����������9�������6
�� � �� ������� ������������
�� ���� * +���� � ��� ��' �� � ����'���� ��'������
8����������9���������7�6�� ��/�� �� ≥ G �������9���������� �7�6����
� �� ≠ G , ��-�������� �� ����9������9������ �� ≥ � , �������� �� = &
� � � �� �= ⇔ =
��������
# �� � � ��� �= =���� (��-����������'#
�# �� � � ��� �= =���� � (��-� ����� ��A�#
�# � � �� �= =� ����� �(��-��9�������A#
�# � � � �� �= =����� �(��-����/����5#
�# � � � �� �= =����� (��-�����������,#
�����������������/��H7� ���������=����������-��
* ��������������������H7��
"���� � � �� = = &
��������� ���������
�� ���� * +���� � ��� %���� � ������'�� ������
8��������9���������� ��/��(��<�5#�������9����������=�� ���-�������
�� �����9������9������(��<�5# ���������� �� = &
� � � �� �= ⇔ =
��������
#� − = − − = −�� � � ����- �IJK � �
(��-��9�������)�'$#
�#� − = − − = −�� � � ��� �� ���� � �(��-����������)�1*#
������������������������������������ !����
8����������9������� ���-�������
�� ������9�����7�6�� ��/���������/��������������������������F�
� � �� �� �
���
= =≥
− <���
�������K�K�
LL
��������
# − = − = − − =� � � ��� � � �
�# � � �� = =
�# � � � � � ��
− = − = −� �
����������� � �� >
�# � � � � � � � ��
� � � � �� � � �= = =
�������������� � �� <
��������� ��������� ��
$���"�����/�����
������������
����������
��/���� �7�� ���������� � �= � ��� �= ± �������������������������������6
H7��
���7���� � � �= − = −�
8������������������H7����%�$ � ����6�����������H7�����=-���*���6* ������
� � �� � � �= ⇒ = ± ⇒ = ±
��� ��"�����������#�������������$
.�#�����
�������� ��� ���� �� (�� ;� 5#� �� ��������
���������� � � �∈ ∈� �� �������9����
� ��
���=
��������
# � � ��
� �� �= =
�# � � ��
���= =
�# � � ��
��
�
���−
= = =−
�# @E�� @E�� @@E��
@�
� � ��
�
��− = = =−
�
����������+������������������������������
���������������������� ��������� �7��/?�������������������������
%�� �����������>����������������9����� ����� �����
�7�6�� ��/��� �� ��� �9����� ������� �7�6�������������+,����7��
��� ���� � �� �������� �� ����� %����
��� ������������ ������� ��� ����� =����� � ������/����� =������ ������������������������
� � ��� � �⋅ =
" ��#������
� � � � � � � �� � �� �
�
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅� �
�
� �
��������# � � � � �� �⋅ = ⋅ = =
�# � ��� � ��� �⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅� � � � � ��
��� .������ �� �������� �� ����� %����
�����/������� ������� ��������=����� �������/�����=����������/�����������������
��
��
�
�
�= ������������ � ≠ �� �
" ��#������
��
��
��
��
�
�
�
�
�
�
= = ���� =
�
�
�
��������
# 6
2
6
23
3
33 3= =
��������� �����������
$���"�����/�����
������������
�#25
4
25
4
5
2= =
��� ��!��� �� �� ����
������/��������-������������ ���� ���/���� �� �������� � �������������
� ���
��� � =
" ��#������
� � � ��� �
���
�
�� � � �= = =�
����������"�������������� ������/?�������6
���������������������������� ��/��
��������
# � ��
�� � =
�# @� @���
��� �− −=
�# @E @E @E��
��� � = =
��� /��� �� � �� ����
������������ ��-����������� ��- ���� ������/���� �� �������� ����6�������������=�������
� ��� ��= ⋅
" ��#������
� � � � ���� � �
�
�
�
� �
= = = =⋅ ⋅�
� �
��������
# � � ��� � � �= =⋅
�# � � �� � � �= =⋅ ⋅
��� 0�����#������ �� ��������
2���������������� �����/������ �=����������� ��-� �� �� ������������ ����������������������9����������7�6���� ���/��������-��7�������
� � ��� � �� �
= ≠⋅⋅�� �
" ��#������
� � � ��� � �� ���
� �
� �
= = =
⋅⋅ ⋅⋅
��������
# �� �� ���� � �� � ��= =⋅⋅
�# � � �� � �� � ���= =⋅⋅
�# � � � ��� �� ��= = =
����������>���������������/������������� ��
/�����������-��7������������������/�6�������=��������������������������������6������������� ����� �����������7�6�����
� ��� � �� �
= ��
��������
# @E @E @E�� � �� � ��= =��
��������� ��������� ��
$���"�����/�����
������������
�# � � ���� �� �� � �= =��
�# � � ��� ��= =
&������$������������������8��������� �� ������ �� �����
�������?6��������������7������/���6��� �� ��������� ���������������� ������ ��������M������ ���� �������H7���/���������H7��������������������6���������/�����
��������
# �� �
� �
� �
� �
� � �� � � � ��
� � � � ��
�� �� �� �� ��
� ��
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅
� � � � � �
� � � � �
� � � � �
�� � � �
�# � � � � � � � � � ��� �� � �� ��⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
�# ��� � � � � �
� � � � ��
� � �� � ��
�� �
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ =
'����������������������(�����)������������-�����������������������
������=����� ���������������������NN>������������� =������ ��������������=�������������������������������� ��� ��/����������/��=�������������������=��������������� ��������������� ����������������������������������������������/����������
��������
# � � � �⋅ �� ��� �
NN>�(1 �$ �*#�%��* ����7��
�� � � � � � ��� � ��� �� ��� ���= = =� �
�# � � �� �� �
NN>�(* �1 �$#%�* ����7��
� � � � � ���� � ��� � ���= = =� �
��������1���#�>�������/��������������������� �
�� ���������H7���� ���/��7����� �=-��� �O��/����������������������������/����=���6����� ��� ����7����������H7���������-�������������������=����������������6��������������������
�������
� � � � � � � � �� � ��� ��� ��� � � ���⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
*#���� ����������� ������ �=-�� ������/������6���������=�������� ��� �����7���������-����?������������/�������� ��������
�������
� � �
� � �� �
� �� �
�� �
�= =
= =
�����
⇒ >
+.���������������5����������������HD���������������-��6
������9����������������������������6�������=/���
#� � �� � �� � �⋅ ⋅��������
#� � �� � � � � �� �
� �� � � � � ��
� � � �
� ��
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= = = ⋅ =��
��������� �����������
$���"�����/�����
������������
� � � � � � � �
� � � � � � ��
� �� � ��
�� �
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= = ⋅ = ⋅ =
������� ��%
�&�� ���� �
⋅⋅
��������
� ���� �
� ���� �
����
����
�⋅⋅
=⋅
⋅= = =
���������� �
5*��>������
#� ���� �
��������
� � � ��� �� �� � = = =
������� �(
�#� ��
��������
� �� �=
������� � ��
51��>�����������������#�1'�
��������
�� �� � � �� � ���
� ��
= = = =� ����������!
�#�A��������
��������
� � � �� � ��������� �� � ��
�
�= = = = =��
� � � � ��
���
��
�� �= = = =⋅
� �������� �#
5$��>��������/�������
� � � ���
− − +� ���������
� � � �− − + = − + =
+ + =
� � � �
� � � � �
� � �
�
�������� �*
*���������$�����������������������������-�������������� �� �����
�������?6���������9���� ��������� ��� �9���� ������� � ��� ��� �������� ��?������ �� ��/��7��� �� ������ ��?����� �������-�������������� �� ������ ���6�������������������������
"��������-H7�����������������������6����6������������������������������H7���������������� �������� ���� ����H7������/������!����������������������P���#��� �� ���������������� #��������������&
�� �������������������������� ���
M����/��������
��� �&�������� �%� � �� ���� ⋅ �%
������� �%� � ��� =
"��� ���� ��HD������� ���������
������������������ ��� � ���������6����������������������������������6
���������� ������� �(������������-���#
��������������������(�9������������#�������������
��������� ��������� ��
$���"�����/�����
������������
���������������-�����������������
#���
��� � �
�� � ��
�
� ���� �
��
��
�
��
�
= =
�#���
��� �
�� � �
�
� ��
��
= = =
�#��
� ��
� �� �
�� � �
� �
� �� �
� ���
=⋅
=⋅
=
Q��������� ��������������������6���������� 2 ������ ���������������-������������-� � ���!��������������������6��������H7��
�� �������������������������� � �±Q�������� �/��������������������
���?/��� ��� � ������� � ���� �� � � ��� � �Q��6�����������������������?/�� ������������������������������� ������-�������6����������
M����F�
� � � �� � � � �+ − = − =� � � �� � � � �� �
������� ������/����������������-���������������� ����� � �± � � ����������������������������������6���������H7���������3 ������������6����� ����������������������(�96������������#��������������"����
���������� � �+ →���F� ��� � �−
���������� � �− → ���F� �� � �+
���������������-�����������������
#� �� �
�� ��
�� ��� �
�+
=+
−−�
�� �
������= −−
= −� � � � � �� � � �� � �
�#��
��
�� �
� ��
−=
−++� ��
� �� �� �
�� �+�
�#���
��
� ��
�� � � �
� �� �+
=+
−−� �
� �� �
�����= −−
= − = −� � � �� �� ��� �
� ��
�
��������1��
#���� ������� ��� ��/������/����� 1
���� � =� ����� ���� ������� � �� ����������-����/�������� � �����1 ���� ��/�6��������� �������������
�#����������� ���
���/������/�����*
���� �� %� � R500��� � �� ���� �������-�� ���
�� ��/�������� � ��� � ���� , � ���� ���
�����������������
�#���� ������� �� �+
���/������/�6
���� $� ���� � %� * *1'5���� ���� ��� %� $�$*���C��������������-��/��
��/�����$���������������� � �� �����1C��������������������
��������� �� ���5����������-��������������
#� ���
�#� ����
��������
�&�-�.�������/�0+/01��� �� �+��� ��� ��+�0�
� � � �� �� ��⋅ = = ��/����
��
�� �
� �
���
��
� ��
�
=⋅
=
�������� ��
�
��������� �����������
$���"�����/�����
������������
�&�2�010�/������.������0�+/0301��
�� � � � � �� � �� �= = ⋅ =�
4������10���/0�����.�������/�0+/01�����������5
6�������6����0��6���+��� �� � ��+�0�
� � � �� �� ��⋅ = = ��/����
2
32
2
2 2
1
2
1 2
2 2
8
24 4 4
34
4 34
4
� � �
�
�
�
������� � ��
�
5*���������-��������������
#��
� �+ �#�
�� − ���������
�&�7���������� �� �� �� � � �+ ⋅ − = − = ��/���6�.�������/�0+/01�����������6�������6����0��6��+���� �− �
�� �
� �� ���� ���� ��+
= ⋅ −+ −
=��� ����� � ��
−−� �
= −−
= − = −��� ��� �
��� ���
� ��
������� �� �
�
−
�&�8�������/�0+/01���$������6�����6����0��6��&+��� �� �+ ���+�0��� �� ��� � �� �− + =
= − = − =� �� � ��� ���� � �� � �� �
��� �
� � ��� �� ��� �� ��−
= ⋅ +− +
=��
= +
−= +
−=�� � �
� �9 :� ��:�; � ��9 ;
= + = +��� ����
� ��
��������� � ��
+
51��>������
��
� ��
� �−−
+
��������
��
�� �−
−+
=⋅ +
⋅ +=
�� � � � � �� � � �� � � � � �� � � � �
� �� �
��
+ +−
=−
=�
�� � � � �
������� �− � �
��
$���"�����/�����
��������� ����� !�"#�� ������������
��������� �������������M��������������?/�����������������
������������ ���H7�� � � ���� ���� � �7�� �7����������������� ������������������6�H7����������S�����"�������6����� ��6����9�������7����� ��������F��������������������� ���������H7��
>�����������������������D������ ������6�������������S������������ � �������6������ �������������������?/����
�� ������������������������+�����(�� ��#��%�(�� ��#�(�� ��#�%����B�*���B���
(�� ��#��%����B�*���B���
�������������������������������+�����
(��"��#��%�(��"��#�(��"��#�%����)�*���B���
(��"��#��%����)�*���B���
�� �����������������$������������������+�����
(�� ��&�(��"��#�%����)����B����)���
(�� ��#�(��"��#�%���"���
%� ,�-�����������������+�����
(�� ��#��%�(�� ��#�(�� ��#��%�(�� ��#�(���B�*���B���#
(�� ��#��%����B�*����B�����B�����B�*����B���
(�� ��#��%����B�1����B�)����B���
&� ,�-���������������������+�����
(��"��#��%�$��)��&�(���)*���B���#(��"��#��%����)�%����B�����)������B�%����)���
(��"��#��%����)�1����� �1�����)���
+.��������������������/��/������������������?/���������5�� (1�B�*#��%�(1#��B�*(1#(*#�B�(*#�
���������(�� ��%� �#
5*�� � � �� �
�
� � �� �+��
�� = ��
�� + ��
�� +�
������� �� ��
�
��+ +
51��(1�)�*#��%�(1#��)�*(1#�(*#�B�(*#�
������� �(��"��%� �#�
5$��� � � � � ��
��
�� �
� � ��
� � �� �
���
��� =���������������� +����
������� ��� � ��� �
� � ��� +
M����/����� ������������/��/�������������� ���������������H��������S�� ������-������ ����S��� �P6�������S�������������������
5,� (1�B�,#�(1�)�,#�%�(1#��)�(,#�
������� �(���"�%<
5'�� �� � ���� � � �� � � ��
�+ = −� � � ����������#<�"�#���#�
5R� (�B�*#��%�(#��B�1(#��(*#�B�1(#(*#��B�(*#�
����������� �'�� ��*� �A
5A��(*�)�*#��%�(*#��)�1(*#��(*#�B�1�(*#(*#�)(*#�
���������=��"�%#�� �%#�"�=
��
$���"�����/�����
��������� $������������������
��������� �����������������T��������������7��� ���������6
��������������������� ������������6����C� �������� �������7�� �� ������ �����������7�����
# ��F�����/������!��������7����C�# ����F�������������������Q��6
������������ ���������������������H7����������������?/���
U?���/����� ����������� ����H7������������������� ��� ���������� �� �����������D����7������?/����
� � �����"�"��/���� �����P����� �� ����� ���
��F������������ ���������������C����� ��6�������������/�������������������� �������������������7�������������6�������������� ������
M����/������������������# ��B���%���(�B�#
�# �� � � �� � �� � �� �� � �+ = +� �
� � 0!����"�����/����������������������������S��
����������� ���������������� �������������������PF����������� �����6 ��� ����������������������/�������
M����/��
� � � � � � � �
� � � � � �
� � � �
+ + + =
= + + + =
= + +
� � � �
� �� �
� � &�1��������2�������V����-��������H7���������������
�������H������������ ���������������6���������������H� �������������S�����F�� �������� ���P� ���������� ������"����H7��� ��������������������D���������6���������� �������������
�:# ����=������=-�������������������������������������S��C
*:# ��/�������������������������������������C
1:# �����/������������7���������6����� �� ��� ���� �������H� ���� ��/����S����������������
���� ������ � � �������7����� )���� �������������� ����������
� � � � � �� �� � �� � �= +
� � (���3"�2���������1���V� �������7�� � ������ ����� ���
�������������������S����������������6���������������������������������������������H��������������S����
���������� ��� ����S�����B�$��B�$����������������� ���/�-������������������ ��� ��+ �
87� �������� �����S���������������6������� ����� �� �������D��� �� ���� �� �� ��± + � ����?/������� ����� �� ���6����
� �� � � �
� �� � � �
� � �
� � �
�
�
+ + = +
+ =
� �
� � � �
�
��
$���"�����/�����
��������� $������ ������������
+.���������������T��������������D��������
5�� � � �
� � � � �
� �
�
�� � �� �
� � � �
+ + + =
+ + +
� �� �� ��� ��
� � � �
������� ��� ������ �� + +
5*� � �� ��� ��
� � � �� � �
� �� � �
� � �
� �
� � � � � �
��� �� � �� ��+ =
+ =
������� ��� ������ � ��+
51� �� � ��� �� ��� � ��
= −� � � ��
������� �$%� �#�&�$%�"�#�&
5$� � � � � � � �� � � � �� � �
�� � �� � �
� � �
�
� � �� � � �
�� �
+ = =
=
������� ��� ���� � ���� � ��+
5,� � �� � �� ���� ��� ��+ + = + +
������� ��� ���+
5'��� � � � � � ��� � � � �� � � � � �� � �� = + +
������� ���� ���� �+
�� +���.���������������/�������#��0�-#�0��8���������F����������=-����������
����S�� ����B���B�1�(��≠ �5# ���-��������
���B���B�1�%���(�)��#�(�)��#
W����6�������������=-�����������6H7����� �� ����� ������������ ���������/������O�������XP�Y��
(� ��
� ��= − ± = −Δ Δ�
��� ����� #
���������������������,�-��8���������������������������S����B��
���������S�����)���B��� ������������ ����������/��/������
(��B��#�(���)����B���#�%%����)�����B�����B�����)�����B����⇒
(��B��#�(���)����B���#�%����B���
"��� ���� ��������������������6��������)����������B����B��� �����������)����
M������������������/��/������������������?/������������������������������ ���������������������������H�������� ����6���� ��/������������������6���������������������
"��� ���-�������
���B����%�(��B��#�(���)����B���#
��������������������������
���)����%�(��)��#�(���B����B���#
+.���������������T��������������D����� �������5�� *��)��5�B��*�%�*�(��)�,�B�'#������� �%�$�"�)&�$�"�%&
5*� ��)�$�)�*�������� �$� �)&�$�"�*&
51� ��B�A�%���B�*�
������� �$� �%&�$��"�%� �#&
5$� ���)�A���%����)�(*�#�
������� �$��"�%�&�$��� �%��� �#��&
��������� �������%�&��
$���"�����/�����
������������
�������� �������!�"�� 1������������/���������� � ���������-�
>������/����/����0��?@�%AA�AA,
���/��������������������� �������������� �������������������������6���� ������/����������������� ����� Z���������������������������������������������������/������
"��� ������/��������� ��������[���555 55
�����-7�����EE�EEE �������������������6
������������������������������H7�� �����55�
���������
�EE�EEE
�E�EE
=
Z������������ �-7�� �E�EE
���-��������
������� �����������[��55 55 ����������������������[�*5 55���������������������������9��������������55��������7� �����-������������������\]ZZ�������������������� ��������������������� ����
�� �������������� ��������H7�����������6
������������ ������F �������H7�������6�������� �55�� ������������ �������6 ��������=�����^�����6����3���������4�
��������� ����H7�� �E�EE
�����������6
� ����������������������������*5^�
�� /�����������$_���������������������������6
������������� ����������� �R,^���������������������������������5 R,�
��� �����
� ��= = �
�� ��������� ���������� ��������������������� ��+^���
8 ��������������������H7�� �@EE
�����8�
p Vp
V� �� = ⋅���
�������
��� ��� �����
��� �� �`a = ⋅ = b
+.���������������5�������/����������������9��������6
������ �������������� ����# *1^ �#���15^��������
�� ��� �����
���= =
�� ���� ������
���= =
������� ��&��A�%)���&����)
5*� (T�/���68�#��(�5^#��%# �55^ �#���^�# *5^ �#��5 �^�# ,^
��������� �������%�& ��
$���"�����/�����
������������
��������
������� �-
51�2�������������������������������c�����������6��B�������+��1�����/��������+�/��6�30�05
C�����������
��
� ���= ⇒ =
���6��������3�����
����� ��
������= = =
������� �=AB
5$�2�������*1^����*55 555c��������
��� �� ������ �����
������ D���= ⋅ =
�������� �#! AAA
5,��������������������� ������6���6�������'R^����������������������������� �����+]��8��������H7������,'�555�P������� ������������������6����������� �c
��������
��� �� ����� ����
����� � �E�= ⋅ =
������� �)*�<%A�+������,
5'�2�������*5^����R5^c��������
��� �� 9�� �����
9����
��� F ��= ⋅ =
������� ��#B
5R� (]�����#���M� �?��������������������6/����8�G������*AdRd00 �����������7����/�6����������AA����PD����������������H������V��7����������������������89�� �����6H7� ����/����������������
8�����$'����PD����������� ������������6/������� ������ ��������� �����������������������������������,5^����������6�������!��9�� �$5^�!�����H7��������5^��������� ��������������������������������89��������# ������C�# ��������� � ������H7��!�������6
H7�������� ��������������������
�& �����
�� ��⋅ = ��0/HI���6�����0�
�&����
����≅
5A� (V����68�#�>��������� ����01�������7������������������� ������������������6������ �������������������������������6�����8����P����������������������01������������������Ad0��������/�����������������/�������������7��������������1,�555� �
# >��������/�������������01�������# >������ �� /�������� ���� ����� ��
01������������������*^��������/�������������������=������3�����-�4 � ���������� e��� ������������
��������8���.�/��������/�6��������
�& � ����� ���− = ⇒�� ���
�� ����)<�AAA
⇒��8���(�'��)<�AAA��⇒��8�����%�<�AAA���
�& 8��� ��������%B�6��8���A�A%�'���%�<�AAA����%#�)AA���
8������ �������8�"�8��� ������������%�<��AAA��"��%#�)AA���
�������(A�*AA���
��������� �������%�&��
$���"�����/�����
������������
&��2����>P������ ������ ���� ����H7�
������������������/������������H���6���������H�����/�����������H�����������
W�����%����H�����/����)����H�����������>��������������H���F��� ��/ �������?
�P���� ���3 %��&"��� �������������/���
4��C��6��1����� �/�1�����+��C��6��.��6�,4��C��6��1�����"�+��G�J�����+��C��6��.��6�,
������������������ �������� ������������� ��������������
������������������ � ����
������������&�55^
�������������� �� ������
�������� �� &�55^
���������� *�"�����?���������������������������������F�=-��
�������V������������������������[�,55 55
��/�����������[�A55 55������6���# ���������������������H7�C�# �������� ����������������������H�
��������C�# �������� ����������������������H�
���/����/���� ���# W�����%�A55�)�,55�⇒�W�����%��[�155 55
�# LC = = =�EE�EE
E �E �E��
�# LV = = =�EE�EE
E ��� �� ��L L
+.���������������5���V���F����������[�R, 55�����/������
�����[��55 55�����������
# �������� ����������������H7������H����������C
�# �������� ����������������H7������H�����/����
��������4��C��6��1����� �/�1�����+��C��6��.��6�*<� �/�1�����AA��1�����?@�%<�AA
�&�����
���� � �����KLLM NNONNM⋅ ≅
�&�����
���� � �� � ���
enda⋅ =
5*� (�V>68�#�M����H�����/������������������������[��55 55��M��������������� �P�����*,^������������H��������������������M�/����������H�������������
# �[�*, 55 �#����[�A5 55�# �[�R5 ,5 �#����[��*, 55�# �[�R, 55
��������P��H����/�1��
��������� � �����
KLLM ��M⋅ = �⇒
⇒ /�1�����A�%<�'�$+��C��6��1����&4��C��6��1����� �/�1�����+��C��6��.��6�4��C��6��1����� �A�%<�$+��C��6��1����&���+��C��6�
.��6���%<�'�$+��C��6��1����&����AA4��C��6��1�������?@�=A�AA������� �-
��������� �������%�& ��
$���"�����/�����
������������
51� (>�� �����6�.#� .�7��/����������� �?6������������H���� �����V�����������/������������������*5^������������H��������������������������F�=-�����*5^������������H�����������Q������ ������H7������������/����6�� �.�7��
#��������$^��#��������*^��#��������$^��#��������*^��#��7���������������������������QH����6������R60���6������%�������4.����4.����4S���/�����1�6�6����%4
���
���� ����
�
⋅ =
�����A�%�41�
4��� ������4.�
41�� �A�%�41����4
41��������
��������
�� �
�
=
4��G����%AB�41�
41��"�4��G�J������4.�
41��"�A�%�41����4
41��������
Q�+0��/�0�.���06�����41�� �41��������
����
�����+ =
Q�+0��/�0�.���06��������� T
Q�+0��/�����1�6�6����%+��������
Q�+0��/�����1�6�6��U�1�+0��/�0�.���06��∴���.��+��5
G�J���$+��6��&�����
��������� ��� ����� �
����
����
�����
���
��= = = =
������� �Q
'� 3������� ��������$>�������������/�����������8�������/�
������������������+^��������/�����>P6������� ���/���������������8����/����O��������������7�
�%�+^����8�%� �@EE
�&�8
8��%�8�B� �%�8�B��
@EE�&�8
8��%� @ @EE+������
��&�8
������ @@EE
+������
� �������������������
��������
Valor
inicial
50
40
70
Aumento
percentual
24%
5%
250%
Fator de
aumento
1,24
1,05
3,50
Valor
aumentado
1,24 · 50
1,05 · 40
3,50 · 70
*� ��������� ��������$>�������������/�����������8�������/�
���������������������+^��������/�����>P6�������-���/������������������8����/����O�����������������7�
-�%�+^����8�%��@EE
�&�8
8��%�8�)�-�%�8�)��@EE
�&�8
Vp
VD = −������ ⋅@
@EE
������ @@EE
−������
� ����������������������
Capítulo 05. Porcentagem28
Matemática Básica
PV2D-08-MAT-11
Exemplos
Valorinicial50
40
70
Descontopercentual
24%
5%
1,5%
Fator dedesconto
0,76
0,95
0,985
Valordescontado
0,76 · 50
0,95 · 40
0,985 · 70
Exercícios Resolvidos01. Dado o valor V, exprimir em função de V:a) o valor de um aumento de 20%;b) o valor após um aumento de 20%;c) o valor de um desconto de 30%;d) o valor após um desconto de 30%.
Respostaa) 0,2 V c) 0,3 Vb) 1,20 V d) 0,7 V
02. (Fuvest-SP) Aumentando-se os lados ae b de um retângulo de 15% e 20%, respectiva-mente, a área do retângulo é aumentada de:
a) 35%b) 30%c) 3,5%d) 3,8%e) 38%
ResoluçãoÁrea inicial: a · bÁrea final: 1,15 · a · 1,20 · b = 1,38 · a · b = 1,38 · área
inicial ⇒ aumento de 38%.Resposta: E
03. Uma empresa admite um funcionáriono mês de janeiro sabendo que, já em março,ele terá 40% de aumento. Se a empresa desejaque o salário desse funcionário, a partir demarço, seja R$ 3 500,00, com que salário deveadmiti-lo?
ResoluçãoVA = 1,4 · V3 500 = 1,4 · V
V = 35001 4,
= 2 500
Resposta: R$ 2 500,00
04. (Vunesp) O dono de um supermercadocomprou de seu fornecedor um produto porx reais (preço de custo) e passou a revendê-locom lucro de 50%. Ao fazer um dia de promo-ções, ele deu aos clientes do supermercadoum desconto de 20% sobre o preço de vendadeste produto. Pode-se afirmar que, no dia depromoções, o dono do supermercado teve,sobre o preço de custo:
a) prejuízo de 10%.b) prejuízo de 5%.c) lucro de 20%.d) lucro de 25%.e) lucro de 30%.Resolução
V x x
V x x
A
A
= +FHIK ⋅ −FH
IK =
= = +FHIK
1 50100
1 20100
1 2
1 2 1 20100
,
,
Então, lucro de 20%Resposta: C
8. Aumentos e DescontosSucessivosConsideremos um valor inicial V, e vamos
considerar que ele irá sofrer dois aumentossucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor apóso primeiro aumento, temos:
V Vp
111
100= ⋅ +FHG
IKJ
Sendo V2 o valor após o segundo aumen-to, temos:
V Vp
2 121
100= ⋅ +FHG
IKJ
V Vp p
21 21
1001
100= ⋅ +FHG
IKJ ⋅ +FHG
IKJ
��������� �������%�& ��
$���"�����/�����
������������
8�����8���/���������� �/����������6�������������?������������������������������6/������+�^���+�^�
8�����8����/�����O������������������6�� ������
� ��
�
�@@EE
� � �������
8�����8����/�����O������ �����������6�� ������
� ��
� �
�@@EE
= ⋅ −������
� �� �
�
� �@@EE
@@EE
= ⋅ −������ ⋅ −���
���
8�����8���/���������� �/����������6�������������?�������������������+�^�� �������/���� ���������������+�^�
8�����8����/������O��������� ������
� ��
�
�@@EE
= ⋅ +������
8�����8����/�����O������������ ������
� ��
� �
�@@EE
= ⋅ −������
� �� �
�
� �@@EE
@@EE
= ⋅ +������ ⋅ −���
���
+.���������������5�� (N�Y��-��)8�#�V�����������/���
�����������������H�����'�^���/������*������� �������/���
8�����f���������������,^ ����7����*:��������# 1A^ �# $$^�# $5^ �# $'^�# $*^
���������W� ������
� � ��
= +���� =@ @�
@GG@ @��
%W� ������
� � ����
����� ������
= +���� ⋅ =
� ����
��+ =
� ���=
������� �X
5*� (T�/���68�# �X��������P�����?��������������F������������������������A5^�������A5^�����/������8�����?����������
# * ,' �# * '�# � ' �# 1 *$�# �B��'5��������
� � �����
� �����
��
= +���� ⋅ +��
�� ⋅
�������=�'���=�����)�%#������� �Q
51� (]�����# V� ��������H7�� ���?��������������������������,^�����������O������ �����������������������������H7������������V�����������������������������555���������������H7���"�������������� �����������������������������?������ ������/�����������O���� ���
# ��555�B�5 �,� ���# ��555�B�� �,�
�# ��555�&�5 �,� ���# ��555�&�� �,�
�# ��555�&�5 �,�
��������
� ��
���� = +���
��� ⋅ = ⋅
= +������ ⋅
�
�
�
�
�
� �
�
���� � ��
���
�������
��
������� ��
��������� �������%�&��
$���"�����/�����
������������
5$� (�V>68�#�������������������/������*5^��15^��7������/����������9�����������������
# *,^�# *'^�# $$^�# $,^�# ,5^��������
� � �����
� �����
��
= −���� ⋅ −��
�� ⋅
8����A�=�'�A�*�'�8���A�<!�'�8
8����A�<!�8��� ������
−���� ⋅�
��0�����.�/���6��6��1�����Y�##�B,������� �Q
5,�� (T�/���)8�#�"����������������/�����������������������15^������6H7��������/�������������������8��8������/������������������������� �������/���������/��������?�
# (5 R#��8 �# (5 1#��8�# (5 1#��8 �# (5 1#��8�# (5 R#��8��������?�/�10����6����.�/���6��1�������Y����0��.������
����������W������8���%W������A�*�8�$60�0��0C���6��)AB&���)W������A�*�'�$A�*�8&���$A�*&��8
���#W������A�*�'�Z$A�*&��8[���$A�*&��8���<W������$A�*&��8���!W������$A�*&�8���*W������$A�*&��8���=W������$A�*&��8������� �
5'��(]�����#�M�����������������������������������������������������������������(���H����������#������������/����6��������������,5^��"���-���������������6HD�� � ����������� ������������ ������������������������*5^������������H�����/����������������������6����������� �������������HD�� � ���������� ����������� ��/� �����������H�����������
# ���F�=-������5^��# ���F�=-�����,^��# ���������*5^��# ���������*,^��# ���������15^�
��������
� � �����
� �����
� ����
� ���� � �����
�
�
�
= +���� ⋅ −��
�� =
= = ����
�������/�1���6��%AB���������Q
��������� '(����� �)�#� �� ��
$���"�����/�����
������������
��������# $%�������&����������,���������67��������� �%"�����������M���9�����5 �� �* �1 ��������������F��6
��������9�����������������������������������=�����Q�
"����������
Q�%�g5 �� �* �1 ����h
�������������� ���F����������9������������7�6����������Q��
"����������
Q��%�g� �* �1 ����h�%�Q�)�g5h
� � �%"���4������M���9����� ��� �)�1 �)�* �)�� �5 �� �* �1 � ���
���������F����������9�������������������������������������=�����i��"����������
i��%�g��� �)�1 �)�* �)�� �* �1 ����h
�������������� ���F����������9��������������7�6����������i��
"����������
i���%�g��� �)�1 �)�* �)�� �� �* �1 ����h
M����/����� ������������HD���
� i������F�������������������7�6�� ��/���
i��%�g5 �� �* �1 ����h�%�Q
� i������F�������������������7�6������/���
i��%�g��� �)�1 �)�* �)�� �5h
� i�������F������������������������/���
i��%�g� �* �1 ����h�%�Qj
� i��������F�������������������� ��/���
i����g��� �)�1 �)�* �)��h�
� � &��������"�%"��4�����8�F������ ������9����������������-��������� ��������� ����� �������������9����\ �������� ��������
��&�\�%��
��-��������1�����/�����������������, ���������������9������������\�(���������\�%�,#��������
1�&�\�%��,
��-��������$�����/����������������)�*$ ���������������9������������\�(���������\�%�)�'#��������
$�&�\�%�)�*$
��-��������5�(-���#�����/����������������5(-���# ����������������9������������\� (���������\�������������������9�����������# ��������
5�&�\�%�5
Q�������� �5� (-���#��7������/��������, ������7�������������������\ ��������
5�&�\�%�,
M����/��������������/����������������9������������\ ������������/������������9������������\��������
��&�\�%�\
Z���������������(�#������������������������������9��������������
M����/����� ������������HD���
� D+* �(�#����/����������������������/���(����6
�����#�����9��������������
� D–* �(�#����/������������������ ��/�������96
��������������
������������8��������7�6����D+
* �(�#�%����(�#���D–* (�#�%���(�#
��������� '(����� �)�#� �� ��
$���"�����/�����
������������
� � $%���������"�%"��4�����8�F�������������9�����������������-�6������������4�������������������������9����\ �������� ��������
��%�\�&��
��-���������*���9����������1 ���������������9������������\�(����������\�%�$��������
1�&�\�%��*
��-��������)�*����9����������R ���������������9������������Y�(����������\�%�)�1# ��������
)�*��%�R�&�\
M����/����������5�(-���#���9����������9���� ��������\ � ������������ ��F�\ �����������������������/���
5�&�\�%�5
Z�������������N(�# ����������9��������������������9��������������
M����/����� ������������HD���� N��(�#��9�������� ����������7�6�� ��/��
(���������#�����9��������������� N�� (�#��9�������� ����������7�6������/��
����9��������������
� M –* � (�#��9�������� ���������������/�����
�9��������������
� M –* � (�#��9�������� ����������� ��/�����
�9��������������
� �����������%"���4��������-�����������9����������������������
����������� ���∈�N(*#��8���� ����7� ����9����������* � ���������� ���� ��������������������9���������
��%�*\ �������\�∈�5
��-�����������9����������������%������ ������������ ���∉�N(*#��"����� ��������������������9����=�����
��%�*\�B�� �������\��∈�i
� # �%"������"���"����V��9�������������������4���� �����,
��������������H7�������/�����������������/���������� 2 ��� ���������&
+��������⇔���k�(+#l�%�$
V��9�������������������4���� ���'�������������������H7�������/���������6���������/��������� 2 � 2 ��� ����������
������������⇔���k��(�#l�;�$
��������P�������������9���������6� ���/������/����� ������9��� � �������6/���� ��������9������������* �1 �, �R ��� �1 ��R �������������������������������������� �������/������8��������7���7����/�������������/��7����� ���-�����������9����������
��������#������P�����������9����'R1��������
Q�9������/��7� �������������F?���������������/������������7������/������/��7���� �����������'R1������9���������
��������� '(����� �)�#� �� ��
$���"�����/�����
������������
�#������P�����������9����10���������
Q�9��������H7� �����/��������6/��7����� ���������10������ �����9��������
��������1�� 6��������#�M���9�����)� �5������7���7����������6������������������������9�����������*#�+�����9�������������������������6������������������������������������������
� ' &�����5�������0���"6�����������/�����������������9��������6
/��=/������������ ���������������H7�������6/��7��������� ����� �����������������������6��������P��������/�����������������������96�������������H������/��7���+��������������� ����� ��� ���������� ����� �������/������ ����������/�������� ����
� �������������� ��� ������9��������/��=/������*��������������
� �������������� ��� �� ���9��������/��=/������1 ���������������� �������������������9����������1�
��������#�A�$*������/��=/�������1 ������A�B�$�B�*�B���%
�,�����9����������1�
� �������������� ��� ������9��������/��=/������$ ����������9�������������������������9������� ���������������������/�6�=/�������$�
�#�*�R*$�����/=��/�������$ ���������9����*$����/��=/�������$�
� �������������� ��� 7� ���9��������/��=/������, �������������� �����������������-�������������
� �������������� ��� 8� ���9��������/��=/������' �������������/��=/�� ��������6�� �����*�������1�
� �������������� ��� 9� ���9��������/��=/������A ����������9��������������������9������� ���������������������/��=/������A�
�#�**�:�������/��=/�������A ���������9���R�*�����/��=/�������A�
� �������������� ��� ;� ���9��������/��=6/�������0 ���������������� �������������������9����������0�
�#��A�R�������/��=/�������0 ��������B�A�B�R�B��%��A���9����������0�
� �������������� ��� �<� ���9��������/��=6/��������5 �������������� ����������6��������-����
� �������������� ��� ��� ���9��������/��=6/��������� ���������������H�����������6������/�������������������� ������������H7��=����������� �����������6��H7�����������/��=/����������
�#�A1�R',�����/��=/��������� ��������������H���������� �������������H7��=���(,�B�RB�A�%�*5#������������ �������������H7����(1�B�'�%�0#������9������/��=/����������
��������� '(����� �)�#� �� ��
$���"�����/�����
������������
� �������������� ��� �������9��������/�6�=/��������* �������������/��=/�� �����6����� �����1�������$�
� * ���������"6����+�������9�������������������������6
�������������������������������9�����������"��� ����� ������ ����9����05 �����7�������� ������������������������
05�%�*�&�$,
M��9����$, ��������/�- ������������6�� �����������������������
$,�%�1�&��,
����� ���� �����=��� ��������� ��9����05����������H7��
05�%�*�&�1�&��,
8��������9�����,��������9���������� ���������������?6�����/������� ��������������
�,�%�1�&�,
+����� ��������� ������H7�������6������9����05�
05�%�*�&�1�&�1�&�,
>��������������� ��� �����������6������������ �������������H7�������9�������������������������
/��������������������9����������������������� �������/����������96������������������������/���������C��/�����������������������������������6������/���������C�������������������� ��������������������������6��������P� ������������������ ������M��������������������������������������������������������������9�������6����
��������
05�%�*�&�1��&�,�������155�%�*��&�1�&�,��������R*�%�* �&�1�
� 7 �%"����&����������"�%"���������>�������������9�����*���������
���������������������D����� ����
�*�%�*��&�1�
��/�����������*�*��&�1��%��*��&�1��%�1*��&�1��%�**��&�1��%�'*��&�1��%�$*��&�1��%��*
�(�*#�%�g� * 1 $ ' �*hM����/������������9��������������7�
��/������������������9���������� �*� ���������������������������-H7�����������������������*���1��M�����������* ������6���������������H7����������������* ������/���������������������������������5 �����* ���������������������HD�����������������=����/��������������� ����������1 ��������������������H7�������������6���� ����������������� �������/������ ������������5����� ��������������������HD���Q�������������������HD��������������6�����������*���������HD�����������1�� ���������=��������������/���� �� ����� ����6 ������ �������� ������
��������� '(����� �)�#� �� ��
$���"�����/�����
������������
����������'���/������������������9�6�����������*�
��/���������/� ���� ��������9�6��������HD�����������������������/������������������������
"������������������/��/��������������������������� ������������H7�����9���������/��������������������9���������
/����� 4���� �� ��������� � ���� �����9������������� �������������������6����������������������������������6�� ������������ �����9������
"��� ���� � � �α β γ⋅ ⋅ ����� �����1������ �����
��k����(Q#l�%�(α�B��#�(β�B��#�(γ�B��#
>��������/H7��������� �����������������9���������/������� ��������������9���� ������ �� �� ������ ��� �9���� ����/������������� ��������������/������6�������������������/��������������������������������/���������������������� ��/��
"����
�k�(Q#l�%�*�&��k���(Q#l
�������>������������'5�%�*��&�1��&�,�
+�����������9���������/����������6�������'5���
�k���('5#l�%�(*�B��#(��B��#(��B��#�%��*
+������� ���������������������� ����96���������/�������������������'5���
�k��('5#l�%�*�&���k���('5#l�%�*�&��*�%�*$
� �� 8"���&����������"�%"���������]�� � �����/�- � �������������9���
�*��������������� ������F ��*�%�*��&�1��M����/��� ���� �����������/��������6���������������������������
*��&�1��%�� *��&�1��%�* *���&�1��%�$*��&�1��%�1 *��&�1��%�' *��&�1��%��*
]��������/��/�������������
(*��B�*��B�*�#(1��B�1�#�%�*��&�1���B�*��&�1��B�*��&�1��BB�*��&�1��B�*��&�1��B�*��&�1�
Q7�� ���� ���=���� �����/���� ���� ��������������������������/����������6��������9�����*�������������������������� �� ������������H7���� ��������/������� ������� ��� ���9���� ������������PF�������������������P��������������/�������
/����( ���� ��� ��������� � ���� ������96���� �� � ��� ���������� ������ �� ��������������� ����������� ����� ���������������������������������������/6������-��������������������������������� ��� �������� �� ��������H7�����9����������
"��� ����Q�%� � � �α β γ⋅ ⋅ ����� �����1����6�� ������
���k���(Q#l�%
(���B����B�����B��α#(���B����B�����B��β#(1��B�1��B�����B�1γ#
>��������/H7��������� ������������������������/����������������������96������������������-��� �������������/�������������������/������������������6������/����� ���������������/��� ������� ��/� ������� �������������
���k��(Q#�%�5l
��������� '(����� �)�#� �� ��
$���"�����/�����
������������
�������>������������'5�%�*��&�1��&�,��&"����������/�����������������'5���
���k���('5#l�%
%�(*��B�*��B�*�#(1��B�1�#(,��B�,�#�%��'A�
"����������/�������������������'5���
���k��('5#l�%�5
� �� &����"�������&����������"�%"�������������������H7��������������� � ����
�� � 4���� � ��� ���/�����������96���������������������-���������������������������������������������������/��6�����-��������������������������������������� ���������������������H7���������6������ ����� �� ����HD�� � ������� ����������/������������������9���� �������������������������������������������6����� ����������������������� ��
/������� ������������������/������������9���� ����� � ����������� ��/��������������9���������������������!������������ ����H7������������6H��/��������"��� ��� �����������������6�����������H���������������������� ���9�������M���������/�����������9��������7������������������������� ���6���������6�������������������������������7��!��������������H���������9�6�������� ���7�� !�������� �� �������� ������ ��/�����6�����������HD���
���������������������/������������������96
����������'5�
��� �����������M��9��������������/������������9����
������� ��������� �����������������������7�������9����������������������������� ����
= ����������� �
8�����9����������4���/������������9����������6������������� ����7��(4�)��#��9����������6�
" ��#������
��������(4�)��#���9����������6�
�������
= ����������� �
8�����9����������4���/������������9����������6������������� ����7��4�B�(6�)��#����9����������6�
" ��#������
"���������6���(6�)��#����������������� ������Z ��������
4�B�(6�)���#�%�6�&���B���B�(6�)��#
4�B�(6�)��#�%�6�&���B�6
"����4�B�(6�)��#�%�6�&�(��B��#
������� �4�B�(6�)��#�����9����������6�
��������� '(����� �)�#� �� ��
$���"�����/�����
������������
�������
= ����������� �
8�����9����"���9�������������9���X ����7�����9����"����?�9������������6���������/����������X�
" ��#������8�����"���9����������X ����������
"�%�\�&�X ������\�∈�i�(Z#�
8�����������/����������������X ���������
X�%�\��&�� �������\��∈��i���(ZZ#
8������������(ZZ#���(Z# ������
"�%�Y�&�Y��&� �������Y�&�Y��∈�i
������� �"�����9�������������������M��9����1'� ��9�����������9�����*
�����1'�%�1�&��*���1������9�������������M���/������������������*��7���� * 1 $ '����*�
������������/����� ������� �1'���9�6��������������������/�����������*�
= ����������� �
��������F����� ������9��������6���� �7�6������ ���������/�� � �������� �9������������
" ��#������>������������ ���m����������9����
��������7�6������
� * � $ , 8 R A ; �5 �� �� �1 �$ �7 �' ���
M����/�����������9������������9���1������������������������������m��������� �������� � �������� ���F����� ��� �����9��������������/���/���������� ������6������� ���9����������1�
����������������� �������� ���������9����������� �����������������������
+.���������������5���(T�/���68�#�M��9���������/���������6
����/�������9����$5���# A �#��*�# ' �#��*5�# $��������] -�1��+���#A����3�������+�0���
] 6010����6������1�6���+������)� �� �� ��
������# %] �3�����6������/�0+/01�C��
#�'�%���=������� � #A�����=�60.0�����,5*��N��������� �������/��7��������9�6
���������� ������������/� �����,��?�������� ���7��(��)��#(��B�$#���9����������*,�
�����������������������
4�/���4��+�0�6�6���6���-0.0������] ��"���Y��^/�0+/��6��<�������������"�����<�_����$�&] �� �$<�"�&�Y��^/�0+/��6��<������� �#���<�_�����$%&`�/�0+/01��6����+�����
$��"��&$�� �#&���<�_��'�<�_�
$��"��&�$�� �#&���%<�_��'�_�
_��'�_����_�����$��"��&$�� �#&���%<�_
��0���$��"��&$�� �#&�Y��^/�0+/��6��%<,
��������� '(����� �)�#� �� ��
$���"�����/�����
������������
�� (7#������5�����,����M�?������/���������(N�>#���������������9��������������9�����������/������������ ����������9������6����
������� ������������� ���m����������������������������/�������?��6����/������������������������9��������/��������� ��� �����������
>������������� M��9�����A�������������/��������������
���(�A#�%�g� �* �1 �' �0 ��Ah�
*� M��9����*$�������������/��������������
���(*$#�%�g� �* �1 �$ �' �A ��* �*$h�
��������������/�� � �� ������/��������������A���*$�
���(�A#�∩����(*$#�%�g� �* �1 �'h
M����/���������/������� ����� �����6����������������������/�������������9������A���*$ ������F�
N�>�(�A �*$#�%�'�
%� (8�����(!$���$��,����M�=����9�����������(NN>#���������������9���������������9��������6��/������ ��9������� ������� ���������9����������
������� ������������� ���m����������������������������/�������=��6��9��������������������������9�6��� �����/��������� ��� �����������
>������������� M��9����'�����������9��������������/���
�+� �('#�%�g' ��* ��A �*$ �15 �1' �$* �$A �,$ ����h
*� M��9����A�����������9��������������/���
�+� �(A#�%�gA ��' �*$ �1* �$5 �$A �,' �'$ ���h
�������������/�� � �� � ���9�������������/���������
�+� ('#�∩ �+
� �(A#�%�g*$ �$A �R* ����h
M����/�������9������������� �����6��� �������������=����9������� ��������9�����'���A ������F�
NN>�(' �A#�%�*$�
&� (�,���((,���$��(9������������������1��$�������������������N�>�����NN>���
/?����� ��9���� ���/����������� ���������9������������������"�O����������6�������� �����������������������
�# M�?������/���������(N�>#�����9������������������������������������������!������HD������������������6�������������������������������������������������/����������HD���*# M�=����9������������(NN>#�����9���������������������������������������������������������HD�� ����������7� � ������������ ������������ ����6�����������������������������������������������/����������HD���
��������>���������������9����� �X���Q �F?��6
�������"�%�* �&�1�&�,�
X�%�*��&�,�&�R>�%�*��&�1��&�,
+����������N�>�( �X �Q#�%�*��&�,���NN>�( �X �Q#�%�*��&�1��&�, �&�R�
Capítulo 06. Múltiplos e Divisores 39
Matemática Básica
PV2D-08-MAT-11
6. MMC e MDC pelo Métododa Fatoração Simultânea
Podemos determinar o MDC e o MMC dedois ou mais números pelo uso de um pro-cedimento que prevê a fatoração simultâ-nea de todos os números dados.Para este procedimento, inicialmente, de-compomos, simultaneamente, os números,dividindo sucessivamente pelo menor fa-tor primo e, no caso de algum número ouquociente não ser divisível pelo fator pri-mo, o número deve ser repetido noalgoritmo. Obtemos o MMC multiplicandotodos os fatores primos da decomposição.Podemos, à medida que efetuamosfatoração simultânea, ir assinalando quaissão os fatores primos que dividem, ao mes-mo tempo, todos os números ou quocien-tes. Obtemos o MDC multiplicando todosestes fatores assinalados.
Exemplo
Consideremos os números 2 520 e 2 700:
Teremos que:
MDC (2 700, 2 520) = 22 · 32 · 5 e
MMC (2 700, 2 520) = 23 · 33 · 52 · 7.
7. MDC pelo Método dasDivisões Sucessivas
A determinação do MDC pelo método das di-visões sucessivas é um processo desenvolvi-do por Euclides e consiste, basicamente, emdividir o número maior pelo número menor.Se a divisão for exata, o MDC será o menornúmero. Porém, caso a divisão apresentarresto diferente de zero, devemos dividir o me-nor número pelo resto e, assim, sucessivamen-te até chegarmos a uma divisão exata. O últi-mo divisor será o MDC dos números.
Exemplosa) Determinar o MDC dos números 252 e
140.
MDC (252, 140) = 28
b) Determinar o MDC dos números 330,210 e 165.
Tomemos, inicialmente, os dois maioresnúmeros:
MDC (330, 210) = 30
Posteriormente, tomamos o terceiro nú-mero com o MDC dos dois primeiros:
MDC (330, 210, 165) = 15
��������� '(����� �)�#� �� ��
$���"�����/�����
������������
4� ���������������(�,�����((,]��������/� � � �� ��� ����������6
�������N�>���NN>��������������������������-H7��
����������� �
N�>�(" �X#�&�NN>�(" �X#�%�"�&�X
" ��#������>���������������9�����"���X�����6
����������������������
� � � � � �
� � � � �
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
α β γ δ
α β γ δ
� � � �
� � � �
������?���������N�>�(" �X# �������������������������������������������C������?���������NN>�( �X# �������������������� ����������7������� ��������6����������������]����������������������������
α��< α� ��������α�����N�>���α�����NN>�α��;�α� ��������α�����NN>���α�����N�>�
Q����������"�&�X �������������?���������(α��B�α�#��Q����������N�>�(" �X#�&�NN>�(" �X# ����������������?����������(α��B�α�#�
T-�����������������H7����� ��6�������������� ������������ �/���������������������������� ����������������6����� ��������D�����������������9����"���X ����D� ���� ��������������N�>����NN>���������9������ ���������
N�>�(" �X#�&�NN>�(" �X#�%�"�&�X
����������� �
N�>�(Y�&�" �Y�&�X#�%�Y�&�N�>�(" �X#
����������� �
NN>�(Y�&�" �Y�&�X#�%�Y�&�NN>�(" �X#
����������� �M����/����������������������������96
�������������7�������/����������N�>����6�����9�����
����������� 7M��9�����������������������������96
������������ �7�� ���9�����������NN>��������9�����
����������� 8������9����� �7�� ������������������
��� ��������N�>������������ ������M���9�����,���R��7���������������� ���
����$���0 ������N�>�(, �R#�%�����N�>�($ �0#�%��Q��������� � ��� ��������9����� ��F�������������� ��7����������?���������������6F�������
����������� :������9���������������������/����7�
����� ��������������������������� 9
������������9������������������� ��NN>�������������������
+.���������������5�������������HD���������S��������6
������������������� ������� �6-����� ������?����� ������������V� ����� ��������������������A5�������C����������P����������������������������6������������������������������e�������6������/������������
����������G��� ���X����1��+��0CI��, �+��������0������������������^/�0+/���6��=A�X�+��������0������������������^/�0+/���6��(A,8�����������̀ `Q�$=A��(A&
``Q�$=A�(A&���*%A��0�
4�����6��+����H�������G�G
��= ���n
��������� '(����� �)�#� �� ��
$���"�����/�����
������������
������� ��+���06����0��/�a������1����������1�6���%�H����,
5*��8�F�"���X���?������/������������=����9������� �������1'5��� 155 ��������/���������7������������"X�/��
# *��1��, �# *���1 �,�
�# *��1��,� �# *��1���,�
�# *��1 ��,
��������
��� � � �
��� � � �
� � �
� � �
� � �
� �
� �
�
� � �
� � �
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
�
�
� �������� �Q
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
��������' (��������)�������1�������>������������������������������6
�� ��N��?����������� ������� �6 ����������������������/��/������
"������ ��� ?�3 �������������������6�������� ��������������������/��������6���/��/���������N��?��� ��������������������������������=�������P����
��/��������� ����������� ���������6������ � ���� ����������������/��� (��HD���������������������H7�#��������������6���� ��� � ����� ��������� ����� ���?�3 ���
"������������������������������������������/���������� ���3 ��������!����"�������������������������� ����������O�����������������3 ���������������������� ������P�� ����������O���������������������������3 �����P��6������������� ����������7�����P����������������������F���� �������������������������������������
���� ������������������"����H7���������F�������������������
������-H7�������������9�������������������� �� � ���������H7����������F��������� ���� ����������/���������� � ���/��������� ����
� � 9����!�"��+��"����"���������������F��������������
���� �������������������������������6���������������������������������������F��������������������/��/�����������6���������������P/����M������������������F���� ������������������������������ � ���/������ ������������/=� ��������������6�6/=� �� ��������P�������6���H�����9������������
�������# 8�F� ������F����������������������
�������� � ���7��
�%�g/���� ����� �-�� ������h�# 8�F�X������F��������/� �������������6
����� ����7��X�%�g �� �� �� ��h
�# 8�F��Q��������F���������� ������������6����������������H7� ����7��Q�%�g5 �� �* �1 �$ �, �' �R �A �0h
� � :"�����������������+��"����"��������H7����������F������������
������ ���������������������-��������6/�������� ��� �7�� ���� �� ���H7�� ��?�������������������������F�����������������������������������������������6��HD�� � ������� �-��� � �������H7�������F�����������������������������������/��������������������������F���������6���������������������
�� �%�g�d�����������������������6��������4h
��������# 8�F�X������F��������/� �������������6
����� ����7��X�%�g�d����/� �����������������h
�# 8�F�Q������F���������� ��������������6��������������H7� ����7��Q�%� gd� ��� ��������������������������H7�h
� � &��!��"���+����;<���"��������H7����������F������������
����� ����������6]������ �?����� ����6���� ��������?�����M������������7�������6������������������� �������������� ���P���P���7��������H����������� �������6���������������!����P������������������������7����������������F����������������
�������
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
��� ��$������ �����"����2�������������������������������6
���������������-��������������F���� ���-�������������������������������6F����� �����������
��� ���������=�����������/���7��������
�� ����=���������?����� ������������6?���������=����� �������/�������������6������� ��������������������������������������F����� ���������
������������>����������������F������� �%�g5 �* �$ �' �Ah�M�� �����*�������������F����� �
*����� M�� �����R��� ������������F����� �
R�����
%� ��$������1��$�����-�������������F����� ����?�����������
���F�����X������������������������������ �� ���������� �����X�� Z���������������F����� ����?�����������X�������������6 �������=���� ��
���X (��6���� �����������X#M����)�������������������� �����6
����HD�������������H7������ ���H7����������7��
� �⊃ ���(��6����X�������"#
M����F����� ��7�����?�����������X����6��������������������������������� �����7������������X��Z����������������F����� �7�����?�����������X�����������
��X ��(��6���� ��7�����?�����������X#
8�������F����� ����?���������������F����X����-�������� � ����� ���3 �����X�>����������������������F����� ��������������F����� ���-�������� ���������F������� � � � ���� ������7� � ����� ���F����� �������F��������������
6������ *�"����H7������������������6����������������������F�����������6H7�����������7��������6�� ������ ����������6F������
������� *���g5 * �$ �' �Ahg*h���g5 �* �$ �' �Ah
?������ *���g5 �* �$ �' �Ahg*h���g5 �* �$ �' �Ahg*h���g5 �g*h �$ �' �Ahg*h��g5 �g*h �$ �' �Ah
��������������������������������H������*���g*h��M���������������������* ������ ������������F�����������������������*��V��������������������������������������7�����������������������������/������������
����������� � ��� ���� ���������������F���� ������������F����������������6����������������������������]�F�������������� ����
g� �*h��������F���� ������������F���� �%� g� �1 � g� �*h �$h��������?�������������������� ������F �g� �*h��� �
V��������������F���������������������������������������������� �������������������������������F������������������������������
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
&��,��;�����������������������F��������������H����������3���6
��7�4������������ ������������������������F����� ��������� ��������������O����������� ��������������������� ��
>P��������3 � �@���� ������������������O���������
��������# >��F����������9���������� �����
��������/���
g*h
�# >��F���������������������������+��6��
gW�h
�# >��F����� ��� �=-��� �� ���H7��B�,�%����
g'h
>P��������3 � ���������������6����������P�����������M����������F����� /-��� �������������� ���F�������������� ������������� ����������������������=/���
��������# >��F���������=-�������������H7��
��B���%�5
�# >��F�������g�d���hM����F�����/-������������������������
���� ������∅� ��� g� � h� (∅ � � ���� ���������� ������� ���#��Q7���������������������������HD��� ��������������� ���F����/-�������g∅h ����������=������������������F���������?������F��������������∅�
M� ���F�����/-��� ���?� �������� �����6����� ���F����� � � ���� ���� � �� ����������������F�������������������F���� ��������/����������
.���������]������������������F�����/-����7�
����F�������������������F����� ��Q����
��� ������������������������������������F�����/-����������7����������������F��6��� �������������� ��� �����������F�����/6-����7�� ������������ ���?��� ���������F�����/-��� ���?� ����������� ���F����� ��������������F� ,
'��,��;�����<��5����2����������/��/���������������
������������������?��� ��������������������F���������������������������������������F��������-�����������6F��������P��������3 � �������������6��������������������9�����b,
V���������� ���H7������� ������6/������ ���F������ ����H7����� ������ �������F��������/�������������������������
��������# "����H7���* �)�,��)�$�B�1�%�5����������
���%�� ���
� �� �−������ �������b���?
���%��g)� ��1h��������b���c���%��g1h��������b���7
�# M����F�����������������2A�������������������������������������) �������������������� ���������F��������6
/�������������������������������������C
) ���������������������������������������6�� ���������F��������/�������������������������������������C
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
) ������ ����������������������������=���������� ���������F��������/�������������6�H����������������������������
��� ������������������������������?���� ���������������������������F��������/�����/�������
*��,��;�������� ��������������F����� ���-�������������
���F������������� �����������������4 $ &��������F������������������������������F�����������F����� �
' � &����"��������)�����������]��������/� ���������������� ���
�����������������������/�������������6�����H7��������F�������������������������F����� ��8�F������F����� �%�g* �1 �,h�������������� ���F����������������� ���F���� � ���� �����/����� ������ ��� ����������F������
# 8�����F�����/-����∅ �����������F�����/6-�����������F�������������������F�����
�# 8�����F��������������������g*h �g1h �g,h��# 8�����F������������������������g* �1h
g* �,h���g1 �,h��# 8�����F������������������������ �%�g* �1 �,h
�������������F�������������F��������������"��� ������F��������������������F����
������������������������ ������ ����4$ &��%��g∅ �g*h �g1h �g,h �g* �1h �g* �,h �g1 �,h �g* �1 �,hh
' � �%"����+��"�������)������������������������������9������������6
����������F����������������������F����� ��� ������F ����9�������������F��������������������F���� ��������PF�����������
��������/�����������������������������6F�����4 $ &,�������� �������������������������������������������F����� ���������HD��������H7������������F���������������6����������������������F�������������7�����6��������������F������ ������������������=�������������/������� ���������� � ����������������������������HD�� ��������
� � � � �� � �� � �= �
M����/���������������������������F��6��� �%�g* �1 �,h������������������������ ����6���� �������������� ���������������H7�����6����� �������k4�$ &l�%�* �%�A ���������������������
4� 1=��$��������,��;�������������F�������7��� ������ ������������
����������=������������������� ������6���������������������������������9�6������/�-�����������������������������]�F��������������
g� �1 �Rh��%��g� �� �� �1 �R �R �R �Rh��%��gR �1 ��h����������8�������F����� ����?�����������X�( ���X#��
X����?����������� �(X��� # ���������������� ���X�
+.���������������5������������F�����̀ �%�g� �1 �, �Rh �����6���# 2����������������������4(`#c�# �����/����������������4(`#����������& `���d���)��<��*e���������$`&���#��+�������
�Z4$`&[���%�����!,�&�4$`&��d�d�e��d)e��d<e��d*e��d��)e��d��<e��d��*e�
d)�<e��d)�*e��d<�*e��d��)�<e��d���)��*e��d���<��*e��d)��<��*e�d���)��<��*e����e
5*��8�������F�����4(?#������5*$������6��� ���������7�����������������?c
��������-�1��+��6����A%#����3�������+�0�����������������A%#���%�����������$�&����A,
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
51�>�����������b�%�g)* �)� �5 �� �* �1 �$h�������F��������/���� ���������������6F���������H7�����
# g�∈ �� �B�$�%�*h
�# g�∈ �� �1�%�,h���������& � �#���%
���"%����d"%e
�& )���<
��� ��
����b
�����
5$� �M������������������F������������7��9������������� �����/� ������ ���F�����������������������������������������6��-��
# ��%�g� �1 �, �R �0 ��� ����h�# "�%�g5 �1 �' �0�����'5h
��������
�& -���d�∈7f�Y��^�����J�+��e
�& ���d�∈ �7f�Y��^/�0+/��6��)����0������0���/������������������0���/���!Ae
>��?������������,��;�����7 � :�������)���������������F������ ���X ���-��������
���7���������F������"���X �������H7�� �∪�X(��6���� ����7��X# ��������F��������������������������������������� �� �X������������������� ����7���������� ���F����������� ������������H�
�∪�X��%��g�f���∈� ���������∈��Xh
o�������� ������
������������������F������"�%�g� �* �1 �$ �, �' �Rh��
X�%�g* �$ �' �A ��5h ��������� �∪ ���������� �∪ ���d���%��)��#��<��!��*��=���AeP��301���������������
M����/�������������������������7���7�����������
7 � 4�������������)���������������F������ ���X ���-��������
��������H7���������F������ ���X �������H7�� �∩ �(��6���� ���������H7��X# ��������F��������6�������������������������������� ���X�����������������������������H7������������F������������ ������������H�
�∩�X��%��g�f���∈� ������∈��Xh
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
o�������� ������
��������#�8����� �%�g* �1 �, �' �Ah���X�%�g1 �, �A �0h
��������� � �∩ ���������� �∩ ���d)��<��=e���+���������/��������1�������
���X,P��301�������
�#�>������� �∩ ������̀ �%�g* �1 �,h���7�%�g$ �'h�
� � �∩ ∅Q7��P?��������������� �������������6
-��������������F�������7�����3 ���
7 � &�1����������)���������������F������ ���X ���-��������
�������H��������F������ ���X ������������������H7�� �)�X�(��6���� ������X# ��������6F����� �������������������������������6���� ����7������������X��������������6��������������H������������F����������������� ������������H�
�)�X��%��g�f���∈� ������∉�Xh
o�������� ������
7 � ��)����"���"�����2���������� ���F������ � ��X� �7����� ��
���������X����?����������� �(X�⊂� # ���6-����������������H� �)�X�������3 � ���'������� �� � �� ������� � � ���F������6����H7���������/������ ����
��
� �%�"�)�X
o�������� ������
��������#�>������"�)��X �����������"�%�g1 �$ �' �A �0h���X�%�g* �$ �, �' �R ��5h�������� �"�X���d)��=��(e����������������7���� ����7�����7����X�P��301�������
����������
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
�#�8�����"�%�g� �1 �,h���X�%�g5 �� �1 �, �'h �������
# "�)�X�# X�)�"?���/�C��
�& �"�X���∅�������0�����/�������6�� ��������+�����C����X,
�&
P��301������
����������8�� � ����������F�����������F��������6/�����b ���������������� ������H7��b�������������������������� p������ ����6����� �������
7 0������-�����=�����-��"������HD����������������������
����������������/����������������������
5������� �%�g5 �� �1 �$h �X�%�g* �1 �$ �,h Q�%�g$ �,h���-�%�g, �' �Rh ��������
# � � �∪ ∩� �
�# � � �∩ ∪� �
�# � � �− ∩� �
�#
��������#
�#
�#
�#
+.���������������5��>���������������(T#����/�������
(]#����������� ����������HD���# � �∈� �
�# �� � � �� �⊂ ∅� � � �� � � �� � � �
�# � �� �� �� � � �� �∈
�# ∅ = ∅� ����������& 8�g�A�Y����/�������6��1��G����,�& h�"�+�0��d<e�Y�����/�������6��1��G����,1& h�"�+�0��de��������R����1��G����,6& h�"�>��W�Y�1��G�����.��0�������%W����1��G����
�����������/�������∅,
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
5*� 87�������������F�����
� � �= ∈� �������� ���� � �= ∈ <� � �� �_������������������# � �∩ ������������������# � �∪ ������-����������# � � �⊂ ∩�# � �∈�# � �⊂��������� � � � ����= ∈ � ���� ���d%��)��<��*�������)��ie
� � � �= ∈ <� �� ���dA�����%��)��#e� �∩ � ���� ���/����� �∩ �����6�0���/�������,
51������������F������ �%�g� �� �1h��X�%�g� �1 �6h����Q�%�g� �1 �6 ��h>������ � � � � � � �− ∪ − ∪ ∩ ∩� � � � � ��������� �"�Q���d�eQ�"�X���d����e� � � �∩ ∩ � � �� � � � � � � �� � � � � � � �∪ ∪ =� � � �?��+������d������1���e
�@�� !���������$����������<���������1�����������,��;������������������F������ ���X �����/�����
�� ������� ������������������������H7������������������/����9�����������������
� � � � � � � � � �� � � � � � � � �∪ = + ∩
Q���� ���� �� ���������� ��� �������������� � � �∩� �� � � �/��������� ����� ��F������������/�-���
��������1��# 8��������F������"���X���������F�����������
����������������/������������������� ������������H7��������?�/��������
�# ����������������H7������9��������������� ��� ����� ������ ���F����������������������M����/������ ���������/��
� � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
∪ ∪ = + + − ∩ −∩ − ∩ + ∩ ∩
� � � � � � � � � �� � � � � ��
+.���������������5���(T����6�8�#M����F�����"����*5��������� �A B???? ���
�*� ��������� �� A B???? � ���'5� ����������M�9����������������������F�����X���
#�*A �#�$A�#�1' �#�,*�#�$5��������S������ $ &���%A �T�� � �∩ =� � ���T�� � �∪ =� � ��� $X&���� � � � � � � � � �∪ = + − ∩� � � � � � � �!A���%A� ��"��%���!A�"�%A� ��%���<%������� ��
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
5*,� � ��X��7������� ���F������ ���������1������������������� ����7�����������XC��1��������������������X����7��������6���� ���10�������������������� ����X��M�9������������������������������ ���X���
#�5 �#�*'�#��1 �#�*1�#�10��������h����6�������������
� $ &����)� � � � � � � � � � � �∪ = + − ∩� � � � � � � �� $X&����)� �� � �∪ =� � �� )(���%!� �
���)(�5�%!����)
������� �X
51�� (T]o68�#�V������� �����/�����155����������������?������������������������6�� ����� �X���Q��������H�����������/�����������M������������������ ��������'5����������� �� C��*5����������6�� ��XC�05� ����������� ��QC�15����������� �� ���XC�$5������������ ���� ���QC�,5������������� ���X���QC����5����������1���� ����
��� ���6���#� ������ ������� ������������
��� �� C�#��������������������������6
���� ����XC�#��������7������������� ��QC�#���������7�����P������������������6
�P������������� ���c��������b�����������60��������+��������/.��,8�����1���C���+���A B C???? ???? ����������A��/�������,
4����� � �� �∩ = �� ���GR�1�/�1������A��������%A��/��������+����1��+/����������0���A B???? T�+���1��+/�����A C???? �3�/����)A���+����1��+/�����B C????3�/����#A,
-��������3�����1��+/����������1��G������ ��X��QT�.�G������#A�+���������������+��3��j�10���/����,
������1����/���6����60�������30��/�+�6�������+��6���k�������I��,
�&��AA�+�������0�601������+�����������/����� T�&��AA� �)A� ��A� �%A� �<A� �#A���%<A�0�601����
�������/������ ����XT1&��AA� �%A� �<A� �#A���%�A�����0�601������
����/�����QT6&�#A�+������������0�H���+��3��j�10��+������H�5
�������/����,
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
����,��;������ ��9������/���������� �����N��?��� ���� ���6F������������������e�����7���������F��6������������ ��������������������9�6����������� �� �����7������������������ ��6��������-H7��� ��������� ����������������6/�������� �����/��������� ����� >��F����������9�������������Q
Q�%�g5 �� �* �1 �$ ����h
� >��F����������9���������������i
i�%�g��� �)1 �)* �)� �5 �� �* �1 ����h
Q�����F����������9��������������(i#���6���������/�����-�������������F������� >��F����������9���������������7���� 6
��/����i�
i��%�g5 �� �* �1 �$ ����h�%�Q
� >��F����������9���������������7������6��/����i�
i��%�g��� �)1 �)* �)� �5h
]��� ���/�������������������� ���6F���������������� � ����� ���������H7� ��/�����������������=�����B�(��������#���6��?��������������5�(-���#��"����
Qj�%�g� �* �1 �$ ����h
ij�%�g��� �)1 �)* �)� �� �* �1 ����h
� >��F����������9��������������2
� ���� � � �= = ∈ ∈���
���� �
��
� ��
>�����H7������9����� ������� � ����������������������������������������96����������������9�������������������96��������������O�����(�=-�������O����#�
M���9����������7������������������������������H7�����������������������������������������7�6������7���P�������9���������������
���������� � ��� �π� >��F����������9������������
��%�g�d�������������������������h
M���9����� ���������������������������/������� ��� ��� ������ ��� ���� ���������������������O���P���������� ������������ �����
"���������������������H7�� �?��� ����6��������/��� �������������������6�����������9����������
M�������������������������H7������9�����������������������������9�6�����������!����������������������?�������������������
Q�� ����H7�� �������9����� ���������������������������� �������������6������ ������F��������� ������ �����e������������7���P��������������� ����� ���F���������H7��/������������� ����
�������3�������4�������������������F�����������������/��������������������N��?����������/���������6��� ����������������� ���F�������������������������������7���7�����������"�������������F�����������9������ ���� �����6HD������ ����������� �������H7��,�)�A��O��������������������������������6���������������F����������9������������"���/��7������9����A�����1��O������������6
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
�������������������������F����������9�6��������������M��?����������-����������9�����R ����������� �����������������6�=/������������������������F����������9�6��������������& ���������7��������F���������9��������������������9����� ������6��������/���������F����������9�������'�������������������������������������6F����������9����� ���� ��7�� ���� ������������� ������� ����� �� ��� ������������ �� �����������������������������������=6/�������������N��?�����"� �������6HD�����?����� �O� ������ �������������������������������3 � ��� 4��������������&
��� ?�����������1����5�$��������A�����B]�F��������������
# �����"�%�k5 �1l���X�%�k� �,k ��������# "�∪�X�# "�∩�X�# "�)�X��������
� � �∪ = = ∈ ≤ <� � � �� �� �� �� � �∩ = = ∈ ≤ ≤� � � �� �� �� �� � �� � �= = ∈ ≤ <� � � �� �� �
�# �����"%l)� �$l���X�%�k$ �'l ����������# "�∪�X�# "�∩�X�# X�)�"��������
� � � � �∪ = = ∈ < ≤� � �� � � �� �� �∩ = �� �� � � � �� �= = ∈ < ≤� � � �� �
+.���������������5���(T�/����6�8�#��/��������9��������5 5�*,�����/���
��������?6�������
#@@��
�#��* ,
�#@�
�#�A5
�# A
��������
7��������A�A�%<������
�� ����������0�+/0301�6��+��
�%<��6��R����
,���G�������^������������
������
���
��= ⋅ = ⋅� �
?��+�������
��
$���"�����/�����
��������� *����� ��+��� ������������
5*��(V���6�8#V� ������ ���?����� ��,������
� ��������������� ���������8������������?�������H7���R5 1������������H7��*1� A ������-H7����������i���
# *5R *��# 1' 0��# �0$ 0��# �A* '��# �����=/������������
�������������������0�����<�0����.�/���0���0��6��1��+�05
���������*A�)� �����%)��=
������������!��<Q�6��0����.�/�����R�!��<�<��%�)���06�6��-����+�����������6������06�6����%�)�'�%��%#�!���06�6�� �+��0C���6��c����R�6�6��+���%)��=�"�%#�!���%A*��%���06�6��������� �
��
$���"�����/�����
��������� ,-���.� ������������
��������* +,���-���� 1�������>������������������� �������������q#�*�B�1�%�,*q#�*�B���%�,1q#�*�B���%�,��-���������������������� � ��6
������7�������� ����@���� #��C���� ����� �7����������/����� ����������������6/�����/����������Q����� ����������������/������������� ����������������
��-������������������ �������������� ����@��� ����� ����������� ���/�������� ��� ��� ���������������/��������=��� !� �������Q�� ��� � �� /������������������=�������/����1����������6�����/���������=��������������������1��8��6���H����?�����������������7���P������2 ��1��C�����������/��?/��������6H7� ����9����1������-��������H7�������6H7���������F�����8�%�g1h��������F���������H7������H7� � �����P������ ���F����/������
��������#�*�B���%�R1����9������- ����7��8�%�g1h�#�1�)�,�%�)*�����9������- ����7��8�%�g�h
�� ���������� ������������/��������H7���������������6
������=-��������H7��������������������F��������/������ ����������� � �P6������F��������/�����
��������#������/�������H7��
��%�$����
"���=-�������������H7���7��)*���B* ����
8�%�g)* �B*h
�#������/�������H7��
��%�$���Q
"�9���� ��-� ������ �� ���H7�� �� * ����
8�%�g*h
Q� ������H7����� ���HD�� �����������/�������� �������HD������������?6��� �� ���HD��� ����/������ � ����� � � ��������������������F����� ����H7� ����������/�����
]�F���� ������������������������#�2����������������������=��
�������9����������������������� ����� �������������/��������
� � � � � �
� � � � � �
= ⇔ + = +
= ⇔ − = −��
?���2A!���M����/��������H7��
�B�*�%�1
8��������� *� ���� ����������� �� ����� ������
�B�*�%�1�⇔ ��B�*�)�*�%�1�)�*
"����
�B�*�%�1�⇔ ��%��
��
$���"�����/�����
��������� ,-���.� ������������
��#�2���������������������/������������������������� ������������9�����������������-��� ��� ���������6�����/��������
� � � � � �
� � ��
��
= ⇔ ⋅ = ⋅
= ⇔ =
��
?���2A!���M����/���������H7��
)*�%�'
��/�����������)*����������������� ����� ������
− = ⇔ −−
=−
� � ��
��
� �
"����
− = ⇔ = −� � �� �
����C��������D�E���>P�����r���H7����� �:� ��� �
���HD�����������
��B���%�5
������������7���9��������P�����������≠ �5�
�������
1�)�,�%�5�(��%�1�����%�),#
��� �����/����� �� ���H7�� ���:� �� ���/�������������D�������������������� ����� ������������6����������� ��������������������
������������/�����������H7��1�)�,�%�5
� � � � � � � �����− = ⇔ − + = +
� � � � �����− = ⇔ =
� � ��
��
��� �= ⇔ =
� � ��
����= ⇔ =
"������ � � ��
� �− = ⇔ =
����������/��� ��-����
� � � � ���
� �
��
���− = ⇔ = ⇔ =
"����
� = ������
��
���������������������O�����������/�����������H7��
�� � �+ = ≠� �� �"����
�� ���� �
�� �
�+ = ⇒ = − ⇒ = −�� �
� ��
= −������
������������/�����������H7��
*��B�,�%�5
��
� ��
==���⇒ = − = −�
���
� = −������
��
��
$���"�����/�����
��������� ,-���.� ������������
%� ��-$���������D�E���������������������H7��������/��
�������� ���������������P������������6������������P������ ��P��������� ������6������������P������ ��P��� ��D�����
�����/�������������������������/������������O ��������������-��!�����6��HD������������������������
"�������H7������������������������������
�#�>��������������������H7�C*#������/�������H7��������HD�����
������C1#� Z���������� ��� ���������� ��� �-��
���������7�������������
+.��������������������/��������HD���5�� 1�)�,�%�*�B�'��������)�"�%���!� �<���������d��e
5*� *�(�B�1#�B�1�(�)��#�%�R�(�B�*#��������%� �!� �)�"�)���*� ��#%� �)�"�*����#� �)�"�!"%�����
���
�= − � = −���
������
51� ��/����������9�����������9��� � ����6��� ���������� �� �� ������ ,�� 8�� ���?���������s���/�������������?�����������*��������A ����7��
#��B��%�1* �#��&��%�R'�#��)��%�, �#��%�*�#��)��%�,
��������
�����0��0�6�������%��#���%�$� �<&� �=#���%� ��=%����=�→ ����(�����0��0�6�����(���������(� �<����#������� �Q
5$� V�/������P��������������3���41*,� ��8��F� ���������������������� ����3�����3�������-���A5� ��M�3����4����/�6����/-�����
#�*5� �#�$,� �#�*,� �#����#�1,� ��������.� �?���)%<?���)%<�"�.
��
����+ =
���� �
����+ − =
�� ��� � ���+ − =.���)<������� �Q
&� �C����������E���>P������ ���H7����� *:� ��� �
���HD�����������
��� ��� �1���5
��������� �����1��7���9��������P���6���������≠�5�
��
$���"�����/�����
��������� ,-���.� ������������
��������#�*��)�1�B�,�%�5�(��%�* ���%�)1���1�%�,#�#�,��B�R�%�5��(��%�, ���%�R���1�%�5#�#�$��)����%�5�(����$ ���%�5���1�%�)��#
� ����������,�������!������������#������/�����?�����H7��
��)��'�%�5
Q�����������������H7�����*:� ��������������������� ����-����� ��������� ������P��������H7�����*:� ������������]�������P������������H7��
��)��'�%�5��⇔ ���%��'
��)��'�%�5��⇔ ���%�)�$�������%�B$
"����
8�%�g)�$ �B$h
�#������/�����?�����H7��
��B����%�5
Q�������� ���������H7�����*:� �� ������������������� ����-����� ��������� ������P� ���� �������H7�����*:� �����6��������]�������P������������H7��
��B����%�5��⇔��(�B���#�%�5��B����%�5��⇔���%�5��������B����%�5��B������5��⇔����%�5������%�)��"����
8�%�g)�� �5h
�#������/�����?�����H7����B�$�B�$�%��'
M����/��������� B�$� B� $� � ��� ����������� �� ����(�B�*#� ����7��
��B�$�B�$�%��'����������(�B�*#��%��'"������B�$�B�$�%��'�⇔�(�B�*#��%��'��B�$�B�$�%��'�⇔��B�*�%�)�$��������B�*�%�$��B�$�B�$�%��'�⇔��%�)�'�������%�*
"������%�g)�' �*h
�#������/�����?�����H7��
��)�'�B�,�%�5
�M����/���������)�'�B�,��� ������������������ ���������������������������6��������������-����������������������7������?������������� ������������H����6 ���������HD��������H7� �����/���6������ ����
�� �� 3�� �����������������4 � '� �3� �� ����� � ���������(�������#����� ��� '��4 ��� � ����� ������O������?��������9���1�� ���� �3� 2 ������ �� ��� �� ���@ �� ��� ;4��>����������������������O�������?�����/�������)�'�B�0 ������������������������������ ���������9����0�
"������)�'�B�,�%�5�⇔ ���)�'�B�,�B�0�%�0��)�'�B�,�%�5�⇔ �����)�'�B�0�%�$��)�'�B�,�%�5��⇔ ��(�)�1#��%�$��)�'�B�,�%�5��⇔ ����)�1�%�)*�������)�1�%�*��)�'��B�,�%�5��⇔ ����%����������%�,"����
8�%�g� �,h
� �>�"�����/?��@���]��������/�������H7������B���B�1�%�5
����������� ���������H7�����*:� ���Z��������� ������������ ��� ����
��������� �������������+������
���� ���� ��1���5
��
$���"�����/�����
��������� ,-���.� ������������
Q�����������������7��
� � ��� �� �
�
�+ +
��������������������� ���� �����6������������������������������ ��6
�������9������
��
� � ��� �� � �� �
� �
� �+ + + =
W� ����� ��� �1�%�5��⇔
⇔ + + = −� � ��� � � ��� �� �
� ����B��� �1�%�5���⇔
⇔ +������ =
−�� � � ��
��
�
� �
>P�������)�$�1�������������������H7�����*:� �� � ���� ���?� �������������������� �� � Δ �(����# ��������
�� �� � �� �� �� �
+ + = ⇔ + = ±Δ
�� �� � � ��
�
��
�+ + = ⇔ =
− − Δ����
� ��� �
= − + Δ
�������� ������/��������H7����*:� �������������������������������������1��������������������������������O����F?����� ���P���� � �P�� 3�O���� ��XP�Y�4 ������ �����/��?������������6H7������*:� �� ���������������������������6���������������9����������H7��������/���
� ��
= − ± Δ�
�������Δ = −� ��� �
������������/�����?�����H7��,��)��*�B�$�%�5+��� ���%�, ���%�)�*�����1�%�$�8���������������O�������XP�Y��
� =− − ± − −
⋅�� �� � � �
� �
�� � � � � �� �
� =± −
=±�� ��� ��
���� ��
��
� = ±@� �@�
�%�*�������� = ��
"������ = ������
��
��
���������� )�8������H7���7������/�����������B���B�1�%�5 ���/��������������/����������HD������P����� �������� �����H7���������������� � ������������������ ��������������
� &���������%"����8���-����+,������AB���2����������/���������H7�� ���
*:� �� � F?� ������������ ������������������������/������ ����� ������������ ��������H7�����?���������������������M����/��
�� ������ Δ �;�5�→�"����H7�����?�����=-�������������������
������� ' ������/�����?����)�'�)�*R�%�5��%�� ����%�)�'���1�%�)�*R
Δ �%�()'#��)�$(�#�()�*R#�%��$$�;�5
� ��
=− ±
=±
⋅=
±Δ�
� ���� �
� ���
��%�0����������%�)1M����/��������≠���"�����8�%�g)1 �0h
��
$���"�����/�����
��������� ,-���.� ������������
�� ������ Δ �%�5�⇒�"����H7�����?�����=-����������� ����
�������������/�����?�$��)�$�B���%�5��%�$ ����%�)�$�����1�%��
Δ �%����)�$�1�%��'�)��'�%�5
� ��
= − ± = ±Δ�
� ��
��
@�
= ����������@�
=
M����/��������%���
"������ = ������
@�
�� ����� Δ <�5�⇒�"� ���H7���7�� ���?�=-��� �����
�������������/�����?�1��B�*�B�$�%�5��%�1 ��%�* 1�%�$
Δ �%����)�$�1�%�$�)�$A�%�)�$$�<�5
� ��
= − ± = − ± −Δ�
� ���
−�� �∉�?����7���7��P?��=-��������"����
8�%�∅
+.��������������������/�����?������HD��������
5�� � �� ��
��
−= −
��������-�.�����+��+�����������C���%$��"�#&���)�$�"�)&?��0���������+��j�������%��"�=���)�"�(��1��.��������3�����+�6����%��"�)� �����A����%�������")��1����
Δ �����"�#�1���$")&��"�#$%&�$�&����
� ���
� �� �
� ��
= − ± =− − ±
⋅= ±Δ � �
���������������
� ����= ������
5*��*�(�)��#�(1�)�R#�B��*�(�B�1#�%�15�(1�)�R#'��)�*5�B��$�B��*�B�1'�%�05�)�*�5'��)�0A�B�*'5�%�5
��������-0.060�6��������C���+���%�)��"�#(� ��)A���A����)������"�#(��1����)A
Δ ��=#�
� �� ���
= ±
����)��������� ����
=
� ������= ������
'� ��$�����������,�����������������8���"�����HD������*:� �� ����B���B�1�%�5
� ≠ �� � ���������������?/�������HD�����6�������=-���������������������������� �����1�
87���P���������HD������8�������6�����������HD������E������
>���������������H7�����*:� ���
���B���B�1�%�5 ������≠�5���������=-���
� ��
� � ��� �� �
= − − = − +Δ Δ� �
��
$���"�����/�����
��������� ,-���.� ������������
�������������������:# "������� �=-��������H7�����*:
����������������H7��
���%�−��
*:# M�������������=-��������H7����*:� �����/��������H7��
� � � ��
��
= ⋅ = − −���
��� ⋅ − +���
���� � � �
� �Δ Δ
� � � � ��
= ⋅ = − − − +� � ��
� �� �� Δ Δ
�� ��
= � �
"������� ������� /������ � � ��/������� ���H7�����B���B�1�%�5����������������(���6�������������# ������������H7���������6������� ������
��)����B��4��%��5
����������������������=-�����4�����������������
�����������������/��������H7������H7�����*:� ������������-HD�����?�����
�:# ��������������H7�����*:� ����F���=-�����F�����9�����*���R�
�+��������=-�� �����������������
����%�*�B�R�%�0���������4�%�*�&�R�%��$
�>�������� /����� � ������������ ���H7��
����)�0�B��$�%�5
��������������HD������*:� �����F��=-����7��*���R�
*:# �����/�������H7�����*:� ���
���)�R�B��*�%�5�
���������/H7���� ������H����� �����6���������H7� ������
�����R�����4�%��*�
X�� � �� � �����3�������P�4��������/���� � �����P�����������9����� ��F�����R����������������*�
>��������F?�������������������9�����7��1���$����������
����8�%�g1 �$h
*� ����$�������C���������(���������F���75�$T���m��������� ���� ������� ��
���HD������ ������7�����������*:� �� ��������������/�����������=���������Q��6�������HD�� ���/��������/����������6H�����/��?/���������H7������������������ ��� �������� � ����������� � �����H7�����*:� �� ��������������������/��������� ����
��������#������/�������H7��
��)�1��)�$�%�5
Q���������������������H7��������6��� �� �����������������=�������6��������������������������������� �����
8����-�����
��%�
�������
��)�1�)�$�%�5
�����/������������H7� ��������
��%�)����������%�$
��
$���"�����/�����
��������� ,-���.� ������������
>�������������������?�������������6 ������ ��������
��%�)�����������%�$
>�������������∈�?���������
�%�) *���������%�*
"����������
���%��g)* �*h
�#������/�������H7��
(��B�#��)��$ (��B�#�B�*$��%��5
�/���������� ������������������������6�������������������������/��/�������� �6����������H7����������� ����������������������������������H7���M����6/��� � ���� ������ ��� � ���� � �������7�(��B�#�����������������H7���������/�-��������� ���� � �������/���� ������6��=6��������9�������O ����
8����-�����
��B�����
�������
���)��$��B�*$�%�5
"�������H7����������H7��������/������/������������*����* ������7� �������� ����/6�����������B�,
W� ��
��B��%�*����������B��%��*
"��� ��������������������HD�����*:� ���
��B��)�*��%��5
�
��B��)��*��%��5
��F������HD�������������7��������HD�������H7����� �����"��������� �������������6H7�����������HD�� ��������
��%�g) $ �) * �� �1h
+.���������������5���8�F����������=-��������H7�1��)�\�)���%�5�
8��� ��
�
�
� @+ = ����7��\����� ����
# * �# $�# 1 �# ,��������
������������� � �� � �
+ = ���� �� �
@�
⋅ = −
� � �� �
��
�+ = ���
���� �
� � � � ��
�
� � �
�
�
��
+ + =
� � � � ��
�
�
�
� �
�
��
+ + =��� �� ���
� � �� �
�
+ −���� = �
� �� �
�
− =�
�� �
��
�= ⇒ =� �
������� �X
5*�������/�� ���? �����H7����)�*A �B�*R�%�5
��������h����6�������������������������/������"�%=�� �%*���AΔ = − =��� ��� ���
���������������
������� �8�%�g� �1h
��
$���"�����/�����
��������� ,-���.� ������������
51���������������������/� ���������������=-��������H7����)�1��B�,��%�5�����������������
�������� ����J�����������������%������������
� � ��
�� �
�+ = − =
�� �%����)�)����)�
� ��
=%����%��������
� ��
�=
Q����� � ��� �
⋅ = ���������
��'�%����<�%�����<�%���"�<����A
����J���������� ��
� �= =�����%����<
������� �� = ��
4� �C������1�������������H7��Z���������������H7�������
P?� ���O ���� ���������� �������� 87����HD��� ����������
�# � + =� ��
*# � �+ = −� �
1# � � � �� �+ + − =
"���=-��������������������=����� �������������������������������������6HD����������������������������=-�����6������Q7����������O������������/�����6
������HD�� ������������������������6����H7����?����� �� �� ������������ �����-����HD�����F�������H7��F?����P������
]�������P�����������������������������
�����/�������H7��
� �+ + =� �
�� ������� Z������ �� ������ �����������������H7���8���������������������� ������P�������������������
� �+ = −� �
�� ����������/������������������������������H7��
� �+ = −� ��
�� � � ���B�1�%�0�)�'�B��
���)�R�B�'�%�5
�� ������������/��������H7��8�����������/�-��������/��������6
H7�� �������� � ��������� � �������� � ��-����� � �����/�� ���� �������� � ���H7����?���/��������/���������������/�-��� �����������?���� ��������7�� �����������P��������
��)�R�B�'�%�5
���������/�������%�������%�'�
�� ������ ��������� � ����������������H7�������7���� ������������� ���������F�����/�����������H7�����6������2��������� ��9�������H7����6�����������=-������������������ ���=-�� ��P��������%��� ����C��,������7��7���=-���������������H7��
����������������������� ����������6������/������H7���������������=-�������P���������������F���������H7�������������� /������H7�� ��������� �� ����������� ����H7������ �������/������������������
��
$���"�����/�����
��������� ,-���.� ������������
M����/��
����%���� � � � �+ + =
�� � � �+ =
���*�B���%�1�(]#
����%�'�� � � � �+ + =
��� � � �+ =
����1�B�'�%�1�����0�%�1�(T#
Q�����������������H7�������H7���'��7��� �����������
8�%�g�h
>� (���������F���75�$>���F?�/��������H����/��?/�����
����F���/����� �������� � ������H7����� ���6HD���������������� ��������������������6�����?/����]������� �������������������6��H7����� ����
��������#������/�����?�����H7�
��)�,��B�$�%�5
N�����/��?/�����%�� (�#�/��������������%��� ����������
���)�,��B�$�%�5
]�������������%�$ ��%��
� = ± � � = ± �
�%�t�* �%�t��
�= ��������
8�%�g)* �)� �� �*h
�#������/�����?�����H7�
� �� �
��
�� � � � � �− + − + = ≠� �
������� �����������H7��
��
��
�
�
� � � � �+ − − + =
��
��
�
�
@ � @ � �+���� − +��
�� + = (�#
T�������� �����������
���+ =@
���/������������ ��������
��
� ��
��
�
� �
�
�� � � �+ + = ⇒ + = −
8��������������(�#�(���)�*#�)�$��B�,�%�5���)�$��B�1�%�5
]�������!����H�/��?/���
��
� �
�
+ =
− + =
= ±
� �
� � �
� ��
�
������
��
� �
�
+ =
− + =
= ± −
� �
� �
� ��
�
��� ��
�= ��������
� =− +���
���� �
�� �
��
��
$���"�����/�����
��������� ,-���.� ������������
+.���������������5�������/�����?�����H7��
� � �− + − =� ����
/���� ���] 2��/�������601�/����0��/�6��$+�6�������������&,
� �− = −� �
] �/�.���������6��6��
� �� �
− = −� �� � � �� � �− = − +� � �
] 2��/�����.�����������601�/�
� � �� � �= + + −
� � �� �= +
] �/�.���������6��6����.�������)!����#��� ��!�� ��!
#���"�%A�� ��!���A ÷� � ����"�<�� �#���A����#�������������
] h����6����.��0301�C���
+��������#�� � � � � �− + − =
�� � � � �+ − =
������� �%�"�)���A $8&
+����������� � � � � �− + − =
��� � � � �+ − =
�����%� ���"�)���A $8&
�������#�����������J�����/��������d���#e
5*������/�����?�����H7�
��
�
�
� ��
��+ +
+=
��������8�����3������������0��0C���
� �� �+ = $�&
S�������
��
+ =@� �
��� ��<���=����"�=�� ��<���A
8�/���6����$�&�
�
�
��
�
�
�
� �
� ��
���
+ =
+ =
== ±
�
�
��
�
�
�
� �
� �
��
+ =
+ =
==
-�J����������
8�%�g)$ �5 �$h F���#�2 �G
Top Related