Matemática Aplicada
UNIDADE I
RESUMO DE APOSTILA
Educação a Distância – EaD
Professor: Flávio Brustoloni
Matemática Aplicada
Cronograma: Turma ADG 0096
Matemática Aplicada
Data Atividade
20/122º Encontro
1ª Avaliação Disciplina
13/12 1º Encontro
24/013º Encontro
2ª Avaliação Disciplina
31/014º Encontro
3ª Avaliação Disciplina (FINAL)
Objetivos da Disciplina:• Situar a Matemática Aplicada dentro do vasto campo da
Matemática e relacioná-la com a área da Administração, servindo de aporte e ferramental para outras disciplinas específicas do curso;
• Formatar e calcular funções de duas ou mais variáveis, variáveis aleatórias e discretas e programação linear, sistemas e vetores compreendendo sua importância no desempenho de suas atividades no cotidiano;
• Aplicar as funções de duas ou mais variáveis, assim como a teoria dos jogos e a modelagem matemática na resolução de problemas que envolvam o cotidiano do(a) acadêmico(a);
• Perceber a importância da Matemática Aplicada como uma disciplina que pode ser suporte nas mais diferentes áreas da Administração e que nos ajuda a resolver problemas contextuais;
Unidade 1
FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS
Objetivos da Unidade:
• Compreender a definição de função de duas ou mais variáveis;
• Conhecer os tipos de funções, suas operações e suas aplicações;
• Resolver problemas do cotidiano envolvendo funções de duas ou mais variáveis;
• Aplicar o conceito de funções de duas ou mais variáveis em problemas do cotidiano;
Conceito de Função de várias Variáveis e suas aplicações
Tópico 1
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2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
Uma função f(x) = y de duas variáveis é uma regra que associa um número a cada variável. A sua forma é f(x) = ax
+ b, onde a é a parte variável e b a parte fixa. No cotidiano das
organizações utilizamos muito os termos custo, receita e lucro.
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Tópico 1
Unid. 1
5
2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
a) Função Custo: Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo de produção depende de x, e a relação entre eles chamamos função custo.
Existem custos que não dependem da quantidade produzida (aluguel, seguros,
etc). Estes são denominados custos fixos (Cf).
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Tópico 1
Unid. 1
5
2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
O custo que depende de x chamamos de custo variável (Cy), mão de obra,
material etc. O custo total em qualquer nível de produção é a soma do custo fixo
e do custo variável neste nível de produção:
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Tópico 1
Unid. 1
5 C1 = Cf + Cv
2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
b) Função Receita: Seja x a quantidade vendida de um produto. É a quantidade que o fabricante recebe pela venda de x
unidades. Seu gráfico é crescente a taxas constantes e seu gráfico é uma
reta que passa pela origem.
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Tópico 1
Unid. 1
5 R = px p = preço e
x = quantidade
2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
c) Função Lucro: A função Lucro (L) descreve o lucro para qualquer
quantidade x, isto é, deve ser a diferença entre a receita e o custo para qualquer
quantidade x.
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Tópico 1
Unid. 1
5 L = R - C
2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
d) Ponto de Nivelamento (break-even point): É o ponto de intersecção entre o gráfico da receita total e o custo total. Ele indica a quantidade produzida tal que o
lucro total é zero. É a partir dessa quantidade mínima que o produtor
começará a ter lucro positivo.
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Tópico 1
Unid. 1
6R = C L = 0
2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
e) Função Demanda: É a quantidade do bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo
(dia, mês, ano). A função Demanda descreve o comportamento do
consumidor que compra mais quando o preço cai e compra menos quando o
preço sobe (Lei da Demanda).
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Tópico 1
Unid. 1
6
2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
f) Função Oferta: Chamamos de oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, à quantidade do bem que
os vendedores desejam oferecer no mercado.
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Tópico 1
Unid. 1
6
2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
g) Ponto de Equilíbrio: O Ponto de Equilíbrio é o ponto de intersecção do gráfico da oferta com o da demanda. Suas coordenadas são o preço de
equilíbrio e a quantidade de equilíbrio.
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Tópico 1
Unid. 1
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2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
Exemplo: Duas editoras oferecem emprego com as seguintes condições salariais:
Empresa A – Fixo de R$ 800,00 e comissão de R$ 15,00 por coleção vendida;
Empresa B – Fixo de R$ 600,00 e comissão de R$ 20,00 por coleção vendida.
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Tópico 1
Unid. 1
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2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
Faça uma análise e avalie qual a melhor proposta salarial. Para
avaliarmos a melhor proposta, temos que descobrir o ponto de equilíbrio,
ou seja, o ponto em que as duas propostas são iguais.
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Tópico 1
Unid. 1
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2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
Empresa ACA = 800 + 15x
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Tópico 1
Unid. 1
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Empresa BCA = 600 + 20x
Até 40 coleções, a melhor proposta é a A; a partir de 40 coleções, a melhor proposta
passa a ser a B.
2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis
CA = CB800 + 15x = 600 + 20x800 – 600 = 20x – 15x
200 = 5xx = 200/5 = 40 coleções
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Tópico 1
Unid. 1
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2 Conceito2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis
Uma função f (x,y) de duas ou mais variáveis x e y é uma regra que
associa um número a cada par de valores das variáveis.
Ex.: a) Sendo f (x,y) = 2x + 3y
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Tópico 1
Unid. 1
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2 Conceito2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis
A cada par de valores (x,y) teremos um valor para a função, por exemplo
para (3,5) teremos:
f (3,5) 2.3 + 3.5 = 6 + 15 = 21
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Tópico 1
Unid. 1
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2 Conceito2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis
b) Uma mercearia vende um pote de manteiga a R$ 3,50 e um pote de
margarina a R$ 2,50.
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Tópico 1
Unid. 1
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2 Conceito2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis
O faturamento com a venda de x potes de manteiga e y potes de margarina,
sendo x e y da mesma referência, é dado por: f (x,y) = 3,50x + 2,50y, onde x é o
número de potes de manteiga vendidos e y o número de potes de margarina
vendidos, temos para x = 20 e y = 30 um faturamento de:
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Tópico 1
Unid. 1
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2 Conceito2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis
f (20,30) = 3,50.20 + 2,50.3070 + 75 = R$ 145,00
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Tópico 1
Unid. 1
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Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis
Tópico 2
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1 Introdução
Uma importante utilização dos máximos e mínimos de uma função é a sua otimização. Otimizar uma função significa encontrar seu ponto de
máximo ou de mínimo. O estudo do melhor ponto de uma determinada
função nos permite obter mais instrumentos na tomada de decisão, da formação de um preço, por exemplo.
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Tópico 2
Unid. 1
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2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis
Vejamos o conceito: se f (x,y) tem um máximo ou mínimo relativo no ponto
(x,y) = (a,b), então:
df/dx (a.b) = 0 e df/dy (a.b) = 0
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Unid. 1
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Tópico 2
2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis
Exemplo: a função f (x,y) = 3x2 – 4xy + 8x – 17y + 30 tem como coeficiente de x e y ao quadrado valores positivos
que serão pontos de mínimo.
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Unid. 1
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Tópico 2
2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis
Exemplo: a função f (x,y) = 3x2 – 4xy + 3y2 + 8x – 17y + 30 tem como coeficiente de x e y ao quadrado
valores positivos que serão pontos de mínimo.
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Unid. 1
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Tópico 2
2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis
Devemos encontrar valores de x e y para os quais ambas as derivadas parciais
são zero.As derivadas parciais primeiras são
calculadas diminuindo-se um grau do expoente de x e y e passando o mesmo
a ser coeficiente.
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Unid. 1
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Tópico 2
2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis
f (x,y) = 3x2 – 4xy + 3y2 + 8x – 17y + 30
df/dx = 3.2x – 4.1y + 8.1 = 6x – 4y + 8df/dy = -4.1x + 3.2y – 17.1 = -4x + 6y - 17
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Unid. 1
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Tópico 2
2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis
Determinando df/dx = 0 e df/dy = 0:
6x – 4y + 8 = 0 (isolando o y) y = (6x + 8)/4
-4x + 6y – 17 = 0 (isolando o y) y = (4x + 17)/6
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Unid. 1
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Tópico 2
2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis
(6x + 8)/4 = (4x + 17)/6 20x = 20
x = 1
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Unid. 1
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Tópico 2
2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis
y = (6x + 8)/4y = (6.1 + 8)/4
y = 7/2Se f(x,y) tem um mínimo, ele deve
ocorrer quando df/dx (a,b) = 0 e df/dy (a,b) = 0.
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Unid. 1
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Tópico 2
2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis
Determinamos que as derivadas parciais são simultaneamente iguais
a zero quando x = 1 e y = 7/2. Portanto f(x,y) tem um mínimo que
deve ocorrer no ponto (1, 7/2).
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Unid. 1
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Tópico 2
O Método dos Mínimos Quadrados
Tópico 3
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2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
A equação de uma reta é dada pela expressão: y = ax + b que é uma relação linear ajustada aos pontos
não colineares do problema em questão.
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Tópico 3
Unid. 1
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2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
Portanto o método dos mínimos coloca os pontos não alinhados em
uma reta através do método dos mínimos quadrados que, por
dedução, define a e b como sendo os coeficientes angular e linear.
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Tópico 3
Unid. 1
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2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
Esses coeficientes a e b são dados pelas expressões:
a = Ʃ xi.yi – [(Ʃxi).(Ʃyi)]: n/ [Ʃxi2 – ((Ʃxi)2 :n)]b = Ʃyi : n – [a.((Ʃxi):n)]
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Tópico 3
Unid. 1
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2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo: Um comerciante deseja obter empiricamente uma equação de demanda
para seu produto. Ele admite que a quantidade média demandada (y)
relaciona-se com seu preço unitário (x) por meio de uma função de 1º grau.
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Tópico 3
Unid. 1
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2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
Para estimar esta reta, fixou os preços em vários níveis e observou a quantidade demandada, obtendo os
dados a seguir:
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Tópico 3
Unid. 1
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2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
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Tópico 3
Unid. 1
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Preço Unitário (x) Qtde Demandada (y)
R$ 1,00 9,5
R$ 2,00 8,5
R$ 3,00 5,5
R$ 4,00 3,5
2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
Com base nos dados, calcule:
a) a equação da reta dos mínimos quadrados;b) a quantidade demandada para um preço unitário de R$ 5,00;
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Tópico 3
Unid. 1
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2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
Vamos resolver utilizando as expressões acima dos coeficientes
angular e linear:
a) Inicialmente, vamos criar uma planilha para cálculos dos valores a
serem utilizados na fórmula:
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Tópico 3
Unid. 1
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2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
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Tópico 3
Unid. 1
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Xi yi xi.yi xi2
1 9,5 9,5 1
2 8,5 17 4
3 5,5 16,5 9
4 3,5 14 16
Ʃ 10 27 57 30
2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
Usando a fórmula da reta dos mínimos quadrados, teremos:
a = Ʃ xi.yi – [(Ʃxi).(Ʃyi)]: n/ [Ʃxi2 – ((Ʃxi)2 :n)]
a = 57 – [(10.27):4] = 57 – (270:4) 30 – [(10)2 :4] 30 – (100:4)
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Tópico 3
Unid. 1
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2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
a = 57 – (270:4) = 57 – 67,5 = -10,5 = -2,1 30 – (100:4) 30-25 5
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Tópico 3
Unid. 1
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b = Ʃyi : n – [a.((Ʃxi):n)]b = 27:4 – [-2,1.((10):4)] = 6,75 – (-5,25) = 12
a = -2,1
b = 12
2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
Portanto a equação da reta ajustada é:
y = ax + by = -2,1x + 12
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Tópico 3
Unid. 1
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2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados
b) Para encontrar a quantidade para um preço de R$ 5,00, teremos:
y = -2,1x + 12x = 5 y = -2,1.5 + 12 = -10,5 + 12 = 1,50
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Unid. 1
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Parabéns!!! Terminamos a Unidade.
PRÓXIMA AULA:
Matemática Aplicada
2º Encontro da Disciplina1ª Avaliação da Disciplina (Redação com Consulta)
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