Matemática Discreta IBCC101
IntroduçãoLógica Proposicional
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Bibliografia, Slides, Exercícios etc
Bibliografia: Rosen: Matemática Discreta e
Aplicações Velemann: How to Prove it
Slides, exercícios, avisos, notas: www.decom.ufop.br/lucilia/md1
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Visão GeralMatemática Discreta lida com estruturas matemáticas discretas: constituídas de partes distinguíveis ou separadas.
Discreto vs. Contínuo: Naturais vs Reais
Como computadores operam de maneira descontínua (ou discreta), executando um passo a cada instante, Matemática Discreta é o arcabouço apropriado para descrever Computação.
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Visão Geral
O conceito central da computação é o de ALGORITMO.Matemática Discreta ajuda a entender…ferramentas para a construção de algoritmosferramentas para a análise de complexidade de algoritmosmétodos para a prova de correção de algoritmos
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Matemática Discreta
Lógica Formal e Técnicas de ProvaEstruturas Discretas: conjuntos, relações, funções, árvores, grafosIndução e RecursãoTeoria de números —propriedades de inteirosCombinatória—problemas de contagemAnálise de algoritmosComputabilidade e decidibilidade
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Aplicações
Desenvolvimento de Software e Hardware Projeto de chips, especificação de software,
geração automática de software, prova formal de correção de programas
Teoria da Computação Métodos de prova para estudo de
propriedades de modelos teóricos de computação
Fundamentação para LPsInteligência Artificial Bancos de Dados
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O que é Lógica
Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo Para descrever o mundo, usamos
sentenças declarativas tais como:i. Se eu dormir demais, vou chegar atrasadoii.Eu dormi demaisiii.Eu não cheguei atrasado
Aplicando algumas regras gerais de raciocínio, podemos obter conclusões:i. De i e ii podemos concluir...ii.De i e iii podemos concluir...
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Três Lógicos com chapéus
Três lógicos A, B e C, estão usando chapéus. Os três sabem que cada chapéu é preto ou branco, e que não são todos os chapéus brancos. O lógico A pode ver os chapéus de B e C; B pode ver os chapéus de A e C; e C é cego. Pergunta-se a cada um, primeiro a A, depois a B, depois a C, se ele sabe a cor do seu próprio chapéu. As respostas são: A: ”Não". B: ”Não". C: "Sim". Qual é a cor do chapéu de C e como ele sabe isso?
Como ganhar 1 milhãousando lógica
3 Portas Uma porta tem 1 milhão Uma porta tem uma caneta Uma porta tem uma pipoca
Inscrições nas portasPorta $$: inscrição verdadeira Porta da pipoca: inscrição falsa
CCCanetaCaneta
na porta na porta AA
BBPipocaPipoca
na porta na porta CC
AACanetaCaneta
aquiaqui
Ad
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19
82
Questão extra: Onde está a
caneta?D
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O que é Lógica?
• Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo– Para descrever o mundo, usamos
sentenças declarativas tais como:i. Amanhã vai chover ou vai nevarii. Nem hoje nem amanhã vai nevar
Apenas nos interessa saber se uma asserção é verdadeira ou falsa, e como isso pode ser determinado (ou provado).
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Do que precisamos?
Uma linguagem na qual expressar asserções sobre o mundo
Uma interpretação para sentenças da linguagem: nos interessa apenas o valor-verdade de cada sentença
Regras de raciocício para determinação da verdade ou falsidade de sentenças da linguagem.
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Verdadeiro, Falso, Asserções
Axioma: Falso é o oposto de Verdadeiro.
Exemplos de asserções:– Lula foi presidente do Brasil.– Cruzeiro vai ganhar o Brasileiro de 2013.– Os peixes voam.– Esta sentença é falsa.
Q: Quais dessas sentenças são verdadeiras? Falsas? Ambos? Nem falsas nem verdadeiras?
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Proposições
DEF: Uma proposição é uma asserção que é verdadeira (T) ou falsa (F).
Para evitar dor de cabeça, excluímos as sentenças que não têm significado verdadeiro nem falso, limitando nossa lógica a sentenças às quais se pode atribuir um valor-verdade:
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ProposiçõesPodemos ter asserções mais complexas:
Se chover, eu não vou jogar futebol.Se x=2 então x+3=5.
Vai fazer calor ou vai fazer frio.
Como agrupar proposições simples para formar proposições mais complexas?
Como determinar o valor-verdade de proposições complexas, em termos das proposições componentes?
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Lógica Proposicional
Supomos um conjunto de proposições atômicas representadas por: p, q, r, s…
E também as constantes: true e false
Proposições mais complexas são formadas a partir de proposições atômicas, usando conectivos lógicos (ou operadores lógicos).
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Conectivos Lógicos
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Operador Simbolo
Negação (não) Conjunção (ê) Disjunção (ou) Ou exclusivo Condicional (implicação, se então)
➝
Equivalência (bi-implicação) = ⟷
Lógica Proposicional: sintaxe formal
Seja var uma variável de proposição.
O conjunto prop de fórmulas pode ser definido pela seguinte gramática:prop := var |true | false
|(¬ prop) |(prop ∧ prop) |(prop ∨ prop) |(prop ⇒ prop) |(prop = prop)
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Fórmulas da Lógica Proposicional
Quais das seguintes sentenças são fórmulas válidas da Lógica Proposicional?
((p ∨ q) ➝ p)((p ∧ ∨ p) ➝ ¬)
Proposições - Exemplos
Seja p = João é estudanteq = João vai ao cinemar = João vai estudar
Expresse cada sentença como uma proposição:
1.João vai ao cinema ou vai estudar 2.João é estudante mas não vai estudar3.Se João vai ao cinema então João não vai estudar4.João não vai ao cinema nem vai estudar 5.João vai ao cinema somente se ele não vai estudar6.É necessário que João não vá ao cinema para que ele vá estudar
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Conectivos: precedência associatividade
Para evitar excesso de parênteses, é estabelecida uma precedência entre os operadores lógicos:maior precedência
¬ =∧ ∨ ➝
menor precedência
∧ e ∨ têm associatividade à esquerda
➝ tem associatividade à direita
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Conectivos: precedência associatividade
Exemplos:
¬p ∧ q ➝ r = (((¬p) ∧ q) ➝ r)
p ∧ q ∨ r = ((p ∧ q) ∨ r)
p ∧ q ∧ r = ((p∧q)∧r) = (p∧(q∧r))
p ➝ q ➝ r = (p ➝ (q ➝ r)) ≠ ((p➝q) ➝ r)
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Conectivos: precedência associatividade
Elimine os parênteses desnecessários:
((p ∨ q) ∨ (r ∨ s))(p ➝ (q ➝ (p ∧ q))¬ (p ∨(q ∧ r))¬ (p ∧(q ∨r))
Lógica Proposicional - semântica
O significado de uma proposição é um valor booleano: T ou F
O significado da constante true é TO significado da constante false é F
Existem 2 possíveis interpretações para um símbolo de proposição p : T ou F
Como determinar o significado de fórmulas compostas, como ((p˄q) r) ?
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Negação
Verdadeiro sse o operando é FalsoDefina p = x < 0, q = x > 10
p é verdadeiro sse x é não negativo(p q) é verdadeiro sse x entre 0 e 10
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p ¬ pT FF T
Conjunção
Verdadeiro sse ambos os operandos verdadeiros
Defina p = x > 0, q = x < 10
pq é verdadeiro sse x está entre 0 e 10
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p q p q∧
T T TT F FF T FF F F
Disjunção
Verdadeiro sse qualquer dos operandos é verdadeiro
Defina p = x > 0, q = x < 10
p∨q é verdadeiro sse x está fora do intervalo fechado 0 a 10
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p q p q∨
T T TT F TF T TF F F
Ou Exclusivo
Verdadeiro sse os operandos tem valores diferentes
Defina p = x > 0, q = y > 0
p⊕q é verdadeiro se (x,y) está no 2o. ou 4o. quadrante
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p q p ⊕ q
T T FT F TF T TF F F
Quadrante 1 x > 0, y > 0
Quadrante 2 x < 0, y > 0 Quadrante
4 x > 0, y < 0
Quadrante 3 x < 0, y < 0
y
x
Implicação
Falso sse 1o op. é verdadeiro e 2o é falso
Defina p = x > 10, q = x > 0Considere x = 15, x = 5, e x = -5pq é verdadeiro para todo valor de x
A terceira linha da tabela não ocorre
qp é falso quando x está entre 0 e 10BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 28
p q p q➝
T T TT F FF T TF F T
Equivalência ou Bi-implicação
Verdadeiro sse ambos os operandos têm o mesmo valor
pq tem o mesmo valor que (p⇒q)(q⇒p)p q tem o mesmo valor que (p q)
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p q p = qT T TT F FF T FF F T
Condicional
Diversas maneiras de expressar p ➝ q :se p então q. p implica q. se p, q.p somente se q p é suficiente para q.
Algumas maneiras invertem a ordem de p e q , mas têm a mesma conotação:
q se p q sempre que p q é necessário para p
ExemplosÉ suficiente que x>10 para que x>5É necessário que x>5 para que x>10
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Tabela-verdade
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Proposição: (p q) (pq)
p q
F F
F T
T F
T T
F
T
T
T
(p q) p
T
T
F
F
(pq)
F
T
T
T
(pq) (pq)
F
T
T
T
Verdadeiro p/ alguma: Satisfatível Verdadeiro p/ todas: Tautologia Falso p/ todas :
Contradição (não satisfazível)
Outra Tabela-verdade
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Proposição: (pq)(pq)
p q
F F
F T
T F
T T
F
T
F
(pq) p
T
T
F
F
( p q)
F
T
T
T
(p q) (pq) F
T
F
F F
Sherlock Holms
O mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentesOu o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocenteEntão ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado
M = o mordomo é inocente C = o cozinheiro é inocente L = o mordomo está mentindo
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M C) L C
L M
Sherlock Holms
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M C L M C) L C L M
False False False True False True
False False True True True True
False True False True True True
False True True True True True
True False False True False False
True False True True True True
True True False False True False
True True True False True True
M C), L C ⇒ L M
M C)
L C
L M
O raciocínio com tabela-verdade é viável na
prática?É bom quando existem apenas 2 variáveis
{T,F} {T,F} = possíveis valores de variáveis 2 2 linhas na tabela-verdade
Três variáveis — começa a ficar tedioso{T,F} {T,F} {T,F} = possíveis valores2 2 2 linhas na tabela-verdade
Vinte variáveis — impraticável!2 2 … 2 linhas (220)Você gostaria de preencher um milhão de linhas?Nesse caso, como faria para evitar erros?
Centenas de variáveis — + de1 milhão de anos!
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Knights and Knaves (Raymond
Smullyan)
Você pergunta a um dos nativos se existe ouro na ilha e ele responde: “Existe ouro na ilha é o mesmo que eu sou um knight”. a)Pode-se determinar se o nativo é um knight ou um knave?b)Pode-se determinar se existe ou não ouro na ilha?
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Em uma ilha hipotética, os habitantes ou são Knights, que sempre falam verdade, ou Knaves, que sempre mentem.
Knights and Knaves (Raymond
Smullyan)
Seja k = o nativo é um knight o = há ouro na ilha
Temos: (k ∧ (k=o)) ∨ (¬k ∧ ¬(k=o)) = true
Conclusão:•há ouro na ilha•não se pode saber se o nativo é knight ou knave
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k o k ∧ (k=o) ¬k ∧ ¬(k=o)
true true true false
true false false false
false true false true
false false false false
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