MATEMÁTICA DISCRETA PARA
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃOProfa. Kathya Collazos Linares
O PROBLEMA DAS 3 CASAS
� É possível conectar os 3 serviços às 3 casas sem haver cruzamento de tubulação?
água luz telefone
A teoria dos grafos mostra que não é possível
PLANARIDADE
� Grafos planares: Grafo que pode ser desenhado no plano sem cruzamentos, isto é, duas arestas somente se encontram nos vértices onde são incidentes
u
y v
x w
GRAFOS PLANARES
� Três representações gráficas distintas para um K4
� K4 é um grafo planar pois admite pelo menos uma representação num plano sem que haja cruzamento de arestas (representação planar)
GRAFOS PLANARES
� Nem todos os grafos são planares
K3,3 e K5 são não planares
PLANARIDADE
� Todo subgrafo de um grafo planar é planar
� Todo grafo que tem um subgrafo não planar é não planar
� Todo grafo que contém o K3,3 ou K5
como subgrafos, é não planar
PLANARIDADE
� Definição: Sejam � = (�, �) um grafo e�, ∈ � tal que �, ∈ � . Diz-se que�� = (��, ��) é um grafo obtido de � por adiçãode um vértice de grau 2 se
�� = � ∪ � e�� = � �, ⋃ �, � , �,
Exemplo: O grafo F é um grafo obtido do grafo H pela inclusão do vértice x
H F
a
b
a
x b
PLANARIDADE
� Definição: Sejam � = (�, �) um grafo e�, , � ∈ � tais que���� � = 2, �, � , , � ∈� mas �, ∉ �. Diz-se que �� = (��, ��) é umgrafo obtido de � por remoção de um vérticede grau 2 se
�� = �\ � e�� = �\ �, � , �, ⋃ �,
Exemplo: O grafo H é um grafo obtido do grafo F pela remoção do vértice x e inclusão da aresta {a,b}
F H
a
b
a
x b
*Leia-se o símbolo ‘\’ como ‘sem’
PLANARIDADE
As duas definições anteriores são fundamentaispara a definição a seguir:� Definição: Dois grafos dizem-se homeomorfos
se um deles puder ser obtido do outro poradição ou remoção de vértices de grau 2.
Exemplo: Os grafos A e B são homeomorfos.
Os grafos B e C não são homeomorfos
A B C
� Os grafos G e H são homeomorfos, pois eles podem ser obtidos um do outro pela inserção ou remoção de vértices de grau 2 em suas arestas (tal operação é chamada de subdivisão elementar)
G H
PLANARIDADE
PLANARIDADE
O conceito de grafo homeomorfo é utilizado para a definição do teorema de Kuratowski:
Teorema de Kuratowski
“Um grafo é planar se e somente se não
contém nenhum subgrafo homeomorfo a
K3,3 ou K5 ”
PLANARIDADE
� Se G é um grafo planar, a representação planar de G divide o plano em regiões.
8 regiões 4 regiões
r4 é a região externa
r1 r2
r3 r5
r6r7r8
r4 r1
r2 r3
r4
PLANARIDADE
A fórmula de Euler
Seja G um grafo simples planar conectado com e
arestas e v vértices. Seja r o número de regiões narepresentação planar de G. Então:
r = e – v + 2
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