PB 1
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MATEMÁTICA
X
X
Resolução
Det A = x2 – 3x + 848 ≤ x2 – 3x + 8 ≤ 116
x 3x 40 0 (1)
x 3x 108 0 (2)
2
2
x2 – 3x – 40 ≥ 0 x2 – 3x – 108 ≤ 0x ≤ –5 ou x ≥ 8 –9 ≤ x ≤ 12
(1) ∩ (2) = {x ∈ R/–9 ≤ x ≤ –5 ou 8 ≤ x ≤ 12}
Total de inteiros = 10
2 3
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X
Resolução
Resolução
a + b + c = 1 (I)a + 2b = 10 (II)a + 2b – 3c = 1 (III)
Em (II):
a = 10 – 2b
Substituindo em (III) e (I), temos:
–3c = –9 ⇒ c = 3–b + c = –9 ⇒ b = 12
Em (I), vem:
a + 12 + 3 = 1a = –14
2 3
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X
Resolução
Inicialmente A e B possuem cada um n peças.Após algumas rodadas A perde x peças e B perde 8 peças, e a vantagem de A é de 6 para 5. Equacionando, temos:
n xn
8
65
⇒ 5n – 5x = 6n – 48 ⇒ –n – 5x = –48
Após mais algumas rodadas A perde mais 4 peças e B mais 10 peças, ficando A com o dobro de peças de B.
n –x – 4 = 2 . (n – 8 – 10)–n – x = –32
Resolvendo o sistema:
–n – 5x = –48–n – x = –32
Encontramos n = 28.
4 5
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XComentário
Construindo os gráficos das funções no mesmo plano cartesiano.
Queremos calcular a área da região A, que é retangular. Determinando o ponto de intersecção entre as funções
f(x) e g(x):
|x| = |x – 2|x = x – 2 ou x = –x + 20 = –2 (absurdo)2x = 2 ⇒ x = 1
Substituindo em f(x) = |x| ⇒ y = |1| = 1.
Logo, o ponto é (1, 1).
Um dos lados do retângulo é a distância entre os pontos (2, 0) e (1, 1).
d = 2 1 + 0 1 = 22 2
Determinando o ponto de intersecção entre as g(x) e h(x):
|x – 3| = |x – 2|
x – 3 = x – 2 ou x – 3 = –x + 2–3 = –2 (absurdo)2x = 5 ⇒ x = 5/2 = 2,5
Substituindo na função g(x) = |x – 2| ⇒ y = |2,5 – 2| = 0,5.
Um dos lados do retângulo é a distância entre os pontos (2,0) e (2,5; 0,5).
d = 2 2,5 + 0 0,5 =2
22 2
Calculando a área A, temos:
A = 2 . 2
2= 1
4 5
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X
Comentário
( V ) A professora tem 104 alunos distintos.( F ) 40 alunos estão matriculados em exatamente duas disciplinas lecionadas pela professora Joana. ( V ) 48 dos alunos estão matriculados somente em uma disciplina com a professora Joana.
Resolução
Em cada disciplina há exatamente 40 matriculados.Apenas em A1 = 8.Apenas em A2 = 16.Apenas em C1 = 12.Apenas em C2 = 1/3 (8 + 16 + 12) = 12.Matriculados em A1 e C1 = 2 . 12 = 24.
Observe o diagrama:
6 7
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X
Resolução
Seja o conjunto de valores: {14; 17; 22; a; b; 37} com X Md= = 24 . Então,
Ma
a
a
a
d
222
24 222
48 2226
Ainda,
Xb
b
b
b
14 17 22 26 376
24 1166
144 11628
Temos o conjunto: {14; 17; 22; 26; 28; 37}. Calculando a variância:
14 17 22 26 28 37
10 7 2 2 4 13
100 49 4 4 16 1692
x x
x x
i
i
−
−
Var
Var
Var
100 49 4 4 16 1696
342657
∴ Desvio padrão = 57 .
6 7
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X
X
Resolução
Resolução
V = 1
. . r . h 2
= 1
. 1
. a
. acone2
2
3 3 3 3 2
Logo, a = 2.
Área do cubo = 6 . 22 = 24
Sendo a o lado do quadrado Q1, x o lado do quadrado Q2 e y o lado do quadrado Q3.
Por Pitágoras: x2 = (a/2)2 + (a/2)2
x =
a 22
Por Pitágoras: y2 = (x/2)2 + (x/2)2
y =
a2
Lados: a, a
a2
2 2,
. Logo, a se-
quência é uma PG de razão 22
.
Área de Q1 = a2.
Área de Q2 = a a2
2 2
22
Área de Q3 = a a2 4
2 2
Logo, as áreas formam uma PG de razão 1/2.
8 9
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X
Resolução
f(x) = x2 g(x) = x – 1 g–1(x) = x + 1 fog(x) = (x – 1)2
A = 3 4
2 7
det A = 29
B = 0 1
2 16
det B = 2
det (A . B) = 29 . 2 = 58
8 9
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X
X
Resolução
O número de elementos do conjunto P(X) é dado por n(P(X)) = 26 = 64.
Resolução
136
126 6
136 6
32
114
84
34
114
34
cos cos
cos cos ccos
422
76
56
12
313
303 3
313
sen sen
tg
tg
3
3
Portanto:
6 136
4 114
76
313
2 2 2cos cos
sen tg
6
64 3
456 3
6
2 2 2cos cos
sen tg
332
4 22
12
3
6 34
4 12
12
2 22
33 6
10 11
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X
Comentário
Área do hexágono = 6 . 6 3
= 54 32
4
Obtendo h: tg 30o = h3
3 h = →
Área de PMC = 3 32
Área sombreada = 54 3 4 . 3 3
= 48 3−2
10 11
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X
Comentário
José sabe o nome do banco e Luiz, o número da conta. Pela primeira afirmação de José no diálogo, sabemos que ele tem certeza de que Luiz
não sabe o nome do banco. Isso nos permite descartar por completo os bancos C e D devido ao seguinte: dito que Luiz sabe o número da conta e os únicos números que não se repetem são o 314 e o 720, se alguns desses números fosse o número da conta, Luiz já teria a resposta.
Mas José disse ter certeza de que Luiz não sabe. Por outro lado, para que José esteja seguro de que Luiz não sabe o nome do banco, o banco não pode ser nem C nem D. Nesses bancos estão os números de contas que não se repetem na lista de números possíveis. A única forma de José ter certeza de que Luiz não sabe o nome do banco é que ela não seja nem C e nem D. Com a primeira afirmação de José, Luiz já sabe que C e D estão descartados. No diálogo, Luiz diz que agora sabe o nome do banco. Isso nos permite descartar a conta 101, porque o número aparece duas vezes, em A e B. Como Luiz só sabia o número da conta, se ele fosse o 101 então Luiz não poderia ter a resposta final. Assim, após se descartar essas opções, as únicas contas ainda possíveis são 223, 500 e 876. José diz em sua última afirmação que se Luiz sabe, então ele também sabe. Isso porque José sabe que o banco correto deve ser A. Se fosse B, José não poderia ter certeza, pois ficaria em dúvida entre as contas 223 e 500.
A 101 876
B 101 223 500
C 223 720 876
D 314 500
Logo, resposta certa é banco A e conta 876.
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