MateriaisCompósitosLaminados
Engenharia Aeroespacial e Mecânica
Materiais Compósitos
Propriedades mecânicas dos materiais
Micro - mecânica
Departamento de Engenharia Mecânica
Instituto Superior Técnico
Materiais Compósitos
MateriaisCompósitosLaminados
Engenharia Aeroespacial e Mecânica
Micro / macromecânica
The term “micromechanics” does not refer to
mechanical behavior at the molecular level.
Looks at components of a composite, the matrix
and the fiber, and tries to predict the behavior of
the assumed homogeneous composite material.
The behavior of the lamina is called
“macromechanics”.
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Propriedades mecânicas das fibras (1)
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Fibras em lâminas
• Alguns arranjos típicos de fibras em cada camada de compósito
a - Fibras unidireccionais contínuas
b - Fibras descontínuas orientadas de modo aleatório
c - Fibras unidirecionais tecidas ortogonalmente
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Tipos de matriz
• 1. Good mechanical
properties
• 2. Good adhesive
properties
• 3. Good toughness
properties
• 4. Good resistance
to environmental
degradation
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Micro-mecânica - FracçãoVolumica
composite of volume total
component i theof volume
component i theoffraction volume
1
th
th
i
i
1
i
=
=
=
=
=∑=
V
V
v
V
Vv
v
i
i
n
i
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Micro-mecânica - FracçãoVolumica
f m v
volume fraction of the fiber
volume fraction of the matrix
volume fraction of the voids
ff
m
m
v
v
v v v 1
Vv
V
Vv
V
Vv
V
+ + =+ + =+ + =+ + =
= == == == =
= == == == =
= == == == =
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Micro-mecânica – Fracção mássica
th
th
weight fraction of the i component
weight of the i component
total weight of composite
n
i
i 1
ii
i
i
w 1
Ww
W
w
W
W
====
====
====
====
====
====
∑∑∑∑
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Micro-mecânica – Fracção mássica
weight fraction of the fiber
weight fraction of the matrix
weight fraction of the voids
f m
f
m
v
w w 1
w
w
w 0
+ =+ =+ =+ =
====
====
= == == == =
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Micro-mecânica – densidade
composite of weight total
component i theof volume
component i theof weight
component i theofdensity weight
i
th
th
th
i
===
=
=
==
∑∑ ii
i
i
i
i
VWW
V
W
V
W
ρ
ρ
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Micro-mecânica – densidade
th
i
weight density of the composite
weight of the i component
volume of the composite
weight density of the composite
c
c
c
n
c i
i 1
W
V
W W
V
v====
ρ = =ρ = =ρ = =ρ = =
= == == == =
====
ρ = ρ =ρ = ρ =ρ = ρ =ρ = ρ =∑∑∑∑
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Micro-mecânica – densidade
ffmmc vv ρρρ +=
• Autoclave cured: P = 0.1 – 1%
• No vacuum bagging: P = 5% (approx.)
– Regra das Misturas (Rule of Mixtures)
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Espessura das lâminas / Ply and laminate thichness
n
hh
V
mh
t
i
ff
of
i
=
=ρ
mof - Gramagem / Fiber weight (gr/m2)
hi – espessura da camada / ply thickness (mm)
ht – espessura total / laminate thickness (mm)
n – camadas / nº of layers Plano de Simetria
- 45°
90°
+ 45°
0°
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Laminate Orientation Code
• Ply angles given in degrees - 45 or -45
• Separated by slashes - 0/90
• Listed top to bottom layer
• Enclosed in square brackets - [0/90/0]
• Subscripts used– s – symmetric laminate top half given
– (0)n – repeat layer n times
• Center layer uses overbar in odd number layer symmetric laminate
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[[[[ ]]]]s45/90/0
(((( ))))[[[[ ]]]]230/0 m
o0
o0
o90
o90
o45
o45
o0
o0
o30−−−−
o30++++
o30++++
o30−−−−
Laminate Stacking Sequence Examples
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o45++++
o90
o45−−−−
o0
o0
o90o0o0
o45−−−−
o45++++
(((( ))))[[[[ ]]]]s2 45/90/0
Não é possível apresentar esta imagem de momento.
o0
o0o
90
o0
o0
o90
o90
o45
Laminate Stacking Sequence Examples
[[[[ ]]]]s2 90/0/45±±±±
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[[[[ ]]]]s90/0/45/0 m [[[[ ]]]]45/90/0/30/45/90
Laminate Stacking Sequence Examples
o45++++
o45−−−−
o0
o0
o45++++
o45−−−−o0
o0
o90
o90
o0
o90
o30
o45
o45
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Comportamento da Lâmina
LT
LTLT
L
TLT
L
L
LT
T
TT
T
T
TL
L
LL
G
EE
EE
τγ
εε
ν
σνσ
ε
σνσ
ε
=
−=
−=
−=
)1(2 νννν
ττττγγγγ
εεεε
εεεενννν
σσσσννννσσσσ
εεεε
σσσσσσσσ
εεεε
+=
=
−=
−=
−=
EG
G
EE
E
ν
E
xy
xy
x
y
x
y
y
yx
x
Material isotrópico Material ortotrópico
Material ortotrópico: Material com 3
planos de simetria mutuamente
perpendiculares.
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Equações constitutivas – materiais ortotrópicos
=
2
23
3
32
1
13
3
31
1
12
2
21
12
13
23
33
22
11
12
13
23
32
23
1
13
3
32
21
12
3
31
2
21
1
12
13
23
33
22
11
;;
com
100000
01
0000
001
000
0001
0001
0001
EEEEEE
G
G
G
EEE
EEE
EEE
υυυυυυ
τττσσσ
υυ
υυ
υυ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
===
−−
−−
−−
=
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Definitions
Transverse
means
perpendicular to
the fibers or in the
T (2) - direction
Longitudinal
means in the fiber
direction or in the
L (1) - direction shear
stress transverse
stress allongitudin
)(
)(
LT
T
L
τ
σ
σ+
+
strainshear
strain transverse
strain allongitudin
LT
T
L
γ
ε
ε
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Propriedades da camada ortotrópica
n
hh
V
gramagemh
t
i
ff
i
=
=ρ
−
−
=
LT
T
L
LT
TL
LT
T
TL
L
LT
T
L
G
EE
EE
τσσ
ν
ν
γεε
100
01
01
Gramagem (g/m2)
hi – espessura da camada elementar
ht – espessura total
n - camadas
T
TL
L
LT
EE
νν=
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LTLTLT
T
LLT
TTT
LLL
G
E
E
γτ
εε
ν
εσ
εσ
=
−=
=
=
Assume Linear Behavior
121212
2
112
222
111
γτ
εε
ν
εσ
εσ
G
E
E
=
−=
=
=
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matrix
matrix
fiber L
T
areamatrix
areafiber
area total
=
=
=
m
f
A
A
AAf
Representative Volume Element (RVE)
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Micro-mecânica (1)
mLfLL εεε ==
ffmmL VEVEE +=
mmLffLLL AAAF σσσ +==
A
AE
A
AEE
A
A
A
Am
mLmL
f
fLfLLL
m
mL
f
fLL εεεσσσ +=⇔+=
mf AAA +=
f – fibra ; m – matriz
L – direcção das fibras
T – direcção transversal às fibras
Força na direcção das fibras
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Micro-mecânica (1)
Para o mesmo tipo de carregamento e os mesmos materiais
( )
( )
( ) LLT
fm
L
L
LT
fmT
LfL
f
f
fT
LmL
m
m
mT
Efmcompósitomaterialopara
E
E
fibrafematrizmmaterialcadapara
ενσν
ε
ενσν
ε
ενσν
ε
−=
−=+
−=−=
−=−=
+
+ )(
)( )(
( ) ( )
( ) ( ) ( )
ffmmLTL
ffTmmTfmT
f
f
f
m
m
m
fm
fm
fmT
VVmatriznaefibranacomumécomo
VV
Vh
hV
h
h
hh
hh
νννε
εεε
ε
+=
+=
∆+
∆=
+
+∆=
+
+
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2cσσσσ
2LfL
2Lm
2Lm
Micro-mecânica (2)
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Micro-mecânica (2)
• Força na direcção
perpendicular às
fibras
mTfTT σσσ ==
m
m
f
f
T
m
m
mT
f
f
fT
T
T
mmTffTT
c
c
E
V
E
V
EV
EV
EE
VVl
l
+=⇒+=
+==∆
1σσσ
εεε
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Micro-mecânica (3)
• Exemplo da variação do
modulo de elasticidade de
um compósito (Ec) de fibra
de vidro e resina poliester
em função da % vol. de
fibra (Vf) e dos respectivos
módulos Ef (fibra) e Em
(matriz)
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Micro-mecânica (4)
m
n
mf
n
f
n
c VEVEE )()()( +=
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Micro-mecânica - Shear modulus
12cττττ
∆∆∆∆
2m∆∆∆∆
f∆∆∆∆
2m∆∆∆∆
mfc
c
cc
f
ff
m
mm
G
G
G
ττττ====ττττ====ττττ====ττττ
ττττ====γγγγ
ττττ====γγγγ
ττττ====γγγγ
12
1212
c
cGγτ
=
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Micro-mecânica - Shear modulus
2
c 2
m m m m m 2
f f f f f
m f
c m m f f
L
L v L
L v L
v v
∆ = γ∆ = γ∆ = γ∆ = γ
∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ
∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ
∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆
γ = γ + γγ = γ + γγ = γ + γγ = γ + γ
Shear Modulus of fiber in 12-plane
Shear Modulus of matrix
f m
12 f 12 m
f12
m
v v1
G G G
G
G
= += += += +
====
====
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Micromecânica - final
mmffLT VV ννν +=Coef. de Poisson
m
m
f
f
T E
V
E
V
E+=
1Módulo de elasticidade
transversal
m
m
f
f
LT G
V
G
V
G+=
1Módulo de rigidez ao corte
ffmmL VEVEE +=Módulo de elasticidade
longitudinal
)/()/(
)).((
mffm
mffmmf
mmffT
mmff
mmmfff
L
VEVE
EEVV
VEVE
VEVE
+
−−++=
+
+=
ααννααα
ααα
Coeficientes de dilatação
linear (L e T)
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Micromecânica - final
• Good values of EL and νLT
– These properties appear to be independent of
fiber packing geometry.
– Rule of Mixtures works Well for Fiber Dominated
Properties (EL and νLT)
• Less acceptable values for ET and GLT
– These properties appear to be highly dependent
on fiber packing geometry
– Better Models Needed for Matrix Dominated
Properties (E2 and G12)
– Improved models are available
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Problema - micromecânica
Pretende-se fabricar um painel rectangular de material compósito
com a sequencia de empilhamento [0/45/90/-45/0]S , com 5 mm de
espessura, em fibra de vidro e resina poliéster.
Dispomos das seguintes gramagens:
1 – 250 g/m2 ; 2 – 450 g/m2 ; 3 – 600 g/m2
Para cada opção de gramagem:
a) Determine o Vf e Vm
b) Determine a massa específica do painel
c) Calcule a massa de resina/endurecedor que deve utilizar para
fabricar um painel de 1 m2 (considere 50% de massa
suplementar)
d) Determine as constantes de elasticidade de cada lâmina EL, ET,
ννννLT , ννννTL e GLT
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Comportamento da Lâmina
LT
LTLT
L
TLT
L
L
LT
T
TT
T
T
TL
L
LL
G
EE
EE
τγ
εε
ν
σνσ
ε
σνσ
ε
=
−=
−=
−=
)1(2 νννν
ττττγγγγ
εεεε
εεεενννν
σσσσννννσσσσ
εεεε
σσσσσσσσ
εεεε
+=
=
−=
−=
−=
EG
G
EE
E
ν
E
xy
xy
x
y
x
y
y
yx
x
Material isotrópico Material ortotrópico
Material ortotrópico: Material com 3
planos de simetria mutuamente
perpendiculares.
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Equações constitutivas – materiais ortotrópicos
=
2
23
3
32
1
13
3
31
1
12
2
21
12
13
23
33
22
11
12
13
23
32
23
1
13
3
32
21
12
3
31
2
21
1
12
13
23
33
22
11
;;
com
100000
01
0000
001
000
0001
0001
0001
EEEEEE
G
G
G
EEE
EEE
EEE
υυυυυυ
τττσσσ
υυ
υυ
υυ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
===
−−
−−
−−
=
MateriaisCompósitosLaminados
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Propriedades da camada ortotrópica
n
hh
V
gramagemh
t
i
ff
i
=
=ρ
−
−
=
LT
T
L
LT
TL
LT
T
TL
L
LT
T
L
G
EE
EE
τσσ
ν
ν
γεε
100
01
01
Gramagem (g/m2)
hi – espessura da camada elementar
ht – espessura total
n - camadas
T
TL
L
LT
EE
νν=
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ORIENTAÇÃO DAS FIBRAS
A resistência será
máxima quando as
fibras estiverem
orientadas com o
esforço (sendo mínima
na direcção
perpendicular)
Constantes elásticas segundo qualquer direcção - exemplo
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Propriedades da camada ortotrópica
(L) 1
y
x
(T) 2
θθθθ++++
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Propriedades da camada ortotrópica
1
y2
θθθθ x
θθθθ
θθθθσσσσ sindA2
θθθθσσσσ cosdA1
dAxσσσσ
dAxyσσσσ
θθθθττττ sin12
dA
θθθθττττ cos12dA
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Equilibrium
( ) 0cossin
cossincossin
0cossin2
sincos
22
12
21
12
2
2
2
1
=−+
+−=
=+
−−=
∑
∑
θθθθθθθθττττ
θθθθθθθθσσσσθθθθθθθθσσσσττττ
θθθθθθθθττττ
θθθθσσσσθθθθσσσσσσσσ
dA
dAdAdAF
dA
dAdAdAF
xyy
xx
θθθθ
θθθθσσσσ sindA2
θθθθσσσσ cosdA1
dAxσσσσ
dAxyτ
θτ sin12dA
θτ cos12dA
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Stress Transformation
Similar derivation for σy
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Transformation in Matrix Form
−−
−
=
12
2
1
22
22
22
sincossincossincos
sincos2cossin
sincos2sincos
τσσ
θθθθθθθθθθθθθθ
τσσ
xy
y
x
MateriaisCompósitosLaminados
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Condensed Matrix Form
[ ]
=
−
12
2
11
ττττσσσσσσσσ
ττττσσσσσσσσ
σσσσT
xy
y
x
MateriaisCompósitosLaminados
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Transformation Matrix: [T]
[ ] [ ]
=
=
−
xy
y
x
xy
y
x
TT
ττττσσσσσσσσ
ττττσσσσσσσσ
ττττσσσσσσσσ
ττττσσσσσσσσ
σσσσσσσσ
12
2
1
12
2
11
or
MateriaisCompósitosLaminados
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Matrices
[ ]
[ ]
−−
−=
−−
−
=−
22
22
22
22
22
22
1
2
2
2
2
sccscs
cscs
cssc
T
sccscs
cscs
cssc
T
σσσσ
σσσσ
MateriaisCompósitosLaminados
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Strain
[ ]
=
xy
y
x
T
γγγγεεεεεεεε
γγγγεεεεεεεε
εεεε
12
2
1
[ ]
=
−
12
2
1
1
γγγγεεεεεεεε
γγγγεεεεεεεε
εεεεT
xy
y
x
MateriaisCompósitosLaminados
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Matrices
[ ]
−−
−=22
22
22
22 sccscs
cscs
cssc
T εεεε
[ ]
−−
−
=−
22
22
22
1
22 sccscs
cscs
cssc
T εεεε
MateriaisCompósitosLaminados
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[ ]
[ ]
[ ]
=
=
=
−
xy
y
x
xy
y
x
T
Q
T
γγγγεεεεεεεε
γγγγεεεεεεεε
γγγγεεεεεεεε
ττττσσσσσσσσ
ττττσσσσσσσσ
ττττσσσσσσσσ
εεεε
σσσσ
12
2
1
12
2
1
12
2
1
12
2
1
1
−
−
=
LT
T
L
LT
TL
LT
T
TL
L
LT
T
L
G
EE
EE
ττττσσσσσσσσ
νννν
νννν
γγγγεεεεεεεε
100
01
01
General Stress-Strain Behavior
[ ]
=
−
12
2
1
1
12
2
1
ττττσσσσσσσσ
γγγγεεεεεεεε
Q
MateriaisCompósitosLaminados
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General Stress-Strain Behavior
[ ] [ ][ ]
=
−
xy
y
x
xy
y
x
TQT
γγγγεεεεεεεε
ττττσσσσσσσσ
εεεεσσσσ1
MateriaisCompósitosLaminados
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[ ] [ ] [ ][ ]εεεεσσσσ TQTQ1−=
=
xy
y
x
xy
y
x
Q
γγγγεεεεεεεε
ττττσσσσσσσσ
__
MateriaisCompósitosLaminados
Engenharia Aeroespacial e Mecânica
Stress-Strain Behavior
=
−−−
−−−
−−−
xy
y
x
xy
y
x
QQQ
QQQ
QQQ
γεε
τσσ
332313
232221
131211
)2()2()(
)2()2()(
)()4()(
)()(2()(
)2(2)(
)2(2)(
3322123
3312113
23
3322123
1212113
13
1244
33221122
12
3322
3311221122
33
331222
224
114
22
331222
224
114
11
QQQscQQQcsQ
QQQscQQQscQ
QscQQQscQ
QscQQQQscQ
QQscQcQsQ
QQscQsQcQ
TL
+−+−−=
+−+−−=
−+−+=
−++−+=
+++=
+++=
−
−
−
−
−
−
θθθθ
θθθθ
θθθθ
ννννθθθθ
θθθθ
θθθθ
[ ] [ ] [ ][ ]εεεεσσσσ TQTQ1−=
MateriaisCompósitosLaminados
Engenharia Aeroespacial e Mecânica
Stress-Strain Behavior – outro formulário
=
xy
y
x
xy
y
x
QQQ
QQQ
QQQ
γεε
τσσ
662616
262212
161211
MateriaisCompósitosLaminados
Engenharia Aeroespacial e Mecânica
Explicit Relationships
(((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
4 4 2 2
11 11 22 12 66
2 2 4 4
12 11 22 66 12
4 4 2 2
22 11 22 12 66
Q Q cos Q sin 2 Q 2Q sin cos
Q Q Q 4Q cos sin Q sin cos
Q Q sin Q cos 2 Q 2Q sin cos
= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ
= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ
= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ
MateriaisCompósitosLaminados
Engenharia Aeroespacial e Mecânica
Explicit Relationships
( )( )
( )( )
( )( )θ+θ+
θθ−−+=
θθ−−+
θθ−−=
θθ−−+
θθ−−=
44
66
22
6612221166
3
661222
3
66121126
3
661222
3
66121116
sincos
sincos22
sincos2
sincos2
sincos2
sincos2
Q
QQQQQ
QQQ
QQQQ
QQQ
QQQQ
MateriaisCompósitosLaminados
Engenharia Aeroespacial e Mecânica
Stress-Strain Behavior
[ ] [ ] [ ] [ ]σσσσεεεε TQTQ111 −−−
=
[ ]
[ ]
[ ]
=
=
=
−
−
xy
y
x
xy
y
x
T
Q
T
ττττσσσσσσσσ
ττττσσσσσσσσ
ττττσσσσσσσσ
γγγγεεεεεεεε
γγγγεεεεεεεε
γγγγεεεεεεεε
σσσσ
εεεε
12
2
1
12
2
1
1
12
2
1
12
2
1
1
[ ] [ ] [ ][ ]εεεεσσσσ TQTQ1−=
[ ] [ ] [ ]
=
−−
xy
y
x
xy
y
x
t
TQT σσσσσσσσ
γγγγεεεεεεεε
σσσσεεεε11
L (1), T (2)
=
−
xy
y
x
xy
y
x
t
Q σσσσσσσσ
γγγγεεεεεεεε 1
__
MateriaisCompósitosLaminados
Engenharia Aeroespacial e Mecânica
Constantes segundo qualquer direcção (2)
Considere uma barra rectangular de material compósito unidireccional em
fibra de carbono e resina epóxi solicitada por uma tensão de σσσσx = 100 MPa
de acordo com a figura. Sabendo que θθθθ ==== 30303030 οοοο e admitindo EL= 140 GPa,
ET= 10 GPa, ννννLT = 0,28 e GLT= 6 GPa:
a) Determine as tensões no referencial L , T (1 , 2).
b) Qual o valor das deformações εεεεx, εεεεy e γγγγxy?
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