Torção
01. Um cilindro vazado de diâmetro externo (d1) igual a 100 mm e diâmetro interno (d2) igual a 80 mm é
feito em aço (G = 27 GPa) e possui um comprimento total de 2,5 m, conforme ilustra a figura. Para este cilindro, pede-se:
A) Determinar o valor do torque T necessário para provocar um ângulo de torção de 2,0°. B) Determinar o ângulo de torção, caso seja aplicado o mesmo torque T a um eixo maciço de
mesma área de seção transversal.
02. Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento admissível de adm
τ = 12 ksi. Supondo
que o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 1,0 pol de diâmetro ao longo do eixo?
03. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.
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CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SÓLIDOS II PROFESSOR: JOAQUIM G. A. JUNIOR 1º SEMESTRE / 2010
PRA – LISTA DE EXERCÍCIOS
04. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o ângulo de torção da extremidade A quando os torques são aplicados ao conjunto como mostrado.
05. A viga de 4,0 m de comprimento apresentada na figura é feita em aço, tipo W310×60, possui
Tensão admissível igual a 40 MPa e Módulo de Elasticidade Transversal igual a 77 GPa e está submetida a um momento torçor de valor desconhecido ‘T’. Desprezando-se o efeito da concentração de tensões, determinar o maior torque ‘T’ que pode ser aplicado e o correspondente ângulo de torção. Se necessário, utilize a tabela de coeficientes de torção para seções retangulares, fornecida logo abaixo.
a/b C1 C2
1,0 0,208 0,1406
1,2 0,219 0,1661
1,5 0,231 0,1958
2,0 0,246 0,229
2,5 0,258 0,249
3,0 0,267 0,263
4,0 0,282 0,281
5,0 0,291 0,291
10,0 0,312 0,312
∞ 0,333 0,333
Flexão
01. Calcular as máximas tensões normais da viga abaixo.
02. Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo em balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor para o tubo. Desprezar a massa da placa.
03. O encontro de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte.
Desenhar seus diagramas de força cortante e momento fletor quando ele é submetido às cargas da longarina mostrada. Supor que as colunas A e B exercem apenas reações verticais sobre o encontro.
04. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga de madeira ilustrada na figura.
05. Para a viga e o carregamento aplicado, mostrados na figura, construa os diagramas de esforço cortante e momento fletor e determine a tensão normal máxima devido à flexão.
06. Uma viga simplesmente apoiada deve suportar o carregamento indicado na figura. O material utilizado possui tensão admissível de 160 MPa e estão disponíveis no mercado 5 perfis de abas largas, cujas dimensões e Módulo de Resistência estão indicados na tabela abaixo, conforme os dados fornecidos pelo fabricante. Selecione o perfil que deverá ser utilizado nesta viga.
07. A viga apresentada na figura possui transversal constante e dimensões (em centímetros) indicadas na figura ao lado. O material utilizado nesta viga possui tensões admissíveis de 140 MPa à tração e 84 MPa à compressão. Determine a maior carga q que pode ser aplicada sobre essa viga sem que ocorra a ruptura ou deformações excessivas.
Perfil W (mm³)
W410×38.8 637
W360×32.9 474
W310×38.7 549
W250×44.8 535
W200×46.1 448
08. Uma peça feita em alumínio de uma máquina industrial está sujeita a um momento fletor de 75 N⋅m, conforme indica a figura. Determine a tensão normal de flexão nos pontos B e C da seção transversal dessa peça decorrente da ação desse momento fletor.
Cisalhamento
01. Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção transversal circular de raio r e sujeito à força cortante V. Expressar a resposta em termos da área A da seção transversal.
02. Determinar as maiores forças P nas extremidades que o elemento pode suportar, supondo que a
tensão de cisalhamento admissível seja adm
τ = 10 ksi. Os apoios em A e B exercem apenas reações
verticais sobre a viga.
03. Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a viga de madeira. Supondo que a tensão de
cisalhamento admissível seja adm
τ = 400 psi, determinar a intensidade da maior carga distribuída w
que pode ser aplicada sobre a viga.
04. Uma viga de aço em forma de perfil T está submetida a uma força atuante em seu plano de simetria, conforme ilustra a figura. Para esta viga, pede-se determinar:
A) A máxima tensão de compressão na seção A-A’. B) A máxima tensão de cisalhamento.
Análise de Tensões
01. Para os estados de tensão esquematizados abaixo, pede-se: a) Esboçar o círculo de Mohr; b) Determinar as tensões normais principais; c) Determinar a máxima tensão tangencial; d) Posicionar as direções principais do ponto; e) Posicionar a direção da máxima tensão tangencial.
02. O Círculo de Mohr dado refere-se ao ponto A ao lado. Pede-se: a) Colocar as tensões no plano y e no plano x adequadamente; b) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão cisalhante; c) Determinar a tensão normal e a tensão cisalhante num plano a 30° anti-horário do plano y.
03. Uma força de 19.5 kN é aplicada no ponto D da barra de ferro fundido mostrado. Sabendo-se que a barra tem um diâmetro de 60 mm, determinar as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento nos pontos H e K.
04. Calcular as tensões principais e a de cisalhamento máxima para os pontos “a” e “c” da estrutura abaixo.
05. Sabe-se que o tubo da figura tem paredes de espessura constante de 6 mm. Determinar as tensões
principais e de cisalhamento máxima: a) No ponto H; b) No ponto K.
Flambagem
01. Para as colunas mostradas na figura abaixo, pede-se determinar: a) A carga crítica para a coluna quadrada; b) O raio da coluna redonda, para que ambas as colunas tenham a mesma carga crítica; c) Expressar a área da seção transversal da coluna quadrada como uma porcentagem da área da seção transversal da coluna redonda. Usar E = 200 Gpa.
02. A barra AB tem seção transversal de 16 x 30 mm, e é feita de alumínio. Ela é presa aos apoios por meio de pinos. Cada extremidade da barra pode girar livremente em torno do eixo vertical pelas chapas de ligação. Adotando E = 70 GPa, determinar o comprimento L para o qual a carga crítica da barra é Pcr = 10 kN.
03. Uma coluna de 3 metros de comprimento efetivo será feita pregando-se juntas tábuas de 24 X 100 mm de seção transversal. Sabendo-se que E = 11 GPa e a tensão admissível à compressão, paralela às fibras, é de 9 MPa, determinar o número de tábuas que devem ser usadas para suportar a carga centrada mostrada, quando:
a) P = 30 kN; b) P = 40 kN.
04. Um tubo estrutural retangular tem a seção transversal mostrada e é usado como uma coluna de 5 m de comprimento efetivo. Sabendo-se que σ = 250 MPa e E = 200 GPa, determinar a maior carga centrada que pode ser aplicada na coluna.
06. Duas cantoneiras de aço L 102 x 76 x 9,5 são soldadas juntas para formar a coluna AB. Uma carga axial P, de intensidade 60 kN, é aplicada no ponto D. usando o método de interação, determinar o maior comprimento admissível L. E = 200 GPa; σy = 250 MPa; (σadm)flexão = 150 MPa.
Respostas Torção
01. A) T = 2,19 kN·m; B) °= 13,9φ
02. T = 7952,16 lbf.pol e T’ = 6381,36 lbf.pol.
03. Ponto C: maxτ = 37,7 MPa; Ponto D: maxτ = 75,5 MPa.
04. A
φ = 1,78º.
05. T = 7952,16 lbf.pol e T’ = 6381,36 lbf.pol. Flexão
01. 8,42min, −=x
σ MPa e 2,69max, =x
σ MPa.
02. Diagrama de Esforço Cortante (N): Diagrama de Momento Fletor (N.m):
03. Diagrama de Esforço Cortante (N): Diagrama de Momento Fletor (N.m):
04. Diagrama de Esforço Cortante (lbf): Diagrama de Momento Fletor (lbf.pé):
05.
0,60max, =x
σ MPa
Diagrama de esforços cortantes (kN):
Diagrama de Momentos Fletores (kN⋅m):
06. W360×32.9.
07. q = 21,3 kN/m.
08. 612,3=B
σ MPa e 548,1=C
σ MPa.
Cisalhamento
01. maxτ = 4 V/3 A.
02. Pmax = 80,1 kip. 03. wmax = 5,69 kip/pés.
04. A) maxσ = 219,3 MPa; B) maxτ = 16,45 MPa.
Análise de Tensões
01. 02.
03. Ponto H: I
σ = 73,5 MPa; II
σ = -9,5 MPa ; maxτ = 41,5 MPa.
Ponto K: I
σ = 10 MPa ; II
σ = -140 MPa ; maxτ = 75 MPa.
04. Ponto a: I
σ = 38,36 MPa; II
σ = 0 ; maxτ = 19,18 MPa.
Ponto c: I
σ = 11,5 MPa; II
σ = -30 MPa; maxτ = 20,5 MPa.
05. Ponto H: I
σ = 87 MPa; II
σ = -4 MPa; maxτ = 45,5 MPa.
Ponto K: I
σ = 54 MPa; II
σ = -54 MPa; maxτ = 54 MPa.
Flambagem
01. a) 64,2 KN; b) 14,3 mm; c) Aquad = 97,3% Ared. 02. L = 1,57 m. 03. a) n = 4. b) n = 5. 04. 422 KN. 05. L = 6,62 m.
Torção
01. Um cilindro vazado de diâmetro externo (d1) igual a 100 mm e diâmetro interno (d2) igual a 80 mm é
feito em aço (G = 27 GPa) e possui um comprimento total de 2,5 m, conforme ilustra a figura. Para este cilindro, pede-se:
A) Determinar o valor do torque T necessário para provocar um ângulo de torção de 2,0°. B) Determinar o ângulo de torção, caso seja aplicado o mesmo torque T a um eixo maciço de
mesma área de seção transversal.
Solução:
A) Momento polar de inércia: J = (π/2)⋅[R4 – r4] = 5,8⋅10-6 m4 Torque: T = φ⋅J⋅G/L = 2186,5 N⋅m = 2,19 kN⋅m
B) Área da seção transversal do eixo vazado: A = π⋅(R² - r²) = 0,0028 m² Raio do eixo maciço da seção transversal equivalente: A = π⋅Req
2 � Req2 = A/π = 0,030 m = 30,0 mm
Momento polar de inércia: J = (π/2)⋅[Req
4] = 1,27⋅10-6 m4 Ângulo de torção: φ = T⋅L/J⋅G = 0,159 rad = 9,13º
Respostas: A) T = 2,19 kN⋅⋅⋅⋅m B) φφφφ = 9,13º
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CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SÓLIDOS II PROFESSOR: JOAQUIM G. A. JUNIOR 1º SEMESTRE / 2010
PRA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
02. Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento admissível de adm
τ = 12 ksi. Supondo que
o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 1,0 pol de diâmetro ao longo do eixo?
03. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.
04. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o ângulo de torção da extremidade A quando os torques são aplicados ao conjunto como mostrado.
05.
06.
07.
08.
09.
Flexão
01. Calcular as máximas tensões normais da viga abaixo.
Solução: Utilizando as equações de equilíbrio na viga, temos:
Σ FY = 0: VA + VB = 100 kN
Σ MA = 0: 8⋅ VB – qL²/2 = 0 � VA = 37,5 kN; VB = 62,5 kN A partir das reações de apoio pode-se traçar o diagrama de momentos fletores:
Cálculo da posição do Centro de Gravidade:
Seção transversal Y (cm) Área (cm²) Y⋅⋅⋅⋅Área (cm³) Retângulo superior 30,0 100,00 3000,00 Retângulo médio 15,0 40,00 600,00 Retângulo inferior 2,5 30,00 75,00 ΣΣΣΣ 3675,00
YCG = ΣY⋅Área/ΣÁrea = 3675/170 = 21,61765 cm
Cálculo do momento de inércia:
I = Σ(b⋅h³/12 + A⋅d²) = 0,000219718 m4 Cálculo da tensões:
σmáx = M⋅c/I = 70312,5⋅0,216176/0,000219718 = 69,179 MPa σmin = M⋅c/I = 70312,5⋅(-0,133824)/0,000219718 = -42,825 Mpa
Resposta: 8,42min, −=
xσ MPa e 2,69max, =
xσ MPa.
02. Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo em balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor para o tubo. Desprezar a massa da placa.
03. O encontro de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte. Desenhar seus diagramas de força cortante e momento fletor quando ele é submetido às cargas da longarina mostrada. Supor que as colunas A e B exercem apenas reações verticais sobre o encontro.
04. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga de madeira ilustrada na figura.
05.
06.
Cisalhamento
01. Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção transversal circular de raio r e sujeito à força cortante V. Expressar a resposta em termos da área A da seção transversal.
02. Determinar as maiores forças P nas extremidades que o elemento pode suportar, supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja
admτ = 10 ksi. Os apoios em A e B exercem apenas reações
verticais sobre a viga.
03. Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a viga de madeira. Supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja
admτ = 400 psi, determinar a intensidade da maior carga distribuída w
que pode ser aplicada sobre a viga.
04. Uma viga de aço em forma de perfil T está submetida a uma força atuante em seu plano de simetria, conforme ilustra a figura. Para esta viga, pede-se determinar:
A) A máxima tensão de compressão na seção A-A’. B) A máxima tensão de cisalhamento.
Solução: A) Utilizando as equações de equilíbrio na viga, temos:
Σ FY = 0: VA = 6,7 kN Σ MA = 0: – 6,7⋅38,0 + MA = 0 � MA = 254,6 kN⋅cm A partir das reações de apoio pode-se traçar o diagrama de momentos fletores:
Notar que na seção A-A’ o momento máximo vale M = 201,0 kN⋅cm Cálculo da posição do Centro de Gravidade:
Seção transversal Y (mm) Área (mm²) Y⋅⋅⋅⋅Área (mm³) Retângulo superior 55,0 1000,00 55000,00 Retângulo inferior 25,0 500,00 12500,00 ΣΣΣΣ 67500,00
YCG = ΣY⋅Área/ΣÁrea = 67500/1500 = 45,0 mm Cálculo do momento de inércia: I = Σ(b⋅h³/12 + A⋅d²) = 4,125⋅10-7 m4 Cálculo da tensões: σmáx = M⋅c/I = 2010⋅0,045/(4,125⋅10-7) = 219,27 MPa
B) O valor do cortante na seção A-A’ é dado pelo diagrama de esforço cortante.
Q = (100⋅10)⋅(55-45) = mm³ τmáx = VQ/Ib
Resposta: A) maxσ = 219,3 MPa; B) maxτ = 16,45 MPa.
Análise de tensões 01.
02.
03.
04.
05.
06.
Flambagem 01.
02.
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