Mecânica Quântica:uma abordagem (quase) conceitual
Carlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ
Workshop MNPEF UNB, maio de 2015
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 2
Sumário
1. Ensino e aprendizagem de mecânica quântica2. Fenômenos quânticos3. Princípios da mecânica quântica4. Sistemas quânticos simples: aplicações5. Como seguir em frente6. Comentários finais
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Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
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Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Dificuldades conceituais– Superposição quântica – Probabilidade subjetiva x objetiva– Complementaridade – O problema da medida– Realismo vs. localidade– ...
• Dificuldades matemáticas– Vetores– Números complexos– Espaços vetoriais complexos– Operadores, autovalores, autovetores– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais– ...
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Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham proeminência pela necessidade de adquirir um domínio operacional da teoria, essencial a aplicações.
• Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a vetores e um pouco de números complexos. Com isso, torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais.
• Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos em física, por exemplo).
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Charles Addams, New Yorker, 1940
Fenômenos Quânticos
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Um experimento com a luz
feixe luminoso pouco intenso
semiespelho (50-50%)
espelho
espelho
detectores de luz D1
D2
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Resultado do experimento
• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.
D1
D2
D1
D2
ou
50% 50%probabilidade
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Se a luz fosse uma onda
... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.
D1
D2
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Se a luz é composta por partículas
... ou D1 dispara, ou D2 dispara.
ou
D1
D2
D1
D2
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Conclusão
• A luz é composta por partículas: os fótons.
• O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.
caminho 2
caminho 1
D2
D1
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Sobre o ensino do conceito de fóton
• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.
• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.
• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)
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Outro experimento com a luz
interferômetro de Mach-Zehnder
D2
D1
segundosemiespelho
feixe luminoso“fóton a fóton”
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Preliminares: um feixe bloqueado
1
2
50%
25%
25%
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O outro feixe bloqueado
1
2
50%
25%
25%
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Resultado fácil de entender com partículas
= caminho do fóton
1
2
50%
25%
25%
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De volta ao interferômetro
D1
D2
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Resultado do experimento:
0%
100%
D1
D2
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Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos
caminho 1 caminho 2
1
25%
25%2
25%
25%
Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar.
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)2(D
)1(DD nnn
PPP
probabilidade dodetector Dn disparar apenas o caminho
1 aberto
apenas o caminho 2 aberto
Proposição*
Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2
consequência:
* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5
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Teste da Proposição
Experimentalmente:
)2(D
)1(DD nnn
PPP
%100P1D
%25P )1(D1
%25P )2(D1
%25P )1(D2
%0P2D
%25P )2(D2
a proposição é falsa!
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Repetindo:
A afirmativa
“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
é falsa.
“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.”
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1
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Por onde vai o fóton?
• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
• Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável.
• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo.
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Uma resposta melhor
• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2.
• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta.
Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado.
- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics
(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)
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Fácil de entender num modelo ondulatório
D1
D2
interferênciaconstrutiva
interferênciadestrutiva
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Comprimentos variáveis
L1
L2
PD2
PD1
L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro
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Resultado experimental:
• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.
• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”.
• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.
L1 – L2
0
1PD1
L1 – L2
1
0
PD2
(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD
(2))
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Interferência de nêutrons
interferômetro de nêutrons
S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)
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Interferência de elétrons
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
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E se os caminhos forem distinguíveis?
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
diferença de “caminhos” (ajustável)
interferênciadesaparece !
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P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
E se os caminhos forem distinguíveis?
N “Massa”
• “Massa” 0• caminho
identificado• não há padrão de
interferência
• “Massa” ∞• caminho não
identificado• padrão de
interferência
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P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
E se a informação sobre o caminho for apagada?
impossível determinar o caminho
interferência
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Quando há interferência?
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente
interferência(“1 e 2”)
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente
(“ou 1 ou 2”)
não há interferência
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Princípios da Mecânica Quântica
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Princípios da Mecânica Quântica
• Vetores de estado e o princípio da superposição
• A regra de Born
• Complementaridade e o princípio da incerteza
• Redução do vetor de estado
• Evolução unitária
• Sistemas de N estados
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Vetores de Estado e o
Princípio da Superposição
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Sistemas de dois estados
• esquerda / direita
• horizontal / vertical
• para cima / para baixo
• sim / não
• 0 / 1
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Sistemas de dois estados
cara coroa
fóton refletido
fóton transmitido
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Sistemas de dois estados
A = ? a2a1
2
1
aa
Agrandeza física observável:
a2a1
a2a1medidor de “A”
ou
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Sistemas clássicos
• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: pontos no “eixo A”
Aa1 a2
sistema temA = a1
sistema temA = a2
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Sistemas quânticos: vetores de estado
• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões
1a
2a
sistema temA = a2
sistema tem A = a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 42
A notação de Dirac
vetor ↔
identificação
21 aa
direitaesquerda
10
exemplos:
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O que muda?
Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.
1a
2a
Aa1 a2
O que muda é o seguinte:
?
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O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema.
2211 acac
1a
2a
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Significado de |ñ
• A = a1 e A = a2 ?• esquerda e direita?• horizontal e vertical?• sim e não?• 0 e 1?1a
2a
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 46
O espaço de estados é grande
• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.
• Os estados |a1ñ e |a2ñ formam uma “base” do espaço de estados.
1a
2a
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 47
Princípio da Superposição: formulação geral
Se |ñ e |ñ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do
sistema.
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Um ‘detalhe técnico’
• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo).
• Deve-se ter cuidado com figuras como esta:
1a
2a
c2
c1
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Outro ‘detalhe técnico’
• Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo?
• Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço?
1a
2a
?
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A Regra de Born
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 51
A Regra de Born
2211 acac
1a
2a
c2
c1
A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é
22
21
2n
ncc
c)a(P
(n = 1, 2)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 52
A Regra de Born
2211 acac
|ñ a2a1
a2a1
a2a1
medidor de “A”
22
21
21
1cc
c)a(P
22
21
22
2cc
c)a(P
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 53
Probabilidade total
Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
1cc
ccc
c)a(P)a(P 2
22
1
22
22
21
21
21
A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)
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Normalização do vetor de estado
1aa 21
22
21 cc
Norma de |ñ:
1a
2a
c2
c1
(tamanho do vetor |ñ)
Com essa definição:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 55
Normalização do vetor de estado
2211 acac 2211 acac
|ñ e |ñ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!
)a(Pcc
ccc
c)a(P n2
22
1
2n
22
21
2n
n
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 56
Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo
estado físico.
Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:
1
1cc,acac 22
212211 ou seja,
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 57
2nn c)a(P
Vetores normalizados: a Regra de Born
2211 acac
|ñ a2a1
a2a1
a2a1
medidor de “A”
211 c)a(P
222 c)a(P
(normalizado)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 58
Amplitude de probabilidade
cn amplitude de probabilidade
probabilidade = |amplitude de probabilidade|2
nn c)x( “função de onda”
2nn )x()x(P
2211 xcxc
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 59
Frequência dos resultados de medidas
N medidas de A(N )
a2a1
a2a1
a2a1
N1 a1
N2 a2
podemos prevera frequência dos
resultados:
211
1 c)a(PNN
222
2 c)a(PNN
2211 acac
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 60
Valor médio dos resultados
valor médio de A:
NaNaNA 2211
a2a1
a2a1
a2a1
2211 acac
22
212
1 acacA
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 61
Incerteza
2211 acac
possível prever o resultado(probabilidade = 100%):
valor de A “bem definido”
1a
2a
c2
c1
c1, c2 0
impossível prever o resultado de uma medida
0c,1ca 211 ouSe
1c,0ca 212
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 62
Incerteza
2211 acac
A = incerteza de A no estado |ñ
2222 AAAA)A(
1aou
2aA = 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 63
Complementaridade e o
Princípio da Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 64
Complementaridade
a2a1
B
A
b2b1
1a
2a
2b
1b
duas grandezasfísicas: A e B
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 65
Grandezas compatíveis e incompatíveis
1a
2a
1b
2b
2b
1b
2a
1a
A e B compatíveis
A e B incompatíveis
A e B complementares: incompatibilidade “máxima”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 66
O Princípio da Incerteza
2b
1b
2a
1a
A e B incertos ( A 0, B 0)
A bem definido, B incerto( A = 0, B 0)
B bem definido, A incerto( B = 0, A 0)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 67
O Princípio da Incerteza
2b
1b
2a
1a
A e B incompatíveis nenhum estado |ñ com A = 0 e B = 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 68
Exemplo: posição e momentum
Xx1 x2
duas posições: |x1ñ, |x2ñ (“aqui”, “ali”)
dois estados de movimento: |p1ñ, |p2ñ (“repouso”, “movimento”)
2p 1p2x
1x
impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 69
Resumo da “cinemática” quântica
estado físico vetor no espaço de estados
grandeza físicasistema de eixos (uma “base”) no
espaço de estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 70
Resumo da “cinemática” quântica
probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1
ou A = a2
grandezas físicasincompatíveis
(complementares)
diferentes sistemas de eixos no espaço
de estados
2a
1a
projeção do vetor de estado no eixo |anñ
probabilidade damedida resultar
em A = an
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 71
• “Redução” durante uma medida• Evolução unitária (equação de
Schroedinger)
Como o vetor de estado muda com o tempo?
Redução do Vetor de Estado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 73
Redução do vetor de estado
a2a1
a2a1 2a
antes damedida
depois damedida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 74
Redução do vetor de estado
1a
2a
resultadoA = a2
resultadoA = a1
medida de A resulta em an logo após a medida o vetor de estado do sistema é |anñ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 75
Redução do vetor de estado• A redução garante que a medida é repetível: se obtemos
A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade.
• O estado | an ñ é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.
• |ñ |anñ: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.
• A redução aplica-se a medidas “ideais” (medidas projetivas ou de von Neuman, ). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em redução a | an ñ. Por exemplo, um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a primeira medida.
Evolução Unitária
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 77
A equação de Schroedinger
• Evolução temporal do vetor de estado:|(0)ñ |(t)ñ
• Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 78
A (solução da) equação de Schroedinger
2E
1E
Sistema de dois estados
Dois níveis de energia: E1, E2
2211 EcEc)0t(
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 79
• ћ = constante de Planck ( 2) 110-34 Js
• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas:
• A evolução |(0)ñ |(t)ñ ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos).
/tEinn
nec)t(c
A (solução da) equação de Schroedinger
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 80
Propriedades da equação de Schroedinger
• Linearidade:
)t()0(
)t()0(
bb
aa
)0()0()0( ba
)t()t()t( ba
t = 0 t 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 81
Propriedades da equação de Schroedinger
• Conserva a norma do vetor de estado:
)0()t( )t(
)0(
• Conserva o ortogonalidade entre vetores:
tamanho não muda
)0(
)t(
)0()t(
dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 82
Demonstração da linearidade
2211b
2211a
EdEd)0(
EcEc)0(
222111
ba
E)dc(E)dc(
)0()0()0(
)t()t(
EecEecEecEec
Ee)dc(Ee)dc()t(
ba
2/tEi
21/tEi
12/tEi
21/tEi
1
2/tEi
221/tEi
11
2121
21
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 83
Demonstração da conservação da norma
2/tEi
21/tEi
1
2211
EecEec)t(
EcEc)0(21
2
22
21
2/tEi2
2/tEi1
2
)0(
cc
ecec)t( 21
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 84
Demonstração da conservação da ortogonalidade
)0(
)0()0(
)t(
)t( )t(
2)0()0()0(
|(0)ñ e |(0)ñ ortogonais
2)t()t()t(
|(t)ñ e |(t)ñ ortogonais
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 85
• Determinismo• Continuidade• Linearidade• Conservação da norma• Conservação da ortogonalidade
Propriedades da equação de Schroedinger
“evolução unitária”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 86
Estados estacionários
• |(t)ñ e |(0)ñ representam o mesmo estado físico.
• Estados de energia bem definida são “estacionários”.
nE)0( n/tEi Ee)t( n
mesma “direção” que |Enñ
• Estado de energia bem definida En:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 87
Conservação da energia
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21
2n
2/tEinn cec)t,E(P n
)0()t(EE
)0t,E(P)t,E(P nn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 88
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
• Equação de Schroedinger:– contínua– determinista– válida enquanto não se faz uma medida
• Redução do vetor de estado:– descontínua– probabilística– ocorre durante a medida
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Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Dois tipos de evolução temporal?• Equação de Schroedinger:
– interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos.
– A = a1 e A = a2
• Redução do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato
clássico, o aparelho de medida (o “observador”).– A = a1 ou A = a2
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O “problema da medida”Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?
a2a1 a2a1 a2a1
Descrição quântica do aparelho de medida:
| ñ| ñ | ñ
22 aa
11 aa 22112211 acacacac
equação de Schroedinger:
o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo !
aparelho de medida:
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O “problema da medida”
• Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em
duas direções ao mesmo tempo.– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.
• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos?
Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões.
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Física quântica x física clássica
• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…
L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,
não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica.
N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em
uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica.
J. Bell, Against measurement
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Física quântica x física clássica
físicaquântica
físicaclássica
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...
- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
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Os gatos de Schroedinger
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Sistemas de N Estados
Você está emtodo lugar
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Sistemas de 3 estados
2a
1a
3a
a3a1a2
332211 acacac
Três valores possíveis para a grandeza A:
3,2,1n,|c|)a(P 2nn
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Sistemas de N estados
2a
1a
3aNa...
(impossível desenharN eixos perpendiculares)
N valores possíveis para a grandeza A:
aNa1a2 ...
N
1nnn ac
N,2,1n,|c|)a(P 2nn
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Sistemas de infinitos estados
• N pode ser infinito:
1n
nn ac
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
a)a(cda
a
a
2|)a(c|da)a,a(P
2|)a(c|)a(p densidade de probabilidade:
probabilidade:
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Exemplo: a = x = posição de uma partícula
Sistemas de infinitos estados
x)x(dx
2
1
x
x
221 |)x(|dx)x,x(P
2|)x(|)x(p densidade de probabilidade:
probabilidade:
função de onda: (x)
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Sistemas de infinitos estados
• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:
a)a(cdaacn
nn
Exemplo: a = E = energia de uma partícula
E)E(cdEEcn
nn
101
Aplicações a sistemas simples
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Instituto de Física Quântica
Vocêestá
aqui e aqui
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Interferômetro de Mach-Zehnder
• Interferência de uma partícula• Descrição quântica do interferômetro• Interferência e indistinguibilidade
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O interferômetro de Mach-Zehnder
0%
100%
D1
D2
interferênciaconstrutiva
interferênciadestrutiva
“ondas”
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O interferômetro de Mach-Zehnder
D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”
50%
D2 25%
D1 25%
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Descrição quântica do interferômetro
1
2
(caminho 1)
(caminho 2)
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Espaço de estados
2c1c 21
222
211
cPcP
probabilidades:
2
1
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Semiespelho
22
112
11
22
112
12
1 1
2
1
2
2
probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
evoluçãounitária
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Semiespelho
22
112
1
22
112
1
2
1 sinal negativo: evolução unitária conserva a
ortogonalidade
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Interferômetro
D1
D2
1
2
1
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Interferômetro
Primeiro semiespelho: 22
112
11
Estado inicial: 1
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InterferômetroSegundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
2
211
21
212
211
21
212
211
21
1221
211
21
21
interferência destrutiva
interferência construtiva
P1 = 100%P2 = 0%
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O que interfere?
221
211
21
21
(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)
1
1
1
2
1 1
22
amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis
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Caminho bloqueado
1
2
D2
D1
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Caminho bloqueado
Primeiro semiespelho: 22
112
11
Estado inicial: 1
Bloqueio: 2
112
122
112
1
fóton bloqueado
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Caminho bloqueado
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
212
211
21
21
211
21
2
12211
21 P1 = 25%
P2 = 25%P = 50%
não há caminhos alternativos, logo não há interferência
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Por que não há interferência?
(1-1-1) (1-1-2)
não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência
1
1
1
2
12211
21
(1-2-)
1 1
2
1
2
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Caminhos alternativos distinguíveis
D1 50%
D2 50%mola
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Caminhos alternativos distinguíveis
Primeiro semiespelho: M22
1R12
1R1
Estado inicial: R1
• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento
M2,M1,R2,R1
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Caminhos alternativos distinguíveis
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
M2
21M1
21
21R2
21R1
21
21M2
21R1
21
M221R2
21M1
21R1
21
P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%
P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%
soma de probabilidades,não de amplitudes
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Apagando a informação sobre o caminho
D1 100%
D2 0%mola
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Apagando a informação sobre o caminho
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
M2
21R1
21
21M2
21R1
21
21M2
21R1
21
R1M221
21R1
21
21
dois caminhos para o mesmo estado final interferência
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O palito de fósforo quântico
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O palito de fósforo quântico
fóton
fóton
• fósforo “bom”
• fósforo “ruim”
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O palito de fósforo quântico
palitos bons e ruins misturados
Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?
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Teste clássico
palito ruim
palito bomqueimado
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Teste quântico
D1
D2
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Palito ruim
D1 100%
D2 0%
transparente
palito ruim D1 dispara sempre
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Palito bom
D2 25%
D1 25%50%
palito bom D2 dispara 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto
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Teste quântico
• D2 fósforo bom intacto
• D1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim
• Fósforo acende fósforo bom queimado
Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida
Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.
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Mais aplicações a sistemas simples
• O problema de Deutsch• Molécula de H2
+
• Molécula de benzeno• Oscilação de neutrinos• Polarização do fóton• Spin ½• Informação quântica• Paradoxo de Hardy; teorema de Bell
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Como chegar aos operadores, autovalores e autovetores
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Conexão com os operadores
• Produto escalar: |ñ
• Projetores: |ñ |
• Operador associado à grandeza A:
222111 aaaaaaA
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Conexão com os operadores
• Autovalores e autovetores de A:
A
22
11
a,aou
a,a
É mais fácil encontrar (postular) o operador A do que os vetores |anñ e valores an.
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Comentários finais
• É possível apresentar alguns dos princípios básicos da mecânica quântica utilizando apenas matemática acessível a professores (e alunos?) do ensino médio.
• Essa abordagem permite descrever apropriadamente a mecânica quântica de sistemas simples.
• Aspectos conceituais da mecânica quântica podem ser discutidos sem as dificuldades criadas por um formalismo matemático pouco familiar.
• “Experimento didático” em desenvolvimento. Críticas e sugestões são bem-vindas.
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Funciona?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 136
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