Toginho Filho, D. O., Zapparoli, F. V. D., Pantoja, J. C. S., Catlogo de Experimentos do Laboratrio Integrado de Fsica Geral

Departamento de Fsica Universidade Estadual de Londrina, Junho de 2010.

Medies de comprimento

1 - Conceitos relacionados Medida, comprimento, espessura, erro, algarismos significativos, ordem de grandeza, etc. 2 - Objetivos Aprender a usar ferramentas bsicas para medidas de comprimento; conhecer e identificar o nmero de algarismos significativos nas diferentes medidas realizadas; adquirir noes sobre preciso a partir das diferentes ferramentas utilizadas. 3 - Mtodo utilizado Rguas, paqumetros e micrmetros so utilizados para medidas das dimenses de diversos objetos.

4 - Equipamentos 1 rgua de plstico com menor diviso de 1 mm 1 rgua de ao com menor diviso de 0,5 mm 1 paqumetro 1 micrmetro 0-25 mm 1 estojo com amostras de medidas 5 - Fundamentos Tericos

Nas atividades experimentais de diversas reas do conhecimento, necessrio realizar medies de diversas grandezas como: comprimento, massa, tempo, corrente eltrica, presso, etc. necessrio saber expressar corretamente e realizar operaes aritmticas envolvendo os valores das grandezas medidas.

5.1 Medio e medida

denominada medio o ato de medir, ou seja, a operao da qual se obtm o valor da grandeza. O valor numrico obtido em uma determinada unidade fsica chamado medida. Esta distino entre medio e medida no rigorosa, sendo o vocbulo medida utilizado por diversos autores para designar tanto o ato de medir quanto o valor numrico obtido.

Medir uma grandeza fsica significa determinar o nmero de vezes que a unidade (padro) est contida na grandeza. Este nmero de vezes acompanhado da unidade o que se chama de medida. No possvel dizer que a grandeza medida contenha um nmero

exato de unidades, havendo uma incerteza ou erro intrnseco na medida. No processo de medio podemos ter erros sistemticos, quando h falha no mtodo utilizado, defeito do instrumento, etc. E ainda, erros acidentais que ocorrem quando h impercia do operador, erro de leitura em uma escala, erro que se comete na avaliao da menor diviso da escala utilizada, entre outros. Assim, no possvel expressar a medida com um nmero exato de algarismos, pois o ato de medir sempre acompanhado de uma incerteza.

5.2 Algarismos significativos

Ao expressar uma medida necessrio saber expressar o nmero de algarismos com que se pode escrever tal medida, a unidade e o grau de confiana do valor expresso, ou seja, necessrio incluir uma primeira estimativa de incerteza. O erro de uma medida classificado como incerteza do tipo A ou incerteza do tipo B. A incerteza obtida a partir de vrias medies chamada de incerteza padro do tipo A, que o desvio padro determinado por mtodos estatsticos. A incerteza estimada em uma nica medio classificada como incerteza padro tipo B, que a incerteza obtida por qualquer mtodo que no seja estatstico.

Um exemplo da incerteza do tipo B apresentado na Figura 1, medida obtida com uma nica medio do comprimento S de um lpis, utilizando uma rgua com menor diviso em mm.

Figura 1 - Medio do comprimento de um lpis utilizando uma rgua com escala de 1 mm.

A incerteza pode ser estimada como sendo a metade da menor diviso da escala do equipamento utilizado. A estimativa da incerteza uma avaliao visual, podendo ser considerada uma frao da menor diviso da escala, feita mentalmente por quem realiza a medio.

Toginho Filho, D. O., Zapparoli, F. V. D., Pantoja, J. C. S., Catlogo de Experimentos do Laboratrio Integrado de Fsica Geral

Departamento de Fsica Universidade Estadual de Londrina, Junho de 2010.

Medies de comprimento

A medida do comprimento do lpis, obtida na Figura 2 :

cmS 05,075,5 =

O resultado apresentado com trs algarismos significativos. A incerteza ou erro na medida representado pelo termo 0,05 cm ou 0,5 mm, que a metade da menor diviso da escala do equipamento. Este procedimento s pode ser adotado quando houver segurana de quem realiza a medio, ao avaliar visualmente uma casa decimal a mais que a descrita na escala do equipamento. Caso contrrio a incerteza deve ser considerada a menor diviso da escala do equipamento.

Os algarismos significativos do comprimento do lpis so representados por algarismos corretos e pelo primeiro algarismo duvidoso, de acordo com a descrio abaixo:

algarismos significativos

= algarismos corretos

+ primeiro algarismo duvidoso

5,75 5,75 5,75

5.3 - Erros ou desvios

Os erros podem ser classificados em dois grandes grupos: erros sistemticos ou erros aleatrios.

Os erros sistemticos so aqueles que resultam de discrepncias observacionais persistentes, tais como erros de paralaxe. Os erros sistemticos ocorrem principalmente em experimentos que esto sujeitos a mudanas de temperatura, presso e umidade. Estas mudanas esto relacionadas a condies ambientais. Os erros sistemticos podem e devem ser eliminados ou minimizados pelo experimentador, observando se os instrumentos esto corretamente ajustados e calibrados, se esto sendo usados de forma correta na interligao com outros instrumentos, na montagem experimental.

Existe um limite abaixo do qual no possvel reduzir o erro sistemtico de uma medio. Um destes erros o de calibrao, diretamente associado ao instrumento com o qual se faz a medio. Este tipo de erro tambm chamado erro sistemtico residual, o limite dentro do qual o fabricante garante os erros do

instrumento, sendo geralmente indicado no instrumento ou manual.

Os erros aleatrios (ou estatsticos) so aqueles que ainda existem mesmo quando todas as discrepncias sistemticas num processo de mensurao so minimizadas, balanceadas ou corrigidas. Os erros aleatrios jamais podem ser eliminados por completo. 5.4 - Parmetros estatsticos

A seguir so apresentadas definies de diversos parmetros estatsticos associados a um conjunto de N medidas obtidas da repetio de um mesmo mensurvel.

O valor mdio de um conjunto de N medidas definido como a mdia aritmtica dos valores que compem este conjunto, de acordo com a relao:

=

= Ni

ixNx

1

1 (1)

Sendo xi o i-simo elemento do conjunto de medidas.

O desvio absoluto associado ao conjunto de N medidas definido a partir da somatria do resduo

)xx(x ii = de cada i-sima medida integrante do conjunto, de acordo com a relao:

=

= Ni

iabs xxN 11 (2)

O desvio relativo associado ao conjunto de N medidas definido de acordo com a relao:

xabs

rel = (3)

O desvio percentual associado ao conjunto de N medidas definido de acordo com a relao:

rel =100% (4) O desvio padro amostral ou desvio mdio

quadrtico descrito pela relao:

1

)(1

2

==

N

xxs

N

ii

(5)

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Medies de comprimento

O valor de s informa sobre a incerteza padro (incerteza tpica) tendo como base o conjunto das N medidas. O parmetro s pode ser interpretado como sendo a incerteza que se pode esperar, dentro de certa probabilidade, se uma (N+1)-sima medio viesse a ser realizada, quando conhecido o que ocorreu nas N medies anteriores. O desvio padro amostral indica uma boa avaliao sobre a distribuio das medidas, em torno do valor mdio.

O desvio padro da mdia definido como a razo do desvio padro amostral pela raiz quadrada de N, de acordo com a relao:

)1(

)(1

2

==

NN

xxN

ii

xm (6)

Este parmetro estatstico o de maior interesse, pois indica a incerteza da mdia x em relao a uma mdia mais geral. Uma mdia mais geral seria a mdia de K conjuntos, sendo cada conjunto formado com M medidas.

O resultado de uma srie de N medies pode ser escrito como:

xxx = (7) A cada medida que se adiciona ao conjunto de N

valores previamente utilizados, o valor mdio x resultante modificado. O desvio padro da mdia x ser tanto menor quanto maior o nmero N, ou quanto maior o nmero K, de conjuntos com N medidas cada um. Com isto, o valor mdio apresenta oscilaes irregulares (xj) cada vez menores, aproximando-se de forma assinttica de um valor final quando N.

O desvio padro da mdia tambm indica que um nmero de medies excessivo no compensa o tempo gasto, sendo prefervel a realizao cuidadosa de uma srie, de umas 10 medies, para assegurar a qualidade do resultado. De acordo com a teoria de erros, ao serem realizadas N medies, o desvio () diminuir para

N1 do valor inicial.

Outro parmetro estatstico de grande interesse a relao existente entre o desvio x e o valor x , denominado desvio relativo da mdia, definido como:

xx

x = (8)

Em um conjunto de medidas realizadas com muito cuidado, no qual o desvio percentual apresente o valor muito abaixo de 1%, os resultados podem ser tratados com 1 dgito a mais depois da vrgula, que o permitido pelo instrumento de medida utilizado. Esta aparente irregularidade resulta do fato de que o segundo dgito pode ser obtido atravs da inferncia nas medidas. 6 - Montagem e procedimento experimental

Nesta prtica experimental a medio das dimenses de objetos simples feita com rguas, paqumetros e micrmetros. Prtica 1 Rgua milimetrada

1. Com a rgua graduada em mm, medir as 3 dimenses de um objeto com forma de prisma quadrangular reto, identificando suas faces e as dimenses: altura, largura e profundidade;

2. Repetir a medio 5 vezes, uma vez por cada membro da equipe;

3. Organizar as medidas em uma tabela (Tabela I) com colunas para: o ndice da medida, o valor da altura e seu erro; o valor da largura e seu erro, o valor da profundidade e seu erro;

Prtica 2 Rgua de preciso

1. Repetir os procedimentos de 1 a 3 da prtica 1, utilizando a rgua de preciso;

2. Organizar as medidas em uma tabela (Tabela II) com colunas para: o ndice da medida, o valor da altura e seu erro; o valor da largura e seu erro, o valor da profundidade e seu erro;

Prtica 3 Paqumetro

1. Repetir os procedimentos de 1 a 3 da prtica 1, utilizando o paqumetro;

2. Organizar as medidas em uma tabela (Tabela III) com colunas para: o ndice da medida, o valor da altura e seu erro; o valor da largura e seu erro, o valor da profundidade e seu erro;

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Medies de comprimento

Prtica 4 Micrmetro

1. Repetir os procedimentos de 1 a 3 da prtica 1, utilizando o micrmetro;

2. Organizar as medidas em uma tabela (Tabela IV) com colunas para: o ndice da medida, o valor da altura e seu erro; o valor da largura e seu erro, o valor da profundidade e seu erro.

Prtica 5 Medida de pequenas dimenses

1. Utilizar o micrmetro para medir a espessura de uma folha de papel sulfite;

2. Utilizar o mesmo micrmetro para medir a espessura de um bloco de 20 das mesmas folhas, cuidadosamente contadas;

3. Medir o dimetro da grafite de uma lapiseira; 4. Medir o dimetro de fios de cabelo de dois colegas

do grupo; 5. Registrar os valores das medies em uma tabela

(Tabela V) com colunas para a identificao do objeto medido e o valor da medida e seu erro.

7 - Anlise 1. Calcular e indicar na ltima linha das Tabelas I, II,

III, e IV, o valor mdio de cada dimenso medida do objeto;

2. Acrescentar nas Tabelas I, II, III, e IV, uma coluna para o resduo (i) e outra coluna para o quadrado dos desvios (i2), de cada dimenso medida;

3. Fazer o somatrio (i). Em um grande nmero de medies, este valor deve tender a zero. Este o valor encontrado ? Explicar o resultado?

4. Calcular o valor do desvio padro amostral e o desvio padro da mdia;

5. Indicar na ltima linha das Tabelas I, II, III, e IV, o valor de cada dimenso do objeto na forma

xxx = ; 6. Qual a resoluo da escala ou "preciso" do

paqumetro (limite de erro do conjunto escala+nnio)?

7. Qual a resoluo ou "preciso" do micrmetro (limite de erro inerente ao instrumento)?

8. Avaliar e classificar os instrumentos de medidas de acordo com a preciso;

9. A partir da espessura das 20 folhas de papel, calcular o valor da espessura de uma nica folha,

considerando na operao de diviso, as regras para operaes com algarismos significativos;

10. Existe diferena entre as duas medidas da espessura do papel? Se houver, que se deve isto?

11. H diferena entre o valor medido e o valor nominal da grafite da lapiseira? Se houver, que se deve?

12. Expressar a espessura do fio de cabelo em nanometro (1 nm = 10-9 m) e em ngstron (1 = 10-10 m);

13. Qual a ordem de grandeza (potncia de dez que melhor o represente) do dimetro de um fio de cabelo de um ser humano?

Referncias Bibliogrficas 1. Vuolo, J. H., "Fundamentos da Teoria de Erros",

Ed Edgard Blcher, So Paulo, 1992. 2. Joo Baptista Domiciano, Klemensas Rimgaudas

Juraltis, Introduo Fsica Experimental, Departamento de Fsica, Universidade Estadual de Londrina, 2003.

4. Toginho Filho, D. O., Zapparoli, F. V. D., Pantoja, J. C. S., Catlogo de Experimentos do Laboratrio Integrado de Fsica Geral, Uso do paqumetro, Universidade Estadual de Londrina, 2010.

5. Toginho Filho, D. O., Zapparoli, F. V. D., Pantoja, J. C. S., Catlogo de Experimentos do Laboratrio Integrado de Fsica Geral Uso do micrmetro, Universidade Estadual de Londrina, 2010.

6. Toginho Filho, D. O., Andrello A. C., Catlogo de Experimentos do Laboratrio Integrado de Fsica Geral Conceitos de medidas e teoria de erros, Universidade Estadual de Londrina, 2010.