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Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I

2º Semestre 2012/13 Exame de 3ª época, 19 de Julho de 2013 Nome : Hora : 15:00 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina

1ª Parte

Em cada alínea, assinale com verdadeiro (V) ou falso (F) cada um dos quadrados, sabendo que podem existir todas as combinações possíveis de verdadeiro e falso. A cotação das respostas é a seguinte: Quadrado correctamente preenchido 0,25 valores. Quadrado em branco 0 Quadrado incorrectamente preenchido -0,15 valores.

1. As equações de conservação da massa e balanço de quantidade de movimento para um

elemento de fluido infinitesimal podem-se escrever em coordenadas Cartesianas da

seguinte forma:

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

=∂

∂+

∂+

z

w

zz

v

y

w

yz

u

x

w

xz

p

z

ww

y

wv

x

wu

y

w

z

v

zy

v

yy

u

x

v

xy

p

z

vw

y

vv

x

vu

x

w

z

u

zx

v

y

u

yx

u

xx

p

z

uw

y

uv

x

uu

z

w

y

v

x

u

21

21

21

0

νννρ

νννρ

νννρ

V As equações são válidas para escoamento permanente (estacionário) e incompressível.

V Seν incluir a viscosidade turbulenta, teff νννν +=≡ , as equações correspondem às

equações (em média temporal) de Reynolds com um modelo de viscosidade turbulenta.

V p representa a pressão relativa à pressão hidrostática.

V são satisfeitas pela solução exacta de um escoamento permanente (estacionário),

incompressível e irrotacional de um fluido perfeito.

2. A figura em baixo representa o perfil de velocidade de uma camada limite de um

escoamento sobre uma placa plana.

é a velocidade do escoamento exterior e

V O deslocamento das linhas de corrente do escoamento exterior é equivalente à área B.

V A área A define a espessura de quantidade de movimento

F A componente de velocidade na direcção normal à placa é nula.

F Para y=C, a tensão de corte é exactamente igual a zero.

3. A transição de uma camada limite de regime laminar a

V pode diminuir a força de resist

F provoca um aumento do factor de forma

F não é afectada pelo gradiente de pressão imposto à camada limite.

V pode ser retardada com a utilizaçã

4. Um modelo de turbulência

V determina as tensões de Reynolds.

V pode não utilizar o conceito de

F pode ser baseado exclusivamente

F só se pode aplicar a escoamentos na

A figura em baixo representa o perfil de velocidade de uma camada limite de um

escoamento sobre uma placa plana. U é a componente da velocidade paralela à placa,

é a velocidade do escoamento exterior e y é a distância à parede

O deslocamento das linhas de corrente do escoamento exterior é equivalente à área B.

ne a espessura de quantidade de movimento θ.

A componente de velocidade na direcção normal à placa é nula.

, a tensão de corte é exactamente igual a zero.

de uma camada limite de regime laminar a turbulento

resistência de um corpo finito.

do factor de forma H.

gradiente de pressão imposto à camada limite.

etardada com a utilização de sucção na parede.

ncia para as equações de Navier-Stokes em média de Reynold

es de Reynolds.

o utilizar o conceito de viscosidade turbulenta.

pode ser baseado exclusivamente na energia cinética da turbulência, k.

se pode aplicar a escoamentos na vizinhança de paredes.

A figura em baixo representa o perfil de velocidade de uma camada limite de um

mponente da velocidade paralela à placa, Ue

O deslocamento das linhas de corrente do escoamento exterior é equivalente à área B.

Stokes em média de Reynolds

5. A figura em baixo apresenta o coeficiente de sust

resistência Cd determinado experimentalmente para um perf

Reynolds de 6,1×105, 1,5×10

V O perfil testado é um perfil laminar

F Re A corresponde ao número de Reynolds mais baixo, 6,1×10

F O perfil tem o centro aerodinâmico coincidente com o centro de pressão

F Para Cl próximo de 0,6, o aumento de Cd obtido para o Re B é devido à resistência de

atrito.

6. A figura em baixo representa o coeficiente de resistência de um perfil sustentador em

função do número de Mach.

F O escoamento é totalmente subsónico até ao ponto e.

F No ponto f o número de Mach é igual a 1 no pico de sucção.

V O aumento de resistência de c para

V O coeficiente de sustentação varia com o número de Mach para a gama de valores entre

zero e o correspondente ao ponto c.

apresenta o coeficiente de sustentação Cl em função do coeficiente de

resistência Cd determinado experimentalmente para um perfil sustentador a números de

, 1,5×106 e 2×10

6.

O perfil testado é um perfil laminar.

Re A corresponde ao número de Reynolds mais baixo, 6,1×105.

O perfil tem o centro aerodinâmico coincidente com o centro de pressão.

Para Cl próximo de 0,6, o aumento de Cd obtido para o Re B é devido à resistência de

representa o coeficiente de resistência de um perfil sustentador em

função do número de Mach.

O escoamento é totalmente subsónico até ao ponto e.

No ponto f o número de Mach é igual a 1 no pico de sucção.

O aumento de resistência de c para g é devido ao aparecimento de ondas de choque.

O coeficiente de sustentação varia com o número de Mach para a gama de valores entre

zero e o correspondente ao ponto c.

entação Cl em função do coeficiente de

il sustentador a números de

Para Cl próximo de 0,6, o aumento de Cd obtido para o Re B é devido à resistência de

representa o coeficiente de resistência de um perfil sustentador em

g é devido ao aparecimento de ondas de choque.

O coeficiente de sustentação varia com o número de Mach para a gama de valores entre

7. A figura em baixo apresenta a distribuição do coeficiente de sustentação (Cl) e do ângulo

de ataque induzido (αind) ao longo da envergadura (y/c) de duas asas finitas rectangulares

a um ângulo de ataque de 2 graus, determinadas com a teoria da linha sustentadora

linearizada. As duas asas têm o mesmo perfil simétrico. Uma das asas tem torção e a

outra não tem.

F A curva A corresponde ao coeficiente de sustentação (Cl) da asa com torção.

F A curva D corresponde ao ângulo de ataque induzido (αind) da asa sem torção.

V O alongamento da asas é igual a 8 (Λ=8).

V O coeficiente de resistência induzida da asa com torção é superior ao da asa sem torção.

8. Na utilização de métodos de cálculo numéricos em aerodinâmica

V a verificação de códigos requer soluções com erros iterativos e de arredondamento

desprezáveis face ao erro de discretização.

F a determinação do erro de discretização não requer o conhecimento da solução exacta.

F a verificação de soluções destina-se a determinar a incerteza do modelo matemático.

V a validação requer resultados experimentais.

y/c

Cl

αin

do(g

rau

s)

0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

A

B

C

D

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I

2º Semestre 2012/13 Exame de 3ª época, 19 de Julho de 2013 Hora : 15:00 Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina

2ª Parte

Figura 1 – Características aerodinâmicas de um perfil NACA 63-009.

1. A figura 1 apresenta as características aerodinâmicas de um perfil NACA 63-009. Para

pequenos ângulos de ataque, admita que o coeficiente de resistência de atrito do perfil pode ser

estimado a partir de uma placa plana em gradiente de pressão nulo (com camadas limite idênticas

dos dois lados da placa) e que a transição das camadas limites se encontra concentrada num

ponto (Reynolds crítico igual ao Reynolds de transição). Admita ainda que o coeficiente de

resistência de pressão é igual a 10% do coeficiente de resistência de atrito, atritopressao dd CC 1,0= .

( 3

ar

2

ar kg/m/s,m 2,11051,1 5 =×= − ρν )

a) Para Re=3×106, estime a localização do “ponto de transição”.

A partir do gráfico dado temos 0045,0=perfildC , como

atritopressao dd CC 1,0= temos

( )

−+××=⇒= −−− 2,05,02.0

072,033,1072,021,10045,01,1 trtr

c

tr

cdd ReReRe

ReReCC

atritoperfil, o

que equivale a

.52,01055,1

072,0

33,195,4803

6

25,15,0

cxRe

ReRe

trtr

tr

tr

=⇒×=

+=

b) Para Re=3×106, estime o coeficiente de resistência do perfil para transição forçada junto

ao bordo de ataque. Discuta o resultado obtido com base nos gráficos da figura 1.

Para transição forçada ( ) 008,0072,021,1 =××= −0,2

cd ReCperfil

. Este valor é

substancialmente maior do que o sugerido pelo gráfico que deveria estar próximo dos

0,006, pelo que as aproximações assumidas não fornecem bons resultados para transição

forçada.

c) Para escoamento com transição forçada desde o bordo de ataque a um número de

Reynolds de 3×106 e ângulo de ataque nulo, estime o valor da distância à parede

adimensionalisada pela espessura da camada limite (y/δ) do limite inferior da região do

perfil de velocidade em que é válida a lei da parede (y+=50) em função da distância

adimensional ao bordo de ataque (x/c). Determine o valor de x/c para y=0,15δ.

22

f

c

feC

c

x

x

yRe

c

x

x

yCcUyuy

δ

δ

δ

δνντ ===+

para escoamento turbulento desde o

bordo de ataque 0,2

cf Rec

xC

=

2,0

0581,0 e 0,2

cRec

x

x

=

2,0

373,0δ

. Como

6103×=cRe e 50=+y , temos

.069,015,0,023,0

7,0

=

⇒=

=

c

xy

c

xy

δδ

d) Como aplicava as condições de fronteira na superfície do perfil para calcular o

escoamento em torno do perfil nas condições das alíneas a) e b) com a solução numérica

das equações de Navier-

viscosidade turbulenta? Justifique claramente a sua resposta.

• Nas condições da alínea a) temos transiçã

parede tem de ser determinada directamente da sua definição, i.e. aplicação directa da

condição de não escorregamento. A malha teria de respeitar a condição

em que +2y corresponde

primeiro ponto interior da malha à parede.

• Para a alínea b) a transição é forçada junto ao bordo de ataque. Para garantir

escoamento turbulento em todo o perfil, a condição de não escorregamento

ser aplicada através de leis da parede, i.e. a tensão de corte na parede deveria ser

determinada a partir de

( ) .50min2 >+

y

2. Considere o escoamento estaci

um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e

referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproxima

eixo real ξ e tem uma velocidade com um m

vórtice com a intensidade necess

positivo, ξ=b, seja um ponto de estagna

a) Escreva o potencial complexo que repres

ataque α indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.

Para o sistema de eixos

oe ζζζ α += i* com =oζ

W

-Stokes em média temporal de Reynolds com um modelo de

viscosidade turbulenta? Justifique claramente a sua resposta.

Nas condições da alínea a) temos transição natural pelo que a tensão de corte na

parede tem de ser determinada directamente da sua definição, i.e. aplicação directa da

condição de não escorregamento. A malha teria de respeitar a condição

onde à distância adimensional (em coordenadas da parede) do

primeiro ponto interior da malha à parede.

Para a alínea b) a transição é forçada junto ao bordo de ataque. Para garantir

escoamento turbulento em todo o perfil, a condição de não escorregamento

ser aplicada através de leis da parede, i.e. a tensão de corte na parede deveria ser

determinada a partir de ( ) CyU += ++22 ln

1

κ. A malha teria de respeitar a condição

estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressí

um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto (

. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α, (|

m uma velocidade com um módulo igual a U∞. No centro do cilindro existe um

intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real

, seja um ponto de estagnação.

Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de

indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.

Para o sistema de eixos ζ∗=ξ∗

+iη∗ representado na figura, em que ζ *

04,0i , temos

( ) ( )*

*

** ln2

πζζζ

Γ−

+= ∞ iUW

e Reynolds com um modelo de

o natural pelo que a tensão de corte na

parede tem de ser determinada directamente da sua definição, i.e. aplicação directa da

condição de não escorregamento. A malha teria de respeitar a condição ( ) ,1max2 <+

y

à distância adimensional (em coordenadas da parede) do

Para a alínea b) a transição é forçada junto ao bordo de ataque. Para garantir

escoamento turbulento em todo o perfil, a condição de não escorregamento deveria

ser aplicada através de leis da parede, i.e. a tensão de corte na parede deveria ser

A malha teria de respeitar a condição

al, potencial e incompressível em torno de

á centrado no ponto ( i0,04 0 ; ) do

, (|α|<π/4), com o

tro do cilindro existe um

o com o eixo real

enta o escoamento em função do ângulo de

( ) αζζ i−−= eo ou

com (απ +−=Γ ∞ sen4 U

b) Determine a gama de ângulos de ataque para a qual a coor

pressão mínima é maior do que 0,95

)β e º.29,2rad04,0)04,0arctg( ===β

Determine a gama de ângulos de ataque para a qual a coordenada imaginária do ponto de

do que 0,95, ( ) 95,0min

>pCη .

denada imaginária do ponto de

A figura da esquerda apresenta a localização dos pontos de pressão mínima para o

ângulo de sustentação nula º.29,2−=−= βα Para ,º29,2−<α o ponto de pressão

mínima encontra-se no 3º quadrante pelo que não satisfaz a condição pedida.

A figura da direita apresenta a situação limite para a qual ( ) 95,0min

=pCη quando

º29,2−>α . Como a equação da circunferência é dada por ( ) 104,022 =−+ ηξ temos

para 415,0415,095,0 1 =⇒±=⇒= aξη o que implica º.1,23rad4,0 ==α A gama de

ângulos de ataque que satisfaz ( ) 95,0min

>pCη é º.1,23º29,2 << α

Considere a transformação de Joukowski dada por

yxzb

z icom2

+=+=ζ

ζ

c) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado para o ângulo de

ataque de sustentação nula. Identifique claramente a forma do perfil no plano

transformado.

No plano transformado temos um perfil sem espessura

= 0

c

d com flecha positiva dada

por ( ) 02,02

1== βtg

c

f a um ângulo de ataque de º.29,2−=−= βα

d) Determine o ângulo de ataque para o qual a razão das diferenças entre o coeficiente de

pressão máximo e mínimo no plano transformado e no plano do cilindro é mínima.

( ) ( )( )( ) ( )( )

−=⇒

ζ

αplanopp

zplanopp

CC

CCrr

minmax

minmax

min com

Determine rmin.

Para qualquer ângulo de ataque diferente de zero ( )0≠α , o coeficiente de pressão no

bordo de ataque tende para -∞, pelo que rmin ocorre para .0=α A ângulo de ataque nulo e no

plano ζ temos ( ) ( ) ( ) 33,308,2)º29,2sen(12,1minmaxmax

−=⇒=+== ∞∞ pp CUUUC . No plano z

com 0=α não há pontos de estagnação e os pontos velocidade máxima (extradorso) e mínima

(intradorso) encontram-se na intersecção do perfil com o eixo imaginário.

( )( )

( )( )

.074,033,31

17,015,0

15,0922,0

96,0

cos1

92,1

,17,0082,1

04,1

cos1

08,2

min

min2min

min2max

=+

+=

=⇒=

=

−=⇒=

=

∞∞

∞∞

r

CUU

U

CUU

U

p

p

i-

i

β

β

3. Uma pequena aeronave que pesa 2500N tem uma asa cuja secção é um perfil NACA 63-009.

A asa tem uma área de 8m2. Os coeficientes de sustentação e resistência da asa a pequenos

ângulos de ataque (α em radianos) são dados por

0045,004,0

67,4

2 +=

=

LD

L

CC

C α

Admita em primeira aproximação que a força de resistência da aeronave se deve apenas à asa.

( 3

ar

2

ar kg/m/s,m 2,11051,1 5 =×= − ρν )

a) Para a secção da asa, determine o coeficiente de momento de picada em torno do centro

do perfil em função do ângulo de ataque e a localização do centro de pressão.

A partir dos gráficos da figura 1 temos

(graus)1,0 α=lC ou (rad)73,5 α=lC e cxca 258,0≅ com a origem do referencial no

bordo de ataque. Como o perfil é simétrico 0=caMC , pelo que uma simples propagação

de momentos conduz a (rad)39,1)258,05,0( α−=−−= lM CCc

. Naturalmente, .cacp xx =

b) A asa tem torção? A distribuição de circulação é elíptica? Justifique claramente as suas

respostas.

Para 0=α temos 0=LC . Como o perfil é simétrico não temos torção.

Admitindo que a distribuição de circulação é elíptica temos

.81

73,5

1

167,4 =Λ⇒

Λ+

=

π

Para 0=LC temos 0045,0=DC que é igual ao valor de perfilDC na bossa laminar, pelo

que

.04,08

22

L

L

D CC

Ci

==π

A distribuição de circulação é elíptica.

c) Determine a velocidade de cruzeiro mínima a altitude constante e numa zona sem vento

para que o ângulo de ataque esteja na região de validade das equações dadas.

A velocidade de cruzeiro mínima obtem-se para o coeficiente de sustentação máximo

dentro da região da bossa laminar, i.e. .2,0≅= lL CC A partir da igualdade entre o peso

W e a sustentação L obtemos

./7,183/51

2

1hkmsm

SC

WU

L

===∞

ρ

d) Se a aeronave mantiver o voo horizontal com vento horizontal frontal à velocidade de

45km/h sem alterar a configuração da asa, qual a velocidade da aeronave se a potência de

propulsão for igual à da alínea c).

Se força de propulsão permanece igual à da alínea c) e o vento é horizontal, os

coeficientes de sustentação e resistência são iguais aos da alínea c) o que implica que a

velocidade relativa à aeronave tem de permanecer igual.

./7,138457,183 hkmUUUUUU ventoaeroventoaero =−=−=⇒+= ∞∞