Met Comp
Metodos Computacionais em Fısica
Erica PolycarpoSandra Amato
Instituto de FısicaUniversidade Federal do Rio de Janeiro
Segundo Semestre de 2008
Met Comp
Metodos Computacionais em Fısica
1 Determinacao de RaızesMetodo da BissecaoMetodo de Newton-Raphson
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Determinacao de Raızes de Funcoes
Em muitos problemas e necessario encontrar a solucao daequacao f (x) = 0 e sao muito frequentes os casos em quea solucao so pode ser obtida numericamente.
Exemplo: Encontre as raızes da seguinte equacaotranscendental:
f (x) = e−x − sin(πx2
)= 0.
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Determinacao de Raızes de Funcoes
Em muitos problemas e necessario encontrar a solucao daequacao f (x) = 0 e sao muito frequentes os casos em quea solucao so pode ser obtida numericamente.Exemplo: Encontre as raızes da seguinte equacaotranscendental:
f (x) = e−x − sin(πx2
)= 0.
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Determinacao de Raızes de Funcoes
Em muitos problemas e necessario encontrar a solucao daequacao f (x) = 0 e sao muito frequentes os casos em quea solucao so pode ser obtida numericamente.Exemplo: Encontre as raızes da seguinte equacaotranscendental:
f (x) = e−x − sin(πx2
)= 0.
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Metodo da Bissecao
Ü Sabemos visualmente onde estao as raızes pelamudanca de sinal da funcao.
Ü Escolhemos um intervalo onde ha uma unica raizÜ A raiz esta entre entre x = a e x = b tais quef (a)f (b) < 0.Ü O ponto medio e uma primeira aproximacao para aposicao da raiz. Iterando ...
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Metodo da Bissecao
Ü Sabemos visualmente onde estao as raızes pelamudanca de sinal da funcao.Ü Escolhemos um intervalo onde ha uma unica raiz
Ü A raiz esta entre entre x = a e x = b tais quef (a)f (b) < 0.Ü O ponto medio e uma primeira aproximacao para aposicao da raiz. Iterando ...
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Metodo da Bissecao
Ü Sabemos visualmente onde estao as raızes pelamudanca de sinal da funcao.Ü Escolhemos um intervalo onde ha uma unica raizÜ A raiz esta entre entre x = a e x = b tais quef (a)f (b) < 0.
Ü O ponto medio e uma primeira aproximacao para aposicao da raiz. Iterando ...
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Metodo da Bissecao
Ü Sabemos visualmente onde estao as raızes pelamudanca de sinal da funcao.Ü Escolhemos um intervalo onde ha uma unica raizÜ A raiz esta entre entre x = a e x = b tais quef (a)f (b) < 0.Ü O ponto medio e uma primeira aproximacao para aposicao da raiz.
Iterando ...
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Metodo da Bissecao
Ü Sabemos visualmente onde estao as raızes pelamudanca de sinal da funcao.Ü Escolhemos um intervalo onde ha uma unica raizÜ A raiz esta entre entre x = a e x = b tais quef (a)f (b) < 0.Ü O ponto medio e uma primeira aproximacao para aposicao da raiz. Iterando ...
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RaızesBissecao
Newton-Raphson
Encerrando um Algoritmo
Ü Se a solucao do problema e xraiz e a precisao desejadae ε, estamos procurando um ponto xN tal que
|xN − xraiz | < ε
Ü Mas nao conhecemos xraiz !Ü Se a sequencia {xi} converge para xraiz devemos ter:
|xN+1 − xN | < ε
Ü Esse e um criterio de convergencia muito usado
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Newton-Raphson
Encerrando um Algoritmo
Ü Se a solucao do problema e xraiz e a precisao desejadae ε, estamos procurando um ponto xN tal que
|xN − xraiz | < ε
Ü Mas nao conhecemos xraiz !
Ü Se a sequencia {xi} converge para xraiz devemos ter:
|xN+1 − xN | < ε
Ü Esse e um criterio de convergencia muito usado
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RaızesBissecao
Newton-Raphson
Encerrando um Algoritmo
Ü Se a solucao do problema e xraiz e a precisao desejadae ε, estamos procurando um ponto xN tal que
|xN − xraiz | < ε
Ü Mas nao conhecemos xraiz !Ü Se a sequencia {xi} converge para xraiz devemos ter:
|xN+1 − xN | < ε
Ü Esse e um criterio de convergencia muito usado
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Encerrando um Algoritmo
Ü Se a solucao do problema e xraiz e a precisao desejadae ε, estamos procurando um ponto xN tal que
|xN − xraiz | < ε
Ü Mas nao conhecemos xraiz !Ü Se a sequencia {xi} converge para xraiz devemos ter:
|xN+1 − xN | < ε
Ü Esse e um criterio de convergencia muito usado
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Encerrando um Algoritmo
Ü Se a solucao do problema e xraiz e a precisao desejadae ε, estamos procurando um ponto xN tal que
|xN − xraiz | < ε
Ü Mas nao conhecemos xraiz !Ü Se a sequencia {xi} converge para xraiz devemos ter:
|xN+1 − xN | < ε
Ü Esse e um criterio de convergencia muito usado
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Metodo da Bissecao - Observacoes
O metodo sempre converge para uma raiz caso ela exista eesteja no intervalo inicial, mas nao funciona em algumassituacoes:
8 varias raızes8 singularidades8 pontos extremos8 pode ser muito
lento
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Metodo da Bissecao - Observacoes
O metodo sempre converge para uma raiz caso ela exista eesteja no intervalo inicial, mas nao funciona em algumassituacoes:
8 varias raızes
8 singularidades8 pontos extremos8 pode ser muito
lento
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Metodo da Bissecao - Observacoes
O metodo sempre converge para uma raiz caso ela exista eesteja no intervalo inicial, mas nao funciona em algumassituacoes:
8 varias raızes8 singularidades
8 pontos extremos8 pode ser muito
lento
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Metodo da Bissecao - Observacoes
O metodo sempre converge para uma raiz caso ela exista eesteja no intervalo inicial, mas nao funciona em algumassituacoes:
8 varias raızes8 singularidades8 pontos extremos
8 pode ser muitolento
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Newton-Raphson
Metodo da Bissecao - Observacoes
O metodo sempre converge para uma raiz caso ela exista eesteja no intervalo inicial, mas nao funciona em algumassituacoes:
8 varias raızes8 singularidades8 pontos extremos8 pode ser muito
lento
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Algoritmo
m Escolher visualmente xmin e xmax
m Solicitar xmin e xmax e verificar se esses limites delimitamuma raiz (f (xmin)f (xmax) < 0)
m se delimitam, repetir enquanto xmax − xmin > precisao e onumero de iteracoes < limite :
Ü contar o numero de iteracoesÜ calcular o valor medio (xmedio)Ü calcular a funcao no ponto medio: f (xmedio)Ü escolher o intervalo entre xmin e (xmedio) ou entre (xmedio) e xmax :
Se f (xmin)f (xmedio) < 0 (intervalo da esquerda): xmax = xmedio
Senao (intervalo da direita): xmin = xmedio
m escrever numero de iteracoes e raiz=xmedio
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Exercıcio
8 Escreva um programa que implemente o algoritmo dometodo da bissecao. Aplique-o para encontrar as raızes daequacao:
f (x) = e−x − sin(πx
2
)= 0.
8 O programa deve imprimir, alem da raiz, o numero deiteracoes utilizadas8 Usando o gnuplot faca um grafico da funcao indicando ointervalo inicial.
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Um metodo do seculo 17
8 O metodo foi publicado pela primeira vez em 1690 porJoseph Raphson (1648-1715). Entre suas obras ha umatraducao de uma obra de Newton (Arithmetica Universalis)para o ingles.8 Isaac Newton (1643-1727) desenvolveu o mesmometodo, de forma independente, em 1671 mas nao opublicou em vida.8 E o metodo mais usado para se encontrar as raızes deuma equacao.
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Newton-Raphson
Metodo de Newton-Raphson
Ü Em vez de escolher um intervalo
⇒ use a reta tangente.Ü O ponto em que a reta corta o eixo e o candidato a raizÜ Iterando . . .
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RaızesBissecao
Newton-Raphson
Metodo de Newton-Raphson
Ü Em vez de escolher um intervalo ⇒ use a reta tangente.
Ü O ponto em que a reta corta o eixo e o candidato a raizÜ Iterando . . .
Met Comp
RaızesBissecao
Newton-Raphson
Metodo de Newton-Raphson
Ü Em vez de escolher um intervalo ⇒ use a reta tangente.Ü O ponto em que a reta corta o eixo e o candidato a raiz
Ü Iterando . . .
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RaızesBissecao
Newton-Raphson
Metodo de Newton-Raphson
Ü Em vez de escolher um intervalo ⇒ use a reta tangente.Ü O ponto em que a reta corta o eixo e o candidato a raizÜ Iterando . . .
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Newton-Raphson
Metodo de Newton-Raphson - Ilustracao
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Metodo de Newton-Raphson - Ilustracao
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Metodo de Newton-Raphson - Ilustracao
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Metodo de Newton-Raphson - Ilustracao
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Metodo de Newton-Raphson - Ilustracao
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Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento
8 Cuidado: O ponto inicial nao pode ser qualquer um.
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Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento
8 Cuidado: O ponto inicial nao pode ser qualquer um.8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:
r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)
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RaızesBissecao
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Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento
8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:
r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)
8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:
0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)
−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)
− f (xi)
f ′(xi)= (xi+1 − xi)
xi+1 = xi −f (xi)
f ′(xi)
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Newton-Raphson
Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento
8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:
r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)
8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:
0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)
−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)
− f (xi)
f ′(xi)= (xi+1 − xi)
xi+1 = xi −f (xi)
f ′(xi)
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Newton-Raphson
Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento
8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:
r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)
8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:
0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)
−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)
− f (xi)
f ′(xi)= (xi+1 − xi)
xi+1 = xi −f (xi)
f ′(xi)
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Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento
8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:
r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)
8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:
0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)
−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)
− f (xi)
f ′(xi)= (xi+1 − xi)
xi+1 = xi −f (xi)
f ′(xi)
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Newton-Raphson
Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento
8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:
r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)
8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:
0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)
−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)
− f (xi)
f ′(xi)= (xi+1 − xi)
xi+1 = xi −f (xi)
f ′(xi)
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Newton-Raphson
Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento
8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:
r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)
8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:
0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)
−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)
− f (xi)
f ′(xi)= (xi+1 − xi)
xi+1 = xi −f (xi)
f ′(xi)
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Exercıcio
8 Escreva um algoritmo que procure a raiz de uma equacaopelo metodo de Newton Raphson.
8 Escreva um programa que implemente o algoritmo dometodo de Newton Raphson. Aplique-o para encontrar asraızes da equacao:
f (x) = e−x − sin(πx
2
)= 0.
8 O programa deve imprimir, alem da raiz, o numero deiteracoes utilizadas8 Compare o resultado com o obtido pelo metodo dabissecao.
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Newton-Raphson
Exercıcio
8 Escreva um algoritmo que procure a raiz de uma equacaopelo metodo de Newton Raphson.8 Escreva um programa que implemente o algoritmo dometodo de Newton Raphson. Aplique-o para encontrar asraızes da equacao:
f (x) = e−x − sin(πx
2
)= 0.
8 O programa deve imprimir, alem da raiz, o numero deiteracoes utilizadas8 Compare o resultado com o obtido pelo metodo dabissecao.
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Newton-Raphson
Observacoes
Ü O metodo de Newton Raphson pode resolver casos emque o metodo da bissecao falha.
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RaızesBissecao
Newton-Raphson
Observacoes
Ü O metodo de Newton Raphson pode resolver casos emque o metodo da bissecao falha.
Ü Nem sempre converge!
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Observacoes
Ü O metodo de Newton Raphson pode resolver casos emque o metodo da bissecao falha.
Ü Nem sempre converge!Ü O calculo da derivada pode ser um problema!
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RaızesBissecao
Newton-Raphson
Observacoes
Ü O metodo de Newton Raphson pode resolver casos emque o metodo da bissecao falha.
Ü Nem sempre converge!Ü O calculo da derivada pode ser um problema!Ü Em geral o metodo de Newton-Raphson e mais
eficiente mas ha casos em que e melhor usar outrosmetodos.
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Newton-Raphson
BOA PROVA
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