AULA 1
FÍSICA II
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLESVALDIR BINDILATTI
AULA 1 – MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
OSCILAÇÕES MECÂNICASCARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕES
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLESSISTEMA MASSA-MOLAENERGIA NO SISTEMA MASSA-MOLAENERGIA E AMPLITUDES
OSCILAÇÕES MECÂNICASINTRODUÇÃO
I OSCILAÇÕES MECÂNICAS: MOVIMENTO DE UMSISTEMA EM TORNO DE SUA POSIÇÃO DEEQUILÍBRIO ESTÁVEL, QUE SE REPETECICLICAMENTE.
I EXEMPLOS:I OSCILADORES SIMPLES:
PÊNDULOS, SISTEMAS TIPO MASSA–MOLAI OSCILADORES COMPOSTOS:
CORDAS DE UM INSTRUMENTOSOM (OSCILAÇÕES DE DENSIDADE/PRESSÃONO AR)VIBRAÇÕES DE UM SÓLIDO
CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕESAMPLITUDE
I AMPLITUDE: SE RELACIONA COM A EXTENSÃODO MOVIMENTO OSCILATÓRIO.QUANDO O MOVIMENTO É SIMÉTRICO EMTORNO DO PONTO DE EQUILÍBRIO, ELA ÉDEFINIDA COMO O MAIOR AFASTAMENTODESTE PONTO.
CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕESPERÍODO E FREQUÊNCIA
I PERÍODO T : DURAÇÃO DE UM CICLOCOMPLETO DA OSCILAÇÃO
I PARA SISTEMAS COM ENERGIA CONSTANTE,TODO CICLO TEM A MESMA DURAÇÃO
I FREQUÊNCIA f : NÚMERO DE CICLOSREALIZADOS POR UNIDADE DE TEMPO
f = 1/TI NO SI A UNIDADE DE BASE PARA A FREQUÊNCIA
É CHAMADA hertz, Hz = s−1, EQUIVALENTE AUM CICLO POR SEGUNDO.
CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕESPERÍODO E FREQUÊNCIA
I PÊNDULOS DE COMPRIMENTO EM TORNO DE1 m TÊM PERÍODOS DA ORDEM DE 2 s EFREQUÊNCIAS DA ORDEM DE 0,5 Hz.
I FAIXA AUDÍVEL HUMANA: DE 20 Hz a 15 kHz.I SÓLIDOS PODEM VIBRAR COM FREQUÊNCIAS
DE ATÉ GHz.I LUZ VISÍVEL (OSCILAÇÃO DO CAMPO
ELETROMAGNÉTICO): DE 375 THz A 750 THz.
CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕESILUSTRAÇÃO
I O SISTEMA MASSA-MOLA E O PÊNDULO.
Xeq=X0 X→
0 x→
Massa-mola A=6,00 uLT=4,00 uT
−1 0 +1
17
18
19
20
21
22
23
24
25
t/uT
x/A v/√
k/mA
L
θ
s →
Pendulo
θmax=90,0o
T=4,00 uT
−1 0 +1
17
18
19
20
21
22
23
24
25
t/uT
θ/θmaxdθdt /
√
g/Lθmax
CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕESILUSTRAÇÃO
I O SISTEMA MASSA-MOLA E O PÊNDULO.Xeq=X0 X→
0 x→
Massa-mola A=6,00 uLT=4,00 uT
−1 0 +1
17
18
19
20
21
22
23
24
25
t/uT
x/A v/√
k/mA
L
θ
s →
Pendulo
θmax=90,0o
T=4,00 uT
−1 0 +1
17
18
19
20
21
22
23
24
25
t/uT
θ/θmaxdθdt /
√
g/Lθmax
I ANIMAÇÃO
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
I OBSERVAMOS QUE O PERÍODO DO PÊNDULODEPENDE DA AMPLITUDE DA OSCILAÇÃO,ENQUANTO O DO SISTEMA MASSA-MOLA NÃO.
I A INDEPENDÊNCIA DO PERÍODO COM AAMPLITUDE É UMA CARACTERÍSTICA DOMOVIMENTO OSCILATÓRIO MAIS SIMPLESPOSSÍVEL: O MOVIMENTO HARMÔNICO.
I NESTE CONTEXTO, HARMÔNICO SIGNIFICA QUEPODE SER REPRESENTADO USANDO ASFUNÇÕES SENO/COSSENO.
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
I O MOVIMENTO DO SISTEMA MASSA-MOLA É UMMOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS). OMOVIMENTO DO PÊNDULO NÃO É HARMÔNICO.
I O MOVIMENTO HARMÔNICO É IMPORTANTEPOR SUA SIMPLICIDADE E PORQUE APROXIMAO MOVIMENTO DE QUALQUER OSCILADORQUANDO O DESLOCAMENTO DO EQUILÍBRIO ÉSUFICIENTEMENTE PEQUENO.
I VAMOS ESTUDÁ-LO, UTILIZANDO O SEUPROTÓTIPO MECÂNICO MAIS SIMPLES: OSISTEMA MASSA–MOLA.
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLESPROTÓTIPO: SISTEMA MASSA–MOLA
I CORPO DE MASSA m PRESO A UMA MOLA DEMASSA DESPREZÍVEL E CONSTANTE ELÁSTICAk, FIXA NUMA DAS EXTREMIDADES
Xeq=X0 X→
0 x→
Massa-mola
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLESPROTÓTIPO: SISTEMA MASSA–MOLA
I POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO: MOLA RELAXADAX = X0 = Xeq
I FORÇA RESTAURADORA: FORÇA ELÁSTICAF = Fk = −k(X −Xeq) = −k x
I DEFINIMOS x COMO O DESLOCAMENTO DAPOSIÇÃO DE EQUILÍBRIO: x ≡ X −Xeq
Xeq=X0 X→
0 x→
Fk
Massa-mola
SISTEMA MASSA–MOLAFORÇAS
I SE O CORPO PENDE DA VERTICALO PESO, P = mg, DESLOCA APOSIÇÃO DE EQUILÍBRIO.
I CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO:
Fk−P = 0⇒ Xeq = X0 −mg
k
Xeq
X↑
X0
0
x↑
P
Fk
F
SISTEMA MASSA–MOLAFORÇAS
I FORÇA RESULTANTE:
F = Fk−P = −k(X−X0 +
mg
k
)I FORÇA RESTAURADORA, AINDA DA
FORMAF = −k(X −Xeq) = −k x
Xeq
X↑
X0
0
x↑
P
Fk
F
SISTEMA MASSA–MOLASEGUNDA LEI DE NEWTON
I APLICADA AO BLOCO DO SISTEMAMASSA-MOLA
ma = F = −kx, com a =dv
dt=
d2x
dt2I EQUAÇÃO DIFERENCIAL SEGUNDA ORDEM,
LINEAR E HOMOGÊNEA, PARA A FUNÇÃO x(t).d2x
dt2+
k
mx = 0
I ANTES DE RESOLVER ESTA EQUAÇÃO, VAMOSEXPLORAR AS RELAÇÕES DA ENERGIA COM ASPROPRIEDADES DA OSCILAÇÃO.
ENERGIA NO SISTEMA MASSA-MOLA
I ENERGIA POTENCIAL,(INCLUINDO AGRAVITACIONAL QUANDOFOR O CASO):
U(X) = Ueq +12kx
2
I VELOCIDADE:
v =dX
dt=
dx
dtI ENERGIA CINÉTICA:
K = 12mv2
Xeq=X0 X→
0 x→
Fv
Massa-mola
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
15
20
25
x/uL
E−Ueq12kuL2
U−Ueq
K
ENERGIA NO SISTEMA MASSA-MOLACONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
I NA AUSÊNCIA DEFORÇAS DISSIPATIVAS,A ENERGIA MECÂNICA,E = U +K , ÉCONSTANTE:
E − Ueq =12kx
2 + 12mv2
= 12kx
20 +
12mv20
Xeq=X0 X→
0 x→
Fv
Massa-mola
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
5
10
15
20
25
x/uL
E−Ueq12kuL2
U−Ueq
K
ENERGIA E AMPLITUDES
I PONTOS DE RETORNO:v = 0⇒ x2r =
2k (E − Ueq)
I AMPLITUDE DAOSCILAÇÃO: A = |xr|
I AMPLITUDE DAVELOCIDADE:
x = 0⇒ v2max =2m (E − Ueq)
I vmax =√
k/mA
Xeq=X0 X→
0 x→
F v
Massa-mola
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
15
20
25
x/uL
E−Ueq12kuL2
U−Ueq
K
ENERGIA E AMPLITUDES
I RELAÇÃO ENTRE A ENERGIA E AS AMPLITUDES:
E − Ueq =12kx
2 + 12mv2 (qualquer posição)
= 12kx
20 +
12mv20 (condições iniciais)
= 12kA
2 (pontos de retorno)
= 12mv2max (posição de equilíbrio)
ENERGIA E AMPLITUDESILUSTRAÇÃO
I A SEGUINTE ANIMAÇÃO ILUSTRA AS OSCILAÇÕESNO SISTEMA MASSA-MOLA.
Xeq=X0 X→
0 x→
Fv
Massa-mola A=4,00 uLT=4,00 uT
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x/uL
E−Ueq12kuL2
U−Ueq
K
−1 0 +1
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
t/uT
x/A v/ωA
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLESRESUMO
I OBSERVAMOS A RELAÇÃO ENTRE ASOSCILAÇÕES DOS PARES DE GRANDEZAS:
I DESLOCAMENTO DO EQUILÍBRIO/FORÇARESTAURADORA (ACELERAÇÃO),
I POSIÇÃO/VELOCIDADE, EI ENERGIA CINÉTICA/ENERGIA POTENCIAL.
I PARA CONHECER OS DETALHES DA EVOLUÇÃOTEMPORAL E O PERÍODO DA OSCILAÇÃO,TEMOS QUE RESOLVER A EQUAÇÃO DEMOVIMENTO.