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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 1
J. Miranda Lemos IST-DEEC
3.Modelao Fsica
Objectivo:Aps completar este mdulo, o aluno dever ser capaz de
escrever as equaes que definem um modelo de um sistema com estado
contnuo com base em princpios fsicos e relaes fundamentais.
Bibliografia
Ljung e Glad, caps. 5 e 6
Complementar:Edgeland e Gravdahl (2002). Modeling and Simulation for
Automatic Control. Maryne Cybernetics. Partes III e IV
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 2
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Sistemas mecnicos de translaco
Exemplos:
Motrores linearesMovimento do papel em fotocopiadoras
Relacionam a posio [ ]m com o tempo [ ]s de corpos em movimento detranslao.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 3
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Sistemas mecnicos de translaco
Massa isolada(inrcia):
mf
x
Quando uma massa m [ ]kg actuada por uma fora f [ ]N adquire uma
acelerao
2
/ sm no sentido da fora que satisfaz (lei de Newton):
)(tpdt
df =
em que o momento )(tp dt
dxmtp =)(
No caso da massa constante:f
dt
xdm =2
2
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 4
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Molas elsticas
k
Elementos que armazenam energia potencial.
Quando a mola comprimida (ou esticada) do comprimento x em relao
posio de repouso, reage com uma fora que se ope compresso (ou
extenso), dada para molas lineares por
xkf =
[ ]mNk / chamada constante da mola ou constante de Hooke.Em muitos casos a relao entre a fora e a elongao mais complicada.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 5
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Atrito viscoso
So os elementos que dissipam energia.
Quando existe uma diferena de velocidade entre os dois corpos o atrito
corresponde com uma fora que contraria o movimento e que depende da
velocidade relativa dtdx
. No caso linear a fora dada por:
dtdxf =
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 6
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Atrito esttico
Assume que h uma fora entre os corpos em contacto que desaparece ou se
reduz quando eles entram em movimento.
A seguir, a menos que referido explicitamente, supe-se que no existe atrito
esttico nos exemplos considerados.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 7
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Escrita das equaes de um sistema mecnico de translao
1. Associar a cada massa que se move independentemente um referencial
preso ao mundo exterior ao sistema.
2. Para cada uma das massas que se movem independentemente escrever
a lei de Newton, tomando como varivel a sua posio no referencial que
lhe est associado.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 8
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Exemplos
a)
m2
k
xbxa
m1
f
b)
Am
k
B
xb xa
f
c)
m2
k1
xbxa
m1
fk2
1 2
3
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 9
J. Miranda Lemos IST-DEEC
m2
k
xbxa
m1
f
( )baa xxk
dt
xdm =
2
2
2
( )abb xxkf
dt
xdm =
2
2
1
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 10
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Modelo de estado tomando a fora como entrada e ax como sada:
( )
)(2
2
1
2
2
2
abb
ba
a
xxkfdt
xdm
xxkdt
xd
m
=
=
=
b
b
a
a
x
xx
x
x
&
&:
fu =:
u
mxx
x
x
m
k
m
k
m
k
m
k
xx
x
x
+
=
14
3
2
1
1
22
4
3
2
1
10
0
0
001
1000
00
0010
&
&
&
&
[ ]
=
4
3
2
1
0001
x
x
x
x
y
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 11
J. Miranda Lemos IST-DEEC
A
m
k
B
xb xa
f
( )dt
dxxxk
dt
xdm aba
a =2
2
( ) ( ) fk
xxxxkfxxkfdt
xdababab
b 102
2
+===
dtdxf
dtxdm aa =2
2
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 12
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m2
k1
xbxa
m1
fk2
1 2
3
=
dt
dx
dt
dx
dt
dxxkfdt
xdm baaaa
3112
2
1
= dt
dx
dt
dx
dt
dx
xkdt
xd
m abb
b
b
3222
2
2
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 13
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Exemplo: Dinmica de uma vlvula pneumtica de regulao
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 14
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Modelo do movimento do corpo da vlvula
O ar na cmara da vlvula exerce uma fora dada pelo produto da rea A do
diafragma pela presso do ar p .
m : massa do corpo da vlvula (haste e obturador)
dt
dxKxpA
dt
xdm =
2
2
Normalmente a massa m dxesprezvel face s outras grandezas e o
movimento pode aproximar-se pelo modelo de 1 ordem:
pAxKdtdx
+=
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 15
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As vlvulas esto providas de um posicionador electromecnico que usa um
sinal elctrico para gerar a presso de ar que garante a posio desejada
para o obturador dsa vlvula. O conjunto conversor vlvula concebido paraque haja uma relao no linear entre o comando da vlvula e a posio do
obturador. Esta no linearidade uma das caractersticas da vlvula, sendo
fornecida pelo fabricante.A vlvula pode ainda ter folgas mecnicas que fazem com que o seu
movimento num sentido seja diferente do movimento em sentido oposto.
Os posicionadores elctricos das vlvulas opermitem uma maior preciso,sendo mais caros.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 16
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Modelo prtico da vlvula
Comando Abertura1
Ts+1 Quer o comando, quer a abertura da vlvula sop expressos em unidades
normalizadas de 0 a 100%.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 17
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Sistemas mecnicos de rotao
Os sistemas mecnicos de translao so muito comuns em aplicaes de
engenharia:
Motores, Juntas de brao robot
Caixas de desmultiplicao
Relacionam:
ngulo de rotao [ ]rad
Velocidade angular [ ]srad/ e acelerao angular2/ srad
Binrio [ ]Nm
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 18
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Momento de inrcia
O momento de inrcia o anlogo da massa para a rotao.
Quando um corpo em rotao com momento de inrica J 2
Nms actuado
por um binrio T [ ]Nm , adquire uma acelerao angular dada por
2
2
dt
dJT
=
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 19
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Atrito viscoso
So os elementos que dissipam energia.
Quando existe uma diferena de velocidade de rotao entre os dois corpos o
atrito corresponde com um binrio que contraria o movimento e que depende
da velocidade relativa dtd
. No caso linear o binrio dado por:
dt
dT
=
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 20
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Molas elsticas
k
Elementos que armazenam energia potencial.
Quando a mola desviada do ngulo em relao posio de repouso,
reage com um binrio que se ope ao movimento, dada para molas lineares
por
kT=
[ ]radNmk / chamada constante da mola.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 21
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Caixa de desmultiplicao
T2
T11
2
Uma caixa de esmultiplicao transforma o binrio e a velocidade angular de
acordo com as seguintes relaes:
21
1
=
21 TT = 2211 TT =
O parmetro2
1
= o inverso da razo de desmultiplicao da caixa.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 22
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Exemplos
a)
k
J
T
b)
k
J1 J2T
1 21
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 23
J. Miranda Lemos IST-DEEC
k
J
T
dt
dkT
dt
dJ
=
2
2
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 24
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k
J1 J2T
1 21
=
dt
d
dt
dT
dt
dJ 2112
1
2
1
212
12
2
2
2 kdtd
dtd
dtdJ
=
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Exemplo: Servomotor CC de man permanente
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 26
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Um motor de correbnte contnua tem essencialmente 2 partes:
O esttor, onde esto fixos enrolamentos ou manes permanentes (em
pequenos motores) que criam um campo magntico radial;
O rtor, ligado mecnicamente ao veio do motor, onde h bobinas
longitudinais que, ao serem percorridas por uma corrente originam uma
fora tangencial que o faz girar. Por forma a que a corrente no rtor tenha
sempre o mesmo sentido, as escovas (contactos deslizantes) tocam nas
lminas do colector ligadas s bobinas do rtor.
Bibliografia:
Franklin, Powell e Emami-Naeini. Feedback control of dynamic systems.
Addison Wesley. Sec. 2.4
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 27
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Modelo do servomotor CC de man permanente
+
-
R L
u
+
-
e JT
i
Binrio do motor:
)()(')( titKtT =
Sendo o fluxo criado pelo circuito de campo constante,
)()( tKitT =
Tenso aos terminais do rtor
bKe=
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 28
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Escreva as equaes que modelam o:
Circuito do rtor;
Movimento do rtor em termos da velocidade; Modelo de estado, tomando como sada a velocidade angular e estado
=1x , ix =2 ;
Simplifique as equaes supondo que a indutncia do circuito do rtor
desprezvel, por forma a obter um modelo de 1 ordem;
Modelo de estado, tomando como sada a posio angular e estado
=1x , =2x , ix =3 ;
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 29
J. Miranda Lemos IST-DEEC
+
-
R L
u
+
-
e J
T
i
Circuito do rtor do motor:
ueiR
dt
diL =++
Movimento do rtor do motor:
= )(tTdt
dJ
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 30
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Tomem-se como variveis de estado do motor:
=
=
ix
xx
2
1
obtm-se as equaes de estado, tomando como sada a velocidade :
u
L
x
L
R
L
KJ
K
Jxb
+
= 1
0
&
[ ]xy 01= Se quisssemos modelar a posio, necessitaramos de uma varivel de
estado adicional.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 31
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Modelo de estado tomando como sada a posio angular
=1x , =2x , ix =3
u
L
x
x
x
L
R
L
KJ
K
Jx
x
x
b
+
=
10
0
0
0
010
3
2
1
3
2
1
&
&
&
[ ]xy 001=
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 32
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Modelo de complexidade reduzida
ueiRdt
diL =++
= )(tT
dt
dJ )()( tKitT = bKe=
Assume-se a indutncia do rotor desprezvel: 0L
R
Ku
R
euiueRi b
=
==+
)(
bKuJR
K
Jdt
d+=
A tenso aplicada e a velocidade esto relacionadas pelo modelo simplificado:
)( bb Ku
JRK
JRKK
Jdtd +
+=
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 33
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Mecnica LagrangianaA aplicao da equao de Euler-Lagrange est baseada na descrio de um
sistema fsico com base num conjunto de quantidades denominadas
coordenadas generalizadas.
Designa-se o vector das coordenadas por q o qual existe no chamado
espao de configuraesdo sistema.
Por exemplo, dado um ponto material no plano, a configurao descrita
pelas coordenadas cartesianas do ponto xq =1 e yq =2 .
A verso que vamos estudar aplica-se s a sistemas conservativos (sematrito).
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 34
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Imaginemos um ponto material no plano que lanado, no instante 1t do ponto
1 com uma dada velocidade incial, atingindo o ponto 2 no instante 2t . A
trajectria seguir uma trajectria nica e bem definida, que se mostra a trao
grosso. Podemos no entanto imaginar vrias trajectrias virtuais.
1
2
q1=x
q2
=y
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 35
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Funo Lagrangiana
Defina-se a funo Lagrangiana L como a diferena entre as energias
cintica T e potencial V :
VTL =
A funo Lagrangiana uma funo das coordenadas generalizadas q e das
suas primeiras derivadas q& :),( qqLL &=
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 36
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Princpio de Hamilton
De todo o conjunto de condies admissveis que um sistema pode assumir
ao evoluir de uma configurao num dado instante, para outra configurao
num instante sucessivo, aquela que de facto seguida a que torna mnimo o
integral da Lagrangiana
( ) =2
1
t
t
dtVTI
nesse intervalo de tempo.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 37
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Um problema de optimizao de dimenso infinita
A aplicao do Princpio de Hamilton requer a resoluo de um problema de
optimizao num espao de dimenso infinita. Quer dizer, o integral I uma
funo que toma valores reais, mas cujo argumento ele prprio uma funo.
Este problema no pode pois ser resolvido com as tcnicas bsicas de
igualar a derivada a zero. A sua soluo feita com outros mtodos, ditos
variacionais pois se baseiam em efectuar variaes na trajectria ptima,
relacionando-as com a correspondente variao em I . Estes mtodos so
estudados no mbito do Clculo Variacional.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 38
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Equao de Euler-Lagrange
condio suficiente de mnimo do integral I que a Lagrangiana satisfaa a
equao de Euler-Lagrange:
k
kk
Fq
L
q
L
dt
d=
& nk ,,1K=
em que kF o vector das foras generalizadas (momentos no caso dos
movimentos de rotao) que agem positivamente na direco da coordenada
k
q.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 39
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Exemplo de aplicao da equao de Euler-Lagrange (massa/mola)
K
xF
m x=0
Tome como coordenada generalizada xq= . Escreva o caso particular da
equao de Euler-Lagrange para este sistema, obtendo uma equao
diferencial ordinria para x .
Neste caso:
2
21 xmT &=
2
21 KxV=
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 40
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Toma-se xq= Lagrangiana:22
2
1
2
1KqqmL = &
Fq
L
q
L
dt
d
=
&
Substituindo a expresso da Lagrangiana na equao de Euler-Lagrange:
KqqL =
qm
qL &&=
( ) FKqqmdtd
=+&ou seja KxFxm =&&
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 41
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Exemplos de aplicao da equao de Euler-Lagrange (Pndulo)
m
q R
Escreva a equao de Euler Lagrange para este caso particular para obter
uma equao diferencial para o ngulo q .
Neste caso:
22
21 qmRT &=
)cos1( qmgRV =
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 42
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)cos1(2
1 22 qmgRqmRL = &
Substituindo na equao de Euler-Lagrange:
qmgRq
Lsin=
qmR
q
L&
&
2=
0sin2 =+ qmgRqmR && ou seja
0sin2
=+ qR
gq&&
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 43
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Referncias
No mbito da disciplina de Modelao e Simulao apenas se consideram
casos muito simples de modelao com mtodos da Mecnica Analtica. Para
saber mais:
Egeland e Gravdahl, cap. 8
N. Maia (2000). Introduo Dinmica Analtica. IST Press.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 44
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Sistemas trmicos
Os sistemas trmicos dizem respeito ao aquecimento de objectos e ao
transporte de energia trmica.
A quantidade de calor Q [ ]J necessria para aquecer um corpo de massa
m , levando-o de uma temperatura inicial 1T temperatura 2T dado por:
( )12 TTmcQ p =
em que pc o calor especficoda substncia de que feito o corpo.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 45
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Fluxo de calor
O fluxo de calor dado por
dt
dQq=
[ ]W O fluxo de calor para um corpo afecta a sua temperatura de acordo com
q
Cdt
dT 1=
em que C uma constante que depende da massa do corpo e das
caractersticas trmicas da substncia que o compe. Esta expresso obtm-
se derivando a expresso que relaciona a quantidade de calor e atemperatura.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 46
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Modos de transferncia de energia
Comnsideram-se trs modos de transferncia de energia:
Conduo
Conveco
Radiao
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 47
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Transferncia de energia por conduo
Um corpo temperatura 2T enconstado a outro temperatura 1T ( 12 TT > )
transfere energia para este com um fluxo de calor dado por:
)(1
12 TTR
q =
em que [ ]sJCR o
// a resistncia trmica. A resistncia trmica dependeda condutividade trmica do material e da rea de contacto dos dois corpos.
A esta expresso d-se o nome de Lei de Fourier.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 48
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Transferncia de energia por conveco.
A transferncia de energia por conveco est associada ao transporte de
massa num fluido que se desloca. No possvel ter um modelo geral simples
para a conveco. Por vezes razovel assumir
)( 12 TTcq r =
em que rc uma constante.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 49
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Transferncia de energia por radiao
Um corpo temperatura absoluta T [ ]K radia uma potncia [ ]Wq dada pela
lei de Stefan-Boltzman:
4TAq =
[ ]2mA a rea de exposio do corpo; a emissividade do corpo, nmero adimensional entre 0 e 1;
421810670400.5 = KmJs a constante de Stefan-Boltzman.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 50
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Exemplo: Termmetro
Um termmetro de vidro cheio de mercrio estabilizou-se na temperatura 0T e
mergulhado no instante 0t num lquido temperatura LT . Supe-se que a
massa do termmetro to pequena que no perturba a temperatura do
lquido.
Supe-se que a energia acumulada no vidro desprezvel.
Escreva uma equao diferencial que modele a evoluo no tempo da
temperatura mT do mercrio.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 51
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Sugesto: Escreva uma expresso que relaciona a quantidade de calor
necessria para levar a temperatura do mercrio de 0T no instante 0t
temperatura )(tTm no instante t.
Derive esta expresso para opbter uma expresso para o corresponcdente
fluxo de calor )(tq .
Por outro lado, admitindo que a transferncia de calor se faz apenas porconduo, pode escrever uma outra expresso para o mesmo fluxo em funo
das temperaturas do lquido e do mercrio.
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 52
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Quantidade ded calor necessria para levar o mercrio da temperatura 0T
temperatura )(tTm :
( )0)()( TtTCtQ m =
Derivando em ordem ao tempo: dt
tdTCtq m
)()( =
Por outro lado ( ))(1)( tTTR
tq mL=
Elimminando )(tq entre as duas expresses:
Lmm TtTtTdt
dRC =+ )()(
M d l Si l 3 M d l F i 53
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 53
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Exemplo: Modelo de um forno solar para tratamento de materiais
Grande forno solar para teste de materiais, Odeillo, Pirinus franceses.
Referncia: M. Berenguel, E. F. Camacho, F. J. Garca-Martin, and F. Rbio
(1999). Temperature control of a solar furnace. IEEE Control Systems
Magazine, 19(1):8-24. Disponvel na documentao auxiliary da disciplina.
Modelao e Simulao 3 Modelao Fsica 54
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J. Miranda Lemos IST-DEEC
SOL
Heliostato
PersianasConcentrador
Amostra
Modelao e Simulao 3 Modelao Fsica 55
7/21/2019 Modelao Fsica
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 55
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Entrada manipulada: Comando da persianaPerturbao: Potncia da radiao solar
Sada: Temperatura da amostra
O modelo obtm-se fazendo um balano da energia na amostra:
RugTTTTdt
damb )()(2
4
1 +=
T - Temperatura da amostra
ambT - Temperatura ambiente
R - Potncia da radiao solaru - Comando da persiana. A funo g depende da geometria.
Modelao e Simulao 3 Modelao Fsica 56
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 56
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Cintica Bioqumica
A cintica bioqumica diz respeito determinao das concentraes de
substncias qumicas nos sistemas biolgicos como funes do tempo.
Lei de aco de massas
Se o qumicoAreage com o qumico Bpara produzir o qumico C:
CBA
k
+
A taxa de reaco dada por [ ][ ]BAk em que [ ] AcA = representa a
concentrao deA.
Modelao e Simulao 3 Modelao Fsica 57
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 57
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CBAk
+
Considere-se um intervalo de tempo de comprimento t , entre te tt +
e seja AN o nmero de molculas de A . Tem-se:
tNkNtNttN BAAA =+ )()(
Dividindo pelo nmero total de molculas e por t :
BAAA ckc
t
tcttc=
+ )()(
Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 58
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BAAA ckc
t
tcttc=
+ )()(
Fazendo 0t , a razo incremental tende para a derivada e obtm-se aequao diferencial
BA
A
ckcdt
dc=
Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 59
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CBAk
+ Analogamente para a espcie B:
BAB ckc
dt
dc =
e para a espcia C (produto da reaco):
BA
c ckcdt
dc=
Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 60
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CBAk
+
BA
A
ckcdt
dc=
BAB ckc
dt
dc=
BAc ckc
dt
dc=
Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 61
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Defina-se o estado:
=
=
C
B
A
c
c
c
x
x
x
x
3
2
1
Equaes de estado:
=
21
21
21
3
2
1
xxk
xxk
xxk
x
x
x
&
&
&
=
21
21
21
3
2
1
)(
)(
)(
xxk
xxk
xxk
xf
xf
xf
Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 62
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Repare-se que podamos ter um sistema com apenas duas variveis deestado se apenas escrevssemos as equaes para A e B:
=
21
21
2
1
xxk
xxk
x
x
&
&
Referncia sobre este exemplo:
Cap. 6 de Britton, Essential Mathematical Biology, Springer.
Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 63
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Exemplo: Reaco reversvel
CBA
k
k
+
+
CBA
A ckcckdt
dc
+
+= CBA
B ckcckdt
dc
+
+=
CBA
c ckcck
dt
dc+ =
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Exemplo: Metabolismo da glucose pelo Lactococus Latys
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 66
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Modelos compartimentais
Compartment 1
Compartment 2
u
a1 1 C1
a2 1 1
a1 2
C2
Variao da quantidade 1 no compartimento 1, 1D , entre te tt + :
tcacacautDttD +=+ )()()( 11121212111
Dividindo por t e pelo volume do compartimento 1V e fazendo 0t :
)(1 1112121211
1 cacacauV
c +=& iii VDc /=
Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 67
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Equaes de estado do modelo de 2 compartimentos:
)(1
111212121
1
1 cacacauV
c +=&
)(1 2121212
2 cacaV
c =&
Podem ser escritas na forma matricial:
uVc
c
aV
aV
aV
aaV
c
c
+
=
0
1
11
1)(1
12
1
12
2
21
2
12
1
2111
1
2
1
&
&
As concentraes so sempre positivas. Isto pode ser explorado.
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Exemplo: Modelos para a anestesia geral
Objectivo da anestesia: Levar o paciente a um estado clnico adequado
cuirurgia.
Componentes da anestesia:Areflexia. Perda de movimento causada pelo bloqueio neuromuscular.
Analgesia. Ausncia de resposta a estmulos nxicos.
Hipnose. Perda de conscincia.
Estes efeitos popdem ser obtidos atravs da infuso intravenosa de frmacos
tal como o atracuriopara o NMB, o remifentanilpara a analgesia e o propofol
para a hipnose. Entre outras coisas, o modelo depende do frmaco usado.
Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 69
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Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 70
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Modelo do bloqueio neuromuscular em anestesia
Dose deatracurium
Modelo farmaco-cintico de 2compartimentos
Sistema de1 ordem
Modelo farmacodinmico
Equao de Hill
Concentraono plasma
Concentrao nocompartimento deefeito
Cp Ce r
Nvel debloqueio
eCC
Cr
+=
50
50
50
r [%]
C50 Ce
100
Este um exemplo de um modelo de Wiener.
Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 71
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Resposta dos modelos vs. dados clnicos:
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
120
Time (minutes)
r(t)%
(b)
0 2 4 6 8 10
0
20
40
60
80
100
120
Time (minutes)
r(t)%
Modelos+rudo Casos clnicos
Um problema na modelao: VariabilidadeResultados obtidos pela FCUP em colaborao com o HGSA
Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 72
7/21/2019 Modelao Fsica
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RefernciasSobre modelos compartimentais e aplicaes anestesia:
J. M. Bailey e W. Haddad (2005). Drug dosing control in clinical pharmacology. IEEE Control
Systems Magazine, 25(2):35-51.
Sobre a utilizao de modelos para construir um controlador do nvel de bloqueio neuromuscular,
incluindo casos clnicos:
J. M. Lemos, H.- Magalhes, T. Mendona e R. Dionsio (2005). Control of neuromuscular
blockade in the presence of sensor faults. IEEE Trans. Biomedical Engineering, 52(11):1902-
1911.
Estas referncias podem ser encontradas na documentao complementar da disciplina.
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