Carlos Alexandre Mello – [email protected] 1
Modelagem no Domínio da Frequência
Carlos Alexandre Mello
2 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
O que são Transformadas?
Quais as mais comuns: Laplace
Fourier
Cosseno
Wavelet
.....
3 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
A transf. de Laplace representa entrada, saída e sistema como entidades separadas
A relação entre elas é algébrica
Transformada de Laplace:
onde s = + j é uma variável complexa
F(s) é dita a transformada de Laplace de f(t)
4 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
O limite inferior da integral anterior significa que mesmo que f(t) seja descontínua em t = 0, podemos começar a integração apesar da descontinuidade, contanto que a integral convirja
Podemos assim encontrar a transf. de Laplace da função impulso
Transformada Inversa de Laplace
onde:
5 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Em geral, o cálculo da transformada inversa é bastante custoso, pois envolve o cálculo de integrais complexas
Mas o conjunto de funções importantes para a área de controle é pequeno, permitindo o uso de tabelas que fazem o mapeamento dessas funções e de suas transformadas
Vamos ver, a seguir, o cálculo de algumas transformadas mais comuns:
6 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Algumas transformadas conhecidas
9 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Exemplo 2: Transformada Inversa
Pelo teorema do deslocamento em frequência e pela transformada de Laplace de f(t) = t.u(t):
Se: F(s) = 1/s2 → f(t) = t.u(t)
e: F(s + a) = 1/(s + a)2 → f(t) = e-att.u(t)
Então: F1(s) = 1/(s + 3)2 → f(t) = e-3tt.u(t)
10 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Transformada Inversa: Expansão em Frações Parciais Por exemplo, calcule a transformada inversa de:
Nesse caso, podemos re-escrever a expressão como:
que, por linearidade, leva à transf. inversa:
11 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Assim, a Expansão em Frações Parciais é uma ferramenta matemática bastante útil no cálculo da transf. de Laplace
Objetivo matemático: Simplificar uma função, expandindo-a em funções de menor grau
Objetivo para controle: Facilitar o cálculo da transf. de Laplace
Métodos: Clearing Fractions
Heaviside Cover-Up (ou Resíduos)
12 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais (Clearing Fractions) Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e
Sistemas do prof. Aluízio
Ribeiro.
13 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais (Heaviside Cover-Up ou Resíduos) Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e
Sistemas do prof. Aluízio
Ribeiro.
14 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais (Uso dos dois métodos) Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e
Sistemas do prof. Aluízio
Ribeiro.
15 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais Caso 1: Raízes do denominador são reais e distintas
Caso 2: Raízes do denominador são reais e repetidas
Caso 3: Raízes do denominador são complexas
16 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Uso de Transf. de Laplace: Resolução de Equações Diferenciais: Resolva a
seguinte equação diferencial para y(t) com todas as condições iniciais nulas
A transformada de Laplace para y(t) é:
que leva a:
17 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Uso de Transf. de Laplace: Resolução de Equações Diferenciais (cont):
Por expansão em frações parciais:
ou
18 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais – MatLab Exemplo:
-4s + 8
s2 + 6s + 8
r1
s - p1
= + + ... + + ks r2
s - p2
rn
s - pn
19 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais – MatLab Exemplo (cont): Volta ao polinômio original
s2 + 6s + 8
-4s + 8
20 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
A função de transferência retrata a relação entre a saída e a entrada de um sistema
Tal relação pode ser expressa em função da transf. de Laplace
Geralmente, as funções de entrada e saída se relacionam através de uma equação diferencial linear e invariante no tempo de n-ésima ordem:
onde y(t) é a saída e x(t) é a entrada do sistema
21 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Dada a equação diferencial linear e invariante no tempo de n-ésima ordem:
Calculando a transf. de Laplace:
Se as condições iniciais forem nulas:
Ou seja:
G(s) é a Função de Transferência
22 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Função de Transferência como diagrama de bloco:
E podemos encontrar a saída de um sistema dada a entrada e sua função de transferência: Y(s) = G(s).X(s)
X(s) Y(s)
23 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
A função de transferência de um sistema é um modelo matemático no sentido que constitui um método operacional de expressar a equação diferencial que relaciona a entrada à saída do sistema
A função de transferência é uma propriedade intrínseca do sistema, independentemente da magnitude e da natureza do sinal de entrada
A função de transferência relaciona a entrada à saída, mas não fornece qualquer informação quanto à estrutura física do sistema diferentes sistemas podem ter a mesma função de
transferência
24 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Se a função de transferência de um sistema for conhecida, a saída pode ser estudada para várias formas de entrada a fim de entender a natureza do sistema
Se a função de transferência for desconhecida, ela pode ser inferida experimentalmente introduzindo-se sinais de entrada conhecidos e analisando o sinal de saída Uma vez estabelecida, a função de transferência
fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema
25 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Quando a entrada é a função impulso, temos: Y(s) = G(s).X(s)
X(s) = 1 Y(s) = G(s)
cuja transformada inversa daria g(t)
Essa é a chamada resposta impulsional do sistema e também sua função de transferência
Portanto, é possível obter informação completa sobre as características de um sistema excitando-o com um impulso unitário e medindo a sua resposta
Na prática, seria um pulso de duração bastante curta
26 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Diagrama de blocos Representação gráfica das funções desempenhadas por
cada um dos componentes de um sistema e do fluxo de sinais entre eles
Todas as variáveis são ligadas umas às outras através de blocos funcionais
O bloco traz a representação matemática da operação aplicada sobre a entrada que leva à saída
O diagrama de bloco de um sistema não é único
27 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Diagrama de blocos Elementos:
G(s) X + -
X(s) E(s) Y(s)
Ponto de
Soma Ponto de
Ramificação
Sistema de malha fechada
28 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Diagrama de blocos Outros tipos:
G(s) X + -
X(s) E(s) Y(s)
H(s)
B(s)
Y(s) = E(s)G(s) = [X(s) – B(s)]G(s) = [X(s) – Y(s)H(s)]G(s)
Y(s) + Y(s)H(s)G(s) = X(s)G(s)
Y(s)/X(s) = G(s)/[1 + H(s)G(s)] (Função de Transferência do sistema)
29 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Diagrama de blocos Outros tipos:
G1(s) X + -
X(s) Y(s)
H(s)
G2(s) X + +
Perturbação
D(s)
B(s)
Se D(s) = 0:
Y(s)/X(s) = G1(s)G2(s)/[1 + G1(s)G2(s)H(s)] (Função de Transferência do sistema)
30 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Exemplo 1: Ache a função de transferência do sistema representado por: dy(t)/dt +2y(t) = x(t)
Solução: Tomando a transf. de Laplace:
sY(s) + 2Y(s) = X(s)
(s + 2)Y(s) = X(s)
G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)
31 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Exemplo 2: Dada a função de transferência anterior, ache a resposta do sistema para um degrau unitário; considere nulas as condições iniciais: x(t) = u(t)
G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)
X(t) = u(t) X(s) = 1/s
Logo: Y(s) = G(s).X(s)
Y(s) = 1/[s.(s + 2)]
Y(s) = 0,5/s – 0,5/(s + 2) Expansão em Frações Parciais
y(t) = 0,5 – 0,5e-2t
32 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Exemplo 2 (cont.): Solução total pelo MatLab
33 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Exercício 1: Ache a função de transferência da equação diferencial:
Solução: Tomando a transf. de Laplace: Y(s)(s3 + 3s2 + 7s + 5) = X(s)(s2 + 4s + 3)
Logo: G(s) = Y(s)/X(s) = (s2 + 4s + 3)/(s3 + 3s2 + 7s + 5)
34 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Exercício 2: Ache a equação diferencial correspondente à seguinte função de transferência: G(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)
Solução: G(s) = Y(s)/X(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)
Logo: Y(s)(s2 + 6s + 2) = X(s)(2s + 1)
s2Y(s) + 6sY(s) + 2Y(s) = 2sX(s) + X(s)
d2y/dt2 + 6dy/dt + 2y = 2dx/dt + x
35 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência
Exercício 3: Ache a resposta a uma rampa para um sistema cuja função de transferência é: G(s) = s/[(s + 4)(s + 8)]
Solução:
Logo:
36 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Modelagem matemática de circuitos elétricos Resistores, capacitores e indutores
Componentes são combinados em circuitos e encontramos a função de transferência
37 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC Problema: Encontrar a função de transferência que
relaciona a voltagem do capacitor (Vc(s)) com a voltagem de entrada (V(s))
38 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC Somando as voltagens no laço e considerando nulas as
condições iniciais, temos a seguinte equação diferencial para essa rede:
Considerando:
Temos:
39 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC
A voltagem de um capacitor é dada por:
Temos assim:
Ou seja:
Calculando a Transformada de Laplace:
40 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC
Ou:
41 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Para simplificar, vamos considerar a transf. de Laplace das equações de voltagem da tabela anterior (assumindo nulas as condições iniciais): Capacitor:
Resistor:
Indutor:
Definimos, assim, a seguinte função de transferência:
Impedância
42 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC:
Podemos entender Z(s) como a soma das impedâncias
e V(s) como a soma das voltagens. Assim: [Soma das Impedâncias].I(s) = [Soma das Voltagens]
Circuito
transformado
43 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC: Resolvendo o problema anterior usando impedâncias:
Temos:
Logo:
Como:
Assim:
44 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC: Ou:
Como encontrado anteriormente....
45 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha Substitua elementos passivos por funções de
impedância
Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de Laplace
Assuma uma corrente transformada e uma direção de corrente em cada malha
Aplique a lei de Kirchhoff para cada malha
Resolva as equações simultâneas para a saída
Forme a função de transferência
46 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha Exemplo:
Malha 1 Malha 2
G(s) = I2(s)/V(s) = ?
47 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha Exemplo (cont.): Passo 1: Impedâncias
Malha 1 Malha 2
Malha 1:
Malha 2:
48 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha Exemplo (cont.): Temos:
De (2):
Substituindo em (1):
49 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha Exemplo (cont.): Ou:
50 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha Exemplo (cont.): Observe que as equações paras as
malhas 1 e 2 seguiram um mesmo padrão usado anteriormente. Ou seja:
Malha 1: I1(s) - I2(s) = Soma das
Impedâncias
da Malha 1
Soma das
Impedâncias
comuns
Soma das
Voltagens da
Malha 1
Malha 2: I1(s) + I2(s) = Soma das
Impedâncias
comuns
Soma das
Impedâncias
da Malha 2
Soma das
Voltagens da
Malha 2
51 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós: Exemplo: Encontrar a função de transferência Vc(s)/V(s)
para o circuito abaixo, usando análise de nós:
Nesse caso, usamos a soma das correntes nos nós ao invés da soma das voltagens nas malhas
52 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós: Exemplo (cont.): Da figura anterior, as somas das
correntes nos nós VL(s) e VC(s) são, respectivamente:
Expressando as resistências em termos de condutância G1 = 1/R1 e G2 = 1/R2
53 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós: Exemplo (cont.): Assim:
54 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós: Substitua elementos passivos por funções de admitância
Y(s) = 1/Z(s) = I(s)/V(s) (admitância = inverso da impedância)
Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de Laplace
Substitua as fontes de voltagem transformadas por fontes de corrente transformadas
Aplique a lei de Kirchhoff para cada nó
Resolva as equações simultâneas para a saída
Forme a função de transferência
55 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós: Exemplo (cont.): Como antes, também temos um padrão:
Nó 1: VL(s) - VC(s) =
Soma das
Admitâncias
conectadas
no Nó 1
Soma das
Admitâncias
comuns aos
Nós
Soma das
Correntes
aplicadas no
Nó 1
Nó 2: VL(s) + VC(s) =
Soma das
Admitâncias
comuns aos
Nós
Soma das
Admitâncias
conectadas
ao Nó 2
Soma das
Correntes
aplicadas no
Nó 2
56 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo:
Malha 1 Malha 2
Malha 3
57 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo (cont.):
Malha 1:
Malha 2:
Malha 3:
Soma das
Impedâncias
na Malha 1
I1(s) - I2(s) - I3(s) =
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 1 e 2
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 1 e 3
Soma das
voltagens
aplicadas à
Malha 1
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 1 e 2
- I1(s) + I2(s) - I3(s) = Soma das
Impedâncias
na Malha 2
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 2 e 3
Soma das
voltagens
aplicadas à
Malha 2
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 1 e 3
- I1(s) - I2(s) + I3(s) =
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 2 e 3
Soma das
Impedâncias
na Malha 3
Soma das
voltagens
aplicadas à
Malha 3
58 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo (cont.): Malha 1: (2s + 2)I1(s) – (2s + 1)I2(s) – I3(s) = V(s)
Malha 2: -(2s + 1)I1(s) + (9s + 1)I2(s) – 4sI3(s) = 0
Malha 3: -I1(s) – 4sI2(s) + (4s + 1 + 1/s)I3(s) = 0
As 3 equações devem ser resolvidas simultaneamente para encontrarmos as funções de transferência desejadas (como I3(s)/V(s), por exemplo)
59 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo (cont.): (2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V (1)
-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0 (2)
-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0 (3)
De (3):
I1 = -4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 (4)
Substituindo (4) em (2):
(2s + 1)[4sI2 - (4s + 1 + 1/s)I3] + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0
I2 = -I3(8s2 + 10s + 3 + 1/s)/(8s2 + 13s + 1) (5)
Substituindo (5) em (4), achamos I1 em função apenas de I3. Assim,
temos em (1), I1 e I2 em função de I3 e podemos isolar I3 e calcular a
função de transferência I3/V.
60 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo (cont.): No MatLab (2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V
-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0
-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0
MatLab Symbolic Toolbox
61 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Amplificador Operacional
Os amplificadores operacionais são amplificadores de
acoplamento direto, de alto ganho, que usam
realimentação para controle de suas características
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
62 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Amplificador Operacional
Amplificador
operacional
Amplificador
operacional
inversor
Amplificador
operacional
como função
de transferência
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
63 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Amplificador Operacional
Características:
Entrada diferencial: v2(t) – v1(t)
Alta impedância de entrada: Zi → (ideal)
Baixa impedância de saída: Zo → 0 (ideal)
Alta constante de ganho de amplificação: A → (ideal)
A saída é dada por: vo(t) = A(v2(t) – v1(t))
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
64 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Amplificador Operacional Inversor Se v2(t) está aterrado, o amplificador é chamado de
inversor porque passamos a ter: vo(t) = -Av1(t)
Na configuração da figura c anterior, a função de transferência do amplificador operacional inversor é:
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
65 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exemplo: Ache a função de transferência Vo(s)/Vi(s) para o circuito abaixo:
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
66 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exemplo (cont.): Como a admitância de componentes paralelos se
somam, Z1(s) é o inverso da soma das admitâncias ou:
Para Z2(s) as impedâncias se somam:
Assim:
Compensador PID
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
67 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Amplificador Operacional Não Inversor
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
68 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Amplificador Operacional Não Inversor: Exemplo: Ache Vo(s)/Vi(s)
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
69 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Amplificador Operacional
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
70 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Amplificador Operacional
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
71 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exercícios Sugeridos (Nise)
Cap. 2, Problemas:
1, 2, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20a
No MatLab:
5, 6, 14, 20b
Top Related