Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente
Correlacionados
Apoio:
http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html
Esta apresentação pode ser obtida do site
seguindo o link em “Seminários, Mini-cursos, etc.”
Raimundo Rocha dos [email protected]
Esquema do mini-cursoI. IntroduçãoII. MC para Sistemas ClássicosIII. QMC a T finita: PreliminaresIV. QMC a T finita: Amostrando o Espaço de Fases com
Determinante FermiônicoV. Instabilidade a Baixas TemperaturasVI. O Problema do Sinal NegativoVII. ExemplosVIII. SupercondutividadeIX. O Modelo de Hubbard AtrativoX. Metais, Isolantes ou Supercondutores?XI. Efeitos de DesordemXII. Conclusões e Perspectivas
A aproximação de elétrons indepen-dentes com o modelo de bandas expli-ca boa parte dos comportamentos observados:
• metais• isolantes• semicondutores
Introdução
Elétrons (independentes) em sólidos: potencial cristalino periódico
elétrons quase-livres[menos localizados]
a limite atômico
[mais localizados]
a a
dE dE
Pergunta: quantos estados quânticos há num intervalo de energia dE ?
Densidades de estados (eletrons quase-livres ou tight-binding)
MetalIsolante ouSemicondutor
Depende da magnitude do gap:•isolante se eV •semicondutor se 0.1 eV
Mas, cuidado com bandas estreitas (especialmente d e f ):maior tendência à localização
elétron passa mais tempo perto do núcleo
tem maior chance de encontrar outro elétron no
mesmo núcleo
interação repulsiva (Coulombiana) entre elétrons não pode mais ser desprezada
os e se movimentam solidariamente, para
minimizar a energia fortemente correlacionados
Supercondutores de Alta Temperatura
Cálculos de bandas: caso não-dopado (x = 0):
Metal ????
Incluindo correlação, ocomportamento isolante(correto!) é obtido
Sistemas de muitas partículas interagentes: quer-se estudar propriedades coletivas Mecânica Estatística
Perguntas típicas que se quer responder sobre um determinado sistema:
• ele pode ser magnético? qual o arranjo?• é metálico?• é isolante?• pode ser supercondutor?• como a carga está distribuída espacialmente?• estas propriedades estão intrinsecamente ligadas?
Para responder a estas questões em diversos sistemas físicos reais, os aspectos quânticos têm que ser levados em conta de modo fundamental
Pelo menos duas escalas de energia: kBT e :• se kBT >> , o fato dos níveis serem discretos não importa
sistema “clássico”• se kBT , a ausência de estados acessíveis pode ser crucial (e.g., gap supercondutor)
sistema quântico fenômenos temporais inseparáveis: h/2 dimensões extras
Espectro:
Estaremos interessados nas propriedades físicas de férmions (p.ex., elétrons, buracos, etc.) em cristais: interplay entre graus de liberdade de
carga
e de spin
i.e., distribuição espacial de carga, propriedades de transporte (condutividade)
Ordenamento magnético
Em isolantes, o grau de liberdade de carga está congelado
Modelos: através de modelos (essencialmente de uma Hamiltoniana apropriada) espera-se captar os ingredientes físicos fundamentais, que sejam responsáveis pelo comportamento observado
Assim, consideraremos aqui as propriedades de spins itinerantes (spins localizados serão pensados como um caso limite)
Aproximações: dado um modelo, é necessário “resolvê-lo”, ao menos de modo aproximado, e calcular grandezas que permitam caracterizar as propriedades físicas.
As simulações de Monte Carlo devem ser pensadas como uma das aproximações possíveis. E, como tal, tem limitações. Daí a extrema importância da análise de dados.
Modelo emblemático para spins localizados: Modelo de Heisenberg
ji
jiJH,
SS
Se J > 0 : tendência a Ferromagnetismo
Se J < 0 : tendência a Antiferromagnetismo
i j
N.B.: Os mágnons são as excitações de mais baixaenergia, e destróem o estado ordenado a qq T > 0em d 2.O que ocorre no estado fundamental?
• Os FM’s se ordenam a T = 0, em qq d • E os AFM’s ?????
1os. viz.apenas
Classicamente, os modelos AFM e FM são equivalentes numarede bipartite:
(i.e., que pode ser de-composta em duas sub-redes, e , equivalentes, como as redes quadrada, cúbica simples, etc)
ii
ii
ii
,SS,SS
FMAFM HH
Flutuações quânticas efeitos não-triviais no estado fundamental (T = 0) de antiferromagnetos
P.ex., ao flipar os spins de uma sub-rede, as relações de comutação não são preservadas se S < :
ziij
yj
xi
ziij
yj
xi SiSSSiSS
,,
• d = 1 quase-ordem (correlações decaem com lei de potên- cia, ao invés de tenderem ao quadrado da magnetização; exato).• d = 2 há ordem ou quase-ordem? QMC: ordem [Reger & Young (1988)]
????
Favorece o salto dos férmions entre sítios (termo de banda)
Repulsão Coulombiana: a energia total aumenta se 2 e’s ocuparem o mesmo orbital termo de correlação†
iii
jiijji nnUcccctH
,,
Modelo emblemático para spins itinerantes: Modelo de Hubbard
Competição entre graus de liberdade de carga e de spin
Hubbard Heisenberg AFM para um e por sítio (banda semi-cheia) quando U t
† para uma apresentação .ppt de revisão sobre aspectos de sistemas fermiônicos fortemente correlacionados, veja http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html e siga os links em “Seminários, Mini-cursos, etc.”
O papel da dimensão espacial:
em uma dimensão não há ordem magnética de longo alcance quase-ordem
itinerância onda de densidade de spin (SDW)
Conseqüências da competição carga-spin em d = 1: CDW’s e SDW’s
Brown and Grüner (1994)
ômico
não-ômico
Se período da CDW incomen-surável com a rede [i.e., r a; r racional e a parâmetro de rede] transporte de corrente é não-ômico
Explicação: analogia mecânica
Importante determinar o período da CDW
Brown and Grüner (1994)
Acredita-se que nos su-percondutores de alta tem-peratura haja um equilí-brio entre o ordenamento de spin (AFM, não SDW) e o ordenamento de cargas (tipo CDW) ao longo de uma direção ( na Fig.):
As cargas tendem a se agrupar em regiões de menor ordem AFM
Fase listrada melhor observada num “primo” dos supercondutores
novo ingrediente:ordenamento direcional dosorbitais d do Mn
Formação de CDW [onda de densidadede carga]
Que grandezas usar para caracterizar o comportamento para sistemas de tamanhos finitos?P.ex., comportamento magnético (FM de Ising)
magnetização: (não há quebra de simetria) suscetibilidade: tem máximo na transição OK
função de correlação: (r) decai com a distância com lei de potência (se crítica)
o teorema de flutuação-dissipação se modifica devido aos aspectos quânticos (i.e., não-comutação) :
HB
s
z eTkGBG
NSm
Trln;1
Magnetização e suscetibilidade:
Como
Bm
χ
Hzi
Hzi
ji
zj
zi
zj
zi
s
eSeS
SSSSdN
τ-τ
β
τ
onde
ττβ
βχ
)(
)0()(1
,0
HH -H eH
ede ττ)βλ
λτ
λ
(
0
)(
evolução “temporal”
MC para sistemas clássicosModelo de Ising (spin-½):
ji
ji SSJH,
Para modelos clássicos, cada configuração corresponde a um autoestado de H, de modo que pode-se associar a ela uma energia E ({S}).
N sítios na rede; spin em cada sítio pode estar em um de dois estados Espaço de fases tem 2N configurações:
NSSSSSSS ...54321
S S z S = 1
Lembre-se que a função de partição é obtida através de uma soma sobre todas as configurações.
Mas: probabilidade de ocorrência de uma configuração {S} é
})({1})({ SEeZ
Sp
algumas configurações são menos prováveis que outras por que desperdiçar tempo na amostragem, tratando todas as configurações como se fossem igualmente importantes?
Amostragem por importância: um exemplo simples
M
iixf
MxfdxI
1
1
0)(1)(
Aproximemos a integral por uma soma discreta:
se {x} tomados ao acaso, e com iguais probabilidades, no intervalo [0,1]:
fi f (xi), i = 1,...M são variáveis aleatórias independentes
M
ii
M
ii
fI
fM
ffM
f
M
ff
M
11
22
22
1,1 e
com
σ dois modos de se diminuir o erro:
1. M 2. diminuir f
Seja w (x) uma função peso normalizada, tal que
1)(,)()()(
1
0
1
0 xwdx
xwxfxwdxI com
Definindo
1)1(0)0();()()(0
yyxwdxdyxwxdxy
x e
a integral I pode ser escrita como
M
i i
i
yxwyxf
MyxwyxfdyI
1
1
0 )()(1
)()( Amostragem de f/w
sobre pontos y distribuídos uniformente
Escolhendo w t.q. a razão f/w varie pouco com x, teremos um erro pequeno
y
w
xdx=dy/w
Isto é, tomamos mais pontos x perto de onde a função é maior
Amostragem por importância
O algoritmo de Metropolis et al. faz a amostragem por importância do espaço de fases: as configurações vão sendo geradas em sucessão, cada uma a partir da anterior
{S} {S}’
A diferença de energia entre as configurações {S} e {S}’ é uma propriedade local; i.e., depende apenas dos spins em torno daqueleque se tenta flipar. No exemplo acima: E = 2 J – (– 2 J) = 4 J
A razão entre as probabilidades de ocorrência das duas configs. é:
EeSpSpW
})({)}'({
• Se W > 1, a nova configuração é aceita.• Se W < 1, a nova configuração é aceita com probabilidade W
Vá para o sítio seguinte e repita o procedimento: tente virar o spin e verifique se a nova configuração é aceita.
N.B.: A possibilidade de aceitar uma configuração menos provável simula o efeito das flutuações térmicas!
Faça isto para todos os sítios da rede (finita). Ao final, calcule grandezas de interesse A({S}). A pode ser, p.ex., magnetização, energia, suscetibilidades, calor específico, etc.
Após varrer a rede M vezes, teremos M valores de A, e umaestimativa para a média no ensemble é dada por
M
AM
A1
1
Alguns comentários técnicos, mas muito importantes:1. Cada varredura da rede é considerada como um passo de
MC. E cada passo de MC é usado como uma unidade de “tempo”.
2. Antes de calcular valores médios deve-se aguardar um certo número de passos até que o sistema termalize e as médias passem a flutuar pouco; este número de passos depende da temperatura e de características do próprio sistema, como, p.ex., interações e/ou desordem.
3. Os A não são variáveis aleatórias independentes porque, por construção, as configurações mantêm uma certa correlação entre si. Solução: promediar diferentes Ā
M M M
Ā1 Ā2 ĀG....
G
AG
A1
1
G
AA 22
barra de
erro
4. Efeitos de tamanho finito.• Quais as escalas de comprimento importantes?
o tamanho linear, L;o comprimento de correlação, |T – Tc|
• Logo, a variável relevante deve ser a razão entre estas duasescalas: L / • Segue daí a teoria de finite-size scaling [prevê como os
máximos nas diferentes grandezas (p.ex., suscetibilidade, calor específico,, etc.) se tornam singularidades ao nos aproximarmos do limite termodinâmico]:
LTT
LLconstLfLTX
xc
xx
L
se ,
se ,)(
FSS auxilia nas determinações de Tc , da natureza das fases e dos expoentes críticos.
X é qqgrandeza
TD
QMC a T finita: PreliminaresDiscutiremos agora apenas•sistemas itinerantes (fermiônicos), devido à sua maior abrangência
modelo de Hubbard, por ser o mais simples
iii
iii
jiijji
nnU
nncccctNH )(,,
KV
Problema: queremos amostrar os estados possíveis de cada partícula (a rigor, sítio), mas
0, K,Veee VKVK pois
gran-canônico!
[dos Santos (2003) e refs. lá contidas]
Solução: fórmula de Trotter
BABABA
BABA
eeeeee
eee
0
1
0
lim
lim
(1/) termos
• Interpretação de : intervalos de “tempo” (imaginário) discretos• Para uma dada temperatura T, = ( kBT )-1 temos então M fatias “temporais” , M =
1322,,,
1
11
11
21
1
ieiieiiei
ieieTreTrZ
HM
HH
iii
MH
i
MHH
M
...}{
:
n
i
temporalfatia daestado
o denota
i1 i2 i3 iM i1
• O operador e- H introduz uma correlação entre os estados na direção temporal
dimensão efetiva do sistema é ( d + 1 ) M quando T 0
• Obteremos, então, uma seqüência de aproximações para a função de partição, Z , a qual deve, em princípio, ser extrapolada para 0
• Mas isto ainda não é suficiente: precisamos poder variar os estados de cada sítio individualmente, mas
precisamos de uma nova aproximação
0,,,
, jkij
ji
KKKKee ijji ij
pois
2a aproximação: Decomposição do tipo tabuleiro de xadrez
Exemplo em d = 1:H = HA + HB
HA = H12 + H34 + H56 +
HB = H01 + H23 + H45 +
x
0 1 2 3 4
2
211,,,
1,,,21 21
iejjeiZ BA
M M
HH
iii jjj
2 oBA HHH eee
Em d = 2, desmembra-se H em plaquetas:H = HA + HB
ímpares plaquetas
pares plaquetas
pB
pA
HH
HH
Vejamos agora um algoritmo para varrer o espaço de fases
Resumindo as 2 aproximações:1. Trotter para introduzir dimensão temporal
introduz erros sistemáticos da ordem de 2
2. Decomposição em tabuleiro de xadrez introduz erros sistemáticos também da
ordem de 2
QMC a T finita : Amostrando o Espaço de Fases com determinante fermiônico
jjiiij nUnnUnK eee τττ
A preparação anterior nos levou a isolar os termos de interação sob a forma
cc
bilinear “integrável”(e.g., livre)
cccc
não-integrável façamos umatransformação que o leve a cc
A transformação de Hubbard-Stratonovich:
Inspirada na identidade(A é um operador)
xAxA
edxe22
21
21
2π
A forma quadrática em A é transformada em linear! Custo: introdução de um “campo auxiliar” x.
1a. providência: fazer aparecer uma forma quadrática na interação
nnnnnn
nnnnnn
21
21
21
21
2
2
ouLembrando que, para férmions, n
2 = n = 0, 1temos
m (magnetização)n (carga)
Usando a forma em que aparece m2 temos
nnxUxnnUnUn
edxeeττ
τπ
2
21
22 m
x se acopla com mU > 0 !!!!
ou, para o caso de U < 0, usamos a forma em que aparece n2:
nnxUxnnUnUn
edxeeττ
τπ
2
21
22 n
x se acopla com nU < 0 !!!!
,
nUs
s
nnUnns
s
nnxUxnnUnUn
ee
edxee
2
1
2
1
21
2
21
21
22
ττ
τττ
π
Para simulações, é mais conveniente que a transformação de Hubbard-Stratonovich seja discreta:
1sdx
2τcosh Ue
Para U < 0 usa-se uma relação análoga, porém com o campo flutuante acoplando-se com a carga
Ou seja, a THS indica que férmions interagentes (on-site) são equivalentes a férmions livres em um campo magnético flutuante
Aplicando esta transformação para todos os sítios (espaço-tempo), podemos escrever a gran-função de partição como
M
nsZ
1
TrTr
i
iiiji
jiji cVccKcM
ns
ML
eeZd
,
τ
,1
TrTr2
1
onde
casos outros vizinhos1 para os.
0i,jtK ij 2
UsV ii e
Dℓ ()
Os expoentes que aparecem em Dℓ () são bilineares nos operadores fermiônicos...
...e formas bilineares em operadores fermiônicos podem ser integradas.
Demonstração [2 estágios; ver dS (2003) p/ detalhes]:
1. Demonstra-se a identidade
cccBccAc
eee jijiji
jijiji
,,
onde são os autovalores da matriz e BAee
2. O Tr nas variáveis fermiônicas vira um determinante:
BA
nn
ee
eee
1
1
det
TrTr
No nosso caso, temos produtos sobre as fatias temporais e sobreos spins fermiônicos...
...isto é,
i
iiiji
jiji
ML
cVccKcM
nseeZ d
,
τ
,1
TrTr2
1
O traço fermiônico pode então ser efetuado:
sOsO
BBBZ
s
MMs
detdetTr
detTr 111
Fator de Boltzmann? Cuidado! O det · det não é necessariamente > 0 Se não for, tome |det · det| (mais sobre isto depois)
Matrizes Ns Ns
A simulação:Tomando det O ·det O como fator de Boltzmann, fazemos a simulação nos {s}Escrevamos
O passo de QMC: Estamos no sítio da fatia
i
11 BBBB1O Mdetdet )(A
1
A1AA
2 )(),(
)(),()()(
),()(
iskiji
jk
ii
ei
i
ss
com
entãoSe
Todos os elementos são nulos, menos o da posição i da diagonal
Obs: det nãose alterap/ perm.
cíclica dosB’s
OO
ROO
RRR
RRW
detdet
detdet
1e com
Este passo de QMC é aceito com probabilidade
Cálculo de R :Necessitamos da função de Green instantânea, i.e., calcu-lada na fatia ℓ, 1 ℓ M , para uma dada configuração {s}: 1
121 BBBBB1gg
Mjiij
cc )()(
iiiiiR
),( g11 A razão entre det’s fica trivial se pudermos calcular as g’s instantâneas
Se o passo é aceito, tem-se que atualizar os O , ou, equivalentemen-te, as funções de Green:
1
1g11ggg
Note o caráter não-local desta atualização: ao aceitar o passo no sítio i, toda a g na fatia ℓ tem que ser atualizada: Ns 2 operações!
• Agora tenta-se virar o s do próximo sítio na mesma fatia temporal
Após tentarmos virar as variáveis em todos os sítios, passemos para uma nova fatia temporal, na qual a função de Green se torna 1
1 BgBg
Ns 2
operações!OBS: Erros de arredondamento degradam g após um certo número de atualizações desta forma; periodicamente deve-se calculá-la a partir da definição
A manipulação através de funções de Green é uma das grandes vantagens desta implementação por determinante fermiônico, já que os valores médios de interesse também podem ser expressos em termos das g’s:
iiii
iiiiiiiiiii
gg
ggccccnnm
11
O Teorema de Wick tb se aplica no caso do Tr{n}: 324143214321 iiiiiiiiiiii cccccccccccc
expressos em termos das g’s
Em princípio estaria tudo bem, mas há dois importantes problemas que discutiremos em seqüência :
1. instabilidade a baixas temperaturas;2. sinal negativo do determinante fermiônico.
Instabilidade a Baixas TemperaturasDurante a simulação fazemos o produto de muitas matrizes, como, p.ex., no cálculo de Z
VK
MMs
eeBBBBZ comdetTr ,111
ou no cálculo da própria função de Green a partir da definição1
121 BBBBB1g
M
• O Problema: B mal condicionada autovalores que crescem exponencialmente com o inverso da temperatura níveis de energia negativa (quase sempre ocupados) autovalores ~ 1 níveis de (alta) energia positiva, raramente ocupados (mas Gran-Canônico!) mistura de escalas difícil de acompanhar numericamente
Este problema se manifesta mais gravemente no update das g: • à medida em que T diminui, inicialmente aumenta a freqüência com que g tem que ser calculada a partir da definição• à medida em que T diminui ainda mais, o cálculo de g fica impraticável, mesmo a partir da definição
Como é baixa a escala de temperaturas de interesse, tem-se que resolver este problema
• 1a Solução Possível: Formulação espaço-tempo [Hirsch 88]
Na formulação “espacial” original,
1
1
~1~
OgBO
L
Matrizes NxN N2 ops. por update de g N3 por fatia N3L por rede xt
Um outro extremo é a formulação espaço-temporal:
( M L )
A razão entre os maiores e os menores autovalores desta matriz cresce algebricamente com L melhor comportada para inversão
Matrizes NL x NL (NL)2 ops. por update N3L2 por fatia (NL)3 por rede xt
Esta formulação espaço-temporal é inviável: fator L2 sobre a espacial
O melhor mesmo é um procedimento intermediário: • agrupe apenas uma fração p das fatias temporais, de modo que L0=L/p fatias sejam colapsadas
Matriz Np x Np cujo maior autovalor é da ordem de exp(0), onde é uma escala típica de energias de 1 partícula, e 0 = L0
Vantagem adicional: a inversa de OLo fornece diretamente um conjunto de g’s:
OLo (ℓ) é definida, de modo semelhante, aumentando-se cada indice da matriz anterior de ℓ-1; analogamente para g
A escala de updates agora fica (NL)3/L02 por rede xt, e pode-se
atingir ~ 20
• 2a Solução Possível: Fatorização de matrizes [White et al 89]
Suponha que m matrizes possam ser multiplicadas sem deterioração:
111 BBB mma
Usa-se ortogonalização de Gram-Schmidt para escrever o produto como
1111 RDUa Matriz ortogonal
bem condicionada Matriz diagonal com gran-
de variação no espectro
Matriz triangular
bem condicionada
Multiplica-se à esquerda por mais m matrizes
22211111222 BBB RDURDUa mmm
e assim sucessivamente, agrupando-se M/m multiplicações:
mMmMmMmM RDUaA
Para calcular g, devemos isolar D, devido à sua grande variação espectral
RDU
RDRUUA mMmMmMmMmM
1111g
Com este algoritmo, também atinge-se t ~ 20
O Problema do Sinal Negativo
Para o modelo de Hubbard repulsivo, na banda semi-cheia, n = 1, det det > 0, devido à simetria partícula-buraco
Demonstração:1. Transformação partícula-buraco
iiiii
iii ddcccdc 11
vizinhosprimeiros se jiKK
chddtKchcctK
ijij
jiji
ijjiij
,~..~..
1
2UnnUnnUnnnUn iiiiiiii~~~~
A Hamiltoniana fica invariante pela simetria partícula-buraco se
2UU condição para banda semi-cheia
Obs.: No caso de hopping entre 2os. vizinhos, p.ex., não há simetria partícula-buraco, de modo que a condição para banda semi-cheia não é conhecida a priori.
2. “Det” sob transformação partícula-buraco
i
U
ii sUsV 2
2
0detdetdetdet
TrTrdet
,
~~
~
OOOeO
eeeeeO
ii
ii
iii
iii
s
snsK
n
nsK
n
Logo, não há problema de sinal para Hubbard repulsivo (hopping de 1os vizinhos apenas) com n =1
Para o modelo atrativo, pode-se mostrar que, para qualquer n ,
0 OOOO detdetdetdet
como resultado do campo auxiliar se acoplar com a carga.
Vejamos agora o que acontece quando o produto dos det’s é < 0
c
cpOOZ )((( σ)detσ)detTrσ soma sobre configurações c
s
sA
cscp
cAcscp
cp
cscp
cp
cAcscp
cscp
cAcscp
cp
cAcp
A
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
)()(
)()()(
|)(|
)(|)(|
|)(|
)()(|)(|
)(|)(|
)()(|)(|
)(
)()(
OK enquanto s ’ 1
2D
3D
nes NU de fortemente depende onde ,
Fora da banda semi-cheia, desde que trabalhemos na região em que s 0.6, pagando o preço de realizar amostragens mais longas, as médias ainda têm algum sentido.Tamanho da amostragem (independente de s ) determina os erros estatísticos
O “problema do sinal negativo” ainda não foi resolvido; vejadiscussão sobre problemas correntes
Exemplos1. O diagrama de fases do modelo de Hubbard 2-D, a T = 0
Teoria de Campo Médio (teoria de 1 partícula)
Propriedades magnéticas:
iii nnmoperador magnetização:
operador momento local:22
43
ii mS
fator de estrutura:
jiji
jiimmeS
,
RRq
N1)q(
suscetibilidade:
HH
jiji
jii
AeeA
mmde
τ-τ
β
τ com
τχ
)(
,)(N1
)q(0,
RRq
Função de correlação: iiyx mmc ),(
···
Correlações AFM’s enfraquecem ao nos afastarmos da banda semi-cheia
···
n = 1, L = 10U = 4, β = 10
n = ½, L = 8U = 4, β = 10
[White et al 89]
Fator de estrutura magnético
jiji
jiimmeS
,
RRq
N1)q(
S (q
x, q y)
qx
S (q) tem pico em (,)
Pico em S (,) a T = 0 cresce com L
S (
, )
β
[White et al 89]
Aproximação de onda de spin:
212
31),(
NomN
S
Extrapola para um valor finito ordem de longo alcance
1/L
S/N
Erros sistemáticos não são muito dependentes de β
[White et al 89]
[Hirsch & Tang (89)]
Fator de Estrutura para outras densidades:
Logo, para n 1 o sistema é PM
S (,) só cresce significativamen-te com para n = 1
[Hirsch (85); Hirsch & Tang (89)]
Pico incomensurável para <n> 1; c.f. espalhamento de neutrons para LSCO
[Moreo et al. (90)]
Transição Metal-isolante:
Compressibilidade:
n
nPV
V 2
11
Isolante: não se consegue adicionar partículas através de pequenas variações do potencial químico (nível de Fermi) 0
U/2 U/2
[Moreo et al. (90)]
Mais tarde: outros critérios para M ou I
2. CDW no modelo de Hubbard 1-D, a T = 0
KF
KF
xx)kA
xxxkA
xK
xnn 422/31 124cos(
ln)2cos(
)()()0(
K caracteriza a intensidade da interação
2kF n; n é a densidade eletrônica
Para o modelo de Hubbard prevê-se que K 1/2 2kF mais importante que 4kF
Previsão da teoria de líquidos de Luttinger:
kF-kF
k
[Voit(1994)]
Distribuição de carga:operador densidade de carga:
suscetibilidade:
iii nnn
ji
ji
jiinne
NC
,
RRq1)q(
fator de estrutura:
)0()(1)q(
0,
RRqji
ji
jiinnde
NN τ
β
Hi
Hi enen
ˆˆ
U crescente: 4kF ainda cresce para T 0, 2kF estabiliza (Ns 36 sites)
Sem efeitos de tamanho finito ou temperatura finita: simulações com Ns 96 N(4kF) ln
n 1/6
[Paiva & dS (00a)]
Logo, o modo de carga com 4kF de fato predomina sobre o com 2kF, ao menos para valores de U suficientemente grandes.
Acordo com descrição de LL : amplitude A1(n,U) de 2kF 0 para U U (n)
Esquematicamente:n
1
0U
2kF
4kF
U (n)
[Paiva & dS (00a)]
iii
jiijji
jiijji nnUcccctcccctH
,,2
,,
3. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 1-D
Simetria partícula-buraco: n 1- n e t2 - t2
t2
Diagrama de fases para U=0
Questões de interesse: (1. Supercondutividade/ Gap de Spin?) 2. Rota para o Ferromagnetismo?
t1
t2
Compostos do tipo “escadas” (ladder)
SrCu2O3Sr2Cu3O5
SrCuO2
Ferromagnetismo [Ghosh e RRdS, 99]
U = 2t
FM
U = 2t
A presença de t2 estabiliza a fase FM em uma região de parâmetros
O pico FM já aparece para U 6t quando t2 = 0.15a região FM do diagrama acima move-se para baixo quando U aumenta“Problemas de sinal negativo” não permitem verificar a SUC para valores maiores de t2
Supercondutividade1. Fenomenologia
Metal normal
Resistência nula
Efeito Meissner
momento
ener
gia
00 jki
i 00 jki
i
Elétron só é espalhado ( resistência) pq há estados finais disponíveis
dens. de corrente
Considere cargas negativas em um potencial periódico
momento
ener
gia
E
2. Condução em Metais
Como evitar dissipação?
Suprimir, através de algum mecanismo, estados acessíveis na faixa de energia próxima ao nível de Fermi
3. Interação elétron-elétron
elétron
íon
A interação Coulombiana entre um par qualquer de elétrons é blindada pelos demais elétrons e pelos íons; pode chegar a ser atrativa em alguns casos.
constante dielétrica
'k'k,k
k'kkkk
k)k( bbVcc
H
termo livre (banda)
kkk ccb
4. A Teoria BCS:
Solução variacional:
k 2k
kk 01
1
g
bg
A equação do gap:
2k
2k
'k 'k
'k'kk
0k )k(
21
EE
VV
com ,
)()k(k T
dkkdkks
xyyx
yxyx
- onda
- onda -onda
sensen
coscos1
)k( 22SUC’sconvencionais
2
Gás de e `s
Estados ocupados
Estados desocupados
F
+ interação atrativa
A modificação no espectro pode ser esquematizada da seguinteforma:
ener
gia
momento
Condução por pares (cada par tem KCM=k1+k2):
todos têm KCM = 0
Para um par “sentir” a impureza teria que ser quebrado:
KCM KCM dos demais pares alto custo energético (gap!)
Ao formarem pares, os elétrons “se vacinam” contra as fontes de resistência
ener
gia
momento
E
Por quê [Anderson, 87] ? • O estado fundamental do modelo de Hubbard, fora da banda semi-
cheia, seria o de fortes correlações AFM’s de curto alcance. • Os férmions (buracos no contexto da maioria dos SUC’s de alta T)
formariam pares singletes ressonantes [RVB] pares de Cooper?
5. Supercondutividade no modelo de Hubbard repulsivo 2D?
Propriedades supercondutoras:
)()()k(1)( kk
k ττ τ ccf
Nrr
operador de emparelhamento:
suscetibilidade uniforme (q=0):
,)()(0
0ττβ
rrr dP
fr (k) = 1 pares no estado sfr (k) = cos kx cos ky pares no estado d fr (k) = cos kx + cos ky pares no estado s* (estendido)
1os resultados de QMC [Hirsch & Lin ’88]
Sem tendência a emparelhamento
Pr
U = 4
Ao ligar a interação, as suscetibilidades de pares ficam menores que as do caso livre.
Outros resultados de QMC [White et al ’89]
Parte descorrelacionada retirada
Suscetibilidade total
Se o enhancement tivesse sido significativo (FSS, T mais baxas, etc), seria forte evidência para a formação de pares
Logo não há, ainda, sérias evidências numéricas para SUC no modelo de Hubbard repulsivo
6. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 2-DDensidades de estados (U=0)
Singularidade de van Hove
Há expectativas de que a presença da singularidade de van Hove favoreça um estado supercondutor [BCS: Tc~ exp[-1/(F)|V|]
Só que quando t2=0, a singularidade ocorre no estado isolante; se t20, a singularidade fica deslocada para a região metálica.
Solução de campo médio (Hartree-Fock) a T = 0:
t2=0
t2=0.4
88, n = 42/64 0.66
1010, n =0.74
• t2<0 as correlações magnéticas na direção diagonal diminuem; aumentam na direção da face
• t2>0 comportamento oposto
[c.f. espalhamento de nêutrons em cupratos]
• As correlações de carga têm comportamento com t2 oposto ao das correlações magnéticas.
[Huang et al. (01)]
Sem evidência de FM nos intervalos
estudados
Indicações de SUC:4x4, t2 = 0.4n = 1.1 U=0 U=4
6x6, t2 = 0.4n = 1.5 U=0 U=4
A presença de U aumenta a suscetibilidade de pares (onda-d), quando comparada ao caso livre.
Não foi possível à época realizar um estudo mais sistemático: FSS, <n>, etc.; probs: sinal negativo, tempo, etc.
[dos Santos, 89]
tx
ty
t/’ t\’
t’’
[Kuroki e Aoki (98)]
Estendem o espaço de parâmetros para que o espectro fique com níveis pouco espaçados
12x12<n>=0.82t’=-0.43t’’= 0.07U=1
12x12<n>=1.32
t’=-0.5t’’= 0U=1
O Modelo de Hubbard Atrativo
iii
iii
jiji nnnnUcctH
σH.c.
,,
Características:•Emparelhamento no espaço real, ao
contrário de BCS.•Equivale a BCS para |U| << t•Apresenta gap (para excitações) de
spin SUC’s de alta T
•Mais amigável para cálculos numéricos
pode ser usado como modelo efetivo para entender diversas propriedades de supercondutores (p.ex., desordem)
[Micnas et al. (90)]
Tc
T*(região de pares pré-formados;gap de spin)
|U|
Algumas propriedades [Emery (76), dS(93)] :
1. Transformação partícula-buraco parcial:
i
iiii cccc 1,
iii
iii
jiji
nnUnnU
cctHH
2
σH.c.
,,
acoplamento com campo magnético (z)Interação Repulsiva
Ainda como conseqüência desta transformação,
correlações de pares correlações antiferromagnéticas XX e YY
correlações de carga correlações antiferromagnéticas ZZ
U < 0 U > 0
2. Limite de acoplamento forte U >> t :
Façamos o limite de acoplamento forte em H ’
||,,
UtJShJHji i
ziji
24SS com
AFM de Heisenberg com campo uniforme na direção z:• se h = 0, ordem tipo Heisenberg isotrópico• se h 0, ordem tipo XY
O que isto implica para nosso modelo atrativo original?• se a banda é semi-cheia: coexistência CDW + SUC• fora da banda semi-cheia: somente SUC
a dimensão espacial define se a ordem é de longo alcance, e/ou se persiste a T > 0
Análise de QMC em 2D [Moreo and Scalapino (91); Paiva, dS et al. (04)]: sem sinal negativo! Função de corelação de pares
com
Em 2D:• banda semi-cheia: Heisenberg isotrópico só há ordem de
longo alcance a T=0 • fora da banda semi-cheia: modelo XY há quase-ordem a T
< Tc Kosterlitz-Thouless
Finite-size scaling:
K-T: = ¼
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
T C
< n >
0 4 8 12 16
0,01
0,1
5 6 7 8 90.02
0,03
0,040,050,060,070,080,090,1
P
s/L2- s
L=4
18
Cruzamentos: estimativa de Tc para <n>
Variando-se <n> obtém-se Tc (<n>)
[Paiva, dS, et al. (04)]
Em 3D:
Expansões em série para o modelo XY: = 0FSS:
LfTPLTLfTPL css qualquer para ,022
L = 3 ??
L = 4
L = 6[dos Santos (94)]
Lx
Lz
Ly
Qual a dimensão linear deste sistema?
22213
zyx LLLL
11123
zyx LLLL
31
3 zyx LLLL
Para 4x4x2, temos L1 = 2.83, L2 = 3, e L3 = 3.17Escolhe-se a definição que aproxima os encontros no scaling plot
[dos Santos (94)]
Suscetibiliade uniforme:
tipo Pauli (na rede)
tipo spin gap
pares pré-formados[dos Santos (94)]
QMC no mod repulsivo
Sols. variacionais
U
O máximo de Tc não parece variar muito com U.
[dos Santos (94)]
Metais, Isolantes ou Supercondutores?Motivação: Como determinar, através de simulações, se o estado fundamental é SUC, sem supor qualquer simetria para o estado do par? (E, caso não seja, determinar se é isolante ou metal)
[Scalapino et al. (93)]
Considere a componente x do operador densidade de corrente
e sua função de correlação espaço – i-temporal
Idéia básica: resposta do sistema (anel ou toróide) a um fluxo magnético
Tomemos a transformada de Fourier (no espaço e no i-tempo) da função de correlação
Agora podemos definir os limites
transverso
longitudinal
Definamos também a energia cinética associada aos links na direção x
Regra de soma impõe que deve sempre ser veri-ficada através de cál-culos explícitos
Testes: Hubbard repulsivo e atrativo na rede
quadrada com QMC
Kx
Kx
N.B.: Os q são discretos:limq0 sujeito a erros deextrapolação
OK: L = Kx a cada temperatura
Como resultado do Efeito Meissner, o parâmetro de ordem supercondutor (densidade superfluida) é dado por
Fase SUC: s 0 como resultado da simetria L -T (ou Kx- T) ser quebrada
s = 0: Hubbard repulsivo na banda semi-cheia é isolante
Hubbard atrativo fora da banda semi-cheia
Note efeito de temperatura: para = 2, s = 0para = 6, 10 s 0consistente com transição
de K-T a T finita
Kx
Kx
Hubbard atrativoCuidado com análise a T fixa: aparente fase SUC na banda
semi-cheia.
Hubbard atrativo a = 10: s extraída a partir de T calcu-
lada no menor qy disponível
Kx
Hubbard repulsivo fora da banda semi-cheia (sinal negativo!):
s = 0: não-SUC
s = 0: não-SUC; mas cuidado com efeitos de tamanho finito
Examinemos, então, a condutividade:
D é o peso de Drude ( densidade de transportadores/massa); logo
E quando o sistema não fôr SUC, podemos dizer se é M ou I?
Isolante D = 0Metal D 0
D pode ser calculado como
O lim0 é mais eficientemente tomado numericamente em termos das freqüências de Matsubara
D 0: Hubbard repulsivo na banda semi-cheia é isolante;
atenção para efeitos de tamanho-Kx
-Kx
D D0 : Hubbard repulsivo fora da banda semi-cheia é metálico.
Cuidado: isto não quer dizer que o sistema seja metálico a T > 0. Isto é
pq T < para excitações de partícula-buraco; para T fixa e L , teríamos, necessariamente, D 0
KxHubbard atrativo a = 10: D D0 (zero resistência)
Efeitos de DesordemMotivação: Todos os sistemas estudados até agora eram puros. Quais são os efeitos de impurezas – isto é, componentes que se comportam de modo diferente da maioria – nas propriedades físicas dos materiais? Exemplos:
• átomos magnéticos diluídos em matrizes não-magnéticas; • átomos de uma espécie diluídos em matrizes de outra; diferentes níveis atômicos ou integrais de hopping• sítios com U = 0 diluídos em matriz de sítios com U < 0• etc.
2 tipos de desordem, caracterizadas pelas relações entre as escalas de tempo envolvidas: Sejam
• – tempos característicos da dinâmica das interações; p.ex.: tempos de flutuação dos spins; tempos de hopping de elétrons, pares de Cooper, etc.• i – tempos associados à difusão das impurezas pela matriz hospedeira
Se ~ i a configuração (posição, etc.) das impurezas é determinada pelas condições de equilíbrio desordem recozida (annealed)
ZTkGeZ BsH
c sc lnTr
P.ex., para um isolante magnético:
Se << i a configuração (posição, etc.) das impurezas é totalmente aleatória e congelada. desordem temperada (quenched)
ZTkGeZ BsH
sc
c lnTr P.ex., para um
isolante magnético:
•No caso de simulações, gera-se uma configuração de desordem e executa-se os passos como antes: termalização, promediação, etc.
•Repete-se para um certo número de configurações de desordem, e faz-se a média das grandezas sobre as diferentes realizações de desordem.
Consideraremos aqui apenas desordem temperada
Quanto podemos dopar um supercondutor até que ele fique normal (isolante ou metal)?Questão ainda mais interessante em 2-D (filmes bem finos):
• supercondutividade é marginal transição de Kosterlitz-Thouless
• coomportamento metálico (e- livres) também marginal
Localização para qq desordem (expts. recentes: MIT possível?)
Supercondutores desordenados
Sheet resistance:
R a uma temperatura fixa pode ser usada como medida de disordem
Desordem em escalas atômicas: filmes amorfos sputtered
CR
ITIC
AL
TEM
PER
ATU
RE
T c (ke
lvin
)
Mo77Ge23 film
[J Graybeal and M Beasley (1984)]
t
ℓℓ
ttAR
independe do tamanho do quadrado
Tc decresce com a desordem: blindagem da repulsão coulombiana é enfraquecida
SHEET RESISTANCE AT T = 300K (ohms)
†( . )i jìj
H t c c h c
Potencial químico: controla # de elétrons
i i ii
U n n ( )i ii
n n
Ui = 0 com prob fUi = U com prob 1-f
Modelo para estudo da desordem:
Inicialmente T 0: efeito da desordem no estado fundamental
2
2sP C
L L Aprox de onda de spin
gap supercondutor
†s i r i
r
P † † †i i ic c onde QMC
[Hurt,..., F Mondaini, T Paiva, & dS (05)]
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.130.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
f=0/16 f=1/16 f=2/16 f=4/16 f=5/16
Ps/
L2
1/L0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
f
[D Hurt,..., F Mondaini, T Paiva, & dS (05)]
Transição não-percolativa: fc < 0.41
Impurezas inibem CDW só resta parâmetro de ordem de 2 componentes (reflexo do que ocorre a T >0)
aumento da ordem por desordem
Em andamento: T > 0
Conclusões e Perspectivas• QMC é um método poderoso para o estudo de sistemas fortemente correlacionados• Deve ser acompanhado de uma análise de dados criteriosa• O problema da instabilidade a baixas T foi contornado• O problema do sinal ainda está aberto (veja próximo slide)• Perspectivas:
•Adaptação para o estudo de modelos multi-orbitais deve ser buscada; e.g., Anderson
•Acoplamento de férmions com momentos localizados (tipo Kondo): propostas de THS já feitas em alguns trabalhos [Assaad (99)]
• Dissipação Quântica [Capriotti et al., (2002)]
O sinal negativo
A origem do problema:
Façamos a THS nas ℓ primeiras fatias temporais
ℓ
2N valores de P1 emergem de P0 P0 = Z > 0
A amostragem é feita em ℓ=M; se considerássemos todas as possíveis configurações, PM teria # de valores positivos ligeiramente (exp a baixas T ’s!) maior que negativos.
{SW Zhang [1999(a)(b)]}
Referências•PW Anderson, Science 235, 1196 (1987). •FF Assaad, Phys Rev Lett 83, 796 (1999)•S Brown and G Grüner, Sci Am 270 (4), 28 (1994)•L Capriotti et al, Europhys Lett 58, 155 (2002)•R R dos Santos, Phys Rev B 39, 7259 (1989)•R R dos Santos, Phys Rev B 48, 3976 (1993)•R R dos Santos, Phys Rev B 50, R635 (1994)•R R dos Santos, Braz J Phys 33, 36 (2003)•VJ Emery, Phys Rev B 14, 2989 (1976)•H Ghosh and R R dos Santos, J.Phys.:Condens.Matt 11, 4499 (1999)•J Graybeal and M Beasley, Phys Rev B 29, 4167 (1984)•J E Hirsch, Phys.Rev.B 31, 4403 (1985)•J E Hirsch, Phys.Rev.B 38, 12023 (1988)•J E Hirsch and HQ Lin, Phys.Rev.B 37, 5070 (1988)•J E Hirsch and S Tang, Phys.Rev.Lett. 62, 591 (1989)•Z B Huang et al., Phys.Rev.B 64, 205101 (2001)
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